八年級數(shù)學(xué)下冊專題03勾股定理壓軸(三大模型)(原卷版+解析)

專題03勾股定理壓軸（三大模型）“勾股樹”勾股定理:.

勾股定理的逆定理:如果三角形的三邊長,滿足或或,那么這個三角形是直角三角形在直角三角形外，分別以三邊作同樣圖形，可得下面結(jié)論作等邊三角形作半圓作等腰直角三角形作正方形（畢達(dá)哥拉斯樹的起始圖形）結(jié)論：【典例1】勾股定理是人類最偉大的十個科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．(1)①如圖2，3，4，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，面積分別為，，，利用勾股定理，判斷這3個圖形中面積關(guān)系滿足的有________個．②如圖5，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個月牙形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為，，直角三角形面積為，也滿足嗎？若滿足，請證明；若不滿足，請求出，，的數(shù)量關(guān)系．(2)如果以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過程就可以得到如圖6所示的“勾股樹”．在如圖7所示的“勾股樹”的某部分圖形中，設(shè)大正方形M的邊長為定值m，四個小正方形A，B，C，D的邊長分別為a，b，c，d，則__________．【變式1-1】如圖，這是一株美麗的勾股樹，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的邊長是3、5、2、3，則最大正方形的面積是（

）A．13 B．47 C． D．【變式1-2】如圖是按照一定規(guī)律“生長”的“勾股樹”：經(jīng)觀察可以發(fā)現(xiàn)：圖（1）中共有3個正方形，圖（2）在圖（1）的基礎(chǔ)上增加了4個正方形，圖（3）在圖（2）的基礎(chǔ)上增加了8個正方形，……，照此規(guī)律“生長”下去，圖（6）應(yīng)在圖（5）的基礎(chǔ)上增加的正方形的個數(shù)是（

）A．12 B．32 C．64 D．128【變式1-3】勾股定理是人類最偉大的科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”(如圖1)，后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．(1)勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請你從圖1，圖2，圖3中任選一個圖形來證明該定理；(2)①如圖4，圖5，圖6，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個圖形中面積關(guān)系滿足的有個；②如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個月形圖案(圖中陰影部分)的面積分別為，直角三角形面積為，請判斷的關(guān)系并證明．趙爽弦圖在正方形ABCD中,分別在邊AB，BC，CD，DA上取點E，F(xiàn)，G，H，使得BE=CF=GD=AH，過點E，F(xiàn)，G，H作EJ//AD，F(xiàn)K//AB，GL//BC，HI//CD結(jié)論1：四邊形EFGH是正方形；結(jié)論2:四邊形IJKL是正方形；結(jié)論3：；結(jié)論4：正方形IJKL的邊長為；結(jié)論5：【典例2】我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“勾股圓方圖”是由四個全等的直角三角形（如圖1）與中間的一個小正方形拼成一個大正方形（如圖2）．(1)利用圖2正方形面積的等量關(guān)系得出直角三角形勾股的定理，該定理的結(jié)論用字母表示：；(2)用圖1這樣的兩個直角三角形構(gòu)造圖3的圖形，滿足，，，，求證（1）中的定理結(jié)論；(3)如圖，由四個全等的直角三角形拼成的圖形，設(shè)，，求正方形BDFA的面積．（用m，n表示）【變式2-1】如圖，是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“勾股方圓圖”，由四個全等的直角三角形拼成大的正方形和中間小的正方形．若直角的面積是，且，則小正方形的面積是(

)A． B． C． D．【變式2-2】大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（如圖1）．某數(shù)學(xué)興趣小組類比“趙爽弦圖”構(gòu)造出圖2：為等邊三角形，、、圍成的也是等邊三角形．已知點、、分別是、、的中點，若的面積為14，則的面積是（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【變式2-3】如圖是由“趙爽弦圖”變化得到的，它由八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形、正方形、正方形的面積分別為，，．若，則的值是（

）A． B． C． D．【變式2-4】如圖，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形．中間是個小正方形．這個圖形是我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，現(xiàn)分別連接大、小正方形的四組頂點得到圖2的“風(fēng)車”圖案（陰影部分）．若圖1中的四個直角三角形的較長直角邊為9，較短直角邊為5，則圖2中的“風(fēng)車”圖案的周長為（

）A． B． C． D．【變式2-5】如圖是用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形的面積為49，小正方形的面積為4．若用x，y表示直角三角形的兩直角邊（x＞y），則下列四個說法：①，②，③，④，其中正確的是（

