常微分方程試題庫試卷庫2

常微分方程期終考試試卷（1）

一、填空題（30%）

1、方程"（羽?。┕?N。,，）加°有只含%的積分因子的充要條件

是（）。有只含y的積分因子的充要條件是。

2、稱為黎卡提方程，它有積分因子。

3、稱為伯努利方程，它有積分因子。

4、若Xi⑺審2⑺，，X”⑺為〃階齊線性方程的〃個解，則它們線

性無關的充要條件是。

5、形如的方程稱為歐拉方程。

6、若阿）和收⑺都是％=4小的基解矩陣，則阿）和〃⑺具有的

關系是。

7、當方程的特征根為兩個共甄虛根是，則當其實部為時，零解

是穩(wěn)定的，對應的奇點稱為。

二、計算題（60%）

1、必一（％+『）辦=。2、x"+x=sint-cos2r

217

A=一141試求方程組%，=心的解，2_1并求

3、若

-4xy—+8y2=0—=x+y2

4、dx5、求方程辦經過（0,0）

的第三次近似解

dx.dy_

———x-y+1,——x—y—5

6.求山dt的奇點，并判斷奇點的類型及穩(wěn)

定性.

三、證明題(10%)

1、〃階齊線性方程一定存在〃個線性無關解。

常微分方程期終試卷(2)

一、填空題30%

1、形如的方程，稱為變量分離方程，這里./⑴小。）分別為

的連續(xù)函數(shù)。

2、形如的方程，稱為伯努利方程，這里p（x）ea）為先的連續(xù)

函數(shù)w0」是常數(shù)。引入變量變換-------，可化為線性方程,

3、如果存在常數(shù)八0,使得不對于所有

（%,為）,（蒼%）6火都成魏，為利普希函數(shù)稱為在R

上關于》滿足利普希茲條件。

4、形如的方程，稱為歐拉方程，這里qg，是常數(shù)。

5、設。⑺是/=A無的基解矩陣，。⑺是+/⑺的某一解，

則它的任一解/⑺可表為。

一、計算題40%

1+士工口手=6工_移2的通解?？üた谏?上="'iVi、宙冷刀

1.求方程公X2.求程公%的通斛。

3.求方程x"+6x'+5x=e?，的隱式解。

4.求方程

包=%+、2通。、0）過

dx

二、證明題30%

「21「°1「

rt22匹

1.試驗證①（/）」21」是方程組（一”X

7jL2,在任何不包含原點

的區(qū)間aWY。上的基解矩陣。

2.設①Q）為方程’（A為x常數(shù)矩陣）的標準基解矩陣（即①（0））,

證明：①⑺①T（t。）=①（t。）其中t。為某一值.

常微分方程期終試卷(3)

一,解下列方程(10%*8=80%)

dy2.(y+—)2

2.dx=Qxy23.>=2x+y-1

4.1?+76.{(一+產)}0

8.已知f(x)Io/⑺”=lwO,試求函數(shù)f(x)的一般表達式。

二.證明題(10%*2=20%)

