人教版八年級數(shù)學上冊專題03全等三角形的六種模型全梳理(原卷版+解析)

專題03全等三角形的六種模型全梳理幾何探究類問題一直屬于考試壓軸題范圍，在三角形這一章，壓軸題主要考查是證明三角形各種模型，或證明線段數(shù)量關(guān)系等，接來下我們針對其做出詳細分析與梳理。類型一、倍長中線模型目的：=1\*GB3①構(gòu)造出一組全等三角形；=2\*GB3②構(gòu)造出一組平行線。將分散的條件集中到一個三角形中。例1．【閱讀理解】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，中，若，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：如圖2，延長到點E，使，連接．請根據(jù)小明的方法思考：（1）如圖2，由已知和作圖能得到的理由是．A．SSSB．SASC．AASD．ASA（2）如圖2，長的取值范圍是．A．B．

C．

D．【感悟】解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”、“中線”字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論轉(zhuǎn)化到同一個三角形中．【問題解決】（3）如圖3，是的中線，交于點E，交于F，且．求證：．例2．（培優(yōu)）已知和都是等腰直角三角形，，連接，點F為中點．

(1)如圖1，求證：；(2)將繞C點旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，連接，過C點作于M點．①探究和的關(guān)系，并說明理由；②連接，求證：F，C，M三點共線．【變式訓練1】如圖，中，，E是的中點，求證：．【變式訓練2】（1）如圖1，已知中，AD是中線，求證：；（2）如圖2，在中，D，E是BC的三等分點，求證：；（3）如圖3，在中，D，E在邊BC上，且．求證：．【變式訓練3】（1）閱讀理解：如圖①，在中，若，求邊上的中線的取值范圍．可以用如下方法：將繞著點D逆時針旋轉(zhuǎn)得到，在中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線的取值范圍是_______；（2）問題解決：如圖②，在中，D是邊上的中點，于點D，交于點E，DF交于點F，連接，求證：；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形中，，，，以C為頂點作一個的角，角的兩邊分別交于E、F兩點，連接EF，探索線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．類型二、截長補短模型截長補短法使用范圍：線段和差的證明（往往需證2次全等）例1．如圖，在五邊形中，，平分，．

(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．例2．（培優(yōu)）在中，BE，CD為的角平分線，BE，CD交于點F．（1）求證：；（2）已知．①如圖1，若，，求CE的長；②如圖2，若，求的大?。咀兪接柧?】如圖，為等邊三角形，若，則（用含的式子表示）．【變式訓練2】如圖，在四邊形中，，點E、F分別在直線、上，且．(1)當點E、F分別在邊、上時（如圖1），請說明的理由．(2)當點E、F分別在邊、延長線上時（如圖2），（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請說明理由；若不成立，請寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【變式訓練3】閱讀下面材料：【原題呈現(xiàn)】如圖1，在ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2.2，AC＝3.6，求BC的長．【思考引導】因為CD平分∠ACB，所以可在BC邊上取點E，使EC＝AC，連接DE．這樣很容易得到DEC≌DAC，經(jīng)過推理能使問題得到解決（如圖2）．【問題解答】（1）參考提示的方法，解答原題呈現(xiàn)中的問題；（2）拓展提升：如圖3，已知ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，BD＝2.3，BC＝2．求AD的長．類型三、一線三等角模型應(yīng)用：①通過證明全等實現(xiàn)邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化，便于解決對應(yīng)的幾何問題；②與函數(shù)綜合應(yīng)用中有利于點的坐標的求解。例1．如圖1，，垂足分別為D，E．(1)若，求的長．(2)在其它條件不變的前提下，將所在直線變換到的外部（如圖2），請你猜想三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)如圖3，將（1）中的條件改為：在中，，D，C，E三點在同一條直線上，并且有，其中α為任意鈍角，那么（2）中你的猜想是否還成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．例2．在正方形中，點在射線上（不與點，重合），連接，，過點作，并截?。c，在同側(cè)），連接．（1）如圖1，點在邊上．①依題意補全圖1；②用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）如圖2，點在邊的延長線上，其他條件均不變，直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．【變式訓練1】通過對數(shù)學模型“K字”模型或“一線三等角”模型的研究學習，解決下列問題：[模型呈現(xiàn)]如圖1，，，過點B作于點C，過點D作于點E．求證：．[模型應(yīng)用]如圖2，且，且，請按照圖中所標注的數(shù)據(jù)，計算圖中實線所圍成的圖形的面積為________________．[深入探究]如圖3，，，，連接，，且于點F，與直線交于點G．若，，則的面積為_____________．【變式訓練2】（1）某學習小組在探究三角形全等時，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形．如圖1，已知：在中，，，直線l經(jīng)過點A，直線l，直線l，垂足分別為點D，E．求證：．（2）組員小明想，如果三個角不是直角，那結(jié)論是否會成立呢？如圖2，將（1）中的條件改為：在中，，D，A，E三點都在直線l上，并且有，其中為任意銳角或鈍角．請問結(jié)論是否成立？若成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．（3）數(shù)學老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵他們運用這個知識來解決問題：如圖3，過的邊AB，AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC邊上的高．延長HA交EG于點I．若，則______．類型四、手拉手模型例1．【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，和均為等邊三角形，點B，D，E在同一直線上，連接，容易發(fā)現(xiàn)：①的度數(shù)為；②線段、之間的數(shù)量關(guān)系為；【類比探究】（2）如圖2，和均為等腰直角三角形，，點B，D，E在同一直線上，連接，試判斷的度數(shù)以及線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【問題解決】（3）如圖3，，，，，則的值為．例2．（培優(yōu)）如圖1，在中，，，點D、E分別在邊AB，上，，連接DC，點M，P，N分別為DE，DC，BC的中點．(1)觀察猜想：圖中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______；(2)探究證明：把繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接，，，判斷的形狀，并說明理由；(3)拓展延伸：把繞點A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，請直接寫出面積的最大值．【變式訓練1】如圖，在中，，，點O是中點，，將繞點O旋轉(zhuǎn)，的兩邊分別與射線、交于點D、E．(1)當轉(zhuǎn)動至如圖一所示的位置時，連接，求證：；(2)當轉(zhuǎn)動至如圖二所示的位置時，線段、、之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．【變式訓練2】已知在中，，過點B引一條射線，D是上一點【問題解決】(1)如圖1，若，射線在內(nèi)部，，求證：，小明同學展示的做法是：在上取一點E使得，通過已知的條件，從而求得的度數(shù)，請你幫助小明寫出證明過程；【類比探究】(2)如圖2，已知．①當射線在內(nèi)，求的度數(shù)②當射線在下方，如圖3所示，請問的度數(shù)會變化嗎?若不變，請說明理由，若改變，請求出的度數(shù)；類型五、半角模型例1．已知：邊長為4的正方形ABCD，∠EAF的兩邊分別與射線CB、DC相交于點E、F，且∠EAF＝45°，連接EF．求證：EF＝BE+DF．思路分析：(1)如圖1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，∴把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADE'，則F、D、E'在一條直線上，∠E'AF＝度，……根據(jù)定理，可證：△AEF≌△AE'F．∴EF＝BE+DF．類比探究：(2)如圖2，當點E在線段CB的延長線上，探究EF、BE、DF之間存在的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程；拓展應(yīng)用：(3)如圖3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求線段BD、DE、EC圍成的三角形的面積．例2．（培優(yōu)）如圖，，，，，．（1）求的度數(shù)；（2）以E為圓心，以長為半徑作??；以F為圓心，以長為半徑作弧，兩弧交于點G，試探索的形狀？是銳角三形，直角三角形還是鈍角三角形？請說明理由．【變式訓練1】已知四邊形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD，DC（或它們的延長線）于E、F．（1）當∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)到AE＝CF時（如圖1），試猜想AE，CF，EF之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請將三條線段分別填入后面橫線中：＋＝．（不需證明）（2）當∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)到AE≠CF（如圖2）時，上述（1）中結(jié)論是否成立？請說明理由．（3）當∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)到AE≠CF（如圖3）時，上述（1）中結(jié)論是否成立？若不成立，線段AE，CF，EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜想，不需證明．【變式訓練2】（1）如圖，在正方形中，、分別是，上的點，且．直接寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖，在四邊形中，，，、分別是，上的點，且，求證：；（3）如圖，在四邊形中，，，延長到點，延長到點，使得，則結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；不成立，請寫出它們的數(shù)量關(guān)系并證明．類型六、旋轉(zhuǎn)模型例．如圖，在中，，點D在內(nèi)，，，點E在外，．(1)的度數(shù)為_______________；(2)小華說是等腰三角形，小明說是等邊三角形，___________的說法更準確，并說明理由；(3)連接，若，求的長．例2．（培優(yōu)）已知點C為線段上一點，分別以為邊在線段AB同側(cè)作和，且．，，直線與交于點F．

