人教版高中數(shù)學(xué)《楊輝三角》教學(xué)設(shè)計(jì)

重視觀察自主探究——《楊輝三角》教學(xué)設(shè)計(jì)[課例簡(jiǎn)析]本課例是人教B版選修2-3第一章1.3.2的內(nèi)容，是在學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)二項(xiàng)式定理后，進(jìn)一步學(xué)習(xí)其性質(zhì)，楊輝三角所蘊(yùn)含的豐富的數(shù)字規(guī)律、數(shù)學(xué)思想、方法給學(xué)生提供了一個(gè)很好的數(shù)學(xué)探究的課題，本課例通過(guò)問(wèn)題情景的設(shè)置，讓學(xué)生通過(guò)了解有關(guān)楊輝三角的簡(jiǎn)史體會(huì)我國(guó)古代數(shù)學(xué)家的偉大成就，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，由于楊輝三角直觀描述了二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，通過(guò)設(shè)計(jì)探究環(huán)節(jié)，讓學(xué)生自主探究或小組合作,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并總結(jié)二項(xiàng)展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的幾個(gè)基本規(guī)律。引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度探究其中的數(shù)量關(guān)系歸納二項(xiàng)式系數(shù)的規(guī)律，有助于觀察能力、分析能力、猜想能力的提高，目的在于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力。[方法簡(jiǎn)述]數(shù)學(xué)家M.克萊因從數(shù)學(xué)發(fā)展史中得到啟示：為了教學(xué)生思維，讓他們喜歡并真正了解數(shù)學(xué)，有必要幫助學(xué)生“再創(chuàng)造數(shù)學(xué)”。弗萊登塔爾的“再創(chuàng)造教學(xué)”是課堂上根據(jù)教師提供的實(shí)例或具體的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”，創(chuàng)造條件使學(xué)生處于活躍、自由、富有創(chuàng)造欲望的狀態(tài)，由學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論，“再創(chuàng)造”數(shù)學(xué)。本節(jié)課采用的是觀察、探究、發(fā)現(xiàn)、合作交流的方法。教學(xué)過(guò)程分以下幾個(gè)環(huán)節(jié)：情景引入，簡(jiǎn)介楊輝三角的相關(guān)歷史，激發(fā)學(xué)生的民族自豪感和創(chuàng)造欲望,進(jìn)一步體現(xiàn)教材的人文價(jià)值和育人功能。愛(ài)因斯坦曾說(shuō)過(guò)“興趣是最好的老師，它永遠(yuǎn)勝過(guò)責(zé)任感”。應(yīng)當(dāng)把學(xué)生的興趣和愛(ài)好作為正在形成某種智力的契機(jī)來(lái)培養(yǎng)?？鬃犹岢隽恕安粦嵅粏?，不悱不發(fā)，舉一隅而不以三隅反，則不復(fù)也”的主張。第二個(gè)環(huán)節(jié)，問(wèn)題探究，引導(dǎo)學(xué)生探索楊輝三角的數(shù)量關(guān)系,這一環(huán)節(jié)又分了三個(gè)層次，第一個(gè)層次是對(duì)二項(xiàng)式系數(shù)基本規(guī)律的探究，引導(dǎo)學(xué)生從楊輝三角橫行的數(shù)字規(guī)律主要包括橫行各數(shù)之間的大小關(guān)系。組合關(guān)系以及不同橫行數(shù)字之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)并總結(jié)二項(xiàng)式系數(shù)的幾個(gè)基本規(guī)律。也是本節(jié)課的重點(diǎn)，第二個(gè)層次是探究拓展，第三個(gè)層次是探究楊輝三角與其他知識(shí)的聯(lián)系，這一部分學(xué)生對(duì)學(xué)生觀察能力與思維水平有一定的要求，采用了問(wèn)題導(dǎo)引的方式，先讓學(xué)生對(duì)通過(guò)對(duì)低階楊輝三角的觀察，到n階楊輝三角的猜想,探究時(shí)采用先思考后小組合作互動(dòng)的方式,重點(diǎn)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，不必在課堂上證明。使學(xué)生產(chǎn)生思維碰撞,達(dá)到共同完成實(shí)施建構(gòu)知識(shí)的目的,使不同層次的學(xué)生都有所獲.讓學(xué)生體會(huì)再發(fā)現(xiàn)再創(chuàng)造的過(guò)程,發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維.