2023-2024學(xué)年江蘇省常州市高二下學(xué)期6月聯(lián)考數(shù)學(xué)階段檢測試題（含解析）

/2023-2024學(xué)年江蘇省常州市高二下學(xué)期6月聯(lián)考數(shù)學(xué)階段檢測試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上．1.設(shè)集合，，則（）A.B.C. D.已知，，且，則（）A．， B．，C．， D．，3.設(shè)，且，則的（

）A．最小值為-3 B．最小值為3C．最大值為-3 D．最大值為34.函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為()5.設(shè)隨機變量ξ～N(μ，4)，函數(shù)f(x)＝x2＋2x－ξ沒有零點的概率是0.5，則P(1＜ξ≤3)＝（

）附：隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝0.9545．A．0.1587B．0.1359C．0.2718D．0.3413若過點可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B．C． D．泊松分布是統(tǒng)計學(xué)里常見的離散型概率分布，由法國數(shù)學(xué)家泊松首次提出．泊松分布的概率分布列為P(X＝k)＝EQ\F(λ\S(k),k!)eEQ\S\UP6(－λ)(k＝0，1，2，…)，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，λ是泊松分布的均值．已知某種商品每周銷售的件數(shù)相互獨立，且服從參數(shù)為λ(λ＞0)的泊松分布．若每周銷售1件該商品與每周銷售2件該商品的概率相等，則兩周共銷售2件該商品的概率為（

）A．EQ\F(2,e\S(4）B．EQ\F(4,e\S(4）C．EQ\F(6,e\S(4）D．EQ\F(8,e\S(4）已知函數(shù)的定義域為，且滿足，的導(dǎo)函數(shù)為，函數(shù)為奇函數(shù)，則=（）A．-3B．3C．-1D．1二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上．9.下列說法正確的是（

）A．“x>2”是“eq\f(1,x)<eq\f(1,2)”的充分不必要條件B．命題“”的否定是C．已知冪函數(shù)的圖象過點，則=D．已知隨機變量服從兩點分布，且，，令，則如圖，已知斜三棱柱中，，，，，，點是與的交點.下列選項中正確的有(

