人教版八年級數(shù)學上冊專題02與三角形的角有關的三種題型(原卷版+解析)

專題02與三角形的角有關的三種題型類型一、與角平分線有關的內角和問題例．如圖，中，，平分，若，，則（）A． B． C． D．【變式訓練1】如圖，在，、分別是高和角平分線，點在的延長線上，交于，交于，下列結論：①；②；③；④，正確的是（）

A．1 B．2 C．3 D．4【變式訓練2】如圖，中，，，平分，于，，則的度數(shù)=

【變式訓練3】如圖，在中，線段平分，交邊于點，過點作于點，若，則度．

類型二、折疊問題例．如圖，將沿折疊，使、與邊分別相交于點、，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【變式訓練1】如圖，將紙片沿折疊，使點A落在點處，且平分平分，若，則．【變式訓練2】在中，，，將、按照如圖所示折疊，若，則°【變式訓練3】如圖，在中，，，點D是上的一點，將沿翻折得到，邊交于點F，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．類型三、多邊形角度問題例．一個多邊形的每個外角都等于與它相鄰的內角，這個多邊形是（

）邊形A．四 B．五 C．六 D．八例2.（1）如圖1所示，；（2）如果把圖1稱為二環(huán)三角形，它的內角和為；圖2稱為二環(huán)四邊形，它的內角和為，則二環(huán)四邊形的內角和為；二環(huán)五邊形的內角和為；二環(huán)n邊形的內角和為．【變式訓練1】如圖所示，已知，試求的度數(shù)．

【變式訓練2】根據(jù)題意解答：(1)如圖1，點、、、在同一直線上，平分，，若為度，求的度數(shù)（用關于的代數(shù)式表示），并說明理由．(2)如圖2，某停車場入口大門的欄桿如圖所示，地面，地面，求的度數(shù)，并說明理由．(3)如圖3，若，，，則__________度．課后訓練1．如圖，在中，，將繞點A按逆時針方向旋轉得到．若點恰好落在邊上，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．2．如圖，點在同一平面內，連接，若，則（

）

A． B． C． D．3．如圖在五角星中，的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．4．一副三角板如圖方式擺放，平分，平分，則的度數(shù)為．

5．把一副直角三角尺按如圖所示的方式擺放在一起，其中，，，，則．

6．如圖，在中，，的平分線交于點，是與平分線的交點，是的兩外角平分線的交點，若，則的度數(shù)．

7．如圖，在中．若，，則°．

8．探究與發(fā)現(xiàn)：(1)如圖1，在中，，分別平分和．①若，則______；②若，用含有的式子表示的度數(shù)為______；(2)如圖2，在四邊形中，，分別平分和，試探究與的數(shù)量關系，并說明理由；(3)如圖3，在六邊形中，，分別平分和，請直接寫出與的數(shù)量關系．

專題02與三角形的角有關的三種題型類型一、與角平分線有關的內角和問題例．如圖，中，，平分，若，，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】設，那么，然后利用分別表示，，，最后利用三角形內角和定理建立方程解決問題．【詳解】解：∵中，，∴設，那么，∴，∵平分，∴，∵，，∴，∴，∴，∴．故選：B．【點睛】此題主要考查了三角形內角和定理，同時也利用了角平分線的定義，解題的關鍵是熟練使用三角形內角和定理．【變式訓練1】如圖，在，、分別是高和角平分線，點在的延長線上，交于，交于，下列結論：①；②；③；④，正確的是（）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】①根據(jù)，，以及即可推出；②根據(jù)角平分線的定義和三角形外角的性質證明即可；③證明，由①知：即可證明；④由同角的余角相等證明，再根據(jù)三角形外角的性質及角平分線的性質即可推出．【詳解】解：∵，∴．∵，∴．∵，∴．故①正確；∵平分，∴．∵，∴．∵，∴．故②正確；∵平分，∴．∵，∴．∴．由①知：，∴．故③正確；∵，，∴，．∴．∵平分，∴，∴．故④正確；綜上可知，正確的有①②③④，共4個，故選D．【點睛】本題主要考查了三角形的內角和定理，三角形外角的性質，同角的余角相等等知識，正確運用三角形的高、角平分線的概念以及三角形的內角和定理是解題的關鍵．【變式訓練2】如圖，中，，，平分，于，，則的度數(shù)=

【答案】/70度【分析】先求出，再根據(jù)角平分線的定義得出，根據(jù)垂直的定義得出，求出，進而求出，再得出，根據(jù)三角形內角和定理求出答案．【詳解】解：∵，，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查角平分線的定義，三角形內角和定理，垂直的定義，掌握這些知識點是解題的關鍵．【變式訓練3】如圖，在中，線段平分，交邊于點，過點作于點，若，則度．