[目標(biāo)定位]數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)并不單純是數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，更重要的是通過(guò)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)所蘊(yùn)含的豐富的數(shù)學(xué)思想方法提高學(xué)生的思維能力，學(xué)生進(jìn)入高二以后，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力有了很大提高，特別是觀察、探究能力也有了長(zhǎng)足的進(jìn)步，楊輝三角這節(jié)課由于它的背景與內(nèi)容很適合學(xué)生觀察探究，為我們提供了一個(gè)很好的訓(xùn)練學(xué)生能力的課題，學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容時(shí)，一般會(huì)出現(xiàn)的問(wèn)題或困難是，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)以及將其公式化的過(guò)程。所以將學(xué)習(xí)目標(biāo)確定為：了解有關(guān)楊輝三角的簡(jiǎn)史，掌握楊輝三角的基本性質(zhì)。通過(guò)研究楊輝三角橫行斜行的數(shù)字規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生由特殊到一般的歸納猜想能力。通過(guò)小組討論，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題。探究知識(shí)、建構(gòu)知識(shí)的研究型學(xué)習(xí)習(xí)慣及合作化學(xué)習(xí)的團(tuán)隊(duì)精神。[課堂設(shè)計(jì)]情景引入溫故知新，復(fù)習(xí)二項(xiàng)式定理、二項(xiàng)展開(kāi)式的有關(guān)知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生回憶的二項(xiàng)展開(kāi)式的形式是怎樣的？二項(xiàng)式系數(shù)？為后面學(xué)生探究新制作好準(zhǔn)備。問(wèn)題：展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)，有什么規(guī)律？用電腦展示給出當(dāng)n依次取1，2，3…時(shí)，列出的一張表，叫做二項(xiàng)式系數(shù)表，因它形如三角形，南宋的楊輝對(duì)其有過(guò)深入研究，所以我們又稱它為楊輝三角。賈憲三角圖、朱世杰的古法七乘方圖、帕斯卡三角圖介紹楊輝三角的簡(jiǎn)史：我國(guó)北宋時(shí)期數(shù)學(xué)家賈憲約1050年首先使用“賈憲三角”進(jìn)行高次開(kāi)方運(yùn)算，南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》（1261年）記載并保存了“賈憲三角”，故稱楊輝三角。元朝數(shù)學(xué)家朱世杰在《四元玉鑒》（1303年）擴(kuò)充了“賈憲三角”成“古法七乘方圖”。在歐洲直到600年后，約1636年由法國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家帕斯卡發(fā)現(xiàn)并提出了“帕斯卡三角”。由此可見(jiàn)我國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自豪的。楊輝三角中蘊(yùn)涵了許多優(yōu)美有趣的規(guī)律。古今中外，許多數(shù)學(xué)家如賈憲、楊輝、朱世杰、帕斯卡、華羅庚等都曾深入研究過(guò)，在他的科普著作《從楊輝三角談起》中，對(duì)楊輝三角的構(gòu)成，提出了一種有趣的看法。并將研究結(jié)果應(yīng)用于其他工作。今天我們將沿著科學(xué)家的足跡開(kāi)始我們的探究之路。通過(guò)了解有關(guān)楊輝三角的簡(jiǎn)史體會(huì)我國(guó)古代數(shù)學(xué)家的偉大成就，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，2．用電腦展示15階楊輝三角或事先印好15階楊輝三角分發(fā)給學(xué)生，讓學(xué)生自己觀察、探究。二．問(wèn)題探究問(wèn)題1觀察楊輝三角你能發(fā)現(xiàn)那些數(shù)量關(guān)系？由此得到二項(xiàng)式系數(shù)具有哪些性質(zhì)？提示：觀察方法：橫看、豎看、斜看、連續(xù)看、隔行看，從多種角度觀察學(xué)生先獨(dú)立觀察，后小組交流觀察結(jié)果，先自主探究其規(guī)律，后小組展示其成果。三．展示探究的結(jié)論學(xué)生分小組展示其探究的結(jié)論，歸納有以下幾類：基本性質(zhì)（1）對(duì)稱規(guī)律：二項(xiàng)展開(kāi)式中與首末兩端“等距離”的兩個(gè)數(shù)相等，即（2）最大系數(shù)規(guī)律：在展開(kāi)式中，當(dāng)n是偶數(shù)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大且為；當(dāng)n是奇數(shù)，中間兩項(xiàng)與的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大且為。