）

A．①③④ B．②④ C．①②③ D．①②③④【變式2-6】三國時代東吳數(shù)學(xué)家趙爽（字君卿，約公元3世紀(jì)）在《勾股圓方圖注》一書中用割補(bǔ)的方法構(gòu)造了“弦圖”（如圖1，并給出了勾股定理的證明．已知，圖2中涂色部分是直角邊長為，斜邊長為的個直角三角形，請根據(jù)圖2利用割補(bǔ)的方法驗證勾股定理．【變式2-7】閱讀下列材料并完成任務(wù)：中國古代三國時期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽最早對勾股定理作出理論證明.他創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”(如圖l)，用數(shù)形結(jié)合的方法，給出了勾股定理的詳細(xì)證明.在這幅“勾股圓方圖”中，以弦為邊長得到的正方形是由個全等的直角三角形再加上中間的那個小正方形組成的.每個直角三角形的面積為；中間的小正方形邊長為，面積為.于是便得到式子：.趙爽的這個證明可謂別具匠心，極富創(chuàng)新意識.他用幾何圖形的截、割、拼、補(bǔ)來證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系，既具嚴(yán)密性，又具直觀性，為中國古代以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何緊密結(jié)合、互不可分的獨特風(fēng)格樹立了一個典范.如圖2，是“趙爽弦圖”，其中、、和是四個全等的直角三角形，四邊形和都是正方形，根據(jù)這個圖形的面積關(guān)系，可以證明勾股定理.設(shè)，，，取，.任務(wù)：(1)填空：正方形的面積為______，四個直角三角形的面積和為______；(2)求的值.螞蟻爬行(最短路徑問題)基礎(chǔ)模型1已知:在一個長、寬、高分別為a、b、c的長方體中,一只螞蟻沿著長方體的表面爬行,求螞蟻從點P到點Q的最短路徑結(jié)論1:長方體中，螞蟻爬行的最短路徑為PQ=長邊2正方體中，若棱長為a,螞蟻爬行的最短路徑為PQ=基礎(chǔ)模型2已知:在底面半徑為r,高為h圓柱中，求螞蟻從點P沿圓柱表面螺旋爬行到點Q的最短路徑結(jié)論2：最短路徑為PQ=結(jié)論3：最短路徑為PQ=簡記口訣：“展平面、連兩點、勾股算” 模型3已知:一個底面半徑為r，高為h的圓柱形木桶，外壁點P處有一只小媽蟻，內(nèi)壁Q處有一滴蜂蜜，求小螞蟻沿外壁爬行再沿著內(nèi)壁爬行到點Q的最短路徑結(jié)論4：最短路徑為(注：高度不是圓柱的高)【典例3】如圖是一個長方體包裝盒，高為，底面是正方形，邊長為，現(xiàn)需用繩子裝飾，繩子從出發(fā)，沿長方體表面繞到處，則繩子的最短長度是（

）A． B． C． D．【變式3-1】如圖，長方體的長為4cm，寬為4cm，高為3cm，cm，一只螞蟻要沿著長方體的表面從點A爬到點C，則需要爬行的最短路程為（

）A． B． C． D．6cm【變式3-2】如圖，長方形的長，寬，高，點M在CH上，且，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點爬到點，需要爬行的最短距離是(

)

A． B． C． D．【變式3-3】如圖，正方體的棱長為，是正方體的一個頂點，是側(cè)面正方形對角線的交點．一只螞蟻在正方體的表面上爬行，從點爬到點的最短路徑是（

）

A． B． C． D．【典例4】現(xiàn)有一個圓柱體水晶杯（容器厚度忽略不計），其底面圓的周長為，高為，在杯子內(nèi)壁離容器底部的點處有一滴蜂蜜，與蜂蜜相對，此時一只螞蟻正好在杯子外壁，離容器上沿的點處，則螞蟻吃到蜂蜜需爬行的最短路徑為（

）A． B． C． D．【變式4-1】葛藤是一種多年生草本植物，為獲得更多的雨露和陽光，其莖蔓常繞著附近的樹干沿最短路線盤旋而上．如圖，如果把樹干看成圓柱體，它的底面周長是，當(dāng)一段葛藤繞樹干盤旋1圈升高為時，這段葛藤的長為．【變式4-2】如圖，圓柱形玻璃杯，高為，底面周長為，在杯內(nèi)離杯底的點C處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為．（結(jié)果保留根號）【典例5】如圖，這是一個臺階的示意圖，每一層臺階的高是、長是、寬是，一只螞蟻沿臺階從點出發(fā)爬到點，其爬行的最短線路的長度是（

）

A． B． C． D．【變式5-1】如圖，一個三級臺階，它的每一級長、寬和高分別為、、，臺階左下角A處有一只螞蟻要爬到右上角B處搬運食物，則它爬行的最短路程為．

【變式5-2】如圖，在一個長方形草坪上，放著一根長方體的木塊，已知米，米，該木塊的較長邊與平行，橫截面是邊長為2米的正方形，一只螞蟻從點A爬過木塊到達(dá)處需要走的最短路程是米．

1．漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學(xué)的瑰寶，如圖所示的弦圖中，其中四邊形和四邊形都是正方形，、、、是四個直角三角形，當(dāng)，時，則正方形的邊長是（