)A． B．C．直線與所成的角的余弦值為 D．平面與平面不垂直11.在一個有限樣本空間中，假設(shè)，且A與B相互獨立，A與C互斥，則（

）A． B．C． D．若，則填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.某保險公司將其公司的被保險人分為三類：“謹慎的”“一般的”“冒失的”．統(tǒng)計資料表明，這三類人在一年內(nèi)發(fā)生事故的概率依次為0.05,0.15,0.30.若該保險公司的被保險人中“謹慎的”被保險人占20%，“一般的”被保險人占50%，“冒失的”被保險人占30%，則該保險公司的一個被保險人在一年內(nèi)發(fā)生事故的概率是．13.若不等式＋≥在x∈(，2)上恒成立，則實數(shù)的取值范圍為．14.如圖，已知點是圓臺的上底面圓上的動點，在下底面圓上，，則直線與平面所成角的正弦值的最大值為．解答題：本題共5小題，共77分．解答過程寫出文字說明、證明過程或者演算過程．已知集合，．（1）命題p：，命題q：，且p是q的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍；（2）函數(shù)的定義域為，若，求實數(shù)的取值范圍。設(shè)函數(shù)若函數(shù)是奇函數(shù)，求與的值；在（1）的條件下，判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性，并求不等式的解集．如圖，三棱柱中，，，，，.（1）求證：平面；（2）直線與平面所成角的正弦值為，求二面角的余弦值.18.在某數(shù)字通信中，信號的傳輸包含發(fā)送與接收兩個環(huán)節(jié)．每次信號只發(fā)送0和1中的某個數(shù)字，由于隨機因素干擾，接收到的信號數(shù)字有可能出現(xiàn)錯誤，已知發(fā)送信號0時，接收為0和1的概率分別為，；發(fā)送信號1時，接收為1和0的概率分別為．假設(shè)每次信號的傳輸相互獨立．(1)當(dāng)連續(xù)三次發(fā)送信號均為0時，設(shè)其相應(yīng)三次接收到的信號數(shù)字均相同的概率為，求的最小值；(2)當(dāng)連續(xù)四次發(fā)送信號均為1時，設(shè)其相應(yīng)四次接收到的信號數(shù)字依次為，記其中連續(xù)出現(xiàn)相同數(shù)字的次數(shù)的最大值為隨機變量（中任意相鄰的數(shù)字均不相同時，令），若，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．已知函數(shù)，．（1）若函數(shù)依次在處取到極值．①求的取值范圍；②若，求的值．若存在實數(shù)，使對任意的，不等式恒成立．求正整數(shù)的最大值．高二數(shù)學(xué)答案與解析一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上．1.設(shè)集合QUOTEA=-1,0,1A=-1,0,1，QUOTEB=xlgx+2>0B=xlgx+2>0，則QUOTE（）A.QUOTEB.QUOTE0,10,1C.QUOTE11 D.【正確答案】B已知QUOTE，QUOTE，且QUOTE，則（）A．QUOTEx=13x=13，QUOTEy=1y=1 B．QUOTEx=12x=12，QUOTEy=?4y=?4C．，QUOTEy=?14y=?14 D．QUOTEx=1x=1，QUOTEy=?1y=?1【正確答案】B【分析】利用向量平行的充要條件列出關(guān)于x、y的方程組，解之即可求得x、y的值.【詳解】因為QUOTE，QUOTE，所以QUOTE，QUOTE由QUOTE，可得QUOTE，解之得QUOTEx=12y=-4x=12y=-4故選：B3.設(shè)QUOTEa>0,b>0a>0,b>0，且QUOTEa+2b=1a+2b=1，則QUOTElog2a+log2blog2a+logA．最小值為-3 B．最小值為3C．最大值為-3 D．最大值為3【正確答案】C【分析】由已知結(jié)合基本不等式先求QUOTEabab的范圍，然后結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)即可求解.【詳解】因為QUOTEa>0,b>0a>0,b>0，且QUOTEa+2b=1a+2b=1，所以QUOTE，即QUOTE，當(dāng)且僅當(dāng)QUOTEa=2ba=2b時取等號，所以QUOTE，即QUOTE.故選：C.4.函數(shù)QUOTEy=(3x-3-x)cosx答案A5.設(shè)隨機變量ξ～N(μ，4)，函數(shù)f(x)＝x2＋2x－ξ沒有零點的概率是0.5，則P(1＜ξ≤3)＝（

）附：隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝0.9545．A．0.1587B．0.1359C．0.2718D．0.3413【正確答案】B若過點QUOTE1,b1,b可以作曲線QUOTEy=lnx+1y=lnx+1的兩條切線，則（

）A．QUOTEln2<b<2ln2<b<2 B．QUOTEb>ln2b>ln2C．QUOTE0<b<ln20<b<ln2 D．QUOTEb>1b>1【正確答案】B【分析】設(shè)切點點QUOTEPt,lnt+1Pt,lnt+1，寫出切線方程，將點QUOTE1,b1,b代入切線方程得QUOTEb=1-tt+1+lnt+1b=1-t【詳解】在曲線QUOTEy=lnx+1y=lnx+1上任取一點QUOTEPt,lnt+1Pt,lnt+1，QUOTEy'=所以曲線QUOTEy=lnx+1y=lnx+1在點QUOTEPP處的切線方程為QUOTEy-lnt+1=1t+1x-ty-由題意可知，點QUOTE1,b1,b在直線QUOTEy-lnt+1=1t+1x-ty-lnt+1=1t+1x-t上，可得QUOTEb=令函數(shù)QUOTE，令QUOTEm=t+1>0m=t+1>0泊松分布是統(tǒng)計學(xué)里常見的離散型概率分布，由法國數(shù)學(xué)家泊松首次提出．泊松分布的概率分布列為P(X＝k)＝EQ\F(λ\S(k),k!)eEQ\S\UP6(－λ)(k＝0，1，2，…)，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，λ是泊松分布的均值．已知某種商品每周銷售的件數(shù)相互獨立，且服從參數(shù)為λ(λ＞0)的泊松分布．若每周銷售1件該商品與每周銷售2件該商品的概率相等，則兩周共銷售2件該商品的概率為（