(1)如圖1，可得___________；若，則___________．(2)如圖2，若，則___________．（用含a的式子表示）(3)設(shè)，將圖2中的繞點C順時針旋轉(zhuǎn)任意角度（交點F至少在中的一條線段上），如圖3．試探究與a的數(shù)量關(guān)系，并予以說明．【變式訓練1】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，點D是直線AB上的一點，連接CD，將線段CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段CE，連接EB．（1）操作發(fā)現(xiàn)如圖1，當點D在線段AB上時，請你直接寫出AB與BE的位置關(guān)系為；線段BD、AB、EB的數(shù)量關(guān)系為；（2）猜想論證當點D在直線AB上運動時，如圖2，是點D在射線AB上，如圖3，是點D在射線BA上，請你寫出這兩種情況下，線段BD、AB、EB的數(shù)量關(guān)系，并對圖2的結(jié)論進行證明；（3）拓展延伸若AB＝5，BD＝7，請你直接寫出△ADE的面積．【變式訓練2】如圖，等邊中，分別交、于點、．（1）求證：是等邊三角形；（2）將繞點順時針旋轉(zhuǎn)（），設(shè)直線與直線相交于點．①如圖，當時，判斷的度數(shù)是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由；②若，，當，，三點共線時，求的長．課后訓練1．已知：如圖，在中，，、分別為、上的點，且、交于點．若、為的角平分線．(1)求的度數(shù)；(2)若，，求的長．2．在與中，，，．

(1)如圖1，若點D，B，C在同一直線上，連接，，則與的關(guān)系為________．(2)如果將圖1中的繞點B在平面內(nèi)順時針旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，那么請你判斷與的關(guān)系，并說明理由(3)如圖3，若，，連接，分別取，，的中點M，P，N，連接，，，將繞點B在平面內(nèi)順時針旋轉(zhuǎn)一周，請直接寫出旋轉(zhuǎn)過程中的面積最大值和最小值．3．問題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，，，E、F分別是BC，CD上的點，且∠EAF＝60°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學探究此問題的方法是，延長FD到點G，使DG＝BE，連接AG，先證明，再證明，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是______．實際應(yīng)用：如圖2，在新修的小區(qū)中，有塊四邊形綠化ABCD，四周修有步行小徑，且AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，在小徑BC，CD上各修一涼亭E，F(xiàn)，在涼亭E與F之間有一池塘，不能直接到達，經(jīng)測量得，BE＝10米，DF＝15米，試求兩涼亭之間的距離EF．4．【探索發(fā)現(xiàn)】如圖①，四邊形ABCD是正方形，M，N分別在邊CD、BC上，且，我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時，旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法．如圖①，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，點D與點B重合，得到，連接AM、AN、MN．（1）試判斷DM，BN，MN之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程．（2）如圖②，點M、N分別在正方形ABCD的邊BC、CD的延長線上，，連接MN，請寫出MN、DM、BN之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程．（3）如圖③，在四邊形ABCD中，AB=AD，，，點N，M分別在邊BC，CD上，，請直接寫出線段BN，DM，MN之間的數(shù)量關(guān)系．5．如圖，△AOB和△COD均為等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，點C、D分別在邊OA、OB上的點．連接AD，BC，點H為BC中點，連接OH．（1）如圖1，求證：OH＝AD，OH⊥AD；（2）將△COD繞點O旋轉(zhuǎn)到圖2所示位置時，⑴中結(jié)論是否仍成立？若成立，證明你的結(jié)論；若不成立，請說明理由．

專題03全等三角形的六種模型全梳理幾何探究類問題一直屬于考試壓軸題范圍，在三角形這一章，壓軸題主要考查是證明三角形各種模型，或證明線段數(shù)量關(guān)系等，接來下我們針對其做出詳細分析與梳理。類型一、倍長中線模型目的：=1\*GB3①構(gòu)造出一組全等三角形；=2\*GB3②構(gòu)造出一組平行線。將分散的條件集中到一個三角形中。例1．【閱讀理解】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，中，若，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：如圖2，延長到點E，使，連接．請根據(jù)小明的方法思考：（1）如圖2，由已知和作圖能得到的理由是．A．SSSB．SASC．AASD．ASA（2）如圖2，長的取值范圍是．A．B．

C．

D．【感悟】解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”、“中線”字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論轉(zhuǎn)化到同一個三角形中．【問題解決】（3）如圖3，是的中線，交于點E，交于F，且．求證：．【答案】（1）（2）C（3）見解析【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定條件求解即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，由三角形三邊關(guān)系得到，即可求出；（3）延長到點M，使，連接，證明，得到，由得到，進而推出，即可證明．【詳解】解：（1）如圖2，延長到點E，使，連接．∵為的中線，∴，又∵，∴，故答案為：；（2）解：∵，∴，在中，，∴，∴，故答案為：C；（3）證明：延長到點M，使，連接，∵是中線，∴，∵在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形三邊的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)與判定等等，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．例2．（培優(yōu)）已知和都是等腰直角三角形，，連接，點F為中點．