）

A． B． C． D．2．如圖中左圖是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的，若，，將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到如圖2中右圖所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個風(fēng)車的外圍周長是（

）

A．74 B．76 C．78 D．803．如圖，正方體的棱長為2，E是的中點．已知一只螞蟻沿正方體的表面從點A出發(fā)，到達(dá)點E，則它運動的最短路程為（

）A． B．4 C． D．54．勾股定理是幾何中的一個重要定理，在我國古算書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載．如圖1是由邊長相等的小正方形和直角三角形構(gòu)成的，可以用其面積關(guān)系驗證勾股定理．圖2是由圖1放入長方形內(nèi)得到的，，點D，E，F(xiàn)，G，H，I都在長方形的邊上，則長方形的面積為（

）A．420 B．440 C．430 D．4105．如圖，有一個圓柱，它的高等于，底面上圓的周長等于，在圓柱下底面的點處有一只螞蟻，它想吃到上底面與點相對的點處的食物，則螞蟻沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是．6．如圖所示的長方體中，，一只螞蟻從點處，沿長方體表面爬行到點處吃食，螞蟻需要爬行的最短路程為．7．有一個圓柱體禮盒，高，底面周長為．現(xiàn)準(zhǔn)備在禮盒表面粘貼彩帶作為裝飾，若彩帶一端粘在處，另一端繞禮盒側(cè)面周后粘貼在處（為的中點），則彩帶最短為．8．如圖是“畢達(dá)哥拉斯樹”的“生長”過程：如圖1，一個邊長為a的正方形，經(jīng)過第一次“生長”后在它的上側(cè)長出兩個小正方形，面積分別為6和8，且三個正方形所圍成的三角形是直角三角形，則a的值為；再經(jīng)過一次“生長”后變成了圖2．如此繼續(xù)“生長”下去，第2024次“生長”后，這棵“畢達(dá)哥拉斯樹”上所有正方形的面積之和為（填數(shù)字）．9．閱讀材料，解答問題：(1)中國古代數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》有著這樣的記載：“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”，這句話的意思是：“如果直角三角形兩直角邊長為3和4時，那么斜邊的長為5．”上述記載說明：在中，如果，，，，那么a，b，c三者之間的數(shù)量關(guān)系是：______．(2)如圖①，它是由四個全等的直角三角形圍成的一個大正方形ABDE，中間部分是一個小正方形CFGH，請結(jié)合圖①，證明（1）中的數(shù)量關(guān)系．(3)如圖②，以的三條邊分別作三個等邊三角形，若，，，求出的值．10.勾股定理是人類最偉大的十個科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．如圖2，直角三角形的兩條直角邊分別為a，b，斜邊為c．

(1)如圖3，以直角三角形的三邊a，b，c為邊，分別向外部作正方形，直接寫出，，滿足的關(guān)系：．(2)如圖4，以的三邊為直徑，分別向外部作半圓，請判斷，，的關(guān)系并證明．(3)如圖5，將這四個直角三角形緊密地拼接，形成飛鏢狀，已知外圍輪廓（實線）的周長為，，直接寫出該飛鏢狀圖案的面積．專題03勾股定理壓軸（三大模型）“勾股樹”勾股定理:.

勾股定理的逆定理:如果三角形的三邊長,滿足或或,那么這個三角形是直角三角形在直角三角形外，分別以三邊作同樣圖形，可得下面結(jié)論作等邊三角形作半圓作等腰直角三角形作正方形（畢達(dá)哥拉斯樹的起始圖形）結(jié)論：【典例1】勾股定理是人類最偉大的十個科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．(1)①如圖2，3，4，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，面積分別為，，，利用勾股定理，判斷這3個圖形中面積關(guān)系滿足的有________個．②如圖5，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個月牙形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為，，直角三角形面積為，也滿足嗎？若滿足，請證明；若不滿足，請求出，，的數(shù)量關(guān)系．(2)如果以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過程就可以得到如圖6所示的“勾股樹”．在如圖7所示的“勾股樹”的某部分圖形中，設(shè)大正方形M的邊長為定值m，四個小正方形A，B，C，D的邊長分別為a，b，c，d，則__________．【答案】(1)①3；②滿足，證明見解析(2)【分析】（1）設(shè)兩直角邊分別為，，斜邊為，用，，分別表示正方形、圓、等邊三角形的面積，根據(jù)，求解之間的關(guān)系，進(jìn)而可得結(jié)果；②根據(jù)，，，可得；（2）由題意知，，，，，，代入求解即可．【詳解】（1）①解：設(shè)兩直角邊分別為，，斜邊為，則圖2中，，∵，∴，故圖2符合題意；圖3中，，，，∵，∴，故圖3符合題意；圖4中，，，，∵，∴，故圖4符合題意；∴這3個圖形中面積關(guān)系滿足的有3個，故答案為：3；②解：滿足，證明如下：由題意知，，，∴；（2）解：由題意知，，，，，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理，勾股樹．解題的關(guān)鍵在于正確的表示各部分的面積．【變式1-1】如圖，這是一株美麗的勾股樹，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的邊長是3、5、2、3，則最大正方形的面積是（