）A．EQ\F(2,e\S(4）B．EQ\F(4,e\S(4）C．EQ\F(6,e\S(4）D．EQ\F(8,e\S(4）【正確答案】D由題意可知，P(X＝1)＝P(X＝2)，即EQ\F(λ,1!)eEQ\S\UP6(－λ)＝EQ\F(λ\S(2),2!)eEQ\S\UP6(－λ)，解得λ＝2，所以P(X＝k)＝EQ\F(2\S(k),k!)eEQ\S\UP6(－2)，所以兩周共銷售2件該商品的概率2P(X＝0)P(X＝2)＋P(X＝1)P(X＝1)＝2eEQ\S\UP6(－2)EQ\F(2\S(2),2!)eEQ\S\UP6(－2)＋EQ\F(2\S(1),1!)eEQ\S\UP6(－2)EQ\F(2\S(1),1!)eEQ\S\UP6(－2)＝EQ\F(8,e\S(4），故答案選D．已知函數(shù)QUOTEfxfx的定義域為QUOTERR，且滿足QUOTEf(x)+f(3?x)=4f(x)+f(3?x)=4，QUOTEfxfx的導(dǎo)函數(shù)為QUOTEg(x)g(x)，函數(shù)QUOTEy=g(1+3x)?1y=g(1+3x)?1為奇函數(shù)，則QUOTEf(32)+g(2024)f(32)+g(2024)=（）BA．-3B．3C．-1D．1二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上．9.下列說法正確的是（

）A．“x>2”是“eq\f(1,x)<eq\f(1,2)”的充分不必要條件B．命題“QUOTE”的否定是QUOTEC．已知冪函數(shù)QUOTE的圖象過點QUOTE，則QUOTE=QUOTE3232D．已知隨機變量QUOTEXX服從兩點分布，且QUOTEPX=0=0.6PX=0=0.6，QUOTEPX=1=0.4PX=1=0.4，令QUOTEY=3X?2Y=3X?2，則QUOTE【正確答案】ACD如圖，已知斜三棱柱QUOTEABC?A1B1C1ABC?A1B1C1中，QUOTE鈭燘AC=蟺2鈭燘AC=蟺2，QUOTE，QUOTE，QUOTEAB=AC=1AB=AC=1，QUOTEAA1=2AA1=2，點QUOTEOO是與的交點.下列選項中正確的有(