(1)如圖1，求證：；(2)將繞C點旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，連接，過C點作于M點．①探究和的關(guān)系，并說明理由；②連接，求證：F，C，M三點共線．【答案】(1)見解析(2)①，理由見解析②見解析【分析】（1）證明，得到，再根據(jù)點F為中點，即可得證；（2）①證明，得到，，設(shè)交于點，交于點，根據(jù)，得到，即可得出結(jié)論；②延長至點，使，連接，證明，進而推出，得到，延長交于點，推出，進而得到點重合，即可得證．【詳解】（1）證明：∵和都是等腰直角三角形，，∴，∴，∴，∵F為中點，∴；（2）①，理由如下：∵和都是等腰直角三角形，，∴，，∴，∴，，設(shè)交于點，交于點，

則：，∵，∴，∴，綜上：；②延長至點，使，連接，

∵F為中點，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，又，∴，∴，延長交于點，則：，∴，∴，∴，∵，∴點重合，即：F，C，M三點共線．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形判定和性質(zhì)．熟練掌握手拉手全等模型，倍長中線法構(gòu)造全等三角形，是解題的關(guān)鍵．【變式訓練1】如圖，中，，E是的中點，求證：．【答案】見解析【分析】利用中線加倍證（），可得，，由，可得進而可證.，再證（）即可．【詳解】證明：延長到F，使，連結(jié)，∵E是中點，∴，∴在和中，，∴（），∴，，∵，∴，又∵，，∴，在和中，，∴（），∴．【點睛】本題考查中線加倍構(gòu)圖，三角形全等判定與性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，掌握中線加倍構(gòu)圖，三角形全等判定與性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式訓練2】（1）如圖1，已知中，AD是中線，求證：；（2）如圖2，在中，D，E是BC的三等分點，求證：；（3）如圖3，在中，D，E在邊BC上，且．求證：．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【分析】（1）利用“倍長中線”法，延長AD，然后通過全等以及三角形的三邊關(guān)系證明即可；（2）取DE中點H，連接AH并延長至Q點，使得AH=QH，連接QE和QC，通過“倍長中線”思想全等證明，進而得到AB=CQ，AD=EQ，然后結(jié)合三角形的三邊關(guān)系建立不等式證明即可得出結(jié)論；（3）同（2）處理方式一樣，取DE中點M，連接AM并延長至N點，使得AM=NM，連接NE，CE，結(jié)合“倍長中線”思想證明全等后，結(jié)合三角形的三邊關(guān)系建立不等式證明即可得出結(jié)論．【詳解】證：（1）如圖所示，延長AD至P點，使得AD=PD，連接CP，∵AD是△ABC的中線，∴D為BC的中點，BD=CD，在△ABD與△PCD中，∴△ABD≌△PCD(SAS)，∴AB=CP，在△APC中，由三邊關(guān)系可得AC+PC＞AP，∴；（2）如圖所示，取DE中點H，連接AH并延長至Q點，使得AH=QH，連接QE和QC，∵H為DE中點，D、E為BC三等分點，∴DH=EH，BD=DE=CE，∴DH=CH，在△ABH和△QCH中，，∴△ABH≌△QCH(SAS)，同理可得：△ADH≌△QEH，∴AB=CQ，AD=EQ，此時，延長AE，交CQ于K點，∵AC+CQ=AC+CK+QK，AC+CK＞AK，∴AC+CQ＞AK+QK，又∵AK+QK=AE+EK+QK，EK+QK＞QE，∴AK+QK＞AE+QE，∴AC+CQ＞AK+QK＞AE+QE，∵AB=CQ，AD=EQ，∴；（3）如圖所示，取DE中點M，連接AM并延長至N點，使得AM=NM，連接NE，CE，∵M為DE中點，∴DM=EM，∵BD=CE，∴BM=CM，在△ABM和△NCM中，∴△ABM≌△NCM(SAS)，同理可證△ADM≌△NEM，∴AB=NC，AD=NE，此時，延長AE，交CN于T點，∵AC+CN=AC+CT+NT，AC+CT＞AT，∴AC+CN＞AT+NT，又∵AT+NT=AE+ET+NT，ET+NT＞NE，∴AT+NT＞AE+NE，∴AC+CN＞AT+NT＞AE+NE，∵AB=NC，AD=NE，∴．【點睛】本題考查全等三角形證明問題中輔助線的添加，掌握“倍長中線”的基本思想，以及熟練運用三角形的三邊關(guān)系是解題關(guān)鍵．【變式訓練3】（1）閱讀理解：如圖①，在中，若，求邊上的中線的取值范圍．可以用如下方法：將繞著點D逆時針旋轉(zhuǎn)得到，在中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線的取值范圍是_______；（2）問題解決：如圖②，在中，D是邊上的中點，于點D，交于點E，DF交于點F，連接，求證：；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形中，，，，以C為頂點作一個的角，角的兩邊分別交于E、F兩點，連接EF，探索線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）；（2）見解析；（3），理由見解析【分析】（1）如圖①：將繞著點D逆時針旋轉(zhuǎn)得到可得，得出，然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求出的取值范圍，進而求得的取值范圍；（2）如圖②：繞著點D旋轉(zhuǎn)得到可得，得出，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出，在中，由三角形的三邊關(guān)系得出即可得出結(jié)論；（3）將繞著點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到可得，得出，證出，再由證明，得出，進而證明結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖①：將繞著點D逆時針旋轉(zhuǎn)得到∴（），∴，,即∵是邊上的中線，∴，在中，由三角形的三邊關(guān)系得：，∴，即，∴；故答案為；（2）證明：如圖②：繞著點D旋轉(zhuǎn)得到∴（），∴，∵∴，在中，由三角形的三邊關(guān)系得：，∴；（3），理由如下：如圖③，將繞著點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)∴△DCF≌△BCH，∴∴∵∴，∴點A、B、H三點共線∵，，∴∴，在和中，，∴（）∴，∵∴．【點睛】本題屬于三角形綜合題，主要考查對全等三角形的性質(zhì)和判定、三角形的三邊關(guān)系定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識點，通過旋轉(zhuǎn)得到構(gòu)造全等三角形是解答本題的關(guān)鍵.類型二、截長補短模型截長補短法使用范圍：線段和差的證明（往往需證2次全等）例1．如圖，在五邊形中，，平分，．

(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）在上截取，連接，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，，進而證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，進而即可求解；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，結(jié)合圖形可得，即可求解．【詳解】（1）解：在上截取，連接．