9.試證：在微分方程。中，如果M、N試同齊次函數(shù)，且*0,則

1

(即必)是該方程的一個積分因子。

常微分方程期終試卷（4）

一、填空題

1、（）稱為變量分離方程，它有積分因子

（）。

2、當（）時，方程M（x,y）dx+N（x,y）dy=O稱為

恰當方程，或稱全微分方程。

3、函數(shù)稱為在矩形域R上關于y滿足利普希茲條件，如

果（）。

4、對畢卡逼近序列，茄⑴一味（刈?（）。

5、解線性方程的常用方法有

（）。

6、若*?）?=1，2,...,〃）為齊線性方程的"個線性無關解，則這一齊

線性方程的所有解可表為（）。

7、方程組，=A⑺x

（）o

8、若。⑺和“⑺都是的基解矩陣，貝IJ0⑺和〃⑺具有關系：

（）o

9、當方程組的特征根為兩個共相虛根時，則當其實部

（）時，零解是穩(wěn)定的，對應的奇點稱為（）o

10、當方程組的特征方程有兩個相異的特征根時，則當

（）時，零解是漸近穩(wěn)定的，對應的奇點稱為

（）。當（）時，零解是不穩(wěn)定的，對應

的奇點稱為（）o

11、若。⑺是x'=A⑺X的基解矩陣，則V=A⑺x=/'⑺滿足%%）=〃

的解（）o

二、計算題

求下列方程的通解。

—=Ae~ysinx-1

絲=X+丫2

3、求方程dx-y通過Q。）的第三次近似解。

求解下列常系數(shù)線性方程。

4、%"+￡+%=00

5、X”'一X=d°

試求下列線性方程組的奇點，并通過變換將奇點變?yōu)樵c，進一

步判斷奇點的類型及穩(wěn)定性：

6、dt

三、證明題。

1、1、設阿）為方程（A為〃x八常數(shù)矩陣）的標準基解

矩陣（即。（0）=E）,證明。⑴“乜）="（一%）其中九為某一值。

常微分方程期終考試試卷（5）

一.填空題（30分）

1.='9+如）稱為一階線性方程，它有積分因子）3,

其通解為。

2.函數(shù)/（x?）稱為在矩形域R上關于y滿足利普希茲條件，如

果。

3.若。⑴為畢卡逼近序列加⑹的極限，則有

4.方程區(qū)="'定義在矩形域尺：-2<心2,-2</2上，則經過點

（0,0）的解的存在區(qū)間是。

5.函數(shù)組e'，e，e”的伏朗斯基行列式為。

6.若七。）（；1，2,為齊線性方程的一個基本解組，x?）為非齊線

性方程的一個特解，則非齊線性方程的所有解可表為。

7.若①⑺是1=A（小的基解矩陣，則向量函數(shù)。⑺二是

%=4，）%+/⑺的滿足初始條件。&）=。的解；向量函數(shù)。⑺二

是X=AQ）x+/Q）的滿足初始條件。&）=〃的解。

8.若矩陣A具有〃個線性無關的特征向量匕》，??/“，它們對應的

特征值分別為人辦…兒，那么矩陣中⑺=是常系數(shù)線性方程

組工=Ax的一個基解矩陣。

9.滿足的點（九*/*）,稱為駐定方程組。

計算題（60分）

10.求方程4—y2dx+2（/y—1）6=。的通解。

11.求方程公一的通解。

蟲……

<dx

12.求初值問題〔y（f=°尺：卜+1歸中⑷的解的存在區(qū)間，并

求第二次近似解，給出在解的存在區(qū)間的誤差估計。

13.求方程X'+9x=/sin3t的通解。

14.試求方程組％=人龍+/⑺的解火。

--11Fl2

9(0)=],A=彳3"。)=

dx_t/y_

15.試求線性方程組了=*一'區(qū)=、一*的奇點，并判斷奇

點的類型及穩(wěn)定性。

三.證明題（10分）

16.如果。⑺是x=Ax滿足初始條件。依）=〃的解，那么

^）=[expA（r-r0）]77

常微分方程期終考試試卷（6）

三.填空題（共30分，9小題，10個空格，每格3分）。

1、當時，方程M（）（）0稱為恰當方程，或稱全

微分方程。

2、稱為齊次方程。

dy

dx

3、求（）滿足。（%。）=%的解等價于求積分方程的連續(xù)解。

4、若函數(shù)f（）在區(qū)域G內連續(xù)，且關于y滿足利普希茲條件，

則方程M八羽，）的解。（乂％，％）作為羽/，%的函數(shù)在它的存

在范圍內是。

5、若七⑺①⑺-巧⑺為n階齊線性方程的n個解，則它們線性無

關的充要條件是。

6、方程組丁=4》的稱之為f=A（小的一個基本解組。

7、若阿）是常系數(shù)線性方程組y=Ax的基解矩陣，則。

8、滿足的點（%*，y*）,稱為方程組的奇點。

9、當方程組的特征根為兩個共輾虛根時，則當其實部時，零解

是穩(wěn)定

的，對應的奇點稱為。

二、計算題（共6小題，每題10分）。

dyX-y+1

1、求解方程：dx=x+y-+3

2、2、解方程：（221）（2）0

dy_31

3、討論方程了=5/在怎樣的區(qū)域中滿足解的存在唯一性定理的

條件，并求通過點（0,0）的一切解

4、求解常系數(shù)線性方程：x//-2x/+3x=e-jcosz

（12、

苴中A為

5、試求方程組/=Ax的一個基解矩陣，并計算‘八（43）

dx_dy_

6、試討論方程組加=以，方（1）的奇點類型，其中

為常數(shù)，且彳0。

三、證明題（共一題，滿分10分）。

試證：如果。⑺是小滿足初始條件/。）=〃的解，那么

常微分方程期終試卷(7)

一、選擇題

1.，階線性齊次微分方程基本解組中解的個數(shù)恰好是()

個.(A)n(B)n-1(C)n+1(D)〃+2

2.李普希茲條件是保證一階微分方程初值問題解惟一的()

條件.

