九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專題03相似三角形重要模型-手拉手模型(原卷版+解析)

專題03相似三角形重要模型-手拉手模型相似三角形是初中幾何中的重要的內(nèi)容，常常與其它知識(shí)點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，是中考的?？碱}型。手拉手模型相似是手拉手模型當(dāng)中相對(duì)于手拉手全等模型較難的一種模型，在實(shí)際的應(yīng)用和解題當(dāng)中出現(xiàn)時(shí)，對(duì)于同學(xué)們來(lái)說(shuō)，都比較困難。而深入理解模型內(nèi)涵，靈活運(yùn)用相關(guān)結(jié)論可以顯著提高解題效率，本專題重點(diǎn)講解相似三角形的“手拉手”模型（旋轉(zhuǎn)模型）。手拉手相似證明題一般思路方法:①由線段乘積相等轉(zhuǎn)化成線段比例式相等；②分子和分子組成一個(gè)三角形、分母和分母組成一個(gè)三角形；③第②步成立，直接從證這兩個(gè)三角形相似，逆向證明到線段乘積相等；④第②步不成立，則選擇替換掉線段比例式中的個(gè)別線段，之后再重復(fù)第③步。模型1.“手拉手”模型(旋轉(zhuǎn)模型)【模型解讀與圖示】“手拉手”旋轉(zhuǎn)型定義：如果將一個(gè)三角形繞著它的項(xiàng)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)并放大或縮小(這個(gè)頂點(diǎn)不變)，我們稱這樣的圖形變換為旋轉(zhuǎn)相似變換，這個(gè)頂點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)相似中心，所得的三角形稱為原三角形的旋轉(zhuǎn)相似三角形。1）手拉手相似模型（任意三角形）條件:如圖，∠BAC=∠DAE=，；結(jié)論：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；.2）手拉手相似模型（直角三角形）條件:如圖，，（即△COD∽△AOB）；結(jié)論：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，.3）手拉手相似模型（等邊三角形與等腰直角三角形）條件:M為等邊三角形ABC和DEF的中點(diǎn)；結(jié)論：△BME∽△CMF；.條件:△ABC和ADE是等腰直角三角形；結(jié)論：△ABD∽△ACE.例1．（2023春·貴州銅仁·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，，D、E分別時(shí)、邊上的點(diǎn)，．將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)．（一）發(fā)現(xiàn)問(wèn)題（1）如圖①，、、滿足的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_______；（二）探究問(wèn)題（2）如圖②，，相交于點(diǎn)M，連接，求證：平分；（三）拓展應(yīng)用（3）如圖③，在四邊形中，，，，求的度數(shù)．例2．（2023春·廣東梅州·九年級(jí)校考開(kāi)學(xué)考試）如圖（1），等腰三角形中，，．點(diǎn)，分別在，上，．

(1)操作發(fā)現(xiàn)：將圖（1）中的繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，交于點(diǎn)，如圖（2）．發(fā)現(xiàn)：．請(qǐng)證明這個(gè)結(jié)論．(2)實(shí)踐探究：將圖（1）中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（），當(dāng)，，三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，連接，如圖（3）．請(qǐng)解答以下問(wèn)題：①求證：；②探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．例3．（2022·四川達(dá)州·中考真題）某校一數(shù)學(xué)興趣小組在一次合作探究活動(dòng)中，將兩塊大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如圖1的方式擺放，，隨后保持不動(dòng)，將繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（），連接，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，連接．該數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行如下探究，請(qǐng)你幫忙解答：(1)【初步探究】如圖2，當(dāng)時(shí)，則_____；(2)【初步探究】如圖3，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)重合時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出，，之間的數(shù)量關(guān)系：_________；(3)【深入探究】如圖4，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)不重合時(shí)，（2）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出推理過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．(4)【拓展延伸】如圖5，在與中，，若，（m為常數(shù)）．保持不動(dòng)，將繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（），連接，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，連接，如圖6．試探究，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．例4．（2021·四川樂(lè)山·中考真題）在等腰中，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），連結(jié)（1）如圖1，若，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，結(jié)，，則________；（2）若，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連結(jié)．①在圖2中補(bǔ)全圖形；②探究與的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）如圖3，若，且，試探究、、之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明．例5．（2023·四川·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，已知線段，，線段繞點(diǎn)在直線上方旋轉(zhuǎn)，連接，以為邊在上方作，且．(1)若，以為邊在上方作，且，，連接，用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系是；(2)如圖2，在(1)的條件下，若，，，求的長(zhǎng)；(3)如圖3，若，，，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求此時(shí)的值．