（3）遞推規(guī)律：每一行的兩端都是數(shù)字1，而其余的數(shù)都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)字相加，也就是．（4）系數(shù)和：二項(xiàng)展開(kāi)式的二項(xiàng)系數(shù)的和等于有的小組給出了證明。以上幾條是課本內(nèi)容所要求的。下面兩條是學(xué)生在探究的過(guò)程中自己發(fā)現(xiàn)的。（5）在第m條斜線上（從右上到左下或從左上到右下）前n個(gè)數(shù)字的和，等于第m+1條斜線上的）第n個(gè)數(shù)。以上是我們通過(guò)觀察楊輝三角所蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，得到的二項(xiàng)式系數(shù)的幾個(gè)基本性質(zhì)，這幾個(gè)基本性質(zhì)是我們解決后面問(wèn)題的基礎(chǔ)，下一節(jié)課我們?cè)谘芯克膽?yīng)用。四、拓展探究引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)探究之路，看看還能發(fā)現(xiàn)什么有趣的結(jié)論。問(wèn)題2：換一個(gè)角度觀察你能有什么發(fā)現(xiàn)？學(xué)生學(xué)習(xí)積極性高漲，不同小組之間也開(kāi)始交流，由學(xué)生發(fā)現(xiàn)楊輝三角的第1，3，7，15，．．．行，即第(k是正整數(shù))行的各個(gè)數(shù)字特點(diǎn)：（1）第行的所有數(shù)都是奇數(shù)（k∈N*）即為奇數(shù)（m=0，1，…，）；（2）第行的所有數(shù)（除兩端的1以外）都是偶數(shù)（k∈N*）即為偶數(shù)（r=1，2，…，）；（3）其他行的所有數(shù)中，一定既有偶數(shù)又有除1以外的奇數(shù)。問(wèn)題3：楊輝三角第5行中，除去兩端的數(shù)字1以外，行數(shù)5整除其余所有的數(shù)．你能再找出具有類似性質(zhì)的三行嗎？這時(shí)的行數(shù)Ｐ是什么數(shù)？ 第p（p為素?cái)?shù)）行除去兩端的數(shù)字1以外的所有數(shù)都能被p整除，其逆命題也成立。即對(duì)任意r∈{1，2，…，n-1}，都有是素?cái)?shù)。問(wèn)題4：請(qǐng)先寫(xiě)出斜線所經(jīng)過(guò)的數(shù)字的和，再觀察這些和，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？第n行的所有數(shù)按從左到右的順序合并在一起得到的多位數(shù)等于。探究楊輝三角與其他知識(shí)的聯(lián)系（橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同?。├^續(xù)換一角度“斜”向看，可得到一些有趣的結(jié)論問(wèn)題5：請(qǐng)先寫(xiě)出斜線所經(jīng)過(guò)的數(shù)字的和，再觀察這些和，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．．這就是著名的斐波那契數(shù)列。這是中世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的傳世之作《算術(shù)之法》中提出了一個(gè)饒有趣味的問(wèn)題，該數(shù)列在科學(xué)試驗(yàn)、計(jì)算數(shù)學(xué)、工藝美術(shù)、建筑與園林設(shè)計(jì)、生物學(xué)、幾何領(lǐng)域等實(shí)踐中有較廣泛的應(yīng)用。生活中的許多自然現(xiàn)象如花瓣的排列，植物的葉序、蜜蜂的繁殖等都與這個(gè)數(shù)列相吻合。問(wèn)題6：如果用筆將楊輝三角中的偶數(shù)與奇數(shù)分別標(biāo)出，會(huì)出現(xiàn)什么現(xiàn)象所有的偶數(shù)都會(huì)呈現(xiàn)出倒立的等邊三角形狀排列，而奇數(shù)都成正立三角形排列，且等邊三角形（偶數(shù)）的邊長(zhǎng)依次為：3、7、15、31、63……3=22-17=23-115=24-131=25-1即所有的偶數(shù)依次排出以（2n-1）（nN*）的長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)的倒立的等邊三角形。問(wèn)題7：將階楊輝三角形中去掉所有的偶數(shù)，剩下的圖形是個(gè)什么圖形？你見(jiàn)過(guò)嗎?將階楊輝三角形中去掉所有的偶數(shù)，剩下的圖形類似于分形幾何中的謝爾賓斯基三角形（如圖），這種三角形是研究自然界大量存在的不規(guī)則現(xiàn)象（海岸線性狀、大氣運(yùn)動(dòng)、海洋湍流、野生生物群體漲落，乃至股市升降等）的嶄新數(shù)學(xué)工具。

問(wèn)題8：研究楊輝三角，你能找出楊輝三角與“縱橫路線圖”兩者間的關(guān)系嗎?圖1是某城市的部分街道圖，縱橫各有五條路，如果從A處走到B處(只能由北到南，由西向東)，那么有多少種不同的走法？我們把圖順時(shí)針轉(zhuǎn)45度，使A在正上方，B在正下方，然后在交叉點(diǎn)標(biāo)上相應(yīng)的楊輝三角數(shù)。有趣的是，B處所對(duì)應(yīng)的數(shù)70，正好是答案。