(A)充分(B)必要(C)充分必要(D)必要非充分

電=、/13有(工1)

3.方程網"v過點(2'，共有()個解.

(A)一(B)無數(shù)(C)兩(D)三

4.方程￡=捱。+”()奇解.

(A)有一個(B)有兩個(C)無(D)有無數(shù)個

dy=1~

5.方程瓦—"的奇解是().

(A)》=尤(B)>=1(C)y=T(D)>=°

二、計算題

20

3.(x+2y)dx-xdy=0

電=上+1

4.dxx

—dx+(y3+Inx)dy=0

5?%

三、求下列方程的通解或通積分

y2

Ldz=x(l-y)

ck

dz

dx

dy

一

2dx+3y=e2x

四.證明

x

1.設％(X),y2()是方程

/+p{x）y'+q（x）y=0

的解，且滿足%（%。）&（%。）0,HQ。,這里。（幻，式幻在（-0+8）上

連續(xù)，%：.試證明：存在常數(shù)C使得上⑴為（x）.

2.在方程y"+pa）V+q（x）y=。中，已知?⑴，“⑴在（-0+8）上連

續(xù).求證：該方程的任一非零解在孫平面上不能與x軸相切.

常微分方程期終試卷（8）

一、填空（每空3分）

1、稱為一階線性方程，它有積

分因子，其通解

2、函數(shù)”x，y）稱為在矩形域R上關于》滿足利普希茲條件，如果

3、若不⑺，/⑺,…，與⑺為”階齊線性方程的〃個解，則它們線性無

關的充要條件

是o

4形如

的方程稱為歐拉方程。

5、若①⑺和甲⑺都是x'=A⑺x的基解矩陣，則①⑺和5⑺具有的關

系：o

6、若向量函數(shù)g?；y）在域R上,

則方程組2=g（s）’*?！颍?打的解。存在且惟一。

7、當方程組的特征根為兩個共輾虛根時，則當其實

部，零解是穩(wěn)定的，對應的奇點稱

為O

二、求下列方程的解

1、(y-3/)dx—(4y—x)dy=o（6分）

2、ydx-xdy=(x2+y2)dx（8分）

3、/(y-i)=(2-y)2（8分）

4、dxx（8分）

5、x''+6x'+5x-e2r（6分）

%"+%=-^―

6、sint（8分）

7、2x-（8分）

三、求方程組的奇點,并判斷奇點的類型和穩(wěn)定性（8分）

常微分期中測試卷(2)

■.解下列方程(10%*8=80%)

1.1.y)/+/

2.2.0

3.3.{(%2+r)}0

4.4.2{x2+y2V+y2}o

dyy

------2

5.dx=6A：y

，(上r

6.y=2x+yT

7.已知f(x)1/⑺試求函數(shù)f(x)的一般表達式。

8.一質量為m質點作直線運動，從速度為零的時刻起，有一個

和時間成正比(比例系數(shù)為占)的力作用在它上面，此外質

點又受到介質的阻力，這阻力和速度成正比(比例系數(shù)為

左2)。試求此質點的速度與時間的關系。

二.證明題(10%*2=20%)

1.證明：如果已知黎卡提方程的一個特解，則可用初等方法

求得它的通解。

2.試證：在微分方程0中，如果瓜N試同齊次函數(shù)，且

]

則由T而是該方程的一個積分因子。

M*+yN)-加,+N+yN)N?+yN)-N(xM,+。+VN)

(xM+yN)*12(xM+yN)2

常

常微分方程期終試卷(9)

一、填空題(每小題5分，本題共30分)

dy._X

1.方程瓦+*血％=6的任一解的最大存在區(qū)間必定

是.

2.方程V'+4y=。的基本解組是.