∵平分，∴．在和中，∴∴，．又∵，∴．又∵，∴，∴．在和中，，∴∴．∴．（2）∵，∴．∵，∴．∴．∴．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與怕那段是解題的關(guān)鍵．例2．（培優(yōu)）在中，BE，CD為的角平分線，BE，CD交于點F．（1）求證：；（2）已知．①如圖1，若，，求CE的長；②如圖2，若，求的大?。敬鸢浮浚?）證明見解析；（2）2.5；（3）100°．【分析】（1）由三角形內(nèi)角和定理和角平分線得出的度數(shù)，再由三角形內(nèi)角和定理可求出的度數(shù)，（2）在BC上取一點G使BG=BD，構(gòu)造（SAS），再證明，即可得，由此求出答案；（3）延長BA到P，使AP=FC，構(gòu)造（SAS），得PC=BC，，再由三角形內(nèi)角和可求，，進而可得．【詳解】解：（1）、分別是與的角平分線，，，，（2）如解（2）圖，在BC上取一點G使BG=BD，由（1）得，，，∴，在與中，，∴（SAS）∴，∴，∴，∴在與中，，，，，；∵，，∴（3）如解（3）圖，延長BA到P，使AP=FC，，∴，在與中，，∴（SAS）∴，，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴，，∴，【點睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．【變式訓練1】如圖，為等邊三角形，若，則（用含的式子表示）．【答案】/【分析】在BD上截取BE=AD，連結(jié)CE，可證得，從而得到CE=CD，∠DCE=∠ACB=60°，從而得到是等邊三角形，進而得到∠BDC=60°，則有，即可求解．【詳解】解：如圖，在BD上截取BE=AD，連結(jié)CE，∵為等邊三角形，∴BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，∵，BE=AD，∴，∴CE=CD，∠BCE=∠ACD，∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE，∴∠DCE=∠ACB=60°，∵CE=CD，∴是等邊三角形，∴∠BDC=60°，∴．故答案為：【點睛】本題主要考查了等邊三角形判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是做出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．【變式訓練2】如圖，在四邊形中，，點E、F分別在直線、上，且．(1)當點E、F分別在邊、上時（如圖1），請說明的理由．(2)當點E、F分別在邊、延長線上時（如圖2），（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請說明理由；若不成立，請寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)不成立，，見解析【分析】（1）延長EB至G，使BG＝DF，連接AG，通過證明△ABG≌△ADF，△EAG≌△EAF可得GE＝EF，進而可說明EF＝BE+DF；（2）在BE上截取BM＝DF，連接AM，通過證明△ABM≌△ADF，△AME≌△AFE可得ME＝EF，進而可得EF＝BE﹣FD．【詳解】（1）EF＝BE+DF，理由：延長EB至G，使BG＝DF，連接AG，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABG＝180°，∴∠ADC＝∠ABG，在△ABG和△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠BAE+∠DAF＝∠BAE+∠BAG＝∠EAF，即∠EAG＝∠EAF，在△EAG和△EAF中，，∴△EAG≌△EAF（SAS），∴GE＝EF，∴EF＝BE+DF；（2）（1）中結(jié)論不成立，EF＝BE﹣FD，在BE上截取BM＝DF，連接AM，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，∴∠ABC＝∠ADF，在△ABM和△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，∵∠BAM+∠MAD＝∠DAF+∠MAD，∴∠BAD＝∠MAF，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠EAF＝∠MAF，∴∠EAF＝∠EAM，在△AME和△AFE中，，∴△AME≌△AFE（SAS），∴ME＝EF，∴ME＝BE﹣BM＝BE﹣DF，∴EF＝BE﹣FD．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線證明相關(guān)三角形全等是解題的關(guān)鍵．【變式訓練3】閱讀下面材料：【原題呈現(xiàn)】如圖1，在ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2.2，AC＝3.6，求BC的長．【思考引導】因為CD平分∠ACB，所以可在BC邊上取點E，使EC＝AC，連接DE．這樣很容易得到DEC≌DAC，經(jīng)過推理能使問題得到解決（如圖2）．【問題解答】（1）參考提示的方法，解答原題呈現(xiàn)中的問題；（2）拓展提升：如圖3，已知ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，BD＝2.3，BC＝2．求AD的長．【答案】（1）5.8；（2）4.3【分析】（1）由已知條件和輔助線的作法，證得△ACD≌△ECD，得到AD＝DE，∠A＝∠DEC，由于∠A＝2∠B，推出∠DEC＝2∠B，等量代換得到∠B＝∠EDB，得到△BDE是等腰三角形，得出AC＝CE＝3.6，DE＝BE＝2.2，相加可得BC的長；（2）在BA邊上取點E，使BE＝BC＝2，連接DE，得到△DEB≌△DBC（SAS），在DA邊上取點F，使DF＝DB，連接FE，得到△BDE≌△FDE，即可推出結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖2，在BC邊上取點E，使EC＝AC，連接DE．在△ACD與△ECD中，，∴△ACD≌△ECD（SAS），∴AD＝DE，∠A＝∠DEC，∵∠A＝2∠B，∴∠DEC＝2∠B，∴∠B＝∠EDB，∴△BDE是等腰三角形；∴BE＝DE＝AD＝2.2，AC＝EC＝3.6，∴BC的長為5.8；（2）∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，∴∠ABC＝∠C＝80°，∵BD平分∠B，∴∠1＝∠2＝40°，∠BDC＝60°，在BA邊上取點E，使BE＝BC＝2，連接DE，在△DEB和△DBC中，，∴△DEB≌△DBC（SAS），∴∠BED＝∠C＝80°，∴∠4＝60°，∴∠3＝60°，在DA邊上取點F，使DF＝DB，連接FE，同理可得△BDE≌△FDE，∴∠5＝∠1＝40°，BE＝EF＝2，∵∠A＝20°，∴∠6＝20°，∴AF＝EF＝2，∵BD＝DF＝2.3，∴AD＝BD+BC＝4.3．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，熟悉這些定理是解決本題的關(guān)鍵．類型三、一線三等角模型應(yīng)用：①通過證明全等實現(xiàn)邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化，便于解決對應(yīng)的幾何問題；②與函數(shù)綜合應(yīng)用中有利于點的坐標的求解。例1．如圖1，，垂足分別為D，E．(1)若，求的長．