新教材 人教A版高中數(shù)學必修第二冊全冊各章章末綜合測驗 含答案

人教A必修第二冊各章綜合測驗

第六章平面向量及其應用.....................................................1

第七章復數(shù).................................................................7

第八章立體幾何初步........................................................11

第九章統(tǒng)計................................................................22

第十章概率................................................................34

第六章平面向量及其應用

(時間:120分鐘分值:150分)

一'單項選擇題(本大題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題

所給的四個選項中，只宜：個選嬰符合題目嬰求的)

l.^oABCD中，若而=(2,8),荏=(-3,4),則於=()

A.(-l,-12)B.(-l,12)C.(l,-12)D.(l,12)

答案:B

2.在△ABC中，若4=去8。=348=后,則C=()

A二或郊B.—C.-D.-

44446

答案:C

3.若四邊形ABCD滿足荏+麗=0,(荏-而)?尼=0,則該四邊形一

定是()

A.正方形B.矩形C.菱形D.直角梯形

答案:C

4.(2020年新高考空L卷)已知P是邊長為2的正六邊形

48CDE廠內(nèi)的一點，則赤?存的取值范圍是()

A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-2,4)D.(-4,6)

答案:A__

5.若點A(-l,l),3(l,2),C(-2,-l)Q(3,4),則向量荏在前方向上的投

影為()

.37203V15?3V2「3V15

A.D.--------C?-U.---------

2222

答案:A

6.在AABC中，若AB=BC=3,ZABC=60°AD是邊3c上的高，則

而?冠的值等于()

9927

A.--B.-C.-D.9

444

答案:C

7.在△ABC中,a,4c分別為A,B,C的對邊，如果2b=a+c,B=30°,^

A3c的面積為|,那么。等于()

A.-B.1+V3C.-D.2V3

22

答案:B

8.如圖，海平面上的甲船位于中心0的南偏西30。,與。相距

15nmile的C處.若甲船以35nmile/h的速度沿直線CB去營救位于

中心。正東方向25nmile的8處的乙船，則甲船到達3處需要的時間

為()

13

A.-hB.lhC.-hD.2h

22

答案:B

二、多項選擇題(本大題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題

給出的四個選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對

的得3分，有選錯的得0分)

9.氣p堇平行四邊形4吧馴鷺交點，則()

A.AB=DCBUA+DC=DB

CAB-AD=BDD.OB=^(DA+BA)

答案:AB

10.在△ABC中，若a=5夜,c=10,A=30。,貝ijB可能是()

A.1350B.105°C.45°D.150

答案:BD

11.已知向量3=(-1,2)e=(2,1),若向量。=2建1+獨2,則使九22<0成

立的。可能是()

A.(l,0)B.(0,l)C.(-l,0)D.(0,-l)

答案:AC

12.定義平面向量之間的一種運算"O”:對任意的a=(m,n),b=(p,q),

令aO8=7%生即，下列說法正確的是()

A.若a與b共線，則aOZ>=0

B.aG>b=bOa

C.對任意的有助。方=2(a。》)

D.(aOb)2+(a?2=|a|2叫2

答案:ACD

三、填空題(本大題共4小題,每小題5分，共20分.將答案填在題

中的橫線上)

13.在3c中，若3a2-2ab+3/-3c、2=0,則cosC的值為

14.若向量U1=(1,-3),|U1|=|礪|,耐?話=0,則|荏|=為氏

15.(本題第一空2分,第二空3分)已知在3c

中AB=AC=4,BC=2Q為AB延長線上一點，連接CD,若8D=2,則△8DC

的面積是零,cosNCDB=羋.

24

16.太湖中有一個小島，沿太湖有一條正南方向的公路，一輛汽車

測得小島在公路的南偏西15。的方向上，若汽車沿公路行駛1km后，測

得小島在南偏西75。的方向上，則小島到公路的距離是fkm.

6

四、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證

明過程或演算過程)

17.(10分)在3c中,。=3力=2逐,3=24

(1)求cosA的值;

(2)求c的值.