）A．13 B．47 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理：兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，而正方形的面積等于邊長的平方，故可得到以斜邊為邊長的正方形的面積等于兩個以直角邊為邊長的面積之和．【詳解】由勾股定理得：正方形F的面積=正方形A的面積+正方形B的面積，同理，正方形G的面積=正方形C的面積+正方形D的面積，∴正方形E的面積=正方形F的面積+正方形G的面積．故選B．【點睛】此題考查的是勾股定理，掌握以直角三角形斜邊為邊長的正方形的面積等于兩個以直角邊為邊長的正方形面積之和是解決此題的關(guān)鍵．【變式1-2】如圖是按照一定規(guī)律“生長”的“勾股樹”：經(jīng)觀察可以發(fā)現(xiàn)：圖（1）中共有3個正方形，圖（2）在圖（1）的基礎(chǔ)上增加了4個正方形，圖（3）在圖（2）的基礎(chǔ)上增加了8個正方形，……，照此規(guī)律“生長”下去，圖（6）應(yīng)在圖（5）的基礎(chǔ)上增加的正方形的個數(shù)是（

）A．12 B．32 C．64 D．128【答案】C【分析】通過觀察已知圖形可以發(fā)現(xiàn)：圖（2）比圖（1）多出4個正方形，圖（3）比圖（2）多出8個正方形，圖（4）比圖（3）多出16個正方形，……，以此類推可得圖形的變換規(guī)律．【詳解】解：由題可得，圖（2）比圖（1）多出4個正方形，圖（3）比圖（2）多出8個正方形，；圖（4）比圖（3）多出16個正方形，；圖（5）比圖（4）多出32個正方形，；照此規(guī)律，圖（n）比圖（n-1）多出正方形的個數(shù)為：故圖（6）比圖（5）多出正方形的個數(shù)為：；故答案為：C．【點睛】此題考查了圖形的變化類問題，主要考核學(xué)生的觀察能力和空間想象能力．首先應(yīng)找出圖形哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解．探尋規(guī)律要認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想來解決這類問題．【變式1-3】勾股定理是人類最偉大的科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”(如圖1)，后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．(1)勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請你從圖1，圖2，圖3中任選一個圖形來證明該定理；(2)①如圖4，圖5，圖6，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個圖形中面積關(guān)系滿足的有個；②如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個月形圖案(圖中陰影部分)的面積分別為，直角三角形面積為，請判斷的關(guān)系并證明．【答案】(1)見解析(2)①；②．見解析【分析】本題考查了勾股定理、正方形、等邊三角形、圓面積計算的知識；（1）根據(jù)面積法即可證明勾股定理；（2）①設(shè)面積為的正方形邊長為，面積為的正方形邊長為，面積為的正方形邊長為；根據(jù)題意得：，再分別計算正方形、半圓形和等邊三角形的面積，即可完成求解；②結(jié)合題意，首先分別以為直徑的半圓面積、以為直徑的半圓面積、非陰影部分去除三角形后的面積，再根據(jù)陰影部分面積（）以為直徑的半圓面積以為直徑的半圓面積非陰影部分去除三角形后的面積，結(jié)合勾股定理，即可得到答案．【詳解】（1）證明：在圖1中，大正方形的面積等于四個全等的直角三角形的面積與中間小正形面積的和．即，化簡得：．在圖2中，大正方形的面積等于四個全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和．大正方形面積為：小正方形面積為：四個直角三角形面積之和為：∵大正方形面積=小正方形面積+四個直角三角形面積之和∴∴，滿足直角三角形勾股定理；在圖3中，梯形的面積等于三個直角三角形的面積的和．即，化簡得：．（2）①三個圖形中面積關(guān)系滿足的有3個；設(shè)面積為的正方形邊長為，面積為的正方形邊長為，面積為的正方形邊長為；根據(jù)題意得：如圖4：，，∴；如圖5：，，∵∴；如圖6：，，∵∴；∴三個圖形中面積關(guān)系滿足的有3個故答案為：3；②；以為直徑的半圓面積為：以為直徑的半圓面積為：非陰影部分去除三角形后的面積為：∵陰影部分面積以為直徑的半圓面積以為直徑的半圓面積非陰影部分去除三角形后的面積∴結(jié)合（1）的結(jié)論：∴∴．趙爽弦圖在正方形ABCD中,分別在邊AB，BC，CD，DA上取點E，F(xiàn)，G，H，使得BE=CF=GD=AH，過點E，F(xiàn)，G，H作EJ//AD，F(xiàn)K//AB，GL//BC，HI//CD結(jié)論1：四邊形EFGH是正方形；結(jié)論2:四邊形IJKL是正方形；結(jié)論3：；結(jié)論4：正方形IJKL的邊長為；結(jié)論5：【典例2】我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“勾股圓方圖”是由四個全等的直角三角形（如圖1）與中間的一個小正方形拼成一個大正方形（如圖2）．(1)利用圖2正方形面積的等量關(guān)系得出直角三角形勾股的定理，該定理的結(jié)論用字母表示：；(2)用圖1這樣的兩個直角三角形構(gòu)造圖3的圖形，滿足，，，，求證（1）中的定理結(jié)論；(3)如圖，由四個全等的直角三角形拼成的圖形，設(shè)，，求正方形BDFA的面積．（用m，n表示）【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）由大正方形的面積的兩種表示列出等式，可求解；（2）由四邊形的面積兩種計算方式列出等式，即可求解；（3）分別求出a，b，由勾股定理可求解．【詳解】（1）解：∵大正方形的面積，大正方形的面積，∴，∴，故答案為：；（2）證明：如圖：連接，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴；（3）解：由題意可得：，，∴，，∴，，∴，∴正方形的面積為．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理等知識，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】如圖，是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“勾股方圓圖”，由四個全等的直角三角形拼成大的正方形和中間小的正方形．若直角的面積是，且，則小正方形的面積是(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，，則，由四個直角三角形全等可知，故根據(jù)三角形面積公式可得，整理得，然后利用計算小正方形的面積即可．【詳解】解：由題意，可設(shè)，，則，∵四個直角三角形全等，∴，∴，即，整理得，∴．故選：D．【點睛】本題主要考查了三角形全等的性質(zhì)以及三角形面積公式，理解并掌握三角形全等的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（如圖1）．某數(shù)學(xué)興趣小組類比“趙爽弦圖”構(gòu)造出圖2：為等邊三角形，、、圍成的也是等邊三角形．已知點、、分別是、、的中點，若的面積為14，則的面積是（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】連接，由題意知，再由點、、分別是、、的中點，可得，，即可得出即可求解．【詳解】解：連接，如圖所示：

