人教版高中數(shù)學《楊輝三角》教學設計

重視觀察自主探究——《楊輝三角》教學設計[課例簡析]本課例是人教B版選修2-3第一章1.3.2的內(nèi)容，是在學生學習過二項式定理后，進一步學習其性質(zhì)，楊輝三角所蘊含的豐富的數(shù)字規(guī)律、數(shù)學思想、方法給學生提供了一個很好的數(shù)學探究的課題，本課例通過問題情景的設置，讓學生通過了解有關楊輝三角的簡史體會我國古代數(shù)學家的偉大成就，激發(fā)學生的學習熱情，由于楊輝三角直觀描述了二項式系數(shù)的性質(zhì)，通過設計探究環(huán)節(jié)，讓學生自主探究或小組合作,引導學生發(fā)現(xiàn)并總結(jié)二項展開式的二項式系數(shù)的幾個基本規(guī)律。引導學生從不同的角度探究其中的數(shù)量關系歸納二項式系數(shù)的規(guī)律，有助于觀察能力、分析能力、猜想能力的提高，目的在于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力。[方法簡述]數(shù)學家M.克萊因從數(shù)學發(fā)展史中得到啟示：為了教學生思維，讓他們喜歡并真正了解數(shù)學，有必要幫助學生“再創(chuàng)造數(shù)學”。弗萊登塔爾的“再創(chuàng)造教學”是課堂上根據(jù)教師提供的實例或具體的“數(shù)學現(xiàn)實”，創(chuàng)造條件使學生處于活躍、自由、富有創(chuàng)造欲望的狀態(tài)，由學生自己發(fā)現(xiàn)數(shù)學結(jié)論，“再創(chuàng)造”數(shù)學。本節(jié)課采用的是觀察、探究、發(fā)現(xiàn)、合作交流的方法。教學過程分以下幾個環(huán)節(jié)：情景引入，簡介楊輝三角的相關歷史，激發(fā)學生的民族自豪感和創(chuàng)造欲望,進一步體現(xiàn)教材的人文價值和育人功能。愛因斯坦曾說過“興趣是最好的老師，它永遠勝過責任感”。應當把學生的興趣和愛好作為正在形成某種智力的契機來培養(yǎng)。孔子提出了“不憤不啟，不悱不發(fā)，舉一隅而不以三隅反，則不復也”的主張。第二個環(huán)節(jié)，問題探究，引導學生探索楊輝三角的數(shù)量關系,這一環(huán)節(jié)又分了三個層次，第一個層次是對二項式系數(shù)基本規(guī)律的探究，引導學生從楊輝三角橫行的數(shù)字規(guī)律主要包括橫行各數(shù)之間的大小關系。組合關系以及不同橫行數(shù)字之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)并總結(jié)二項式系數(shù)的幾個基本規(guī)律。也是本節(jié)課的重點，第二個層次是探究拓展，第三個層次是探究楊輝三角與其他知識的聯(lián)系，這一部分學生對學生觀察能力與思維水平有一定的要求，采用了問題導引的方式，先讓學生對通過對低階楊輝三角的觀察，到n階楊輝三角的猜想,探究時采用先思考后小組合作互動的方式,重點發(fā)現(xiàn)規(guī)律，不必在課堂上證明。使學生產(chǎn)生思維碰撞,達到共同完成實施建構(gòu)知識的目的,使不同層次的學生都有所獲.讓學生體會再發(fā)現(xiàn)再創(chuàng)造的過程,發(fā)展學生的創(chuàng)造性思維.