角星:(1)因為a=3,b=2^6,B=2A,

所以在△ABC中，由正弦定理得二一=史；,

sinAs\n2A

已乙，“2sinAcosA2\/6,,V6

所以-------=一.故cosA4=—

sinA33

(2)由⑴，知COSA=y,

所以sinA=Jl-cos27l=-y.

因為8=2A,所以cosB=2COS2A-1=|.

所以sinB=

在△43。中,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsin以

asinC.

C=----=5.

smA

18.(12分)如圖,在平面直角坐標系中,|a|=2|而|=2,N

OAB=y,BC=(-l,V3).

(1)求點的坐標；

(2)求證:四邊形0A3C為等腰梯形.

⑴解:設(shè)點B的坐標為(切山),則XB=\0A\+\ABI-cos(7t-Z

OAB)=l，yB=\AB\-sm(7t-Z

所以反=施+玩=(j,y)+(-l,V3)=J爭，

所以點3的坐標為(|,爭，點。的坐標為(|,手).

(2)證明:因為沆=(|,爭，荏=0爭，

所以加=3說,所以而〃荏.

因為尻=(-1,8),所以|近1=2.

因為|反用荏配|=2,

所以四邊形OA8C為等腰梯形.

19.(12分)在四邊形ABCD中，已知

布=(6,1),前二(x,y),而=(-2,-3),瓦〃病.

(1)求％與y的解析式；

(2)若左，麗，求了,)的值以及四邊形ABC。的面積.

解:如圖所示.

⑴因為說=說+阮+麗=(x+4,y-2),

所以少］=?■而=(-%-4,2-y).

因為三〃石1前二(x,y),

所以x(2-y)-(-x-4)y=0,即x+2y=0.

(2)由題^,^AC=AB+BC=(x+6,y+1),

BD=BC+CD=(x-2,y-3\

因為配_1而，所以尼?麗=0,

即(x+6)(x-2)+(y+l)(j-3)=0.

由(1)可知戶-2y,所以y2-2y-3=0,所以y=3或y=-l.

當產(chǎn)3時.=-6,此時，就=(-6,3),前=(0,4),麗=(-8,0),

所以|前|=4,|前|=8,

所以SWABCZ司福前1=16.

當y=-l時，戶2,此時，麗=(2,-1),正=(8,0),麗=(0,-4).

所以|4C|=81BZ)|=4,S西邊形ABC￡>=16.

綜上可知上二6,或廠=2

(y=3{y=-1,

SwiiHMBCD-16.

20.(12分)如圖，某海輪以60nmile/h的速度航行，在點A測得海面

上油井P在南偏東60。,向北航行40min后到達點民測得油井P在南

偏東30。,海輪改為沿北偏東60。的航向再行駛80min到達點。，求P,C

間的距離.

一

W

;P

解:由題意知AB=4Qnmile,ZBAP=120°,ZABP=30°,

所以NAPB=30°,所以A尸=40nmile,

所以B^AB^AP^AP-AB-cos120°=402+402-2x40x40x(-1)

=402X3,

所以BP=40A/3nmile.

因為ZPBC=90°,BC=80nmile,

所以PC2=BP2+fiC2=(40V3)2+802=l1200,

所以尸C=40A/7nmile,

即P,C間的距離為40V7nmile.

21.(12分)在邊長為1的菱形四切中，4=60°,6是線段CD上一

點,滿足|屈|=2|曲如圖所示,設(shè)荏=a,AD=b.

(1)用a,b表示BE.

(2)在線段比1上是否存在一點F,滿足4d砥若存在,確定點F

的位置，并求I萬I；若不存在,請說明理由.

----------7c

解:⑴根據(jù)題意，得前=而="

CE=-而上~BA=--AB=--a,

3333

，

所以-B-E>=-B-C?+-C-E=b52a.

(2)結(jié)論:在線段8C上存在使得4|而|=|就|的一點七滿足AELBE,

此時|而|二叵.