3.向量函數(shù)組匕(琉匕(尤)，…，匕⑴在區(qū)間I上線性相關的條件是在

區(qū)間I上它們的朗斯基行列式卬(幻=。.

4.李普希茲條件是保證一階微分方程初值問題解惟一的

條件.

2〃階線性齊次微分方程的所有解構成一個維線

性空間.

6.向量函數(shù)組耳(立乂⑺，…，匕⑴在其定義區(qū)間/上線性相關的

條件是它們的朗斯基行列式W(x)=。，xw/.

、計算題（每小題8分，本題共40分）

求下列方程的通解

8.（/+呼2）也+。2'+'3）①=。

9.ey+y'-x=0

10.求方程y"-5y，=sin5x的通解.

11.求下列方程組的通解.

dx

曳=4x+y

[dt

三、證明題（每小題15分，本題共30分）

12.設y=%（x）和丁=。2@）是方程y"+4（x）y=。的任意兩個解,求證:

它們的朗斯基行列式卬⑴三。，其中c為常數(shù).

13.設9（%）在區(qū)間（-8,+8）上連續(xù).試證明方程

dy/、?

—=（p{x）siny

dx

的所有解的存在區(qū)間必為（-8,+⑹.

常

常微分方程期終試卷（10）

一、填空（30分）

]/■=g（'）]八斗,士加上工口/■=尸⑴?。?Q（x）＞+R（x）工八斗采勿上+日

1、dxx稱為齊次方程，dx稱為黎卡提

方程。

2、如果/（X，V）在R上連續(xù)且關于y滿足利普希茲條件,則方程

瓦存在唯一的解y=0（x）,定義于區(qū)間卜—x。區(qū)”上，連續(xù)且

b

滿足初始條件。（%）=%,其中〃=而心,瓦），八煨獷（2）|。

3、若%，⑺。=1,2,……,〃)是齊線性方程的〃個解，以力為其伏

朗斯基行列式，則似，)滿足一階線性方程體⑺+%⑺麗)=0o

MI^T

4、對逼卡逼近序列，血⑴-%⑴區(qū)二廠―人二

5、若①⑺和甲⑺都是％=4小的基解矩陣，則①⑺和甲⑺具有關系

呼”①⑺。。

6、方程"(x，y)dx+N(x,y)辦=。有只含x的積分因子的充要條件是

dMdN8MdN

dydxdydx

。有只含y的積分因子的充要條件是F—二°c

dy_y*12-1

7、方程瓦經過(。，0)點的解在存在區(qū)間是(f+8)。

二、計算(60分)

1、求解方程*辦+(丁+%'4)公=。。

解：所給微分方程可寫成

(xdy+ydx)+x2y4dx=0

即有d(xy)+x2y4dx=0

d（xy）

H——dx=0

上式兩邊同除以(孫)4,得（孫）4

1____j_

由此可得方程的通解為3（孫）3X

即l+3x2y3=c%3j3

2、求解方程照

解：所給方程是關于y可解的，兩邊對X求導，有

2=(2〃+602)半

dx

(1)當。=。時，由所給微分方程得＞=。；

(2)當dx=(2+6p)即時,得x=2p+3P2+c。

因此，所給微分方程的通解為

3

x=2p+3p-+cfy=p-+2p(P為參數(shù))

而，=。是奇解。

3、求解方程x"-4x+4x=d+1

解：特征方程下-44+4=0,4,2=2,

故有基本解組e”，商、

對于方程X-4x+4x=e\因為4=1不是特征根，故有形如

無⑺=Ad的特解，

2,A=一

將其代入X,-4x+4x=e*得2Ae2，=e,解之得2,

對于方程％-4x+4x=l,因為2=0不是特征根，故有形如

弓⑺=人的特解，

A.1

將其代入％-4X+4X=1,得一4,所以原方程的通解為

x(z)—(Cj+02%)+~+]

4、試求方程組％=Ax的一個基解矩陣，并計算exp4,其中

A=Pq

l-l2j

解：p(/l)=det(M-A)=0,,%=-6,均為單根，

設4對應的特征向量為匕，則由0E-A)%=。，得

(7、

1。+V5)%,aw0

[1][1、

取[12+同，同理可得4對應的特征向量為”12一同，

則烏《)=1%,均為方程組的解,令①”)=(例⑺必⑺)，

w(0)=det①(0)=r—I—=—y/3工0

又2+V32-V3,

fe四e心)