【答案】【分析】由三角形內角和定理結合已知條件得出，由角平分線的定義得出，進而得出，得出，由垂線的定義求出，再利用三角形內角和定理即可求出的度數(shù)．【詳解】解：，，，，平分，，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了三角形內角和定理，熟練掌握三角形內角和定理，角平分線的定義，垂直的定義是解決問題的關鍵．類型二、折疊問題例．如圖，將沿折疊，使、與邊分別相交于點、，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】可得，，可求，從而可求，由，，即可求解．【詳解】解：由翻折得：，，，，，，，，，，，，，故選：B．【點睛】本題主要考查了翻折的性質，三角形內角和定理，三角形外角的性質，掌握性質及定理是解題的關鍵．【變式訓練1】如圖，將紙片沿折疊，使點A落在點處，且平分平分，若，則．【答案】/80度【分析】根據(jù)角平分線的定義和三角形的內角和定理可得，進而可得，再根據(jù)三角形的外角性質和折疊的性質可得，即可求解.【詳解】解：連接．∵平分平分，，∴，，∴，∴，∵，，∴，故答案為．【點睛】本題考查了折疊的性質、三角形的內角和定理、三角形的外角性質以及角平分線的定義等知識，熟練掌握折疊的性質、得出是解題的關鍵.【變式訓練2】在中，，，將、按照如圖所示折疊，若，則°【答案】【分析】先根據(jù)折疊的性質求出，，，再根據(jù)三角形內角和定理求出，，進而求出，然后求出四邊形內角和，進而得出，即可得出答案．【詳解】根據(jù)折疊性質得，，．∵，，∴，，∴，，∴．在四邊形中，.∴，即，∴，∴．故答案為：265．【點睛】本題主要考查了三角形內角和定理，折疊的性質，四邊形的內角和等，確定各角之間的數(shù)量關系是解題的關鍵．【變式訓練3】如圖，在中，，，點D是上的一點，將沿翻折得到，邊交于點F，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的性質得出，根據(jù)平行線的性質得出，求出，根據(jù)，即可得出答案．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，∴，根據(jù)折疊可知，，∴，故C正確．故選：C．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質，平行線的性質，折疊的性質，解題的關鍵是求出．類型三、多邊形角度問題例．一個多邊形的每個外角都等于與它相鄰的內角，這個多邊形是（

）邊形A．四 B．五 C．六 D．八【答案】A【分析】先求出多邊形的外角度數(shù)，再根據(jù)多邊形的外角和等于求出邊數(shù)即可．【詳解】解：一個多邊形的每個外角都等于和它相鄰的內角，這個多邊形的每一個外角的度數(shù)為，多邊形的邊數(shù)為，即多邊形是四邊形，故選：A．【點睛】本題考查了多邊形的內角和外角，能根據(jù)多邊形的外角和求出多邊形的邊數(shù)是即此題的關鍵，注意：邊數(shù)為的多邊形的內角和，多邊形的外角和等于．例2.（1）如圖1所示，；（2）如果把圖1稱為二環(huán)三角形，它的內角和為；圖2稱為二環(huán)四邊形，它的內角和為，則二環(huán)四邊形的內角和為；二環(huán)五邊形的內角和為；二環(huán)n邊形的內角和為．【答案】360°720°1080°【分析】（1）結合題意，根據(jù)對頂角和三角形內角和的知識，得，再根據(jù)四邊形內角和的性質計算，即可得到答案；（2）連接，交于點M，根據(jù)三角形內角和和對頂角的知識，得；結合五邊形內角和性質，得；結合（1）的結論，根據(jù)數(shù)字規(guī)律的性質分析，即可得到答案．【詳解】（1）如圖所示，連接AD，交于點M∵，，∴；故答案為：360°（2）如圖，連接，交于點M∴，∵∴∴∵∴∴∴二環(huán)四邊形的內角和為：∵二環(huán)三角形的內角和為：二環(huán)四邊形的內角和為：∴二環(huán)五邊形的內角和為：∴二環(huán)n邊形的內角和為：故答案為：，，．【點睛】本題考查了多邊形內角和、對頂角、數(shù)字規(guī)律的知識；解題的關鍵是熟練掌握三角形內角和、多邊形內角和、數(shù)字規(guī)律的性質，從而完成求解．【變式訓練1】若一個多邊形的每個外角都是，則這個多邊形的邊數(shù)是．【答案】八/8【分析】利用任何多邊形的外角和是，用除以一個外角度數(shù)即可求出答案．【詳解】解：多邊形外角個數(shù)：，所以多邊形的邊數(shù)為，故答案為：八．【點睛】本題考查了多邊形的外角和定理，已知外角求邊數(shù)的這種方法是需要熟記的內容．外角和定理是解題的關鍵．【變式訓練2】如圖所示，已知，試求的度數(shù)．