4

求解如下：

設(shè)前二尻=仍，則的=(1-t)b(0<t<1),

所^AF=AB+BF=a+tb.

因為在邊長為1的菱形ABCD中4=60。，

1

所以|a|=|b|=l,Q?0=|a||0|cos60°=-.

因為4尸，BE,

所以喬前=3+吩?(崢)=(l-|r)“小|"+加2=(.)x|.|+/=o,

解得齊士所^AF=a+-b,

44

2

所以l/NkJa24--ab+—b=1+-x-+—=^i.

7216722164

22.(12分)在3c中,a,0,c分別為內(nèi)角A,民。所對的邊,且滿足

sinA+V3cosA=2.

(1)求角A的大小.

(2)現(xiàn)給出三個條件:①:;③c=8人.試從中選出兩個可以

確定△A3C的條件，寫出你的方案，并以此為依據(jù)求△43C的面積.(寫

出一種方案即可)

解:⑴依題意，得2sin(A+；)=2,

即sin(A+-)=1.

3

因為0</1<71,所以?<4+1<"，

333

所以A二二2,所以A=-.

326

(2)參考方案:選擇①②.

由正弦定理，一二」-,得Z?=—=2V2.

sinAsinBsin4

因為A+B+C=n,

所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsin,

所以C=|X2X2A/2x^i^=V3+1.

第七章復數(shù)

(時間:120分鐘分值:150分)

一'單項選擇題(本大題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題

所給的四個選項中,只有一個選項是符合題目要求的)

1.已知復數(shù)z=2+i,則()

A.V3B.V5C.3D.5

答案:D

2.設(shè)復數(shù)z滿足z+i=3-i,則5=()

A.-l+2iB.l-2iC.3+2iD.3-2i

答案:C

3.(2020年新高考全國I卷)磊=()

A.lB.-lC.i1D.-i

答案:D

4.已知復數(shù)z=a+i(a￡R),若z+5=4,則復數(shù)z的共輾復數(shù)5=()

A.2+iB.2-iC.-2+iD.-2-i

答案:B

5.(全國卷〃)設(shè)z=-3+2i,則在復平面內(nèi)5對應的點位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案:C

6.已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)z=i(2-i)的模|z|=()

A.lB.V3C.V5D.3

答案:C

7.復數(shù)七+義的虛部是()

-2+11-Z1

1.-1-1?cl

AA-51B5C-glD.--

答案:B

8.如圖，在復平面內(nèi)，若復數(shù)Z],Z2對應的向量分別是反,話,則復數(shù)

Z1Z2對應的點位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案:D

二、多項選擇題（本大題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題

給出的四個選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對

的得3分，有選錯的得0分）

9.若復數(shù)z滿足（l-i）z=3+i,則（）

A.z的實部是2B.z的虛部是2i

C.z=l-2iD.|z|=V5

答案:CD

10.實數(shù)滿足（l+i）%+（l-i）y=2,設(shè)z=x+yi,則下列說法正確的是

（）

A.z在復平面內(nèi)對應的點在第一象限

B.|z|=V2

C.z的虛部是i

D.z的實部是1

答案:ABD

n.下面四個命題中是真命題的有（）

A.若復數(shù)Z滿足則z￡R

B.若復數(shù)z滿足=GR,則z￡R

C.若復數(shù)Zi,Z2滿足ZIZ2^R，則Z1=Z2

D.若復數(shù)z￡R,則5￡R

12.已知Z1與Z2互為共輾復數(shù)，以下四個命題一定正確的是（）

A.Z2<|Z|2

12B.Z1Z2=IZIZ2I

C.ZI+Z2￡RD.包￡R

Z2

答案:BC

三'填空題（本大題共4小題,每小題5分，共20分.將答案填在題

中的橫線上）

13.若i為虛數(shù)單位，則昌

14.（本題第一空3分,第二空2分）若復數(shù)z書，則|z|=苧復數(shù)z在

復平面內(nèi)對應的點位于第二象限.1

15.若關(guān)于％的方程%2+（2-i）%+（2相-4）i=0有實數(shù)根，則純虛數(shù)m=4i.