例6.（2023·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）一次小組合作探究課上，老師將兩個(gè)正方形按如圖所示的位置擺放（點(diǎn)E、A、D在同一條直線上），發(fā)現(xiàn)且．小組討論后，提出了下列三個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你幫助解答：（1）將正方形繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（如圖1），還能得到嗎？若能，請(qǐng)給出證明，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）把背景中的正方形分別改成菱形和菱形，將菱形繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（如圖2），試問(wèn)當(dāng)與的大小滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，；（3）把背景中的正方形分別改寫(xiě)成矩形和矩形，且，，（如圖3），連接，．試求的值（用a，b表示）．例7．（2023春·廣東·九年級(jí)專題練習(xí)）已知在ABC中，O為BC邊的中點(diǎn)，連接AO，將AOC繞點(diǎn)O順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角為鈍角），得到EOF，連接AE，CF．（1）如圖1，當(dāng)∠BAC＝90°且AB＝AC時(shí)，則AE與CF滿足的數(shù)量關(guān)系是；（2）如圖2，當(dāng)∠BAC＝90°且AB≠AC時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖3，延長(zhǎng)AO到點(diǎn)D，使OD＝OA，連接DE，當(dāng)AO＝CF＝5，BC＝6時(shí)，求DE的長(zhǎng)．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1、（2023.重慶.九年級(jí)月考）如圖，AB＝3，AC＝2，BC＝4，AE＝3，AD＝4.5，DE＝6，∠BAD＝20°，則∠CAE的度數(shù)為（）A．10° B．20° C．40° D．無(wú)法確定2、（2023.廣東.九年級(jí)期中）如圖，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB與DE交于點(diǎn)O，AB＝4，AC＝3，F(xiàn)是DE的中點(diǎn)，連接BD，BF，若點(diǎn)E是射線CB上的動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論：①△AOD∽△FOB，②△BOD∽△EOA，③∠FDB+∠FBE＝90°，④BF=56AE，其中正確的是（）A．①② B．③④ C．②③ D．②③④3、（2023.江蘇.九年級(jí)期末）如圖，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝，D、E分別在邊AC、BC上，CD＝1，DE∥AB，將△CDE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)D、E對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為D′、E′，當(dāng)點(diǎn)E′落在線段AD′上時(shí)，連接BE′，此時(shí)BE′的長(zhǎng)為（）A．2 B．3 C．2 D．34、（2023.綿陽(yáng)市.九年級(jí)期末）已知正方形DEFG的頂點(diǎn)F在正方形ABCD的一邊AD的延長(zhǎng)線上，連結(jié)AG，CE交于點(diǎn)H，若，，則CH的長(zhǎng)為_(kāi)_______.5．（2022·浙江·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）觀察猜想(1)如圖1，在等邊中，點(diǎn)M是邊上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連接，以為邊作等邊，連接，則與的數(shù)量關(guān)系是______．(2)類比探究：如圖2，在等邊中，點(diǎn)M是延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)C），（1）中其它條件不變，（1）中結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)拓展延伸：如圖3，在等腰中，，點(diǎn)M是邊上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連接，以為邊作等腰，使頂角．連按．試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．6．（2022湖北·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，為等邊三角形，D為AC邊上一點(diǎn)，連接BD，M為BD的中點(diǎn)，連接AM．(1)如圖1，若AB＝2+2，∠ABD＝45°，求的面積；(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)M作與AC交于點(diǎn)E，與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N，求證：AD＝CN；(3)如圖3，在（2）的條件下，將沿AM翻折得，連接B'N，當(dāng)B'N取得最小值時(shí)，直接寫(xiě)出的值．7．（2023·廣西·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）某校數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在一次活動(dòng)中，對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題作如下探究：（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在等邊中，點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)，連接，以為邊作等邊，連接CQ，BP與CQ的數(shù)量關(guān)系是________；（2）變式探究：如圖2，在等腰中，，點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)，以為腰作等腰，使，，連接，判斷和的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）解決問(wèn)題：如圖3，在正方形中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，以為邊作正方形，是正方形的中心，連接．若正方形的邊長(zhǎng)為5，，求正方形的邊長(zhǎng)．8．（2022·河南開(kāi)封·九年級(jí)期末）某數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)習(xí)了尺規(guī)作圖、等腰三角形和相似三角形的有關(guān)知識(shí)后，在等腰△ABC中，其中，如圖1，進(jìn)行了如下操作：第一步，以點(diǎn)A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交BA的延長(zhǎng)線和AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，如圖2；第二步，分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，大于EF的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)D，作射線AD；第三步，以D為圓心，DA的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交射線AE于點(diǎn)G；(1)填空；寫(xiě)出∠CAD與∠GAD的大小關(guān)系為_(kāi)__；(2)①請(qǐng)判斷AD與BC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．②當(dāng)時(shí)，連接DG，請(qǐng)直接寫(xiě)出___；(3)如圖3，根據(jù)以上條件，點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M為射線AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PM，PC，當(dāng)時(shí)，求AM的長(zhǎng)．9．（2022·山東濟(jì)南·一模）在中與中，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，連接．（1）觀察猜想：如圖1，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，與的數(shù)量關(guān)系是__________，位置關(guān)系是__________；（2）類比探究：當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）問(wèn)題解決在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，請(qǐng)直接寫(xiě)出的面積的最大值與最小值．10．（2022?萊蕪區(qū)一模）在△ACB中，∠ACB＝120°，AC＝BC，點(diǎn)P在AB邊上，AP＝AB，將線段AP繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至PD，記旋轉(zhuǎn)角為a，連接BD，以BD為底邊，在線段BD的上方找一點(diǎn)E，使∠BED＝120°，ED＝EB，連接AD、CE．（1）如圖1，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角a＝180°時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段CE與線段AD的數(shù)量關(guān)系；（2）當(dāng)0＜a＜180°時(shí)，①如圖2，（1）中線段CE與線段AD的數(shù)量關(guān)系是否還成立？并說(shuō)明理由．②如圖3，當(dāng)點(diǎn)A、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，連接CD，判斷四邊形CDBE的形狀，并說(shuō)明理由．11．（2022·江蘇·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）觀察猜想(1)如圖1，在等邊中，點(diǎn)M是邊上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連接，以為邊作等邊，連接，則與的數(shù)量關(guān)系是______．(2)類比探究：如圖2，在等邊中，點(diǎn)M是延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)C），（1）中其它條件不變，（1）中結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)拓展延伸：如圖3，在等腰中，，點(diǎn)M是邊上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連接，以為邊作等腰，使頂角．連按．試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．12、（2023.湖北.九年級(jí)期末）如圖1，在中，，，，點(diǎn)D，E分別為，的中點(diǎn)．繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為（，記直線與直線的交點(diǎn)為點(diǎn)P．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，與的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)________，與的位置關(guān)系為_(kāi)______；（2）當(dāng)時(shí)，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)僅就圖2的情形進(jìn)行證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，請(qǐng)直接寫(xiě)出運(yùn)動(dòng)過(guò)程中P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度和P點(diǎn)到直線距離的最大值．13、（2023.廣東.九年級(jí)期末）嘗試：如圖①，中，將繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度得到，點(diǎn)B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為、，連接、，直接寫(xiě)出圖中的一對(duì)相似三角形_______；拓展：如圖②，在中，，，將繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度得到，點(diǎn)B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為、，連接、，若，求的長(zhǎng)；應(yīng)用：如圖③，在中，，，，將繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在的邊所在的直線上時(shí)，直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)．14、（2023.浙江.九年級(jí)期中）問(wèn)題背景：如圖（1），已知，求證：；嘗試應(yīng)用：如圖（2），在和中，，，與相交于點(diǎn)．點(diǎn)在邊上，，求的值；拓展創(chuàng)新：如圖（3），是內(nèi)一點(diǎn)，，，，，直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．15、（2023.山東.九年級(jí)期末）如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形，C，F(xiàn)，G三點(diǎn)在一直線上，連接AF并延長(zhǎng)交邊CD于點(diǎn)M．（1）求證：△MFC∽△MCA；（2）求證△ACF∽△ABE；（3）若DM=1，CM=2，求正方形AEFG的邊長(zhǎng)．16．（2022?南山區(qū)校級(jí)一模）（1）【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】如圖①，正方形AEFG的兩邊分別在正方形ABCD的邊AB和AD上，連接CF．填空：①線段CF與DG的數(shù)量關(guān)系為；②直線CF與DG所夾銳角的度數(shù)為．（2）【拓展探究】如圖②，將正方形AEFG繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，（1）中的結(jié)論是否仍然成立，請(qǐng)利用圖②進(jìn)行說(shuō)明．（3）【解決問(wèn)題】如圖③，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝10，O為AC的中點(diǎn)．若點(diǎn)D在直線BC上運(yùn)動(dòng)，連接OE，則在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段OE長(zhǎng)的最小值為（直接寫(xiě)出結(jié)果）．17、（2023.重慶.九年級(jí)期末）某校數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在一次活動(dòng)中，對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題作如下探究：（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在等邊中，點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)，連接，以為邊作等邊，連接CQ，BP與CQ的數(shù)量關(guān)系是________；（2）變式探究：如圖2，在等腰中，，點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)，以為腰作等腰，使，，連接，判斷和的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）解決問(wèn)題：如圖3，在正方形中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，以為邊作正方形，是正方形的中心，連接．若正方形的邊長(zhǎng)為5，，求正方形的邊長(zhǎng)．18．（2023秋·山東濟(jì)南·九年級(jí)校考階段練習(xí)）在中，，，點(diǎn)在邊上，，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，記旋轉(zhuǎn)角為，連接，，以為斜邊在其一側(cè)作等腰直角三角形，連接．