點、、分別是、、的中點，，，為等邊三角形，也是等邊三角形，，，是的一個外角，，是的一個外角，，，在和中，，，同理，可得，，，，，，解得，故選：B．【點睛】本題考查求三角形面積，涉及等邊三角形的性質(zhì)，中點性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，正確作出輔助線，得出是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】如圖是由“趙爽弦圖”變化得到的，它由八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形、正方形、正方形的面積分別為，，．若，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】已知八個全等的直角三角形，則設(shè)出三邊，根據(jù)勾股定理可知三邊的關(guān)系，然后用三邊分別將三個正方形的面積表示出來，直接求和即可．【詳解】設(shè)中，，∴，∴，∴，∴．故選：D【點睛】此題考查勾股定理，解題關(guān)鍵是找到三個正方形邊長之間的關(guān)系，直接列方程求解．【變式2-4】如圖，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形．中間是個小正方形．這個圖形是我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，現(xiàn)分別連接大、小正方形的四組頂點得到圖2的“風(fēng)車”圖案（陰影部分）．若圖1中的四個直角三角形的較長直角邊為9，較短直角邊為5，則圖2中的“風(fēng)車”圖案的周長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了勾股定理中的弦圖模型，由圖可知中間小正方形的邊長為，再利用勾股定理求出邊長即可求解；【詳解】解：如圖，由題意知：，，∴在中，，∴圖2中的“風(fēng)車”圖案的周長為：故選：C【變式2-5】如圖是用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形的面積為49，小正方形的面積為4．若用x，y表示直角三角形的兩直角邊（x＞y），則下列四個說法：①，②，③，④，其中正確的是（

）

A．①③④ B．②④ C．①②③ D．①②③④【答案】C【分析】利用大正方形面積和勾股定理可判斷①，利用小正方形面積可求出小正方形邊長，再利用線段和差可判斷②，利用大正方形面積等于小正方形面積與四個直角三角形面積之和可判斷③，利用①③可判斷④．【詳解】解：如圖，

