新八年級數(shù)學(xué)講義第3講角平分線與垂直平分線-基礎(chǔ)班(學(xué)生版+解析)

第3講角平分線和垂直平分線1角平分線角平分線的性質(zhì)1.角的平分線的性質(zhì)定理

角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.

2.角的平分線的判定定理

角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上.

3.三角形的角平分線三角形角平分線交于一點，且到三邊的距離相等.4.與角平分線有關(guān)的輔助線在角兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形；在角的平分線上取一點向角的兩邊作垂線段.【例題精選】例1(2023?麗水模擬）在Rt△ABC中，∠C＝90°，小明進行如圖步驟尺規(guī)作圖，根據(jù)操作，對結(jié)論判斷正確的序號是（）①AD平分∠BAC；②AC＝2DG；③S△ADC＝S△ABD；④S△ADC＝2S△ADG．A．①②③④ B．③④ C．②③ D．②③④例2(2023秋?巴東縣期末）如圖，已知點P到△ABC三邊的距離相等，DE∥AC，AB＝8.1cm，BC＝6cm，△BDE的周長為（）cm．A．12 B．14.1 C．16.2 D．7.05【隨堂練習(xí)】1．(2023秋?淮安期末）如圖，射線OC是∠AOB的角平分線，D是射線OC上一點，DP⊥OA于點P，DP＝5，若點Q是射線OB上一點，OQ＝4，則△ODQ的面積是（）A．4 B．5 C．10 D．202垂直平分線線段的垂直平分線定義：經(jīng)過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫線段的中垂線．性質(zhì)：性質(zhì)1：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等；

性質(zhì)2：與一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上．要點詮釋：線段的垂直平分線的性質(zhì)是證明兩線段相等的常用方法之一.同時也給出了引輔助線的方法，那就是遇見線段的垂直平分線，畫出到線段兩個端點的距離，這樣就出現(xiàn)相等線段，直接或間接地為構(gòu)造全等三角形創(chuàng)造條件.三角形三邊垂直平分線交于一點，該點到三角形三頂點的距離相等，這點是三角形外接圓的圓心——外心.【例題精選】例1(2023?仙居縣模擬）如圖，以△ABD的頂點B為圓心，以BD為半徑作弧交邊AD于點E，分別以點D、點E為圓心，BD長為半徑作弧，兩弧相交于不同于點B的另一點F，再過點B和點F作直線BF．則作出的直線是（）A．線段AD的垂線但不一定平分線段AD B．線段AD的垂直平分線 C．∠ABD的平分線 D．△ABD的中線例2(2023秋?孝南區(qū)期末）如圖所示，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，交BC于點E，垂足為點D，BE＝6cm，∠B＝15°，則AC等于（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm【隨堂練習(xí)】1．(2023秋?江岸區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線交AB于點D，交BC于點E，若BC＝7，AC＝6，則△ACE的周長為（）A．8 B．11 C．13 D．152．(2023秋?南通期中）已知△ABC的內(nèi)角平分線相交于點O，三邊的垂直平分線相交于點I，直線OI經(jīng)過點A．若∠BAC＝40°，則∠ABC＝（）A．40° B．50° C．70° D．80°3．(2023?長沙模擬）如圖，在Rt△ABC中∠C＝90°，AB＞BC，分別以頂點A、B為圓心，大于AB長為半徑作圓弧，兩條圓弧交于點M、N，作直線MN交邊CB于點D．若AD＝5，CD＝3，則BC長是（）A．7 B．8 C．12 D．13綜合練習(xí)一．選擇題（共3小題）1．如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，分別交BC，AC于點D，E，連接AD，若△ABD的周長C△ABD＝16cm，AB＝5cm，則線段BC的長度等于（）A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm2．如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，且分別交BC、AC于D、E兩點，∠B＝60°，∠BAD＝70°，則∠BAC的度數(shù)為（）A．130° B．95° C．90° D．85°二．解答題1．在△ABC中，DE垂直平分AB，分別交AB、BC于點D、E，MN垂直平分AC，分別交AC、BC于點M、N，連接AE，AN．（1）如圖1，若∠BAC＝100°，求∠EAN的度數(shù)；（2）如圖2，若∠BAC＝70°，求∠EAN的度數(shù)；（3）若∠BAC＝α（α≠90°），請直接寫出∠EAN的度數(shù)．（用含α的代數(shù)式表示）2．如圖，在△ABC中，已知∠C＝90°，DE垂直平分AB，垂足為點E，交AC于點D，∠BDC＝60°，AC＝6，求AD的長度．3．如圖，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，作AC的中垂線交BC于E，連接AE，若AE＝4，求BC的長．4．如圖，C，D是AB的垂直平分線上兩點，延長AC，DB交于點E，AF∥BC交DE于點F．求證：（1）AB是∠CAF的角平分線；（2）∠FAD＝∠E．第3講角平分線和垂直平分線1角平分線角平分線的性質(zhì)1.角的平分線的性質(zhì)定理

角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.