(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段與線段的數(shù)量關(guān)系．(2)當(dāng)時(shí)．①如圖2，（1）中線段與線段的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立，并說(shuō)明理由．②如圖3，當(dāng)B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，連接，判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由．

專題03相似三角形重要模型-手拉手模型相似三角形是初中幾何中的重要的內(nèi)容，常常與其它知識(shí)點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，是中考的?？碱}型。手拉手模型相似是手拉手模型當(dāng)中相對(duì)于手拉手全等模型較難的一種模型，在實(shí)際的應(yīng)用和解題當(dāng)中出現(xiàn)時(shí)，對(duì)于同學(xué)們來(lái)說(shuō)，都比較困難。而深入理解模型內(nèi)涵，靈活運(yùn)用相關(guān)結(jié)論可以顯著提高解題效率，本專題重點(diǎn)講解相似三角形的“手拉手”模型（旋轉(zhuǎn)模型）。手拉手相似證明題一般思路方法:①由線段乘積相等轉(zhuǎn)化成線段比例式相等；②分子和分子組成一個(gè)三角形、分母和分母組成一個(gè)三角形；③第②步成立，直接從證這兩個(gè)三角形相似，逆向證明到線段乘積相等；④第②步不成立，則選擇替換掉線段比例式中的個(gè)別線段，之后再重復(fù)第③步。模型1.“手拉手”模型(旋轉(zhuǎn)模型)【模型解讀與圖示】“手拉手”旋轉(zhuǎn)型定義：如果將一個(gè)三角形繞著它的項(xiàng)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)并放大或縮小(這個(gè)頂點(diǎn)不變)，我們稱這樣的圖形變換為旋轉(zhuǎn)相似變換，這個(gè)頂點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)相似中心，所得的三角形稱為原三角形的旋轉(zhuǎn)相似三角形。1）手拉手相似模型（任意三角形）條件:如圖，∠BAC=∠DAE=，；結(jié)論：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；.2）手拉手相似模型（直角三角形）條件:如圖，，（即△COD∽△AOB）；結(jié)論：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，.3）手拉手相似模型（等邊三角形與等腰直角三角形）條件:M為等邊三角形ABC和DEF的中點(diǎn)；結(jié)論：△BME∽△CMF；.條件:△ABC和ADE是等腰直角三角形；結(jié)論：△ABD∽△ACE.例1．（2023春·貴州銅仁·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，，D、E分別時(shí)、邊上的點(diǎn)，．將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)．（一）發(fā)現(xiàn)問(wèn)題（1）如圖①，、、滿足的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_______；（二）探究問(wèn)題（2）如圖②，，相交于點(diǎn)M，連接，求證：平分；（三）拓展應(yīng)用（3）如圖③，在四邊形中，，，，求的度數(shù)．

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）根據(jù)，，等量代換可得結(jié)果；（2）首先證明，推出，證明，得到，，過(guò)點(diǎn)A作于，于，根據(jù)三角形面積公式，得到，再利用角平分線的判定定理即可證明；（3）延長(zhǎng)至，使得，連接，證明，得到，，從而證明是等邊三角形，便可得．【詳解】解：（1）在與中，，，，故答案為：；（2）在原圖中，∵，∴，∴，又，∴，，，，∴，，∴，∴，∴平分；

（3）如圖，延長(zhǎng)至，使得，連接，

，，，，，，，，，，，即是等邊三角形，，．【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的判定，構(gòu)造全等三角形是解本題的關(guān)鍵．例2．（2023春·廣東梅州·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖（1），等腰三角形中，，．點(diǎn)，分別在，上，．