所以①⑺即為所求基解矩陣I。+后產(2-6)產I

_Z-Y-V-5

5、求解方程組〔以?的奇點，并判斷奇點的類型及

穩(wěn)定性。

x+y+1=0fx-2

解：令h-y-5=0,得ty=-3,即奇點為(2,-3)

—=X+Y

dt

‘X=x-2dY

令W—+3,代入原方程組得——=X-Y

112-1-1

=-2^0=K2-2=0

因為1-1，又由-12+1

解得4=痣，4=-行為兩個相異的實根,

所以奇點為不穩(wěn)定鞍點，零解不穩(wěn)定。

◎…丫2

6、求方程公，經過（0,0）的第二次近似解。

解：仰(尤)=0,

%(x)=0+jf(x,Q)dx=—x1

o2,

0?（九）=°+j/（九，51一）dx=-%-+/

三、證明（10分）

假設機不是矩陣A的特征值，試證非齊線性方程組

x=Ax+ceM

有一解形如

西）=P*

其中c，。是常數(shù)向量。

證：設方程有形如g）=P*的解，貝UP是可以確定出來的。

事實上，將P*代入方程得7即尸=Ap*+c*,

因為e"—O,所以〃zp=Ape+c,

（jnE—A）P=c（］）

又相不是矩陣A的特征值，det（m￡-A）^O

所以（加E-4廣存在，于是由（1）得p=（加E-存在。

故方程有一解濃）=（mE—人尸ce”=peM

常微分方程期終試卷（11）

一.填空

1.稱為一階線性方程，官有積分因

子--------------------，其通解

為。_

2.稱為黎卡提方程，

若它有一個特解y(x),則經過變

換，可化為伯努利方程。

3.若9(x)為畢卡逼近序列如⑴｝。的極限，則有M(x)一?！阿臨

4.若不⑺(1,2,-)是齊線形方程的n個解，w(t)為其伏朗斯

基行列式，則w(t)滿足一階線性方

程--------------------。

5.若七⑺(1,2,-)是齊線形方程的一個基本解組，x(t)為非

齊線形方程的一個特解，則非齊線形方程的所有解可表

為O

6.如果A(t)是nXn矩陣，f(t)是n維列向量，則它們在ww匕

滿足

時，方程組x'=A(t)f(t)滿足初始條件x(to)=〃的解在ww

上存在唯一。

7.若。(t)和夕(t)都是x'=A(t)x的基解矩陣，則。(t)

與“(t)具有關系：

8.若。(t)是常系數(shù)線性方程組才=心的基解矩陣，則該方程

滿足初始條件-優(yōu))=〃的解少⑺

9.滿足的點('*/*),稱為方程組的奇點。

10.當方程組的特征根為兩個共甄虛根時，則當其實部

時，零解是穩(wěn)定的，對應的奇點稱為。

二.計算題(60分)

1.ydx-(x+y3)4dy=0

(雪-4孫女+8y2=0

2.dxdx

—=x+y*12

3.求方程公經過(0,0)的第三次近似解

4.xff+x=sinr-cos2?

21彷

A=。⑺,。（。）=77=

5.若「I4」試求方程組x'=Ax的解，2_1并求

dx.dy_

———JC-v+1——=%—v—3

6.求應'出的奇點，并判斷奇點的類型及穩(wěn)

定性.

三.證明題（10分）

設/（%,、）及ay連續(xù),試證方程（）0為線性方程的充要條件是它有

僅依賴與X的積分因子.

常微分方程期終測試卷（12）

一、填空題（30%）

1.若［（x）,2（x）是一階線性非齊次方程的兩個不同解，則

用這兩個解可把其通解表示為.

2.方程也，滿足解的存在唯一性定理條件的區(qū)域

是.

3.45份連續(xù)是保證方程祟="5初值唯一的

條件.

一條積分曲線.

dY-A（x）Y

4.線性齊次微分方程組a一㈠的一個基本解組的個數(shù)

不能多于

個，其中xwR,YeR.

5.二階線性齊次微分方程的兩個解尸?⑴，尸外。）成為其

基本解組的充要條件是.

dy=.