AC

)A．QUOTE B．QUOTEC．直線QUOTEAOAO與QUOTEBCBC所成的角的余弦值為QUOTE D．平面QUOTEABCABC與平面QUOTE不垂直11.在一個有限樣本空間中，假設(shè)QUOTEPA=PB=PC=13PA=PB=PC=A． B．QUOTEC．QUOTE D．若QUOTEPCB+PCB=12PCB+PCB=12【正確答案】BCD【分析】A與B相互獨立，則QUOTEPAB=PAPBPAB=PAPB,又因為QUOTE可判斷A選項；由條件概率的運算QUOTEPBA=PBAPAPBA=PBAPA判斷B選項；因為A與C互斥，即A發(fā)生則C一定不發(fā)生，故QUOTEPCA=PA【詳解】對于A，A與B相互獨立，則QUOTE,QUOTE，A錯誤；對于B，因為A與C互斥，所以,所以QUOTE,QUOTE,所以QUOTE,B正確；對于C，QUOTE,因為A與C互斥，即A發(fā)生則C一定不發(fā)生，所以QUOTEPCA=PAPCA=PA,所以QUOTE，C正確；對于D，顯然QUOTEPC=PBC+PBC=13PC=PBC由QUOTEPCB+PCB=12PCB+PC解得QUOTEPBC=0PBC=0，所以B與C故選：BCD.填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.某保險公司將其公司的被保險人分為三類：“謹慎的”“一般的”“冒失的”．統(tǒng)計資料表明，這三類人在一年內(nèi)發(fā)生事故的概率依次為0.05,0.15,0.30.若該保險公司的被保險人中“謹慎的”被保險人占20%，“一般的”被保險人占50%，“冒失的”被保險人占30%，則該保險公司的一個被保險人在一年內(nèi)發(fā)生事故的概率是0.175．解：設(shè)事件B1表示“被保險人是‘謹慎的’”，事件B2表示“被保險人是‘一般的’”，事件B3表示“被保險人是‘冒失的’”，則P(B1)＝20%，P(B2)＝50%，P(B3)＝30%.設(shè)事件A表示“被保險人在一年內(nèi)發(fā)生事故”，則P(A|B1)＝0.05，P(A|B2)＝0.15，P(A|B3)＝0.30.由全概率公式，得P(A)＝eq\i\su(i＝1,3,P)(Bi)P(A|Bi)＝0.05×20%＋0.15×50%＋0.30×30%＝0.175.13.若不等式QUOTEaa＋QUOTEx2?1xx2?1x≥QUOTE2log2x2log2x在x∈(QUOTE1212，2)上恒成立，則實數(shù)QUOTEaa的取值范圍為．QUOTE14.如圖，已知點QUOTEAA是圓臺QUOTEO1OO1O的上底面圓QUOTEO1O1上的動點，QUOTEB,CB,C在下底面圓QUOTEOO上，QUOTEAO1=1,OO1=2,BO=3,BC=25AO1=1,OO1=2,BO=3,BC=25，則直線QUOTEAOAO與平面QUOTEO1BCO1BC所成角的正弦值的最大值為．【正確答案】QUOTE31010310【分析】以QUOTEOO為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，求得對應(yīng)點的坐標(biāo)，設(shè)出未知點的坐標(biāo)，利用向量法求線面角正弦值的最大值，再求余弦值的最小值即可.【詳解】連接QUOTEOCOC，過QUOTECC作QUOTECHCH垂直于QUOTEBOBO的延長線于點，以QUOTEOO為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系如下所示：在三角形QUOTEOBCOBC中，因為QUOTEOB=3,OC=3,BC=25OB=3,OC=3,BC=25，故QUOTE，則QUOTE，則QUOTECH=BC2-BH2=20-1009=453CH=BC2-BH2又QUOTEB3,0,0,O0,0,0,O10,0,2B3,0,0,O0,0,0,O10,0,2，設(shè)點QUOTE，由QUOTEO1A=1O1A=1，則可得QUOTEQUOTE，設(shè)平面QUOTEO1BCO1BC的法向量QUOTE，則QUOTE，即QUOTE-103x+453y=0-3x+2z=0-103x+453y=0-3x+2z=0，取QUOTEy=5y=5，則QUOTE故平面QUOTEO1BCO1BC的法向量QUOTE，又QUOTE，設(shè)直線QUOTEAOAO與平面QUOTEO1BCO1BC所成角為QUOTE，則QUOTE因為QUOTE，且QUOTEm2+n2=1m2+n2=1，故令QUOTE，則QUOTE又QUOTE，故QUOTEsin?+??"C"C?-1,1sin?+??"C"C?-1,1，QUOTE，也即QUOTE，故QUOTE的最大值為QUOTE9310=310109310解答題：本題共5小題，共77分．解答過程寫出文字說明、證明過程或者演算過程．已知集合QUOTE，QUOTE．（1）命題p：QUOTE，命題q：QUOTE，且p是q的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍；（2）函數(shù)的定義域為QUOTECC，若QUOTE，求實數(shù)QUOTEaa的取值范圍。【詳解】（1）解不等式QUOTE，即QUOTE，解得QUOTE，所以，QUOTE．由于p是q的必要非充分條件，則QUOTEBB是QUOTEAA的真子集，所以QUOTE，解得QUOTE，因此，實數(shù)QUOTEmm的取值范圍是QUOTE2,32,3；┄┄6分（2）因為QUOTE，在QUOTE1,41,4內(nèi)有有解令QUOTE，則QUOTE，所以QUOTEa>0a>0┄┄13分設(shè)函數(shù)QUOTEf(x)=-2x+a2若函數(shù)QUOTEf(x)f(x)是奇函數(shù)，求QUOTEaa與QUOTEbb的值；在（1）的條件下，判斷并證明函數(shù)QUOTEf(x)f(x)的單調(diào)性，并求不等式QUOTEf(x)>?16f(x)>?16的解集．