備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義微專(zhuān)題13　空間幾何體的外接球

微專(zhuān)題13空間幾何體的外接球能還原成長(zhǎng)方體的錐體的外接球例1(1)在三棱錐A－BCD中，側(cè)棱AB，AC，AD兩兩垂直，若△ABC，△ACD，△ADB的面積分別為eq\f(\r(,2),2)，eq\f(\r(,3),2)，eq\f(\r(,6),2)，則三棱錐A－BCD的外接球的體積為(A)A.eq\r(,6)π B.2eq\r(,6)πC.3eq\r(,6)π D.4eq\r(,6)π解析：設(shè)AB，AC，AD的長(zhǎng)度分別為a，b，c，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝\r(,2)，,bc＝\r(,3)，,ca＝\r(,6)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\r(,2)，,b＝1，,c＝\r(,3).))因?yàn)槿龡l側(cè)棱兩兩垂直，所以以a，b，c為邊長(zhǎng)的長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)就是三棱錐的外接球的直徑長(zhǎng)，所以R＝eq\f(1,2)eq\r(,2＋1＋3)＝eq\f(\r(,6),2)，故所求外接球的體積為eq\f(4π,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(,6),2)))3＝eq\r(,6)π.(2)在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱(chēng)之為鱉臑．若三棱錐P－ABC為鱉臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱錐P－ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為(C)A.8π B.12πC.20π D.24π解析：如圖，由于三棱錐P－ABC的四個(gè)面都為直角三角形，則△ABC是直角三角形，且∠ABC＝eq\f(π,2)，所以BC＝eq\r(,AC2－AB2)＝2eq\r(,3).又PA⊥平面ABC，且△PAC是直角三角形，所以球O的直徑為PC＝2R＝eq\r(,PA2＋AB2＋BC2)＝eq\r(,20)＝2eq\r(,5)，所以R＝eq\r(,5)，故球O的表面積為S＝4πR2＝20π.(例1(2))一般錐體的外接球例2(1)已知正四棱錐P－ABCD的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，PA＝AB＝2，那么球O的表面積為(C)A.2π B.4πC.8π D.16π解析：如圖，連接AC，BD，交于點(diǎn)O，連接PO，則PO⊥平面ABCD，且OA＝OB＝OC＝OD＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)eq\r(22＋22)＝eq\r(2)，OP＝eq\r(PB2－OB2)＝eq\r(4－2)＝eq\r(2)，所以O(shè)是球心，其半徑為r＝eq\r(2)，所以球O的表面積為S＝4πr2＝8π.(例2(1))(2)已知P，A，B，C，D是球O的球面上的五個(gè)點(diǎn)，四邊形ABCD為梯形，AD∥BC，AB＝DC＝AD＝2，BC＝PA＝4，PA⊥平面ABCD，那么球O的體積為(A)A.eq\f(64\r(2)π,3) B.eq\f(16\r(2)π,3)C.16eq\r(2)π D.16π解析：如圖，取BC的中點(diǎn)E，連接AE，DE，BD.因?yàn)锳D∥BC且AD＝eq\f(1,2)BC＝EC＝BE，所以四邊形ADCE，四邊形ABED均為平行四邊形，所以AE＝DC，AB＝DE.又DC＝eq\f(1,2)BC，所以AE＝eq\f(1,2)BC＝AB，所以AE＝DE＝BE＝EC，所以E為四邊形ABCD外接圓的圓心．設(shè)O為外接球的球心，由球的性質(zhì)可知OE⊥平面ABCD，作OF⊥PA，垂足為F，所以四邊形AEOF為矩形，OF＝AE＝2.設(shè)AF＝x，OP＝OA＝R，則4＋(4－x)2＝4＋x2，解得x＝2，所以R＝eq\r(4＋4)＝2eq\r(2)，所以球O的體積為V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(64\r(2)π,3).(例2(2))棱柱的外接球例3設(shè)直三棱柱ABC－A1B1C1的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，且球的表面積是40π，AB＝AC＝AA1，∠BAC＝120°，則此直三棱柱的高是2eq\r(2).解析：設(shè)AB＝AC＝AA1＝a，球的半徑為R，則△BAC外接圓的半徑為eq\f(1,2)·eq\f(\r(3)a,sin120°)＝a.因?yàn)?πR2＝40π，所以R2＝10，所以R2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2＋a2＝10，解得a＝2eq\r(2)，即此直三棱柱的高是2eq\r(2).1.公式法：正方體或長(zhǎng)方體的外接球的球心為其體對(duì)角線的中點(diǎn)，即，找三條兩兩垂直的線段，直接用公式(2R)2＝a2＋b2＋c2，即2R＝eq\r(,a2＋b2＋c2)，求出R.2.補(bǔ)形法(補(bǔ)長(zhǎng)方體或正方體)：(1)墻角模型(三條線兩兩垂直)題設(shè)：三條棱兩兩垂直；(2)對(duì)棱相等模型(補(bǔ)形為長(zhǎng)方體)題設(shè)：在三棱錐(即四面體)中，已知三組對(duì)棱分別相等，求外接球半徑(AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD)．3.單面定球心法(“定＋算”)：步驟：(1)定一個(gè)面找外接圓圓心，如圖，在三棱錐P－ABC中，選中底面ABC，確定其外接圓圓心O1(正三角形的外心就是中心，直角三角形的外心在斜邊中點(diǎn)上，普通三角形用正弦定理定外心，即eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(2r＝\f(a,sinA))))；(2)過(guò)外心O1作(找)底面ABC的垂線，如圖，作PO1⊥底面ABC，則球心O一定在直線(注意不一定在線段PO1上)PO1上；(3)計(jì)算求半徑R，在直線PO1上任取一點(diǎn)O，如圖，則OP＝OA＝R，利用公式OA2＝O1A2＋OOeq\o\al(2,1)可計(jì)算出球O的半徑R.4.雙面定球心法