6.方程后—即"8"滿足解的存在唯一性定理條件的區(qū)域

是.

dy_2.

、———xtany,.、一、吐,力口

7.萬程dx?的所f有常數(shù)解是.

8.方程xsinydx+ycosxdy=0所有常數(shù)解是.

9.線性齊次微分方程組的解組耳（。、（?！?匕（］）為基本解組

的條件是它們的朗斯基行列式Mx）。。.

10.〃階線性齊次微分方程線性無關解的個數(shù)最多為

個.

二、計算題（40%）

求下列方程的通解或通積分：

^=2+tanZ

1.drxx

電cosy-cos%sin?y=siny

2.dx7

3.(2xy-cosx)dx+(x2-l)dy=0

4.

dx

L+y

—=-2x+3y

5.d

三、證明題（30%）

1.試證明：對任意X。及滿足條件°<%<1的％,方程

dyy（y-i）

dx1+%?+y?

的滿足條件丁（尤。）=%的解尸?、旁冢?8,+8）上存在.

2.設了⑴在［。，+8）上連續(xù)，且J型/⑴=°,求證：方程

$=f（x）的任意解y=?。┚袌鲂。?0.

3.設方程比一八"中，/（y）在（-8,+8）上連續(xù)可微，且

外（y）<0,（"0）.求證：該方程的任一滿足初值條件y（x°）=y。的

解y（x）必在區(qū)間K，+到上存在.

常微分方程期終試卷(13)

一、填空題(30分)

1、方程M()()0有只含x的積分因子的充要條件是

電-如=N°(x)

(②泳)，有只含y的積分因子的充要條件是

“，、

-d-M-----d-N-=-M(p(y)

(辦私)o

X

?ff(x,y)dx

2、求dx()滿足。(龍。)=，。的解等價于求積分方程(。士)。

3、方程公,定義在矩形域2口＜2,-24”2上，則經過點

(0,0)的即位存在區(qū)間是(廠—4)。

4、若X，(t)(1,2…)是齊線性方程的n個解，W(t)為伏朗斯基

行列式，則W(t)滿足一階線性方程(M(t)Mt)W(t)=0)。

5、若X1(t),X2(t)…"(t)為n階齊線性方程的n個解,則

它們線性無關的充要條件是(W[X?(t),X2(t)

???n(t)]。0)。

6、在用皮卡逐步逼近法求方程組X，(t)(x)(t。)蟲的近似解

t

(S)+

(Pk?)=(〃+_[f(s)]ds

時，貝I]Q)o

7、當方程的特征根為兩個共扼虛根時，則當其實部(為零)

時，零解是穩(wěn)定的，對應的奇點稱為(穩(wěn)定中心)。

8、滿足(X()=0()=0)的點(X*，),稱為方程組的奇點。

9、若阿和〃⑺都是X,(t)X的基解矩陣，則。⑺和〃⑺具有關

系：(甲⑺=。⑺C(C為非奇異矩陣))。

?dny“"y

10、形如(dxn!dx--1…+%y=。)的方程稱為歐拉方程。

二、計算題

求下列方程的通解（1—2）

3

y++（f+y^^dy—0

dM1

=2x+x+y\^-=2x

解：因為②dx

dMdN

-----------=NA7

又因為力出

所以方程有積分因子：u(x)二e，

方程兩邊同乘以"得：

2—^dx+cx(^x+y^dy—0

(2xy^xy+37v)一

3

尸—………

exx2y+,ex—y=c

也即方程的解為3.

33

2x+y-3^=o(y=^)

—=y'=p=tx

解：令，公)”,貝IJ

_3t

^+t24a=6gpx-i+?

3t2

P=tx=7

從而1+r

/3t3t2

(——(——可)出+c

又"1+r1+r

31+4-

--------+c

=2（1+?）2

故原方程的通解為

3t

%二l+t3T

31+4-

y=-------------r-r+c

2(1+戶產

t為參數(shù)

—=x+y2

3、求方程辦經過（0,0）的第三次近似解

解:①o=%=°

2

不「7%

①1a

o2

x4x2x

220

X410

XXX

①3=

440020

0

x1x5P?

一+一++

=2204400160

求爺-2年-3%=2/+1

4、的通解

d2xdx

—z—2-----3%=0

解：