解析：（1）由函數(shù)QUOTEf(x)f(x)是奇函數(shù)，得QUOTEf(?x)=?f(x)f(?x)=?f(x)，即QUOTE-2x+a2x+1+b-2x+a2x+1+b對定義域內(nèi)任意實數(shù)QUOTE，它對定義域內(nèi)任意實數(shù)QUOTExx都成立，所以QUOTE2a?b=0,2ab?4=0,2a?b=0,2ab?4=0,所以QUOTEa=?1,b=?2a=?1,b=?2或QUOTEa=1,b=2.a=1,b=2.經(jīng)檢驗QUOTEa=1,b=2,a=1,b=2,符合題意．………7分（3）由（2）可知QUOTEf(x)=-2x+12x+1+2,f(x)=-2x易判斷QUOTEf(x)f(x)為QUOTE上的減函數(shù)。證明略（定義法或?qū)?shù)法）由QUOTEf(1)=?16f(1)=?16，不等式QUOTEf(x)>?16f(x)>?16即為QUOTEf(x)>f(1)f(x)>f(1)，由QUOTEf(x)f(x)為QUOTE上的減函數(shù)可得QUOTEx<1.x<1.或者由QUOTEf(x)>?16f(x)>?16即QUOTE，所以QUOTE所以QUOTEx/x<1.x/x<1.………15分如圖，三棱柱QUOTEABC?A1B1C1ABC?A1B1C1中，QUOTE，QUOTE，QUOTEA1C鈯BA1C鈯B，QUOTEAC=1AC=1，QUOTEAA1=2AA1=2.（1）求證：QUOTE平面QUOTEABCABC；（2）直線QUOTEBA1BA1與平面QUOTEBCC1B1BCC1B1所成角的正弦值為QUOTE3434，求二面角QUOTEA1（1）證明：在QUOTE中，QUOTE，QUOTEAC=1AC=1，QUOTEAA1=2AA1=2，由余弦定理可得QUOTE，QUOTE，QUOTE，又QUOTE，QUOTEAB鈭〢C=AAB鈭〢C=A，QUOTE平面QUOTEABCABC；………………5分（2）由（1）知：QUOTECACA、QUOTECBCB、QUOTECA1CA1兩兩垂直，以QUOTECC為原點，QUOTECACA、QUOTECBCB、QUOTECA1CA1所在直線分別為QUOTExx、QUOTEyy、QUOTEzz軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則QUOTEA1,0,0A1,0,0、QUOTEC0,0,0C0,0,0、QUOTEA10,0,3A10,0,3，設(shè)點QUOTEB0,b,0B0,b,0，其中QUOTEb>0b>0，設(shè)平面QUOTEBCB1BCB1法向量為QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，取QUOTEx=3x=3，則QUOTEy=0y=0，QUOTEz=1z=1，得QUOTE，QUOTE，由已知QUOTE，解得：QUOTEb=1b=1，可得點QUOTEB0,1,0B0,1,0，設(shè)為平面的法向量，QUOTE，由QUOTE，取QUOTEx1=3x1=3，則QUOTEy1=3y1=3，QUOTEz1=1z1=1，可得QUOTE，QUOTE，由圖可知，二面角QUOTEA1?BB1?CA1?BB1?C為銳角，所以，二面角QUOTEA1………15分18.在某數(shù)字通信中，信號的傳輸包含發(fā)送與接收兩個環(huán)節(jié)．每次信號只發(fā)送0和1中的某個數(shù)字，由于隨機因素干擾，接收到的信號數(shù)字有可能出現(xiàn)錯誤，已知發(fā)送信號0時，接收為0和1的概率分別為QUOTE，QUOTE1?偽1?偽；發(fā)送信號1時，接收為1和0的概率分別為．假設(shè)每次信號的傳輸相互獨立．(1)當(dāng)連續(xù)三次發(fā)送信號均為0時，設(shè)其相應(yīng)三次接收到的信號數(shù)字均相同的概率為QUOTEf偽f偽，求QUOTEf偽f偽的最小值；(2)當(dāng)連續(xù)四次發(fā)送信號均為1時，設(shè)其相應(yīng)四次接收到的信號數(shù)字依次為QUOTEx1,x2,x3,x4x1,x2,x3,x4，記其中連續(xù)出現(xiàn)相同數(shù)字的次數(shù)的最大值為隨機變量QUOTEXX（QUOTEx1,x2,x3,x4x1,x2【正確答案】(1)QUOTE1414(2)分布列見解析；期望為QUOTE2088120881【分析】（1）由獨立乘法、互斥加法得函數(shù)QUOTEf偽f偽表達式，進一步即可求解最小值；（2）QUOTEXX的可能取值為1，2，3，4．有獨立乘法、互斥加法公式求出對應(yīng)的概率，進而得分布列以及數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）由題可知QUOTE，因為QUOTE0<偽<10<偽<1，所以當(dāng)QUOTE偽=12偽=12時，QUOTEf偽f偽的最小值為QUOTE1414．…………5分（2）由題設(shè)知，QUOTEXX的可能取值為1，2，3，4．①當(dāng)QUOTEX=1X=1時，相應(yīng)四次接收到的信號數(shù)字依次為0101或1010．因此，QUOTE，②當(dāng)QUOTEX=2X=2時，相應(yīng)四次接收到的信號數(shù)字依次為0010，或0100，或1101，或1011，或1001，或0110，或1100，或