[目標定位]數(shù)學學習并不單純是數(shù)學知識的學習，更重要的是通過學習數(shù)學知識所蘊含的豐富的數(shù)學思想方法提高學生的思維能力，學生進入高二以后，數(shù)學學習能力有了很大提高，特別是觀察、探究能力也有了長足的進步，楊輝三角這節(jié)課由于它的背景與內(nèi)容很適合學生觀察探究，為我們提供了一個很好的訓練學生能力的課題，學生在學習本節(jié)課內(nèi)容時，一般會出現(xiàn)的問題或困難是，二項式系數(shù)的性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)以及將其公式化的過程。所以將學習目標確定為：了解有關楊輝三角的簡史，掌握楊輝三角的基本性質(zhì)。通過研究楊輝三角橫行斜行的數(shù)字規(guī)律，培養(yǎng)學生由特殊到一般的歸納猜想能力。通過小組討論，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題。探究知識、建構(gòu)知識的研究型學習習慣及合作化學習的團隊精神。[課堂設計]情景引入溫故知新，復習二項式定理、二項展開式的有關知識，引導學生回憶的二項展開式的形式是怎樣的？二項式系數(shù)？為后面學生探究新制作好準備。問題：展開式的二項式系數(shù)，有什么規(guī)律？用電腦展示給出當n依次取1，2，3…時，列出的一張表，叫做二項式系數(shù)表，因它形如三角形，南宋的楊輝對其有過深入研究，所以我們又稱它為楊輝三角。賈憲三角圖、朱世杰的古法七乘方圖、帕斯卡三角圖介紹楊輝三角的簡史：我國北宋時期數(shù)學家賈憲約1050年首先使用“賈憲三角”進行高次開方運算，南宋數(shù)學家楊輝在《詳解九章算法》（1261年）記載并保存了“賈憲三角”，故稱楊輝三角。元朝數(shù)學家朱世杰在《四元玉鑒》（1303年）擴充了“賈憲三角”成“古法七乘方圖”。在歐洲直到600年后，約1636年由法國數(shù)學家、物理學家帕斯卡發(fā)現(xiàn)并提出了“帕斯卡三角”。由此可見我國古代數(shù)學的成就是非常值得中華民族自豪的。楊輝三角中蘊涵了許多優(yōu)美有趣的規(guī)律。古今中外，許多數(shù)學家如賈憲、楊輝、朱世杰、帕斯卡、華羅庚等都曾深入研究過，在他的科普著作《從楊輝三角談起》中，對楊輝三角的構(gòu)成，提出了一種有趣的看法。并將研究結(jié)果應用于其他工作。今天我們將沿著科學家的足跡開始我們的探究之路。通過了解有關楊輝三角的簡史體會我國古代數(shù)學家的偉大成就，激發(fā)學生的學習熱情，2．用電腦展示15階楊輝三角或事先印好15階楊輝三角分發(fā)給學生，讓學生自己觀察、探究。二．問題探究問題1觀察楊輝三角你能發(fā)現(xiàn)那些數(shù)量關系？由此得到二項式系數(shù)具有哪些性質(zhì)？提示：觀察方法：橫看、豎看、斜看、連續(xù)看、隔行看，從多種角度觀察學生先獨立觀察，后小組交流觀察結(jié)果，先自主探究其規(guī)律，后小組展示其成果。三．展示探究的結(jié)論學生分小組展示其探究的結(jié)論，歸納有以下幾類：基本性質(zhì)（1）對稱規(guī)律：二項展開式中與首末兩端“等距離”的兩個數(shù)相等，即（2）最大系數(shù)規(guī)律：在展開式中，當n是偶數(shù)，中間一項的二項式系數(shù)最大且為；當n是奇數(shù)，中間兩項與的二項式系數(shù)相等且最大且為。（3）遞推規(guī)律：每一行的兩端都是數(shù)字1，而其余的數(shù)都等于它肩上的兩個數(shù)字相加，也就是．（4）系數(shù)和：二項展開式的二項系數(shù)的和等于有的小組給出了證明。以上幾條是課本內(nèi)容所要求的。下面兩條是學生在探究的過程中自己發(fā)現(xiàn)的。