∵是直角三角形，∴根據(jù)勾股定理得，故①正確；由圖可知，故②正確；由圖可知，四個直角三角形的面積與小正方形的面積之和為大正方形的面積，可得，即，故③正確；由可得．∵，∴，整理得，∴，故④錯誤．正確的是①②③．故選：C．【點睛】本題考查了以弦圖為背景的計算題，解題的關(guān)鍵是利用大正方形面積和小正方形面積得出大正方形和小正方形的邊長．【變式2-6】三國時代東吳數(shù)學(xué)家趙爽（字君卿，約公元3世紀(jì)）在《勾股圓方圖注》一書中用割補(bǔ)的方法構(gòu)造了“弦圖”（如圖1，并給出了勾股定理的證明．已知，圖2中涂色部分是直角邊長為，斜邊長為的個直角三角形，請根據(jù)圖2利用割補(bǔ)的方法驗證勾股定理．【答案】見解析【分析】根據(jù)總面積=以c為邊的正方形的面積+2個直角邊長為的三角形的面積=以b為上底、(a+b)為下底、高為b的梯形的面積+以a為上底、(a+b)為下底、高為a的梯形的面積，據(jù)此列式求解．【詳解】證明：總面積【點睛】此題考查的是勾股定理的證明，用兩種方法表示同一圖形的面積是解題關(guān)鍵．【變式2-7】閱讀下列材料并完成任務(wù)：中國古代三國時期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽最早對勾股定理作出理論證明.他創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”(如圖l)，用數(shù)形結(jié)合的方法，給出了勾股定理的詳細(xì)證明.在這幅“勾股圓方圖”中，以弦為邊長得到的正方形是由個全等的直角三角形再加上中間的那個小正方形組成的.每個直角三角形的面積為；中間的小正方形邊長為，面積為.于是便得到式子：.趙爽的這個證明可謂別具匠心，極富創(chuàng)新意識.他用幾何圖形的截、割、拼、補(bǔ)來證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系，既具嚴(yán)密性，又具直觀性，為中國古代以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何緊密結(jié)合、互不可分的獨特風(fēng)格樹立了一個典范.如圖2，是“趙爽弦圖”，其中、、和是四個全等的直角三角形，四邊形和都是正方形，根據(jù)這個圖形的面積關(guān)系，可以證明勾股定理.設(shè)，，，取，.任務(wù)：(1)填空：正方形的面積為______，四個直角三角形的面積和為______；(2)求的值.【答案】(1)4，96；(2)196.【分析】（1）根據(jù)題意得圖中的四個直角三角形都全等，可得正方形的邊長為2，即可得正方形的面積；再利用正方形ABCD的面積-正方形EFGH的面積即可得四個直角三角形的面積和；（2）易求得ab的值，和a2+b2的值，根據(jù)完全平方公式即可求得（a+b）2的值，即可解題．【詳解】(1)根據(jù)題意得，圖中的四個直角三角形都全等，∴AB=c=10，AE-AH=b-a=2，∴正方形的面積為22=4，正方形ABCD的面積為102=100，∴四個直角三角形的面積和=正方形ABCD的面積-正方形EFGH的面積=100-4=96；(2)由(1)可知四個直角三角形的面積和為，，即.，.【點睛】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，考查了直角三角形中勾股定理的運用，求得ab的值是解題的關(guān)鍵．螞蟻爬行(最短路徑問題)基礎(chǔ)模型1已知:在一個長、寬、高分別為a、b、c的長方體中,一只螞蟻沿著長方體的表面爬行,求螞蟻從點P到點Q的最短路徑結(jié)論1:長方體中，螞蟻爬行的最短路徑為PQ=長邊2正方體中，若棱長為a,螞蟻爬行的最短路徑為PQ=基礎(chǔ)模型2已知:在底面半徑為r,高為h圓柱中，求螞蟻從點P沿圓柱表面螺旋爬行到點Q的最短路徑結(jié)論2：最短路徑為PQ=結(jié)論3：最短路徑為PQ=簡記口訣：“展平面、連兩點、勾股算” 模型3已知:一個底面半徑為r，高為h的圓柱形木桶，外壁點P處有一只小媽蟻，內(nèi)壁Q處有一滴蜂蜜，求小螞蟻沿外壁爬行再沿著內(nèi)壁爬行到點Q的最短路徑結(jié)論4：最短路徑為(注：高度不是圓柱的高)【典例3】如圖是一個長方體包裝盒，高為，底面是正方形，邊長為，現(xiàn)需用繩子裝飾，繩子從出發(fā)，沿長方體表面繞到處，則繩子的最短長度是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此題考查了平面展開——最短路徑問題，把長方體右邊的表面展開，連接，則就是繩子的最短時經(jīng)過的路徑，然后根據(jù)勾股定理求解，利用兩點之間線段最短的性質(zhì)，將長方體右邊的表面展開是解題的關(guān)鍵．【詳解】如圖，將長方體右邊的表面翻折（展開），連接，顯然兩點之間線段最短，為點到點的最短距離，由勾股定理知：，∴，即繩子最短為，故選：．【變式3-1】如圖，長方體的長為4cm，寬為4cm，高為3cm，cm，一只螞蟻要沿著長方體的表面從點A爬到點C，則需要爬行的最短路程為（

）A． B． C． D．6cm【答案】C【分析】本題考查平面展開—最短路線問題，勾股定理，無理數(shù)的大小比較．要求長方體中兩點之間的最短路徑，最直接的作法，就是將正方體展開，然后利用兩點之間線段最短解答即可．【詳解】解：按照正面和右面展開，如下，∴，∴；按照上面和左面展開，如下，∴，∴；按照正面和上面展開，如圖3，∴，，∴∵，∴需要爬行的最短距離是，故選：C．【變式3-2】如圖，長方形的長，寬，高，點M在CH上，且，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點爬到點，需要爬行的最短距離是(

