小學(xué)奧數(shù) 完全平方數(shù) 知識點＋例題＋練習(xí) （分類全面）

毅佳壹教育專屬輔導(dǎo)講義

校區(qū)：徐州段莊

學(xué)生姓名辛靈曦教師姓名張瑩瑩班主任張瑩瑩

日期年級5課時3K

教學(xué)內(nèi)容完全平方數(shù)

教學(xué)目標掌握完全平方數(shù)的特征

重點完全平方數(shù)

難點完全平方數(shù)的特征

教學(xué)準備紙、筆

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教學(xué)過程

一、完全平方數(shù)的性質(zhì)

（一）完全平方數(shù)常用的三條性質(zhì)

1.完全平方數(shù)的末位數(shù)字必須是：0,1,4,5,6,9o

2.完全平方數(shù)的約數(shù)一定有奇數(shù)個；有奇數(shù)個約數(shù)的數(shù)一定是完全平方數(shù)。

3.奇數(shù)的平方是奇數(shù)，偶數(shù)的平方是偶數(shù)

完全平方數(shù)除以3的余數(shù)只可能為為0或1；

完全平方數(shù)除以4的余數(shù)只可能為為?；?；

偶數(shù)的平方是4的倍數(shù)，奇數(shù)的平方除以4余1。

（二）一些推論

1.任何偶數(shù)的平方一定能被4整除；任何奇數(shù)的平方被4（或8）除余1.即被4除余

2或3的數(shù)一定不是完全平方數(shù)。

2.一個完全平方數(shù)被3除的余數(shù)是0或1.即被3除余2的數(shù)一定不是完全平方數(shù)。

3.自然數(shù)的平方末兩位只有：00,01,21,41,61,81,04,24,44,64,84,25,

09,29,49,69,89,16,36,56,76,96。

4.完全平方數(shù)個位數(shù)字是奇數(shù)（1,5,9）時，其十位上的數(shù)字必為偶數(shù)。

5.完全平方數(shù)個位數(shù)字是偶數(shù)（0,4）時，其十位上的數(shù)字必為偶數(shù)。

6.完全平方數(shù)的個位數(shù)字為6時，其十位數(shù)字必為奇數(shù)。

（三）重點公式回顧：平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）

（四）幾個特殊的完全平方數(shù)（了解）

7744（四位數(shù)中唯一一個前兩位數(shù)字相同，后兩位數(shù)字也相同）；

1444（后三位數(shù)字相同的數(shù)中最小的）。

ir=i2i

111=12321

1111=1234321

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一、“平方族”成員典型特征一：個位是0,1,4,5,6,9。

例：下面是一個算式：1+1x2+1x2x3+1x2x3x4+1x2x3x4x5+1x2x3x4x5x60這個算

式的得數(shù)能否是某個數(shù)的平方。

鞏固、一天，一個小騙子在街上招搖撞騙，聲稱自己是完全平方數(shù)，只見此人長得這個模樣:

A=1+1X2+1X2X3+…+1X2X3X…X100,小帥俠偶指奇約一眼就瞅出了這家伙的可疑

之處，你發(fā)現(xiàn)了嗎？

鞏固、8,88,888,8888…中有完全平方數(shù)嗎？

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二、完全平方數(shù)的等價條件：奇數(shù)個因數(shù)

注：計算一個數(shù)的因數(shù)先把這個數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，然后把不同質(zhì)因數(shù)的個數(shù)加1以后再相

乘所得的乘積就是因數(shù)的個數(shù)

例如：12=2X2X3

12的質(zhì)因數(shù)2有2個,質(zhì)因數(shù)3有1個因數(shù)個數(shù)：(2+1)X(1+1)=6個

180=2X2X3X3X5

180的質(zhì)因數(shù)2有2個，質(zhì)因數(shù)3有2個,質(zhì)因數(shù)5有1個因數(shù)個數(shù)：(2+1)X(2+1)

X(1+1)m3X3X2=18個

自然數(shù)年為完全平方數(shù)。自然數(shù)N約數(shù)的個數(shù)為奇數(shù).因為完全平方數(shù)的質(zhì)因數(shù)分

解中每個質(zhì)因數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)都是偶數(shù)次

例1、200名同學(xué)編號為1至200向南站成一排，第1次全體同學(xué)向右轉(zhuǎn)(轉(zhuǎn)后全體同學(xué)面朝

西)；第2次編號為2的倍數(shù)的同學(xué)向右轉(zhuǎn)；第3次編號為3的倍數(shù)的同學(xué)向右轉(zhuǎn)；……第

200次編號為200的倍數(shù)的同學(xué)向右轉(zhuǎn)；這時面向東、面向西的同學(xué)共有多少名？

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鞏固、禮堂里有100盞燈，依次按1?100的順序排號。每盞燈由一根燈繩控制，拉一個亮,

再拉一下滅。100個學(xué)生依次進入禮堂，第1名學(xué)生把編號為1的倍數(shù)的燈都拉一下，第2

名學(xué)生把編號為2的倍數(shù)的燈都拉一下……第100名學(xué)生把編號為100的倍數(shù)的燈都拉一下;

最后禮堂里有_______盞燈是亮的？

例2、已知3528?a恰是自然數(shù)b的平方數(shù)，a的最小值是

鞏固、已知勿，〃都是自然數(shù)，且4=126〃則〃的最小值為

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四、“平方族”成員典型特征二：除以3或4只能余?；?

注：奇數(shù)的平方是奇數(shù)，偶數(shù)的平方為偶數(shù)，而奇數(shù)的平方除以4余1,偶數(shù)的平方

能被4整除

例1、形如n,HLmi,inn,…的數(shù)中有沒有完全平方數(shù)？

鞏固、A是由2018個“4”組成的多位數(shù)，即444444……（2018個4）,/是不是某個自然

數(shù)6的平方？如果是，寫出氏如果不是，請說明理由.

例2、y+2?+3?+…+20172+20182除以4的余數(shù)是

鞏固、/+22+32+…+2017,20192除以3的余數(shù)是

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例3、已知：1234567654321X49是一個完全平方數(shù)，求它是誰的平方？

鞏固、1234567654321x(1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1)是的平方.

三、完全平方數(shù)的等價條件一：偶指性

已知自然數(shù)n滿足：12!除以n得到一個完全平方數(shù)，則n的最小值為一。(12!=12

X11X10X9X8X7X6X5X4X3X2X1)

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五、平方差公式的運用

例1、一個數(shù)減去100是一個平方數(shù)，減去63也是一個平方數(shù)，問這個數(shù)是多少？

鞏固、能否找到這么一個數(shù)，它加上24,和減去30所得的兩個數(shù)都是完全平方數(shù)?

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1、1+1X2+1X2X3H---F1X2X3X-X50是不是一個完全平方數(shù)

2、A是由2000個“4”組成的多位數(shù)，A是不是某個自然數(shù)3的平方？如果是，寫出8；如

果不是，請說明理由.

3、一個數(shù)減去14,加上17都是一個完全平方數(shù)，求這個數(shù)

4、22+42+62+82+102+122+142+...200?除以4的余數(shù)是

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5、12+22+32+42+52+62+72+.......