(1)操作發(fā)現(xiàn)：將圖（1）中的繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，交于點(diǎn)，如圖（2）．發(fā)現(xiàn)：．請(qǐng)證明這個(gè)結(jié)論．(2)實(shí)踐探究：將圖（1）中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（），當(dāng)，，三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，連接，如圖（3）．請(qǐng)解答以下問(wèn)題：①求證：；②探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①見(jiàn)解析；②，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得，推得，根據(jù)等邊對(duì)等角可得，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)可得，即可證明；（2）①根據(jù)平行線分線段成比例定理可得，推得，，根據(jù)全等三角形的判定即可證明；②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)可得，推得，即可求解．【詳解】（1）解：在圖（1）中，∵，∴；在圖（2）中，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（2）解：①在圖（1）中，∵，∴，∵，∴，∵，∴在圖（3）中，，∴，在和中，，∴；②，理由：∵，∴，∵，∴在圖（1）中，，∴，即，∵，，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，等邊對(duì)等角，平行線分線段成比例定理，熟練掌握等腰三角形共點(diǎn)旋轉(zhuǎn)模型是解本題的關(guān)鍵，例3．（2022·四川達(dá)州·中考真題）某校一數(shù)學(xué)興趣小組在一次合作探究活動(dòng)中，將兩塊大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如圖1的方式擺放，，隨后保持不動(dòng)，將繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（），連接，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，連接．該數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行如下探究，請(qǐng)你幫忙解答：(1)【初步探究】如圖2，當(dāng)時(shí)，則_____；(2)【初步探究】如圖3，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)重合時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出，，之間的數(shù)量關(guān)系：_________；(3)【深入探究】如圖4，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)不重合時(shí)，（2）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出推理過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．(4)【拓展延伸】如圖5，在與中，，若，（m為常數(shù)）．保持不動(dòng)，將繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（），連接，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，連接，如圖6．試探究，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)仍然成立，理由見(jiàn)解析(4)【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得，根據(jù)題意可得，根據(jù)等原三角形的性質(zhì)可得平分，即可得，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知；（2）證明，可得，根據(jù)等腰直角三角形可得，由，即可即可得出；（3）同（2）可得，過(guò)點(diǎn)，作，交于點(diǎn)，證明，，可得，即可得出；（4）過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，證明，可得，，在中，勾股定理可得，即可得出．(1)等腰直角三角形和等腰直角三角形，，故答案為：(2)在與中，又重合，故答案為：(3)同（2）可得，過(guò)點(diǎn)，作，交于點(diǎn)，則，，在與中，，，，是等腰直角三角形，，，，，在與中，，，，，即，(4)過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，中，，，即．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．例4．（2021·四川樂(lè)山·中考真題）在等腰中，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），連結(jié)．（1）如圖1，若，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，結(jié)，，則________；（2）若，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連結(jié)．①在圖2中補(bǔ)全圖形；②探究與的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）如圖3，若，且，試探究、、之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）30°；（2）①見(jiàn)解析；②；見(jiàn)解析；（3），見(jiàn)解析【分析】（1）先根據(jù)題意得出△ABC是等邊三角形，再利用三角形的外角計(jì)算即可（2）①按要求補(bǔ)全圖即可②先根據(jù)已知條件證明△ABC是等邊三角形，再證明，即可得出（3）先證明，再證明，得出，從而證明，得出，從而證明【詳解】解：（1）∵，∴△ABC是等邊三角形∴∠B=60°∵點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)∴AB⊥DE，∴故答案為：；（2）①補(bǔ)全圖如圖2所示；②與的數(shù)量關(guān)系為：；證明：∵，．∴為正三角形，又∵繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，∴，，∵，，∴，∴，∴．（3）連接．∵，，∴．∴．又∵，∴，∴．∵，∴，∴，∴，∴，．∵，∴．又∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的證明及性質(zhì)、全等三角形的證明及性質(zhì)、三角形的外角、軸對(duì)稱，熟練進(jìn)行角的轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵，相似三角形的證明是重點(diǎn)例5．（2023·四川·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，已知線段，，線段繞點(diǎn)在直線上方旋轉(zhuǎn)，連接，以為邊在上方作，且．

(1)若，以為邊在上方作，且，，連接，用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系是；(2)如圖2，在(1)的條件下，若，，，求的長(zhǎng)；(3)如圖3，若，，，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求此時(shí)的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）在中，，，且，，可得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，，進(jìn)而證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，如圖所示，在中，求得，進(jìn)而求得的長(zhǎng)，根據(jù)（1）的結(jié)論，得出，在中，勾股定理求得，進(jìn)而根據(jù)，即可求解．（3）如圖所示，以為邊在上方作，且，，連接，，，同（1）可得，進(jìn)而得出在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最大，進(jìn)而求得，，根據(jù)得出，過(guò)點(diǎn)作，于點(diǎn)，分別求得,然后求得，最后根據(jù)正切的定義即可求解．【詳解】（1）解：在中，，，且，，∴，，∴，，∴∴∴，故答案為：．（2）∵，且，，∴，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，如圖所示，

∵，∴，∴在中，，，∴，由（1）可得，∴，∴，在中，，∵，∴，∴，∴；（3）解：如圖所示，以為邊在上方作，且，，連接，，，

同（1）可得則，∵，則，在中，，，∴在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最大，此時(shí)如圖所示，則，