(2)在其它條件不變的前提下，將所在直線變換到的外部（如圖2），請你猜想三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)如圖3，將（1）中的條件改為：在中，，D，C，E三點在同一條直線上，并且有，其中α為任意鈍角，那么（2）中你的猜想是否還成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．【答案】(1)0.8cm(2)，證明見解析(3)結(jié)論成立，證明見解析【分析】（1）（2）（3）方法相同，利用定理證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、結(jié)合圖形解答．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴；（2）．證明：∵，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴；（3）結(jié)論成立，證明：，∴，在和中，，∴，∴，∴；即結(jié)論成立；【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．例2．在正方形中，點在射線上（不與點，重合），連接，，過點作，并截取（點，在同側(cè)），連接．（1）如圖1，點在邊上．①依題意補全圖1；②用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）如圖2，點在邊的延長線上，其他條件均不變，直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）①見解析；②，見解析；（2），見解析【分析】（1）①根據(jù)要求畫出圖形即可；②過點F作FH⊥CB，交CB的延長線于H．證明△DCE≌△EHF（AAS），推出EC＝FH，DC＝EH，推出CE＝BH＝FH，再利用勾股定理解決問題即可；（2）由②可得△DCE≌△EHF，推出EC＝FH，DC＝EH，推出CE＝BH＝FH，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)解決問題即可．【詳解】解（1）①圖形如圖所示．②結(jié)論：．理由：過點作，交的延長線于，四邊形是正方形，，，，，，，在和中，，，，，，．（2）結(jié)論：．理由：過點作，交于，四邊形是正方形，，，，，，，在和中，，，，，，和都是等腰直角三角形，，，，，，．【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查作圖?旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．【變式訓練1】通過對數(shù)學模型“K字”模型或“一線三等角”模型的研究學習，解決下列問題：[模型呈現(xiàn)]如圖1，，，過點B作于點C，過點D作于點E．求證：．[模型應(yīng)用]如圖2，且，且，請按照圖中所標注的數(shù)據(jù)，計算圖中實線所圍成的圖形的面積為________________．[深入探究]如圖3，，，，連接，，且于點F，與直線交于點G．若，，則的面積為_____________．【答案】[模型呈現(xiàn)]見解析；[模型應(yīng)用]50；[深入探究]63【分析】[模型呈現(xiàn)]證明，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得到；[模型應(yīng)用]根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，，根據(jù)梯形的面積公式計算，得到答案；[深入探究]過點D作于P，過點E作交的延長線于Q，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，證明，得到，進而求出，根據(jù)三角形的面積公式計算即可．【詳解】[模型呈現(xiàn)]證明：∵，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴；[模型應(yīng)用]解：由[模型呈現(xiàn)]可知，，∴，則，故答案為：50；[深入探究]過點D作于P，過點E作交AG的延長線于Q，由[模型呈現(xiàn)]可知，，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：63．【點睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積計算，熟記三角形確定的判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式訓練2】（1）某學習小組在探究三角形全等時，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形．如圖1，已知：在中，，，直線l經(jīng)過點A，直線l，直線l，垂足分別為點D，E．求證：．（2）組員小明想，如果三個角不是直角，那結(jié)論是否會成立呢？如圖2，將（1）中的條件改為：在中，，D，A，E三點都在直線l上，并且有，其中為任意銳角或鈍角．請問結(jié)論是否成立？若成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．（3）數(shù)學老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵他們運用這個知識來解決問題：如圖3，過的邊AB，AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC邊上的高．延長HA交EG于點I．若，則______．【答案】（1）見解析；（2）結(jié)論成立，理由見解析；（3）3.5【分析】（1）由條件可證明△ABD≌△CAE，可得DA=CE，AE=BD，可得DE=BD+CE；（2）由條件可知∠BAD+∠CAE=180°-α，且∠DBA+∠BAD=180°-α，可得∠DBA=∠CAE，結(jié)合條件可證明△ABD≌△CAE，同（1）可得出結(jié)論；（3）由條件可知EM=AH=GN，可得EM=GN，結(jié)合條件可證明△EMI≌△GNI，可得出結(jié)論I是EG的中點．【詳解】解：（1）證明：如圖1中，∵BD⊥直線l，CE⊥直線l，∴∠BDA=∠CEA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE．（2）解：成立．理由：如圖2中，∵∠BDA=∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，∴∠DBA=∠CAE，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE．（3）如圖3，過E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延長線于N．∴∠EMI=∠GNI=90°由（1）和（2）的結(jié)論可知EM=AH=GN∴EM=GN在△EMI和△GNI中，，∴△EMI≌△GNI（AAS），∴EI=GI，∴I是EG的中點．∴S△AEI=S△AEG=3.5．故答案為：3.5．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．類型四、手拉手模型例1．【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，和均為等邊三角形，點B，D，E在同一直線上，連接，容易發(fā)現(xiàn)：①的度數(shù)為；②線段、之間的數(shù)量關(guān)系為；【類比探究】（2）如圖2，和均為等腰直角三角形，，點B，D，E在同一直線上，連接，試判斷的度數(shù)以及線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【問題解決】（3）如圖3，，，，，則的值為．