)

A． B． C． D．【答案】B【分析】首先將長方體沿、、剪開，向右翻折，使面和面在同一個平面內(nèi)，連接；或?qū)㈤L方體沿、、剪開，向上翻折，使面和面在同一個平面內(nèi)，連接，或?qū)㈤L方體沿、、剪開，向下翻折，使面和下面在同一個平面內(nèi)，連接，然后分別在與與，利用勾股定理求得的長，比較大小即可求得需要爬行的最短路程．【詳解】解：將長方體沿、、剪開，向右翻折，使面和面在同一個平面內(nèi)，連接，如圖，由題意可得：，，在中，根據(jù)勾股定理得：；將長方體沿、、剪開，向上翻折，使面和面在同一個平面內(nèi)，連接，如圖，由題意得：，，在中，根據(jù)勾股定理得：，將長方體沿、、剪開，向下翻折，使面和下面在同一個平面內(nèi)，連接，如圖，由題意得：，，在中，根據(jù)勾股定理得：，∵，則需要爬行的最短距離是．故選：．

【點睛】此題考查了最短路徑問題，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解題的關(guān)鍵是將立體圖形展為平面圖形，利用勾股定理的知識求解．【變式3-3】如圖，正方體的棱長為，是正方體的一個頂點，是側(cè)面正方形對角線的交點．一只螞蟻在正方體的表面上爬行，從點爬到點的最短路徑是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖所示，過點作于點，在中，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意，如圖所示，過點作于點，正方體的棱長，

∵立體幾何是正方體，每個面都是正方形，對角線的交點為對角線的中點，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得為等腰直角三角形，且，∴是的垂直平分線，，∴在中，，，∴，∴從點爬到點的最短路徑是，故選：．【點睛】本題主要考查立體幾何圖形的展開圖與勾股定理的運用，理解立體幾何圖形的展開圖，掌握最短路徑的計算方法，勾股定理等知識解題的關(guān)鍵．【典例4】現(xiàn)有一個圓柱體水晶杯（容器厚度忽略不計），其底面圓的周長為，高為，在杯子內(nèi)壁離容器底部的點處有一滴蜂蜜，與蜂蜜相對，此時一只螞蟻正好在杯子外壁，離容器上沿的點處，則螞蟻吃到蜂蜜需爬行的最短路徑為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了平面展開﹣最短路徑問題，勾股定理，將容器側(cè)面展開，建立A關(guān)于的對稱點，根據(jù)兩點之間線段最短可知的長度即為所求．【詳解】解：如圖：是側(cè)面展開圖的一半，高為，底面周長為，在容器內(nèi)壁離容器底部的點B處有一滴蜂蜜，此時螞蟻正好在容器外壁，離容器上沿與一滴蜂蜜相對的點A處，，，將容器側(cè)面展開，作A關(guān)于的對稱點，連接，則即為最短距離，．故選：A．【變式4-1】葛藤是一種多年生草本植物，為獲得更多的雨露和陽光，其莖蔓常繞著附近的樹干沿最短路線盤旋而上．如圖，如果把樹干看成圓柱體，它的底面周長是，當(dāng)一段葛藤繞樹干盤旋1圈升高為時，這段葛藤的長為．【答案】2.6【分析】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用．根據(jù)題意畫出圖形，利用圓柱側(cè)面展開圖，結(jié)合勾股定理求出即可．【詳解】解：如圖所示：，∴這段葛藤的長．故答案為：．【變式4-2】如圖，圓柱形玻璃杯，高為，底面周長為，在杯內(nèi)離杯底的點C處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為．（結(jié)果保留根號）【答案】【分析】本題考查了勾股定理，軸對稱最短路線問題的應(yīng)用，過作于，作A關(guān)于的對稱點，連接交于，連接，則就是螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離，求出，，根據(jù)勾股定理求出即可，解題的關(guān)鍵是找出最短路線．【詳解】解：沿過A的圓柱的高剪開，得出矩形，過作于，作A關(guān)于的對稱點，連接交于，連接，則就是螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離，，，，，，在中，由勾股定理得：，故答案為：．【典例5】如圖，這是一個臺階的示意圖，每一層臺階的高是、長是、寬是，一只螞蟻沿臺階從點出發(fā)爬到點，其爬行的最短線路的長度是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查勾股定理的運用，解題的關(guān)鍵是把平面展開，在根據(jù)勾股定理，即可．【詳解】平面展開，如下：∴在中，（），∴螞蟻沿臺階從點出發(fā)爬到點，其爬行的最短線路的長度為：．故選：C．