16.若復數(shù)z=%+yi（%,y￡R）,且憶-2|=遮,則（的最大值為次.

四、解答題（本大題共6小題，共70分.應答應寫出文字說明、證

明過程或演算過程）

17.（10分）計算*&+&i）5+（白）4+（手）7.

解:工(企+傷》+(；)4+(.)7

11+11-1

=-i(V2)5[(l+i)2]2(l+i)+[^]2+i7

=16V2(-l+i)---i

4

=-(16V2+-)+(16V2-l)i.

4

18.(12分)已知復數(shù)zi滿足(z「2)(l+i)=l-i(i為虛數(shù)單位)，復數(shù)Z2的

虛部為1/逐2是實數(shù)，求Z2.

解：因為(zr2)(l+i)=l-i,

所以zi-2=^7=^-=-i,

所以zj=2-i.

由復數(shù)Z2的虛部為1,設(shè)z2=a+i,

所以ZiZ2=(2-i)(a+i)=(2a+l)+(2-tz)i.

因為Z]Z2是實數(shù)，所以2-a=0,即a=2.

所以z2=2+i.

19.(12分)已知復數(shù)zi=(l+0i)(2+i),Z2=3+(l-a)i(?,/?￡R,i為虛數(shù)單

位).

⑴若zi=Z2,求a,b的值；

(2)若8=1,。=0,求I乎詈L

1-Z1

解：⑴復數(shù)Z]=(1+bi)(2+i)=2-b+(2b+l)i,z2=3+(l-4)i,

2-b=3,a=2,

由Z1=Z2,得「a解得

2b+1b=-1.

(2)若b=l,a=O,則Z|=l+3i,Z2=3+i.

所以戶與=早早=￥+會=2.

1+(-2)2

20.(12分)已知復數(shù)z滿足(l+2i厲=4+3i.

⑴求復數(shù)z;

(2)若復數(shù)(z+ai)2在復平面內(nèi)對應的點在第一象限,求實數(shù)a的取

值范圍.

解:⑴因為(l+2i厲=4+3i,

4+3i_(4+3i)(l-2i)_10-5i

所以5=?=2-i,

l+2i(l+2i)(l-2i)5

所以Z=2+L

(2)由(1)知z=2+i,則(z+ai)2=(2+i+ai)2=[2+(a+l)i]2=4-(a+l)2+

4(a+l)i.

因為復數(shù)(z+ai)2在復平面內(nèi)對應的點在第一象限，

端工，/解得

所以

21.(1出收里F面內(nèi)A,5。三點對應的復數(shù)分別為l,2+i,-l+2i.

(1)求荏，近，元對應的復數(shù)；

(2)判斷△A3C的形狀；

(3)求△43C的面積.

解:⑴設(shè)45。三點對應的復數(shù)分別為ZA=l,Z8=2+i,z『-l+2i,則前

對應的復數(shù)為ZB-Z4=(2+i)-l=l+i,

近對應的復數(shù)為zc-ZB=(-l+2i)-(2+i)=-3+i,

近對應的復數(shù)為zuZ4=(-l+2i)-l=-2+2i.

(2)由(1)矢口|而|=|1+“=/,|說|=|-3+i|=VIU,|而|=卜2+2耳=2近，

所以|荏『+|而『=|就『，

故△ABC為直角三角形.

⑶8的《麗I?祠寺企x2a=2.

22.(12分)已知復數(shù)w滿足w(l+2i)=4+3i(i為虛數(shù)單位),z=L|w-2|,

W

求一個以Z為根的實系數(shù)一元二次方程.

解：由卬(l+2i)=4+3i,

Z_4+3i_(4+3i)(l-2i)_4-5i-6i2_.

H~;~~二2nT,

l+2i(l+2i)(l-2i)5

所以3+廿2局+|2缶2|喘捻+l=2+i+l=3+i,所以2=3-i.