【答案】（1）①；②；（2），，見解析；（3）8【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，得到，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；（2）由“”可證，可得，即可求解；（3）如圖3，作輔助線構(gòu)建全等三角形，由“”可證，可得，，可求，根據(jù)列方程可得x的值，最后由勾股定理可求解．【詳解】解：（1）∵和均為等邊三角形，∴，∴，即，在和中，，∴（），∴，∴，故答案為：；（2），理由如下：∵，和均為等腰直角三角形，∴，，，即，在和中，，∴（），∴，∴，∵，∴；（3）如圖3，過點C作，交的延長線于F，過點B作于E，∴，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴（），∴，設(shè)，則，，∴∴，∴，，∴，∴在中，．故答案為：．【點睛】本題是三角形的綜合題，考查的是等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．例2．（培優(yōu)）如圖1，在中，，，點D、E分別在邊AB，上，，連接DC，點M，P，N分別為DE，DC，BC的中點．(1)觀察猜想：圖中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______；(2)探究證明：把繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接，，，判斷的形狀，并說明理由；(3)拓展延伸：把繞點A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，請直接寫出面積的最大值．【答案】(1)，(2)是等腰直角三角形(3)【分析】（1）利用三角形的中位線得出，，進而判斷出，即可得出結(jié)論，再利用三角形的中位線得出得出，最后用互余即可得出結(jié)論；（2）先判斷出，得出，同（1）的方法得出，，即可得出，同（1）的方法即可得出結(jié)論；（3）先判斷出最大時，的面積最大，而最大是，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）點，是，的中點，，，點，是，的中點，∴，，∴，，，，∵，，∵，，，，，，故答案為：，；（2）是等腰直角三角形，理由如下：由旋轉(zhuǎn)知，，∵，，，，，利用三角形的中位線得，，，，是等腰三角形，同（1）的方法得，，，同（1）的方法得，，，，，，，，是等腰直角三角形；（3）由（2）知，是等腰直角三角形，，最大時，面積最大，點在的延長線上，，，．【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，主要考查了三角形的中位線定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判斷和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)的綜合運用；解（1）的關(guān)鍵是判斷出，，解（2）的關(guān)鍵是判斷出，解（3）的關(guān)鍵是判斷出最大時，的面積最大．【變式訓練1】如圖，在中，，，點O是中點，，將繞點O旋轉(zhuǎn)，的兩邊分別與射線、交于點D、E．(1)當轉(zhuǎn)動至如圖一所示的位置時，連接，求證：；(2)當轉(zhuǎn)動至如圖二所示的位置時，線段、、之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．【答案】(1)見解析(2)CE﹣CD＝AC．理由見解析【分析】（1）結(jié)論：．連接．證明；（2）結(jié)論：，證明方法類似（1）．【詳解】（1）證明：∵，，，∴，，∴，∵，∴，在和中，，∴．（2）解：．理由：連接．∵，，，∴，，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴．【點睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．【變式訓練2】已知在中，，過點B引一條射線，D是上一點【問題解決】(1)如圖1，若，射線在內(nèi)部，，求證：，小明同學展示的做法是：在上取一點E使得，通過已知的條件，從而求得的度數(shù)，請你幫助小明寫出證明過程；【類比探究】(2)如圖2，已知．①當射線在內(nèi)，求的度數(shù)②當射線在下方，如圖3所示，請問的度數(shù)會變化嗎?若不變，請說明理由，若改變，請求出的度數(shù)；【答案】(1)見解析(2)①②；的度數(shù)會變化，理由見解析【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的判定定理得到、是等邊三角形，進而得到，根據(jù)證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，得到答案；（2）①在上取一點E，，證明，得到，可求出答案；②在延長線上取一點E，使得，同理證明，求出，進而求出．【詳解】（1）證明：如圖1，在上取一點E，使，∵，∴是等邊三角形，∴，∵，，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，即，∵在和中，∴，∴，∴；（2）證明：①在上取一點E，，如圖所示：∵，，∴，，∴，∴，∵在和中，∴，∴，∴；②的度數(shù)會變化，理由如下：在延長線上取一點E，使得，如圖所示：同理①的方法可證：，∴，∴．【點睛】本題考查的是等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形進行計算和證明是解題的關(guān)鍵．類型五、半角模型例1．已知：邊長為4的正方形ABCD，∠EAF的兩邊分別與射線CB、DC相交于點E、F，且∠EAF＝45°，連接EF．求證：EF＝BE+DF．思路分析：(1)如圖1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，∴把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADE'，則F、D、E'在一條直線上，∠E'AF＝度，……根據(jù)定理，可證：△AEF≌△AE'F．∴EF＝BE+DF．類比探究：(2)如圖2，當點E在線段CB的延長線上，探究EF、BE、DF之間存在的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程；拓展應(yīng)用：(3)如圖3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求線段BD、DE、EC圍成的三角形的面積．【答案】(1)45(2)DF＝BE+EF，證明見解析(3)2【分析】（1）把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至，則、、在一條直線上，，再證△，得，進而得出結(jié)論；（2）將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，再證△，得，進而得出結(jié)論；（3）將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則，得，因此，同（2）得△，則，，得、、圍成的三角形面積，即可求解．【詳解】（1）解：如圖1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，∴把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至，則F、D、在一條直線上，≌△ABE，∴＝BE，∠＝∠BAE，＝AE，∴∠＝∠EAD+∠＝∠EAD+∠BAE＝∠BAD＝90°，則∠＝∠﹣∠EAF＝45°，∴∠EAF＝∠，∴△AEF≌△（SAS），∴，∵，∴EF＝BE+DF．故答案為：45；（2）解：DF＝BE+EF