一般地，每個(gè)交點(diǎn)上的楊輝三角數(shù)，就是從A到達(dá)該點(diǎn)的方法數(shù)。由此看來(lái)，楊輝三角與縱橫路線圖問(wèn)題有天然的聯(lián)系。五．歸納小結(jié)本節(jié)課在大家的努力下,通過(guò)對(duì)楊輝三角的觀察研究發(fā)現(xiàn)了許多有趣的規(guī)律,請(qǐng)同學(xué)談?wù)剬?duì)這一節(jié)課的認(rèn)識(shí)與收獲.楊輝三角奧秘?zé)o窮，只要大家從不同角度運(yùn)用合情推理及邏輯推理的方法，一定會(huì)還會(huì)發(fā)現(xiàn)更多的規(guī)律，同時(shí)也告訴大家只要我們時(shí)時(shí)睜大一雙善于觀察的眼睛我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)在我們的學(xué)習(xí)生活中有很多有趣的現(xiàn)象。今天也學(xué)是有趣，明天也許就是規(guī)律就是創(chuàng)造。只要我們能保持一種對(duì)問(wèn)題探究的熱情我們就會(huì)掌握打開(kāi)未知的鑰匙，期待諾貝爾獎(jiǎng)會(huì)有我們?cè)谧哪骋晃煌瑢W(xué)摘取。[教學(xué)鏈接]課外探究1．楊輝三角中的第n行第r個(gè)數(shù)換成，得到的三角形稱為萊布尼茨三角形，這個(gè)三角形有些什么特點(diǎn)？寫(xiě)出一至兩個(gè)律。階楊輝三角中，偶數(shù)與奇數(shù)，哪個(gè)更多？階楊輝三角中，共有個(gè)奇數(shù)，共有個(gè)偶數(shù)（k∈N*），試比較與的大小。3．探索其他結(jié)論，嘗試對(duì)以上結(jié)論給出證明。寫(xiě)一篇小論文4．楊輝三角能否擴(kuò)展到空間？能得到什么結(jié)論？[教有所思]本課例是在教師設(shè)計(jì)問(wèn)題及背景下，以楊輝三角為載體,讓學(xué)生通過(guò)對(duì)楊輝三角數(shù)量關(guān)系的觀察、分析、討論、猜想、歸納，讓學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程。教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)力求體現(xiàn)探究性課型的主要特征:問(wèn)題性、探究性、自主性、過(guò)程性、體驗(yàn)性.克里的設(shè)計(jì)重視學(xué)生的自主學(xué)習(xí),數(shù)學(xué)思想方法的滲透。在探究楊輝三角所蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系的過(guò)程中,學(xué)生更多的表現(xiàn)出了較強(qiáng)的探索欲望、求異思維,以及創(chuàng)造潛能。對(duì)于增強(qiáng)學(xué)生的研究意識(shí)、問(wèn)題意識(shí)、如何去解決問(wèn)題等作了一個(gè)很好的嘗試.不僅如此,這種數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)方式十分重視情感認(rèn)知即學(xué)習(xí)過(guò)程的體驗(yàn),應(yīng)該說(shuō)這種體驗(yàn)對(duì)知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力是十分必要的.教學(xué)過(guò)程的設(shè)計(jì),尊重教材,挖掘教材,又高于了教材,從情景的設(shè)計(jì)、探究?jī)?nèi)容的設(shè)計(jì)多數(shù)是以教材內(nèi)容為載體,充分開(kāi)發(fā)教材的功能,在問(wèn)題探究環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)的三個(gè)層次是有梯度的，第一個(gè)層次是對(duì)二項(xiàng)式系數(shù)基本規(guī)律的探究，引導(dǎo)學(xué)生從楊輝三角橫行的數(shù)字規(guī)律主要包括橫行各數(shù)之間的大小關(guān)系。組合關(guān)系以及不同橫行數(shù)字之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)并總結(jié)二項(xiàng)式系數(shù)的幾個(gè)基本規(guī)律。也是本節(jié)課的重點(diǎn)，第二個(gè)層次是探究拓展，對(duì)于5到11條規(guī)律的探究,高于課本內(nèi)容,其主要目的是培養(yǎng)學(xué)生的求異思維,擴(kuò)展學(xué)生的視野為今后的學(xué)習(xí)研究打下基礎(chǔ).第三個(gè)層次是探究楊輝三角與其他知識(shí)的聯(lián)系，這一部分學(xué)生對(duì)學(xué)生觀察能力與思維水平有一定的要求，采用了問(wèn)題導(dǎo)引的方式，先讓學(xué)生對(duì)通過(guò)對(duì)低階楊輝三角的觀察，到n階楊輝三角的猜想,探究時(shí)采用先思考后小組合作互動(dòng)的方式,重點(diǎn)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，不必在課堂上證明。使學(xué)生產(chǎn)生思維碰撞,達(dá)到共同完成實(shí)施建構(gòu)知識(shí)的目的,使不同層次的學(xué)生都有所獲.讓學(xué)生體會(huì)再發(fā)