（5）在第m條斜線上（從右上到左下或從左上到右下）前n個數(shù)字的和，等于第m+1條斜線上的）第n個數(shù)。以上是我們通過觀察楊輝三角所蘊含的數(shù)量關系，得到的二項式系數(shù)的幾個基本性質(zhì)，這幾個基本性質(zhì)是我們解決后面問題的基礎，下一節(jié)課我們在研究它的應用。四、拓展探究引導學生繼續(xù)探究之路，看看還能發(fā)現(xiàn)什么有趣的結(jié)論。問題2：換一個角度觀察你能有什么發(fā)現(xiàn)？學生學習積極性高漲，不同小組之間也開始交流，由學生發(fā)現(xiàn)楊輝三角的第1，3，7，15，．．．行，即第(k是正整數(shù))行的各個數(shù)字特點：（1）第行的所有數(shù)都是奇數(shù)（k∈N*）即為奇數(shù)（m=0，1，…，）；（2）第行的所有數(shù)（除兩端的1以外）都是偶數(shù)（k∈N*）即為偶數(shù)（r=1，2，…，）；（3）其他行的所有數(shù)中，一定既有偶數(shù)又有除1以外的奇數(shù)。問題3：楊輝三角第5行中，除去兩端的數(shù)字1以外，行數(shù)5整除其余所有的數(shù)．你能再找出具有類似性質(zhì)的三行嗎？這時的行數(shù)Ｐ是什么數(shù)？ 第p（p為素數(shù)）行除去兩端的數(shù)字1以外的所有數(shù)都能被p整除，其逆命題也成立。即對任意r∈{1，2，…，n-1}，都有是素數(shù)。問題4：請先寫出斜線所經(jīng)過的數(shù)字的和，再觀察這些和，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？第n行的所有數(shù)按從左到右的順序合并在一起得到的多位數(shù)等于。探究楊輝三角與其他知識的聯(lián)系（橫看成嶺側(cè)成峰，遠近高低各不同?。├^續(xù)換一角度“斜”向看，可得到一些有趣的結(jié)論問題5：請先寫出斜線所經(jīng)過的數(shù)字的和，再觀察這些和，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．．這就是著名的斐波那契數(shù)列。這是中世紀意大利數(shù)學家斐波那契的傳世之作《算術之法》中提出了一個饒有趣味的問題，該數(shù)列在科學試驗、計算數(shù)學、工藝美術、建筑與園林設計、生物學、幾何領域等實踐中有較廣泛的應用。生活中的許多自然現(xiàn)象如花瓣的排列，植物的葉序、蜜蜂的繁殖等都與這個數(shù)列相吻合。問題6：如果用筆將楊輝三角中的偶數(shù)與奇數(shù)分別標出，會出現(xiàn)什么現(xiàn)象所有的偶數(shù)都會呈現(xiàn)出倒立的等邊三角形狀排列，而奇數(shù)都成正立三角形排列，且等邊三角形（偶數(shù)）的邊長依次為：3、7、15、31、63……3=22-17=23-115=24-131=25-1即所有的偶數(shù)依次排出以（2n-1）（nN*）的長度為邊長的倒立的等邊三角形。問題7：將階楊輝三角形中去掉所有的偶數(shù)，剩下的圖形是個什么圖形？你見過嗎?將階楊輝三角形中去掉所有的偶數(shù)，剩下的圖形類似于分形幾何中的謝爾賓斯基三角形（如圖），這種三角形是研究自然界大量存在的不規(guī)則現(xiàn)象（海岸線性狀、大氣運動、海洋湍流、野生生物群體漲落，乃至股市升降等）的嶄新數(shù)學工具。

問題8：研究楊輝三角，你能找出楊輝三角與“縱橫路線圖”兩者間的關系嗎?圖1是某城市的部分街道圖，縱橫各有五條路，如果從A處走到B處(只能由北到南，由西向東)，那么有多少種不同的走法？我們把圖順時針轉(zhuǎn)45度，使A在正上方，B在正下方，然后在交叉點標上相應的楊輝三角數(shù)。有趣的是，B處所對應的數(shù)70，正好是答案。