理由如下：將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△，∴△≌△ABE，∴AE＝，BE＝，∠＝∠BAE，∴∠＝∠BAE+∠＝∠+∠＝∠BAD＝90°，則∠＝∠﹣∠EAF＝45°，∴∠＝∠EAF＝45°，在△AEF和△中，，∴△AEF≌△（SAS），∴，∵，∴DF＝BE+EF；（3）解：將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△，連接，則△≌△ABD，∴CD'＝BD，∴，同（2）得：△ADE≌△（SAS），∴，，∴BD、DE、EC圍成的三角形面積為、、EC圍成的三角形面積．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及四邊形和三角形面積等知識，本題綜合性強，解此題的關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的啟發(fā)正確作出輔助線得出全等三角形，屬于中考?？碱}型．例2．（培優(yōu)）如圖，，，，，．（1）求的度數(shù)；（2）以E為圓心，以長為半徑作??；以F為圓心，以長為半徑作弧，兩弧交于點G，試探索的形狀？是銳角三形，直角三角形還是鈍角三角形？請說明理由．【答案】（1）45°；（2）見詳解【分析】（1）由CA⊥CB，可得∠ACB＝90°，再根據(jù)∠ECF＝45°，即可得出答案；（2）如圖，連接DE，先證明△ECF≌△ECD（SAS），可得DE＝EF，再證明△CAD≌△CBF（SAS），可得AD＝BF，∠CAD＝∠B，即可得出∠DAE＝90°，再利用SSS證明△EFG≌△EDA，即可得出答案．【詳解】解：（1）∵CA⊥CB，∴∠ACB＝90°，∴∠ACE＋∠ECF＋∠BCF＝90°，∵∠ECF＝45°，∴∠ACE＋∠BCF＝90°?∠ECF＝45°；（2）△EFG是直角三角形，理由如下：如圖，連接DE，由（1）知，∠ACE＋∠BCF＝45°，∵∠ACD＝∠BCF，∴∠ACE＋∠ACD＝45°，即∠DCE＝45°，∵∠ECF＝45°，∴∠ECF＝∠ECD，在△ECF和△ECD中，，∴△ECF≌△ECD（SAS），∴DE＝EF，在△CAD和△CBF中，，∴△CAD≌△CBF（SAS），∴AD＝BF，∠CAD＝∠B，∵FG＝BF，∴FG＝AD，∵∠ACB＝90°，CA＝CB，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝∠B＝45°，∴∠DAE＝∠CAB＋∠B＝90°，在△EFG和△EDA中，，∴△EFG≌△EDA（SSS），∴∠EGF＝∠EAD＝90°，∴△EFG是直角三角形．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰直角三角形性質(zhì)，直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)等知識，解題關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形，熟練運用全等三角形判定和性質(zhì)解決問題．【變式訓練1】已知四邊形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD，DC（或它們的延長線）于E、F．（1）當∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)到AE＝CF時（如圖1），試猜想AE，CF，EF之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請將三條線段分別填入后面橫線中：＋＝．（不需證明）（2）當∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)到AE≠CF（如圖2）時，上述（1）中結(jié)論是否成立？請說明理由．（3）當∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)到AE≠CF（如圖3）時，上述（1）中結(jié)論是否成立？若不成立，線段AE，CF，EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜想，不需證明．【答案】（1）AE；CF；EF；（2）成立，見解析；（3）不成立，新的關(guān)系為AE＝EF＋CF．【分析】（1）根據(jù)題意易得△ABE≌△CBF，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠ABE=∠CBF=30°，進而根據(jù)30°角的直角三角形及等邊三角形的性質(zhì)可求解；（2）如圖2，延長FC到H，使CH=AE，連接BH，根據(jù)題意可得△BCH≌△BAE，則有BH=BE，∠CBH=∠ABE，進而可證△HBF≌△EBF，推出HF=EF，最后根據(jù)線段的等量關(guān)系可求解；（3）如圖3，在AE上截取AQ=CF，連接BQ，根據(jù)題意易得△BCF≌△BAQ，推出BF=BQ，∠CBF=∠ABQ，進而可證△FBE≌△QBE，推出EF=QE即可．【詳解】解：（1）如圖1，AE+CF=EF，理由如下：∵AB⊥AD，BC⊥CD，∴∠A=∠C=90°，∵AB=BC，AE=CF，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴∠ABE=∠CBF，BE=BF，∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，∴∠ABE=∠CBF=30°，∴，∵∠MBN=60°，BE=BF，∴△BEF是等邊三角形，∴，故答案為：AE+CF=EF；（2）如圖2，（1）中結(jié)論成立；理由如下：延長FC到H，使CH=AE，連接BH，∵AB⊥AD，BC⊥CD，∴∠A=∠BCH=90°，∴△BCH≌△BAE（SAS），∴BH=BE，∠CBH=∠ABE，∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，∴∠ABE+∠CBF=120°-60°=60°，∴∠HBC+∠CBF=60°，∴∠HBF=∠MBN=60°，∴∠HBF=∠EBF，∴△HBF≌△EBF（SAS），∴HF=EF，∵HF=HC+CF=AE+CF，∴EF=AE+CF；（3）如圖3，（1）中的結(jié)論不成立，關(guān)系為AE=EF+CF，理由如下：在AE上截取AQ=CF，連接BQ，∵AB⊥AD，BC⊥CD，∴∠A=∠BCF=90°，∵AB=BC，∴△BCF≌△BAQ（SAS），∴BF=BQ，∠CBF=∠ABQ，∵∠MBN=60°=∠CBF+∠CBE，∴∠CBE+∠ABQ=60°，∵∠ABC=120°，∴∠QBE=120°-60°=60°=∠MBN，∴∠FBE=∠QBE，∴△FBE≌△QBE（SAS），∴EF=QE，∵AE=QE+AQ=EF+CF，∴AE=EF+CF．【點睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定、含30°角的直角三角形的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定、含30°角的直角三角形的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓練2】（1）如圖，在正方形中，、分別是，上的點，且．直接寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖，在四邊形中，，，、分別是，上的點，且，求證：；（3）如圖，在四邊形中，，，延長到點，延長到點，使得，則結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；不成立，請寫出它們的數(shù)量關(guān)系并證明．【答案】（1），理由見詳解；（2）見詳解；（3）結(jié)論EF＝BE＋FD不成立，應(yīng)當是EF＝BE?FD．理由見詳解．【分析】（1）在CD的延長線上截取DM＝BE，連接AM，證出△ABE≌△ADM，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出BE＝DM，再證明△AEF≌△AMF，得EF＝FM，進而即可得出答案；（2）在CD的延長線上截取DG＝BE，連接AG，證出△ABE≌△ADG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出BE＝DG，再證明△AEF≌△AGF，得EF＝FG，即可得出答案；（3）按照（2）的思路，我們應(yīng)該通過全等三角形來實現(xiàn)相等線段的轉(zhuǎn)換．就應(yīng)該在BE上截取BG，使BG＝DF，連接AG．根據(jù)（2）的證法，我們可得出DF＝BG，GE＝EF，那么EF＝GE＝BE?BG＝BE?DF．所以（1）的結(jié)論在（3）的條件下是不成立的．【詳解】（1）解：，理由如下：延長CD，使DM=BE，連接AM，∵在正方形中，AB=AD，∠B=∠ADM=90°，∴，∴∠BAE=∠DAM，AE=AM，∵，∴∠BAE+∠DAF=∠DAM+∠DAF=90°-45°=45°，∴∠EAF=∠MAF=45°，又∵AF=AF，AE=AM，∴，∴EF=MF=MD+DF=BE+DF；（2）在CD的延長線上截取DG＝BE，連接AG，如圖，∵∠ADF＝90°，∠ADF＋∠ADG＝180°，∴∠ADG＝90°，∵∠B＝90°，∴∠B＝∠ADG＝90°，∵BE＝DG，AB＝AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AG＝AE，∴∠EAG＝∠EAD＋∠DAG＝∠EAD＋∠ABE＝∠BAD，∵，∴∠EAF＝∠FAG，又∵AF＝AF，AE＝AG，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG＝DF＋DG＝EB＋DF；（3）結(jié)論EF＝BE＋FD不成立，應(yīng)當是EF＝BE?FD．理由如下：如圖，在BE上截取BG，使BG＝DF，連接AG．∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADF＋∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF．∵在△ABG與△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS）．∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．∴∠BAG＋∠EAD＝∠DAF＋∠EAD＝∠EAF＝∠BAD．∴∠GAE＝∠BAD=∠EAF．∵AE＝AE，AG＝AF．∴△AEG≌△AEF．∴EG＝EF，∵EG＝BE?BG∴EF＝BE?FD．【點睛】本題考查了三角形綜合題，三角形全等的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用旋轉(zhuǎn)變換的思想添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，解題時注意一些題目雖然圖形發(fā)生變化，但是證明思路和方法是類似的，屬于中考壓軸題．類型六、旋轉(zhuǎn)模型例．如圖，在中，，點D在內(nèi)，，，點E在外，．(1)的度數(shù)為_______________；(2)小華說是等腰三角形，小明說是等邊三角形，___________的說法更準確，并說明理由；(3)連接，若，求的長．【答案】(1)(2)小明，理由見解析(3)5【分析】（1）首先證明△DBC是等邊三角形，推出∠BDC=60°，可證明△ADB≌△ADC，繼而推出∠ADB=∠ADC進行計算即可；（2）小明更準確，△ABE是等邊三角形．只需證明△ABD≌△EBC即可；（3）首先證明△DEC是含有30度角的直角三角形，求出EC的長，利用全等三角形的性質(zhì)即可解決問題．【詳解】（1）解：∵BD=BC，∠DBC=60°，∴△DBC是等邊三角形，∴DB=DC，∠BDC=∠DBC=∠DCB=60°．在△ADB和△ADC中，