【答案】【分析】連接AD．由四邊形ABCD的內角和定理可推得，然后證明，則可證．【詳解】解：連接．設與相交于點O．

由四邊形的內角和可得：，∵，∴．在與中，∴即即(注：，)【點睛】本題考查了三角形與多邊形內角和求法，解題的關鍵是靈活運用所學的多邊形內角和定理將所求的角集中在一起．【變式訓練3】根據(jù)題意解答：(1)如圖1，點、、、在同一直線上，平分，，若為度，求的度數(shù)（用關于的代數(shù)式表示），并說明理由．(2)如圖2，某停車場入口大門的欄桿如圖所示，地面，地面，求的度數(shù)，并說明理由．(3)如圖3，若，，，則__________度．【答案】(1)，理由見解析；(2)，理由見解析；(3)．【分析】（1）根據(jù)平角定義表示，由角平分線定義得：，最后根據(jù)平行線性質得結論；（2）作平行線，根據(jù)平行線的性質得：和，所以；（3）作輔助線，根據(jù)外角定理和四邊形的內角和列式后可得結論．【詳解】（1）解：∵，∴，∵平分，∴，∵，∴．（2）解：過作，如圖所示：∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴．（3）解：延長圖中線段，構建如圖所示的三角形和四邊形，由三角形外角定理得：，，∵，，∴，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了平行線的性質和多邊形的內角和，構建恰當?shù)妮o助線是解答本題的關鍵；熟練掌握外角定理：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，知道四邊形的內角和為．課后訓練1．如圖，在中，，將繞點A按逆時針方向旋轉得到．若點恰好落在邊上，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)旋轉的性質可得：，，從而利用等腰三角形的性質可得，然后利用三角形內角和定理可得，即可解答．【詳解】由旋轉得：，，∴，∴，∴，故選：．【點睛】本題考查了旋轉的性質，熟練掌握旋轉的性質是解題的關鍵．2．如圖，點在同一平面內，連接，若，則（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，根據(jù)三角形內角和求出，再利用四邊形內角和減去和的和，即可得到結果．【詳解】解：連接，

，，，故選：B．【點睛】本題考查了三角形內角和，四邊形內角和，解題的關鍵是添加輔助線，構造三角形和四邊形．3．如圖在五角星中，的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角形外角的性質可得，，再根據(jù)三角形內角和的性質求解即可．【詳解】解：利用三角形外角的性質可得，，

再根據(jù)三角形內角和的性質可得：，故選：A【點睛】此題考查了三角形外角的性質和三角形內角和定理，解題的關鍵是熟練掌握相關基礎性質．4．一副三角板如圖方式擺放，平分，平分，則的度數(shù)為．

【答案】【分析】首先根據(jù)三角板的性質得到，，然后利用角平分線的概念得到，，最后利用三角形內角和定理求解即可．【詳解】∵一副三角板如圖方式擺放，∴，，∵平分，平分，∴，∴．故答案為：．【點睛】此題考查了三角板中角的運算，角平分線的概念，三角形內角和定理的運用等知識，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點．5．把一副直角三角尺按如圖所示的方式擺放在一起，其中，，，，則．

【答案】【分析】根據(jù)三角形外角性質得出，，再根據(jù)三角形的內角和定理和解答即可．【詳解】解：如圖可知：，，，，，故答案為：．

【點睛】此題考查三角形內角和，關鍵是根據(jù)三角形的內角和定理和三角形外角性質解答．6．如圖，在中，，的平分線交于點，是與平分線的交點，是的兩外角平分線的交點，若，則的度數(shù)．

【答案】/10度【分析】利用角平分線的定義，可得出，，結合，可得出的度數(shù)，再利用三角形的外角性質，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：平分，平分，，，，，又，．，，∵，∴，又，，，故答案為：．【點睛】本題考查了三角形的外角性質以及角平分線的定義，牢記“三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和”是解題的關鍵．7．如圖，在中．若，，則°．

【答案】【分析】根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和得出，再根據(jù)整理即可得證，最后根據(jù)三角形的內角和即可得出答案．【詳解】是的一個外角即是的一個外角即故答案為：．【點睛】本題考查了三角形的內角和和外角的定義，根據(jù)圖形找到角之間的關系是解題的關鍵．8．探究與發(fā)現(xiàn)：(1)如圖1，在中，，分別平分和．①若，則______；②若，用含有的式子表示的度數(shù)為______；(2)如圖2，在四邊形中，，分別平分和，試探究與的數(shù)量關系，并說明理由；(3)如圖3，在六邊形中，，分別平分和，請直接寫出與的數(shù)量關系．【答案】(1)①；②(2)，理由見解析(3)【分析】（1）利用三角形內角和，