在中，∴,，∵，∴，過(guò)點(diǎn)作，于點(diǎn)，∴，，∵，∴，∴，中，．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，解直角三角形，正切的定義，求圓外一點(diǎn)到圓的距離的最值問(wèn)題，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．例6.（2023·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）一次小組合作探究課上，老師將兩個(gè)正方形按如圖所示的位置擺放（點(diǎn)E、A、D在同一條直線上），發(fā)現(xiàn)且．小組討論后，提出了下列三個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你幫助解答：（1）將正方形繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（如圖1），還能得到嗎？若能，請(qǐng)給出證明，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）把背景中的正方形分別改成菱形和菱形，將菱形繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（如圖2），試問(wèn)當(dāng)與的大小滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，；（3）把背景中的正方形分別改寫(xiě)成矩形和矩形，且，，（如圖3），連接，．試求的值（用a，b表示）．【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得出，，，，得出，則可證明，從而可得出結(jié)論；（2）由菱形的性質(zhì)得出，，則可證明，由全等三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論；（3）設(shè)與交于Q，與交于點(diǎn)P，證明，得出，得出，連接，，由勾股定理可求出答案．【詳解】（1）∵四邊形為正方形，∴，，又∵四邊形為正方形，∴，，∴∴，在△AEB和△AGD中，，∴，∴；（2）當(dāng)時(shí)，，理由如下：∵，∴∴，又∵四邊形和四邊形均為菱形，∴，，在△AEB和△AGD中，，∴，∴；（3）設(shè)與交于Q，與交于點(diǎn)P，由題意知，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，連接，，∴，∵，，，∴，，在Rt△EAG中，由勾股定理得：，同理，∴．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形、菱形、正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握特殊平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由(3)可得結(jié)論：當(dāng)四邊形的對(duì)角線相互垂直時(shí)，四邊形兩組對(duì)邊的平方和相等．例7．（2023春·廣東·九年級(jí)專題練習(xí)）已知在ABC中，O為BC邊的中點(diǎn)，連接AO，將AOC繞點(diǎn)O順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角為鈍角），得到EOF，連接AE，CF．（1）如圖1，當(dāng)∠BAC＝90°且AB＝AC時(shí)，則AE與CF滿足的數(shù)量關(guān)系是；（2）如圖2，當(dāng)∠BAC＝90°且AB≠AC時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖3，延長(zhǎng)AO到點(diǎn)D，使OD＝OA，連接DE，當(dāng)AO＝CF＝5，BC＝6時(shí)，求DE的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）成立，證明見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）結(jié)論．證明，可得結(jié)論．（2）結(jié)論成立．證明方法類似（1）．（3）首先證明，再利用相似三角形的性質(zhì)求出，利用勾股定理求出即可．【詳解】解：（1）結(jié)論：．理由：如圖1中，，，，，，，，，，，．（2）結(jié)論成立．理由：如圖2中，，，，，，，，，．（3）如圖3中，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，，，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1、（2023.重慶.九年級(jí)月考）如圖，AB＝3，AC＝2，BC＝4，AE＝3，AD＝4.5，DE＝6，∠BAD＝20°，則∠CAE的度數(shù)為（）A．10° B．20° C．40° D．無(wú)法確定【答案】B【解答】ACAE=23，ABAD=∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠CAE＝∠BAD＝20°，故選：B．2、（2023.廣東.九年級(jí)期中）如圖，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB與DE交于點(diǎn)O，AB＝4，AC＝3，F(xiàn)是DE的中點(diǎn)，連接BD，BF，若點(diǎn)E是射線CB上的動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論：①△AOD∽△FOB，②△BOD∽△EOA，③∠FDB+∠FBE＝90°，④BF=56AEA．①② B．③④ C．②③ D．②③④【解答】∵△ABC∽△ADE，∴∠ADO＝∠OBE，∵∠AOD＝∠BOE，∴△AOD∽△EOB，∴ODOB=∴ODOA=OBOE，∵∠BOD＝∠AOE，∴△BOD∽△EOA∵△AOD∽△EOB，△BOD∽△EOA，∴∠ADO＝∠EBO，∠AEO＝∠DBO，∵∠ADO+∠AEO＝90°，∴∠DBE＝∠DBO+∠EBO＝90°，∵DF＝EF，∴FD＝FB＝FE，∴∠FDB＝∠FBD，∴∠FDB+∠FBE＝∠FBD+∠FBE＝90°，故③正確，在Rt△ABC中，∵AB＝4，AC＝3，∴BC=32+42=5，∵△ABC∵BF=12DE，∴2BFAE=53，∴BF∵∠ADO＝∠OBE，∴∠ADO≠∠OBF，∴無(wú)法判斷△AOD∽△FOB，故①錯(cuò)誤．故選：D．3、（2023.江蘇.九年級(jí)期末）如圖，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝，D、E分別在邊AC、BC上，CD＝1，DE∥AB，將△CDE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)D、E對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為D′、E′，當(dāng)點(diǎn)E′落在線段AD′上時(shí)，連接BE′，此時(shí)BE′的長(zhǎng)為（）A．2 B．3 C．2 D．3【分析】如圖，作CH⊥BE′于H，設(shè)AC交BE′于O．首先證明∠CE′B＝∠D′＝60°，解直角三角形求出HE′，BH即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖，作CH⊥BE′于H，設(shè)AC交BE′于O．∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠CAB＝60°，∵DE∥AB，∴＝，∠CDE＝∠CAB＝∠D′＝60°∴＝，∵∠ACB＝∠D′CE′，∴∠ACD′＝∠BCE′，∴△ACD′∽△BCE′，∴∠D′＝∠CE′B＝∠CAB，在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，AC＝，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝2，BC＝AC＝，∵DE∥AB，∴＝，∴＝，∴CE＝，∵∠CHE′＝90°，∠CE′H＝∠CAB＝60°，CE′＝CE＝∴E′H＝CE′＝，CH＝HE′＝，∴BH＝＝＝∴BE′＝HE′+BH＝3，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的綜合應(yīng)用題，涉及了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、平行線分線段成比例、相似三角形的性質(zhì)與判定等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用上述知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理求導(dǎo)．4、（2023.綿陽(yáng)市.九年級(jí)期末）已知正方形DEFG的頂點(diǎn)F在正方形ABCD的一邊AD的延長(zhǎng)線上，連結(jié)AG，CE交于點(diǎn)H，若，，則CH的長(zhǎng)為_(kāi)_______.【分析】連接EG，與DF交于N，設(shè)CD和AH交于M，證明△ANG∽ADM，得到，從而求出DM的長(zhǎng)，再通過(guò)勾股定理算出AM的長(zhǎng)，通過(guò)證明△ADG≌△CDE得到∠DAG=∠DCE，從而說(shuō)明△ADM∽△CHM，得到，最后算出CH的長(zhǎng).【詳解】解：連接EG，與DF交于N，設(shè)CD和AH交于M，∴∠GNA=90°，DN=FN=EN=GN，∵∠MAD=∠GAN，∠MDA=∠GNA=90°，∴△ANG∽ADM，∴，∵，∴DF=EG=2,∴DN=NG=1，∵AD=AB=3，∴，解得：DM=，∴MC=，AM=，∵∠ADM+∠MDG=∠EDG+∠CDG，∴∠ADG=∠EDC，在△ADG和△CDE中，，∴△ADG≌△CDE（SAS），∴∠DAG=∠DCE，∵∠AMD=∠CMH，∴∠ADM=∠CHM=90°，∴△ADM∽△CHM，∴，即，解得：CH=.【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，綜合性較強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是找到合適的全等三角形和相似三角形，通過(guò)其性質(zhì)計(jì)算出CH的長(zhǎng).5．（2022·浙江·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）觀察猜想(1)如圖1，在等邊中，點(diǎn)M是邊上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連接，以為邊作等邊，連接，則與的數(shù)量關(guān)系是______．(2)類比探究：如圖2，在等邊中，點(diǎn)M是延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)C），（1）中其它條件不變，（1）中結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)拓展延伸：如圖3，在等腰中，，點(diǎn)M是邊上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連接，以為邊作等腰，使頂角．連按．試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)成立(3)【分析】（1）利用可證明，繼而得出結(jié)論；（2）也可以通過(guò)證明，得出結(jié)論，和（1）的思路完全一樣．（3）首先得出，從而判定，得到，根據(jù)，，得到，從而判定，得出結(jié)論．（1）證明：、是等邊三角形，，，，，在和中，，，．（2）解：結(jié)論仍成立；理由如下：、是等邊三角形，，，，，在和中，，，．（3）解：；理由如下：，，∴，又∵，，∴，，又，，，，．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形，找到全等（相似）的條件，利用全等（相似）的性質(zhì)證明結(jié)論．6．（2022湖北·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，為等邊三角形，D為AC邊上一點(diǎn)，連接BD，M為BD的中點(diǎn)，連接AM．(1)如圖1，若AB＝2+2，∠ABD＝45°，求的面積；(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)M作與AC交于點(diǎn)E，與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N，求證：AD＝CN；(3)如圖3，在（2）的條件下，將沿AM翻折得，連接B'N，當(dāng)B'N取得最小值時(shí)，直接寫(xiě)出的值．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析；(3)【分析】（1）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB，根據(jù)∠ABD＝45°，∠BAC＝60°解三角形求出，可得再結(jié)合三角形中學(xué)性質(zhì)即可解得；（2）過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC，垂足為G，連接MG，又中位線性質(zhì)和，得，再通過(guò)四點(diǎn)共圓證明，進(jìn)而可得，從而可證明為等邊三角形，延長(zhǎng)AM到P，使MP=AM，連接PN，構(gòu)造，得AD=BP，繼而證明（SAS），從而可得，由此即可得出結(jié)論；（3）取AC的中點(diǎn)Q，連接BQ，取BQ的中點(diǎn)K，連接KM，通過(guò)構(gòu)造，得出即D為AC的中點(diǎn)時(shí)，取最小值，再結(jié)合題目條件解三角形即可求解．(1)解：如解圖1，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB，∵∠ABD＝45°，∴，∵在△ABC為等邊三角形中，∠BAC＝60°，∴，∴，∴，