，∴△ADB≌△ADC（SSS），∴∠ADB=∠ADC

，∴∠ADB=(360°﹣60°)=150°．（2）解：小明的說法更準確，理由如下：∵∠ABE=∠DBC=60°，∴∠ABD=∠EBC，在△ABD和△EBC中，∴△ABD≌△EBC（ASA），∴AB=BE．∵∠ABE=60°，∴△ABE是等邊三角形．（3）解：連接DE，如圖所示，∵∠BCE=150°，∠DCB=60°，∴∠DCE=90°，∵∠EDB=90°，∠BDC=60°，∴∠EDC=30°，∴．∵△ABD≌△EBC，∴．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、30度角的直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)．例2．（培優(yōu)）已知點C為線段上一點，分別以為邊在線段AB同側(cè)作和，且．，，直線與交于點F．

(1)如圖1，可得___________；若，則___________．(2)如圖2，若，則___________．（用含a的式子表示）(3)設(shè)，將圖2中的繞點C順時針旋轉(zhuǎn)任意角度（交點F至少在中的一條線段上），如圖3．試探究與a的數(shù)量關(guān)系，并予以說明．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)證明，得出，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得到，進而可得答案；（2）根據(jù)證明，得出，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得到，進而可得答案；（3）分三種情況：當交點F在線段上，在線段上，在線段上時；結(jié)合圖形，仿照（2）小題的證明解答即可．【詳解】（1）∵，∴，在和中，∴（），∴，∵，∴，∴；故答案為：；

（2）∵，∴，在和中，∴（），∴，∵，∴，∴；故答案為：；

（3）當交點F在線段上時，如圖3，∵，∴，在和中，∴（），∴，∵，∴，∴；

當交點F在線段上時，如圖4，同理可得：；

當交點F在線段上時，如圖5，∵，∴，在和中，∴（），∴，∵，∴；綜上，或．

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理等知識，正確分類、熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓練1】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，點D是直線AB上的一點，連接CD，將線段CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段CE，連接EB．（1）操作發(fā)現(xiàn)如圖1，當點D在線段AB上時，請你直接寫出AB與BE的位置關(guān)系為；線段BD、AB、EB的數(shù)量關(guān)系為；（2）猜想論證當點D在直線AB上運動時，如圖2，是點D在射線AB上，如圖3，是點D在射線BA上，請你寫出這兩種情況下，線段BD、AB、EB的數(shù)量關(guān)系，并對圖2的結(jié)論進行證明；（3）拓展延伸若AB＝5，BD＝7，請你直接寫出△ADE的面積．【答案】（1）AB⊥BE，AB＝BD+BE；（2）圖2中BE＝AB+BD，圖3中，BD＝AB+BE，證明見解析；（3）72或2【分析】（1）首先通過SAS證明△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性質(zhì)和等量代換即可得出答案；（2）仿照（1）中證明△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（3）首先求出BE的長度，然后利用S△AED?AD?EB即可求解．【詳解】解：（1）如圖1中，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠CBE＝∠A，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠CBA＝45°，∴∠CBE＝∠A＝45°，∴ABE＝90°，∴AB⊥BE，∵AB＝AD+BD，AD＝BE，∴AB＝BD+BE，故答案為AB⊥BE，AB＝BD+BE．（2）①如圖2中，結(jié)論：BE＝AB+BD．理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∵AD＝AB+BD，AD＝BE，∴BE＝AB+BD．②如圖3中，結(jié)論：BD＝AB+BE．理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE，∵BD＝AB+AD，AD＝BE，∴BD＝AB+BE．（3）如圖2中，∵AB＝5，BD＝7，∴BE＝AD＝5+7＝12，∵BE⊥AD，∴S△AED?AD?EB12×12＝72．如圖3中，∵AB＝5，BD＝7，∴BE＝AD＝BD﹣AB＝7﹣5＝2，∵BE⊥AD，∴S△AED?AD?EB2×2＝2．【點睛】本題主要考查全等三角形，掌握全等三角形的判定及性質(zhì)并分情況討論是關(guān)鍵．【變式訓練2】如圖，等邊中，分別交、于點、．（1）求證：是等邊三角形；（2）將繞點順時針旋轉(zhuǎn)（），設(shè)直線與直線相交于點．①如圖，當時，判斷的度數(shù)是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由；②若，，當，，三點共線時，求的長．【答案】（1）見解析；（2）①的度數(shù)是定值，為60°；②或8．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可得，再由，可得到，，從而得到，即可求證；（2）根據(jù)題意，可證得，從而得到，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°，即可求解；（3）分兩種情況討論：當，，三點共線，且在BC上方時，當，，三點共線，且在BC下方時，即可求解．【詳解】證明：（1）是等邊三角形，∴，∵，∴，，，∴是等邊三角形；（2）解：①的度數(shù)是定值，理由如下：是等邊三角形，∴BC=AC，CD=CE，，∴，在和中，，∴，∴，又∵，∴，即的度數(shù)是定值，為60°；②當，，三點共線，且在BC上方時，過點作，∵是等邊三角形，，∴，在中，由勾股定理得：，在中，，；當，，三點共線，且在BC下方時.，綜上所述，或8．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，圖形的旋轉(zhuǎn)，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．課后訓練1．已知：如圖，在中，，、分別為、上的點，且、交于點．若、為的角平分線．(1)求的度數(shù)；(2)若，，求的長．【答案】(1)(2)10【分析】（1）由題意，根據(jù)，即可解決問題；（2）在上截取，連接．只要證明，推出，，再證明，推出，由此即可解決問題．【詳解】（1）解：、分別為的角平分線，，，，；（2）解：在上截取，連接．、分別為的角平分線，，，，在和中，，，，，在和中，，，，．【點睛】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的定義等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線構(gòu)造全等三角形解決問題．2．在與中，，，．

(1)如圖1，若點D，B，C在同一直線上，連接，，則與的關(guān)系為________．(2)如果將圖1中的繞點B在平面內(nèi)順時針旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，那么請你判斷與的關(guān)系，并說明理由(3)如圖3，若，，連接，分別取，，的中點M，P，N，連接，，，將繞點B在平面內(nèi)順時針旋轉(zhuǎn)一周，請直接寫出旋轉(zhuǎn)過程中的面積最大值和最小值．【答案】(1)，；(2)，；理由見解析；(3)最小值為2，最大值為8．【分析】（1）延長交于，證明，得出，，根據(jù)，得出，即可得出結(jié)論；（2）延長交于點，交于點，通過證明，得出，，根據(jù)，，得出，即可得出結(jié)論；（3）連接，由（1）（2）同理可得，，，根據(jù)三角形的中位線定理可得，，進而得出，，則，當點E在上時，取最小值，此時也取最小值，則最?。划旤cE在延長線上時，取最大值，此時也取最大值，則最大．【詳解】（1）解：延長交于，

在和中，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，故答案為：，；（2）解：，；理由：延長交于點，交于點，

∵，∴，又∵，，∴，∴，，∵，，∴，∴，；（3）解：連接，

由（1）（2）同理可得，，∵點M