2.角的平分線的判定定理

角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上.

3.三角形的角平分線三角形角平分線交于一點，且到三邊的距離相等.4.與角平分線有關(guān)的輔助線在角兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形；在角的平分線上取一點向角的兩邊作垂線段.【例題精選】例1(2023?麗水模擬）在Rt△ABC中，∠C＝90°，小明進行如圖步驟尺規(guī)作圖，根據(jù)操作，對結(jié)論判斷正確的序號是（）①AD平分∠BAC；②AC＝2DG；③S△ADC＝S△ABD；④S△ADC＝2S△ADG．A．①②③④ B．③④ C．②③ D．②③④分析：利用基本作圖得到DG⊥BC，BD＝CD，則AD為△ABC的中線，則可對①進行判斷；再證明DG為△ABC的中位線，則可對②進行判斷；然后根據(jù)三角形面積公式對③④進行判斷．【解答】解：由作法得DG垂直平分BC，∴DG⊥BC，BD＝CD，∴AD為△ABC的中線，所以①錯誤；∵∠C＝90°，∴DG∥AC，∴DG為△ABC的中位線，∴AC＝2DG，所以②正確；BG＝AG，∴S△ADC＝S△ABD，所以③正確；S△ADG＝S△BDG，∴S△ADC＝2S△ADG，所以④正確．故選：D．【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)和三角形面積公式．例2(2023秋?巴東縣期末）如圖，已知點P到△ABC三邊的距離相等，DE∥AC，AB＝8.1cm，BC＝6cm，△BDE的周長為（）cm．A．12 B．14.1 C．16.2 D．7.05分析：根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：∵點P到△ABC三邊的距離相等，∴AP平分∠BAC，∴∠DAP＝∠CAP，∵DE∥AC，∴∠DPA＝∠PAC，∴∠DAP＝∠APD，∴AD＝PD，同理PE＝CE，∴△BDE的周BD+DE+BE＝BD+PD+PE+BE＝BD+AD+BE+CE＝AB+BC＝14.1cm，故選：B．【點評】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．【隨堂練習(xí)】1．(2023秋?淮安期末）如圖，射線OC是∠AOB的角平分線，D是射線OC上一點，DP⊥OA于點P，DP＝5，若點Q是射線OB上一點，OQ＝4，則△ODQ的面積是（）A．4 B．5 C．10 D．20【解答】解：作DH⊥OB于點H，∵OC是∠AOB的角平分線，DP⊥OA，DH⊥OB，∴DH＝DP＝5，∴△ODQ的面積＝OQ×DH＝×4×5＝10，故選：C．2垂直平分線線段的垂直平分線定義：經(jīng)過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫線段的中垂線．性質(zhì)：性質(zhì)1：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等；