又∵AB＝2+2，∴，∴，∴，∴，∵M(jìn)為BD的中點(diǎn)，∴；(2)如解圖2，過(guò)點(diǎn)A作，垂足為G，連接MG，∵△ABC為等邊三角形，∴BG=GC，∵BM=DM，∴，∴，∴，又∵，，∴，∴A、M、G、N四點(diǎn)共圓，∴，∴，又∵M(jìn)P=AM，，∴，又∵，∴為等邊三角形，，∵，∴，∴，如解圖2，延長(zhǎng)AM到P，使MP=AM，連接PN，∵BM=DM，，∴（SAS）∴AD=BP，在和中，，∴（SAS）∴，∴；(3)取AC的中點(diǎn)Q，連接BQ，取BQ的中點(diǎn)K，連接KM，∵將△ABM沿AM翻折得△AB'M，∴，，又∵，∴，∴，即：，又∵，，∴，∴，∴，又∵BM=MD，BK=KQ，∴，又∵AB=BC，∴，∴，∴，當(dāng)M點(diǎn)與K點(diǎn)重合時(shí)，取最小值，此時(shí)取最小值，∴D點(diǎn)與Q點(diǎn)重合，即D為AC的中點(diǎn)時(shí)，取最小值，如解圖3-2；設(shè)AD=a，∵是等邊三角形，D點(diǎn)是AC的中點(diǎn)，∴，∴，，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∵，∴