一般地，每個交點上的楊輝三角數(shù)，就是從A到達該點的方法數(shù)。由此看來，楊輝三角與縱橫路線圖問題有天然的聯(lián)系。五．歸納小結(jié)本節(jié)課在大家的努力下,通過對楊輝三角的觀察研究發(fā)現(xiàn)了許多有趣的規(guī)律,請同學談談對這一節(jié)課的認識與收獲.楊輝三角奧秘無窮，只要大家從不同角度運用合情推理及邏輯推理的方法，一定會還會發(fā)現(xiàn)更多的規(guī)律，同時也告訴大家只要我們時時睜大一雙善于觀察的眼睛我們就會發(fā)現(xiàn)在我們的學習生活中有很多有趣的現(xiàn)象。今天也學是有趣，明天也許就是規(guī)律就是創(chuàng)造。只要我們能保持一種對問題探究的熱情我們就會掌握打開未知的鑰匙，期待諾貝爾獎會有我們在座的某一位同學摘取。[教學鏈接]課外探究1．楊輝三角中的第n行第r個數(shù)換成，得到的三角形稱為萊布尼茨三角形，這個三角形有些什么特點？寫出一至兩個律。階楊輝三角中，偶數(shù)與奇數(shù)，哪個更多？階楊輝三角中，共有個奇數(shù)，共有個偶數(shù)（k∈N*），試比較與的大小。3．探索其他結(jié)論，嘗試對以上結(jié)論給出證明。寫一篇小論文4．楊輝三角能否擴展到空間？能得到什么結(jié)論？[教有所思]本課例是在教師設計問題及背景下，以楊輝三角為載體,讓學生通過對楊輝三角數(shù)量關系的觀察、分析、討論、猜想、歸納，讓學生體驗知識的發(fā)生發(fā)展過程。教學過程設計力求體現(xiàn)探究性課型的主要特征:問題性、探究性、自主性、過程性、體驗性.克里的設計重視學生的自主學習,數(shù)學思想方法的滲透。在探究楊輝三角所蘊含的數(shù)量關系的過程中,學生更多的表現(xiàn)出了較強的探索欲望、求異思維,以及創(chuàng)造潛能。對于增強學生的研究意識、問題意識、如何去解決問題等作了一個很好的嘗試.不僅如此,這種數(shù)學探究學習方式十分重視情感認知即學習過程的體驗,應該說這種體驗對知識轉(zhuǎn)化為能力是十分必要的.教學過程的設計,尊重教材,挖掘教材,又高于了教材,從情景的設計、探究內(nèi)容的設計多數(shù)是以教材內(nèi)容為載體,充分開發(fā)教材的功能,在問題探究環(huán)節(jié)設計的三個層次是有梯度的，第一個層次是對二項式系數(shù)基本規(guī)律的探究，引導學生從楊輝三角橫行的數(shù)字規(guī)律主要包括橫行各數(shù)之間的大小關系。組合關系以及不同橫行數(shù)字之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)并總結(jié)二項式系數(shù)的幾個基本規(guī)律。也是本節(jié)課的重點，第二個層次是探究拓展，對于5到11條規(guī)律的探究,高于課本內(nèi)容,其主要目的是培養(yǎng)學生的求異思維,擴展學生的視野為今后的學習研究打下基礎.第三個層次是探究楊輝三角與其他知識的聯(lián)系，這一部分學生對學生觀察能力與思維水平有一定的要求，采用了問題導引的方式，先讓學生對通過對低階楊輝三角的觀察，到n階楊輝三角的猜想,探究時采用先思考后小組合作互動的方式,重點發(fā)現(xiàn)規(guī)律，不必在課堂上證明。使學生產(chǎn)生思維碰撞,達到共同完成實施建構(gòu)知識的目的,使不同層次的學生都有所獲.讓學生體會再發(fā)