【變式5-1】如圖，一個三級臺階，它的每一級長、寬和高分別為、、，臺階左下角A處有一只螞蟻要爬到右上角B處搬運食物，則它爬行的最短路程為．

【答案】【分析】本題考查了平面展開-最短路徑問題．先將圖形平面展開，再用勾股定理根據(jù)兩點之間線段最短進(jìn)行解答．【詳解】解：三級臺階平面展開圖為長方形，長為，寬為，

則螞蟻沿A爬行到B點最短路程是此長方形的對角線長．由勾股定理得：，故答案為：【變式5-2】如圖，在一個長方形草坪上，放著一根長方體的木塊，已知米，米，該木塊的較長邊與平行，橫截面是邊長為2米的正方形，一只螞蟻從點A爬過木塊到達(dá)處需要走的最短路程是米．

【答案】10【分析】本題主要考查兩點之間線段最短，有一定的難度，要注意培養(yǎng)空間想象能力，解答此題的關(guān)鍵是將木塊展開，得出展開后長方形的長．【詳解】解：由題意可知，將木塊展開，如圖所示：

展開后長方形的長相當(dāng)于是個正方形的寬，∴長為（米），寬為6米，∴最短路徑為：（米），故答案為：10．1．漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學(xué)的瑰寶，如圖所示的弦圖中，其中四邊形和四邊形都是正方形，、、、是四個直角三角形，當(dāng)，時，則正方形的邊長是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】在中，利用勾股定理進(jìn)行求解即可．【詳解】解：依題意可得，∴，在中，由勾股定理得，，∴正方形的邊長是，故選：A【點睛】此題考查了勾股弦圖，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．2．如圖中左圖是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的，若，，將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到如圖2中右圖所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個風(fēng)車的外圍周長是（

）

A．74 B．76 C．78 D．80【答案】B【分析】通過勾股定理可將“數(shù)學(xué)風(fēng)車”的斜邊求出，然后可求出風(fēng)車外圍的周長．【詳解】如圖，根據(jù)題意，，∵，∴，即，∴，∴，∴這個風(fēng)車的外圍周長是，故選B．

【點睛】本題考查勾股定理在實際情況中應(yīng)用，并注意隱含的已知條件來解答此類題．3．如圖，正方體的棱長為2，E是的中點．已知一只螞蟻沿正方體的表面從點A出發(fā)，到達(dá)點E，則它運動的最短路程為（

）A． B．4 C． D．5【答案】C【解析】略4．勾股定理是幾何中的一個重要定理，在我國古算書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載．如圖1是由邊長相等的小正方形和直角三角形構(gòu)成的，可以用其面積關(guān)系驗證勾股定理．圖2是由圖1放入長方形內(nèi)得到的，，點D，E，F(xiàn)，G，H，I都在長方形的邊上，則長方形的面積為（

）A．420 B．440 C．430 D．410【答案】B【分析】延長交于P，延長交于Q，可得全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得，然后求出和的長，再根據(jù)長方形的面積公式列式計算即可得解．【詳解】解：如圖，延長交于P，延長交于Q，由題意得，，∴，∴，∴，同理可證，∴，∵圖2是由圖1放入長方形內(nèi)得到，∴，，∴長方形的面積．故選：B．【點睛】本題考查了勾股定理的證明，全等三角形的性質(zhì)與判定，作輔助線構(gòu)造出全等三角形并得到長方形的鄰邊的長是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點5．如圖，有一個圓柱，它的高等于，底面上圓的周長等于，在圓柱下底面的點處有一只螞蟻，它想吃到上底面與點相對的點處的食物，則螞蟻沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是．【答案】/25厘米【分析】本題主要考查利用勾股定理求最短路徑，如圖把圓柱體展開，連接，然后可知，，進(jìn)而可由兩點之間，線段最短可知即為所求，熟練掌握利用勾股定理求最短路徑是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖所示：∵圓柱的高等于，底面上圓的周長等于，∴，，∴，∴螞蟻沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是，故答案為：．6．如圖所示的長方體中，，一只螞蟻從點處，沿長方體表面爬行到點處吃食，螞蟻需要爬行的最短路程為．【答案】10【分析】本題考查了平面展開圖，利用勾股定理求最短路徑問題，要求長方體中兩點之間的最短路徑，最直接的作法，就是將長方體展開，然后利用兩點之間線段最短解答，解答時要進(jìn)行分類討論，利用勾股定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】①展開正面和右面，如圖，連接，∵長，高，∴，②展開正面和上面，如圖，連接，∴，③展開左面和上面，∴，∴爬行的最短距離為，故答案為：10．7．有一個圓柱體禮盒，高，底面周長為．現(xiàn)準(zhǔn)備在禮盒表面粘貼彩帶作為裝飾，若彩帶一端粘在處，另一端繞禮盒側(cè)面周后粘貼在處（為的中點），則彩帶最短為．【答案】【分析】本題考查了勾股定理和平面展開-最短路線問題，