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形綜合，涉及了等邊三角形、全等三角形、相似三角形的性質(zhì)和判定以及解三角形等知識(shí)點(diǎn)，難度大，綜合性強(qiáng)，需要平時(shí)積累和訓(xùn)練．解題關(guān)鍵是根據(jù)題目的已知條件添加輔助線構(gòu)造適當(dāng)?shù)娜切无D(zhuǎn)化線段和角的關(guān)系．7．（2023·廣西·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）某校數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在一次活動(dòng)中，對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題作如下探究：（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在等邊中，點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)，連接，以為邊作等邊，連接CQ，BP與CQ的數(shù)量關(guān)系是________；（2）變式探究：如圖2，在等腰中，，點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)，以為腰作等腰，使，，連接，判斷和的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）解決問(wèn)題：如圖3，在正方形中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，以為邊作正方形，是正方形的中心，連接．若正方形的邊長(zhǎng)為5，，求正方形的邊長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）；理由見(jiàn)解析；（3）4．【分析】（1）利用定理證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答；（2）先證明，得到，再證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可；（3）連接、，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程得到答案．【詳解】解：（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：∵和都是等邊三角形，∴A，，，∴，在和中，，∴，∴，故答案為：；（2）變式探究：，理由如下：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（3）解決問(wèn)題：連接、，如圖所示:∵四邊形是正方形，∴，，∵是正方形的中心，∴，，∴，即，∵，∴，∴，∵，∴，設(shè)，則，在中，，即，解得，（舍去），，∴正方形的邊長(zhǎng)為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)、三角形相似的判定和性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理、正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2022·河南開(kāi)封·九年級(jí)期末）某數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)習(xí)了尺規(guī)作圖、等腰三角形和相似三角形的有關(guān)知識(shí)后，在等腰△ABC中，其中，如圖1，進(jìn)行了如下操作：第一步，以點(diǎn)A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交BA的延長(zhǎng)線和AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，如圖2；第二步，分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，大于EF的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)D，作射線AD；第三步，以D為圓心，DA的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交射線AE于點(diǎn)G；(1)填空；寫(xiě)出∠CAD與∠GAD的大小關(guān)系為_(kāi)__；(2)①請(qǐng)判斷AD與BC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．②當(dāng)時(shí)，連接DG，請(qǐng)直接寫(xiě)出___；(3)如圖3，根據(jù)以上條件，點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M為射線AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PM，PC，當(dāng)時(shí)，求AM的長(zhǎng)．【答案】(1)∠CAD=∠GAD；(2)①AD∥BC；②3(3)9【分析】（1）根據(jù)題目的尺規(guī)作圖發(fā)現(xiàn)AD平分∠CAG即可得到∠CAD=∠GAD；（2）①由AD平分∠CAG再結(jié)合等腰三角形ABC的外角可得AD平行BC；②易證，可得（3）以M為圓心，MA的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交射線BA于點(diǎn)N，由（2）可得，即可用一線三等角模型構(gòu)造相似解題．(1)由尺規(guī)作圖步驟發(fā)現(xiàn)AD平分∠CAG∴∠CAD=∠GAD；(2)①∵∴∵∠CAD=∠GAD,∴∴AD∥BC②∵∴∵∴∴∴∵∴(3)以M為圓心，MA的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交射線BA于點(diǎn)N，如圖由（1）（2）可得,設(shè)則∵點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)∴∵∴∴∴∴∴，解得∴．【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖中的作角平分線以及相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能根據(jù)尺規(guī)作圖的步驟判斷是作角平分線．9．（2022·山東濟(jì)南·一模）在中與中，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，連接．（1）觀察猜想：如圖1，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，與的數(shù)量關(guān)系是__________，位置關(guān)系是__________；（2）類比探究：當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）問(wèn)題解決在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，請(qǐng)直接寫(xiě)出的面積的最大值與最小值．【答案】（1）CG=CF，CF⊥CG；（2）成立，CG=CF，CF⊥CG；（3）△CFG的面積最大值，最小值．【分析】（1）觀察猜想：由直角三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半再結(jié)合30°直角三角形三邊比即可證明；（2）類比探究：先證明△BCD∽△ACE，再證明△ACG∽△BCF，可得結(jié)論；（3）問(wèn)題解決：延長(zhǎng)BC至H，使BC=CH=1，連接DG，由三角形中位線定理結(jié)合三角形面積公式可求△CFG的面積=，求出DH最小值即可．【詳解】（1）觀察猜想∵在Rt△ABC中與Rt△DCE中，∠ACB=∠DCE=90°，∠BAC=∠DEC=30°，AC=DC=，∴AE=2DC=2，AC=BC=，AB=2BC，∠CDE=60°，∴BC=1，AB=2，∵點(diǎn)F，G分別是BD，AE的中點(diǎn)，∴CG=AE=，CG=AG，CF=AB=1，CF=AF，∴CG=CF，∠GDC=∠GCD=60°，∠ACF=∠FAC=30°，∴∠FCG=90°，∴CF⊥CG，故答案為：CG=CF，CF⊥CG；（2）類比探究仍然成立，理由如下：∵∠ACB=∠DCE=90°，∠BAC=∠DEC=30°，AC=DC=，∴∠BCD=∠ACE，AC=BC，CE=CD，∴，∴△BCD∽△ACE，∴，∠CAE=∠CBD，∵點(diǎn)F，G分別是BD，AE的中點(diǎn)，∴BF=BD，AG=AE，∴∴△ACG∽△BCF，∴，∠BCF=∠ACG，∴CG=CF，∠ACB=∠FCG=90°，∴CF⊥CG；（3）問(wèn)題解決：如圖，延長(zhǎng)BC至H，使BC=CH=1，連接DH，∵點(diǎn)F是BD中點(diǎn)，BC=CH=1∴CF=DH，由（2）可知，CF⊥CG，∴△CFG的面積=×CF×CG=CF2，∴△CFG的面積=，∴當(dāng)DH取最大值時(shí)，△CFG的面積有最大值，當(dāng)DH取最小值時(shí)，△CFG的面積有最小值，∵CD=，∴點(diǎn)D在以點(diǎn)C為圓心，為半徑的圓上，∴當(dāng)點(diǎn)D在射線HC的延長(zhǎng)線上時(shí)，DH有最大值為+1，∴△CFG的面積最大值=，∴當(dāng)點(diǎn)D在射線CH長(zhǎng)線上時(shí)，DH有最小-1，∴△CFG的面積最小值=．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了直角三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形面積公式，證明△ACG∽△BCF是本題的關(guān)鍵．10．（2022?萊蕪區(qū)一模）在△ACB中，∠ACB＝120°，AC＝BC，點(diǎn)P在AB邊上，AP＝AB，將線段AP繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至PD，記旋轉(zhuǎn)角為a，連接BD，以BD為底邊，在線段BD的上方找一點(diǎn)E，使∠BED＝120°，ED＝EB，連接AD、CE．（1）如圖1，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角a＝180°時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段CE與線段AD的數(shù)量關(guān)系；（2）當(dāng)0＜a＜180°時(shí)，①如圖2，（1）中線段CE與線段AD的數(shù)量關(guān)系是否還成立？并說(shuō)明理由．②如圖3，當(dāng)點(diǎn)A、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，連接CD，判斷四邊形CDBE的形狀，并說(shuō)明理由．【分析】（1）作EH⊥AB于H，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)得BD＝BE，再利用平行線分線段成比例定理可得答案；（2）利用△ABD∽△CBE，可得；（3）設(shè)AE與BC交于F，作PQ⊥AD于Q，BH⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于H，與（2）知，△ABD∽△CBE，得∠BAD＝∠BCE，可證明CE∥BD，設(shè)EH＝x，則BE＝2x，BH＝x，DE＝BE＝2x，BD＝2x，再利用平行線分線段成比例可得AD＝6x，從而證明CE＝BD，進(jìn)而解決問(wèn)題．【解答】解：（1）AD＝CE，理由如下：∵∠BED＝∠ACB＝120°，∴DE∥AC，∴，∴，作EH⊥AB于H，∵BE＝DE，∠BED＝120°，∴∠B＝30°，BD＝2BH，∴，∴BD＝BE，∴，∴AD＝CE；（2）仍然成立，∵∠ABC＝∠DBE＝30°，∴∠ABD＝∠CBE，由（1）知，，∴△ABD∽△CBE，∴，∴AD＝CE；（3）四邊形CDBE是平行四邊形，理由如下：設(shè)AE與BC交于F，作PQ⊥AD于Q，BH⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于H，與（2）知，△ABD∽△CBE，∴∠BAD＝∠BCE，∴∠CEF＝∠ABC＝30°，∵∠BDE＝30°，∴∠BDE＝∠CED，∴CE∥BD，∵∠BED＝120°，∴∠BEH＝60°，設(shè)EH＝x，則BE＝2x，BH＝x，∴DE＝BE＝2x，BD＝2x，∵AP＝PD，PQ⊥AD，∴AQ＝DQ，∵AP＝AB，PQ∥BH，∴AQ＝QH，∴AQ＝DQ＝DH＝3x，∴AD＝6x，由（2）知，AD＝CE，∴CE＝2x，∴CE＝BD，∴四邊形CDBE是平行四邊形．【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題，主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定等知識(shí)，證明CE＝BD是解決問(wèn)題（3）的關(guān)鍵．11．（2022·江蘇·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）觀察猜想(1)如圖1，在等邊中，點(diǎn)M是邊上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連接，以為邊作等邊，連接，則與的數(shù)量關(guān)系是______．(2)類比探究：如圖2，在等邊中，點(diǎn)M是延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)C），（1）中其它條件不變，（1）中結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)拓展延伸：如圖3，在等腰中，，點(diǎn)M是邊上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連接，以為邊作等腰，使頂角．連按．試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)成立(3)【分析】（1）利用可證明，繼而得出結(jié)論；（2）也可以通過(guò)證明，得出結(jié)論，和（1）的思路完全一樣．（3）首先得出，從而判定，得到，根據(jù)，，得到，從而判定，得出結(jié)論．（1）證明：、是等邊三角形，，，，，在和中，，，．（2）解：結(jié)論仍成立；理由如下：、是等邊三角形，，，，，在和中，，，．（3）解：；理由如下：，，∴，又∵，，∴，，又，，，，．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形，找到全等（相似）的條件，利用全等（相似）的性質(zhì)證明結(jié)論．12、（2023.湖北.九年級(jí)期末）如圖1，在中，，，，點(diǎn)D，E分別為，的中點(diǎn)．繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為（，記直線與直線的交點(diǎn)為點(diǎn)P．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，與的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)________，與的位置關(guān)系為_(kāi)______；（2）當(dāng)時(shí)，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)僅就圖2的情形進(jìn)行證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，請(qǐng)直接寫(xiě)出運(yùn)動(dòng)過(guò)程中P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度和P點(diǎn)到直線距離的最大值．【分析】（1）分別求出AD，BE的長(zhǎng)，即可求解；