性質(zhì)2：與一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上．要點詮釋：線段的垂直平分線的性質(zhì)是證明兩線段相等的常用方法之一.同時也給出了引輔助線的方法，那就是遇見線段的垂直平分線，畫出到線段兩個端點的距離，這樣就出現(xiàn)相等線段，直接或間接地為構(gòu)造全等三角形創(chuàng)造條件.三角形三邊垂直平分線交于一點，該點到三角形三頂點的距離相等，這點是三角形外接圓的圓心——外心.【例題精選】例1(2023?仙居縣模擬）如圖，以△ABD的頂點B為圓心，以BD為半徑作弧交邊AD于點E，分別以點D、點E為圓心，BD長為半徑作弧，兩弧相交于不同于點B的另一點F，再過點B和點F作直線BF．則作出的直線是（）A．線段AD的垂線但不一定平分線段AD B．線段AD的垂直平分線 C．∠ABD的平分線 D．△ABD的中線分析：根據(jù)線段垂直平分線的作法解答即可．【解答】解：由題意可知，BF是線段ED的垂直平分線，垂直AD但不一定平分AD，故選：A．【點評】此題考查線段垂直平分線，關(guān)鍵是根據(jù)線段垂直平分線的作法解答．例2(2023秋?孝南區(qū)期末）如圖所示，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，交BC于點E，垂足為點D，BE＝6cm，∠B＝15°，則AC等于（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm分析：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC，根據(jù)線段垂直平分性質(zhì)求出BE＝AE＝6cm，求出∠EAB＝∠B＝15°，求出∠EAC，根據(jù)含30°角的直角三角形性質(zhì)求出即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，∴∠BAC＝90°﹣15°＝75°，∵DE垂直平分AB，BE＝6cm，∴BE＝AE＝6cm，∴∠EAB＝∠B＝15°，∴∠EAC＝75°﹣15°＝60°，∵∠C＝90°，∴∠AEC＝30°，∴AC＝AE＝×6cm＝3cm，故選：D．【點評】本題考查了線段垂直平分線性質(zhì)，含30°角的直角三角形性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，能求出∠AEC的度數(shù)和AF＝BF是解此題的關(guān)鍵，注意：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等．【隨堂練習(xí)】1．(2023秋?江岸區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線交AB于點D，交BC于點E，若BC＝7，AC＝6，則△ACE的周長為（）A．8 B．11 C．13 D．15【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴△ACE的周長＝AC+CE+AE＝AC+CE+BE＝AC+BC＝7+6＝13．故選：C．2．(2023秋?南通期中）已知△ABC的內(nèi)角平分線相交于點O，三邊的垂直平分線相交于點I，直線OI經(jīng)過點A．若∠BAC＝40°，則∠ABC＝（）A．40° B．50° C．70° D．80°【解答】解：如圖，∵AO是∠BAC的角平分線，∴∠BAO＝∠CAO＝∠BAC＝20°，∵三邊的垂直平分線相交于點I，∴AI＝BI＝CI，∴∠ABT＝∠ACI＝20°，∠IBC＝∠ICB＝（180°﹣20°﹣20°﹣40°）＝50°，∴∠ABC＝∠ABI+∠IBC＝70°，故選：C．3．(2023?長沙模擬）如圖，在Rt△ABC中∠C＝90°，AB＞BC，分別以頂點A、B為圓心，大于AB長為半徑作圓弧，兩條圓弧交于點M、N，作直線MN交邊CB于點D．若AD＝5，CD＝3，則BC長是（）A．7 B．8 C．12 D．13【解答】解：由尺規(guī)作圖可知，MN是線段AB的垂直平分線，∴DA＝DB＝5，又∵CD＝3，∴BC＝CD+BD＝3+5＝8，故選：B．綜合練習(xí)一．選擇題（共3小題）1．如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，分別交BC，AC于點D，E，連接AD，若△ABD的周長C△ABD＝16cm，AB＝5cm，則線段BC的長度等于（）A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm【解答】解：∵AC的垂直平分線分別交BC、AC于點D、E，∴AD＝DC，∴△ABD的周長為AB+AD+BD＝AB+DC+BD＝AB+B，∵C△ABD＝16cm，AB＝5cm，∴BC＝11cm，故選：D．2．如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，且分別交BC、AC于D、E兩點，∠B＝60°，∠BAD＝70°，則∠BAC的度數(shù)為（）A．130° B．95° C．90° D．85°【解答】解：∵DE是AC的垂直平分線，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠C，∵∠B＝60°，∠BAD＝70°，∴∠BDA＝50°，∴∠DAC＝∠BDA＝25°，∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝70°+25°＝95°故選：B．二．解答題1．在△ABC中，DE垂直平分AB，分別交AB、BC于點D、E，MN垂直平分AC，分別交AC、BC于點M、N，連接AE，AN．（1）如圖1，若∠BAC＝100°，求∠EAN的度數(shù)；（2）如圖2，若∠BAC＝70°，求∠EAN的度數(shù)；（3）若∠BAC＝α（α≠90°），請直接寫出∠EAN的度數(shù)．（用含α的代數(shù)式表示）【解答】解：（1）∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠B，同理可得：∠CAN＝∠C，∴∠EAN＝∠BAC﹣∠BAE﹣∠CAN，＝∠BAC﹣（∠B+∠C），在△ABC中，∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝80°，∴∠EAN＝∠BAC﹣（∠BAE+∠CAN）＝100°﹣80°＝20°；（2）∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠B，同理可得：∠CAN＝∠C，∴∠EAN＝∠BAE+∠CAN﹣∠BAC，＝（∠B+∠C）﹣∠BAC，在△ABC中，∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝110°，∴∠EAN＝∠BAE+∠CAN﹣∠BAC＝110°﹣70°＝40°；（3）當0°＜α＜90°時，∠EAN＝180°﹣2α；當180°＞