（2）通過(guò)證明△BCE∽△ACD，可得，∠CBO=∠CAD，可得結(jié)論；

（3）利用銳角三角函數(shù)可求∠EBC=30°，由弧長(zhǎng)公式可求P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度，由直角三角形的性質(zhì)可求P點(diǎn)到直線BC距離的最大值．【詳解】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，

∴AC=BC=，AB=2BC=2，AD⊥BE，∵點(diǎn)D，E分別為AC，BC的中點(diǎn)，

∴AD=CD=AC=，BE=EC=BC=，∴AD=BE，故答案為：AD=BE，AD⊥BE；

（2）結(jié)論仍然成立，

理由如下：∵AC=，BC=1，CD=，EC=，

∴，，∴，

∵△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，∴∠BCE=∠ACD，∴△BCE∽△ACD，

∴，∠CBO=∠CAD，∴AD=BE，

∵∠CBO+∠BOC=90°，∴∠CAD+∠AOP=90°，∴∠APO=90°，∴BE⊥AD；

（3）∵∠APB=90°，∴點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，

如圖3，取AB的中點(diǎn)G，作⊙G，以點(diǎn)C為圓心，CE為半徑作⊙C，當(dāng)BE是⊙C切線時(shí)，點(diǎn)P到BC的距離最大，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于H，連接GP，

∵BE是⊙C切線，∴CE⊥BE，∵sin∠EBC=，∴∠EBC=30°，∴∠GBP=30°，

∵GB=GP，∴∠GBP=∠GPB=30°，∴∠BGP=120°，

∵點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡為點(diǎn)C→點(diǎn)P→點(diǎn)C→點(diǎn)B→點(diǎn)C，∴P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度=，

∵∠ABP=30°，BP⊥AP，∴AP=AB=1，BP=AP=，

∵∠CBP=30°，PH⊥BH，∴PH=BP=．∴P點(diǎn)到直線BC距離的最大值．【點(diǎn)撥】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，確定點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是本題的關(guān)鍵．13、（2023.廣東.九年級(jí)期末）嘗試：如圖①，中，將繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度得到，點(diǎn)B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為、，連接、，直接寫(xiě)出圖中的一對(duì)相似三角形_______；拓展：如圖②，在中，，，將繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度得到，點(diǎn)B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為、，連接、，若，求的長(zhǎng)；應(yīng)用：如圖③，在中，，，，將繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在的邊所在的直線上時(shí)，直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)．【詳解】嘗試：；【解法提示】∵，∴，，，∴，，∴.拓展：∵在中，，，∴，∴，易得，∴.又∵，∴.應(yīng)用：或或或或.【解法提示】在中，，，∴，，當(dāng)點(diǎn)落在所在直線上時(shí)，有兩種情況：①若點(diǎn)在延長(zhǎng)線上時(shí)，如解圖①，，∴?。虎谌酎c(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，如解圖②，此時(shí)點(diǎn)，，三點(diǎn)共線，∴旋轉(zhuǎn)角，∴弧；當(dāng)點(diǎn)落在邊所在直線上時(shí)，如解圖③，，∴?。划?dāng)點(diǎn)落在邊所在直線上時(shí)，如解圖④，此時(shí)點(diǎn)，，三點(diǎn)共線，旋轉(zhuǎn)角為，∴弧.當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，∴弧.∴當(dāng)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在的邊所在直線上時(shí)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為或或或或.圖①圖②圖③圖④14、（2023.浙江.九年級(jí)期中）問(wèn)題背景：如圖（1），已知，求證：；嘗試應(yīng)用：如圖（2），在和中，，，與相交于點(diǎn)．點(diǎn)在邊上，，求的值；拓展創(chuàng)新：如圖（3），是內(nèi)一點(diǎn)，，，，，直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．【分析】問(wèn)題背景：通過(guò)得到，，再找到相等的角，從而可證；嘗試應(yīng)用：連接CE，通過(guò)可以證得，得到，然后去證，，通過(guò)對(duì)應(yīng)邊成比例即可得到答案；拓展創(chuàng)新：在AD的右側(cè)作∠DAE=∠BAC，AE交BD延長(zhǎng)線于E，連接CE，通過(guò)，，然后利用對(duì)應(yīng)邊成比例即可得到答案．【詳解】問(wèn)題背景：∵，∴∠BAC=∠DAE，，∴∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∴；嘗試應(yīng)用：連接CE，∵，，∴，∴，∵∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∴，∴，由于，，∴，即，∵，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴，即，又∵∴，∴；拓展創(chuàng)新：如圖，在AD的右側(cè)作∠DAE=∠BAC，AE交BD延長(zhǎng)線于E，連接CE，∵∠ADE=∠BAD+∠ABD，∠ABC=∠ABD+∠CBD，，∴∠ADE=∠ABC，又∵∠DAE=∠BAC，∴，∴，又∵∠DAE=∠BAC，∴∠BAD=∠CAE，∴，∴，設(shè)CD=x，在直角三角形BCD中，由于∠CBD=30°，∴，，∴，∴，∵，∴，∴【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的綜合問(wèn)題，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵15、（2023.山東.九年級(jí)期末）如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形，C，F(xiàn)，G三點(diǎn)在一直線上，連接AF并延長(zhǎng)交邊CD于點(diǎn)M．（1）求證：△MFC∽△MCA；（2）求證△ACF∽△ABE；（3）若DM=1，CM=2，求正方形AEFG的邊長(zhǎng)．【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得，進(jìn)而根據(jù)對(duì)頂角的性質(zhì)得，再結(jié)合公共角，根據(jù)相似三角形的判定得結(jié)論；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)得，再證明其夾角相等，便可證明；（3）由已知條件求得正方形的邊長(zhǎng)，進(jìn)而由勾股定理求得的長(zhǎng)度，再由