所以z+z=6,zz=32-i2=lO,

因此,以復數(shù)z為一"1、根的實系數(shù)方程為①z)(x-5)=0,即x-(z+z)x+z

z=0,

即X2-6JC+10=0.

第八章立體幾何初步

（時間:120分鐘分值:150分）

一'單項選擇題（本大題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題

所給的四個選項中,只有一個選項是符合題目要求的）

1.若用A,B表示點，用a表示直線,a表示平面，則下列敘述中正確

的是（）

A.若Aua,8ua,貝ABua

B.若，則AB^a

C.若—a,qua,貝!JAB莊a

D.若A￡a,qua,則A^a

答案:D

2.下列說法中正確的是（）

A.棱柱的側(cè)面可以是三角形

B.正方體和長方體都是特殊的四棱柱

C.所有的幾何體的表面都能展成平面圖形

D.棱柱的各條棱都相等

答案:B

3.一個等腰三角形繞它的底邊所在直線旋轉(zhuǎn)360。形成的曲面所

圍成的幾何體是（）

A.球B.圓柱C.圓臺

D.兩個共底面的圓錐組成的組合體

答案:D

4.（2020年新高考全國I卷）日皆是中國古代用來測定時間的儀器,

利用與唇面的垂直的唇針投射到唇面的影子來測定時間.把地球看成

一個球（球心記為O）,地球上一點A的緯度是指OA與地球赤道所在平

面所成角，點A處的水平面是指過點A且與04垂直的平面，在點A處

放置一個日號,若辱面與赤道所在平面平行，點A處的緯度為北緯40。，

則劈針與點A處的水平面所成角為（）

A.20°B.40°C.50°D.90°

答案:B

5.如果空間中有三條線段AB,BC和8,且N43ON3CD那么直

線A8與直線CQ的位置關(guān)系是（）

XAB//CD

B.AB與CD異面

C.AB與CQ相交

D.AB〃CQ或43與CO異面或與CD相交

答案:D

6.設(shè)m,n是兩條不同的直線,a/,了是三個不同的平面，給出下列命

題：

①若m//a,n//￡,a〃?，則m//②若a〃〃人則a〃￡;③若ml.

6，則m//④若則a〃0.

其中正確命題的序號是（）

A.①③B.①④C.②③D.②④

答案:C

7.現(xiàn)在國際乒乓球賽的用球已由“小球”改為“大球”.若“小球”的直

徑為38mm,“大球”的直徑為40mm,則“小球”的表面積與“大球”的表

面積之比為（）

A.V19:V20B.19:20

C.192：202D.193：203

答案:C

8.若正三棱柱有一個半徑為V3cm的內(nèi)切球，則此棱柱的體積是

（）

A.9V3cm'B.54cm3

C.27cm3D.18V3cm3

答案：B

二、多項選擇題（本大題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題

給出的四個選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對

的得3分，有選錯的得0分）

9.已知等腰直角三角形直角邊長為1,若將該三角形繞其某一邊旋

轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的表面積可以為（）

A.V2TTB.<1+V2）7TC.2V27TD.（2+企）兀

答案:AB

10.對于不重合的兩個平面a與⑶給定下列條件,其中可以判定a

與用平行的有（）

A.存在平面外使得a，都平行于y

B.存在平面人使得a6都垂直于y

C.a內(nèi)有不共線的三點到￡的距離相等

D.存在異面直線使得l//a,l//p,m//a,m//p

答案:AD

11.在正方體48。。-4囪。|。]中,&F,G分別為棱4Q[,AAA]3i的

中點，下列命題中正確的是()

A.EF±B\C

B.3G〃平面EFG

CAC_L平面EFG

D.異面直線/G,3c所成角的大小為；

答案:ABC

12.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形,ND43=60。,側(cè)

面PAD為正三角形,且平面尸AD_L平面A3CD,則下列說法正確的是

()

A.在棱AD上存在點M,使A。J_平面PMB

B.異面直線AD與PB所成的角為90°

C.二面角P-BC-A的大小為45°

D.3￡>J_平面PAC

答案:ABC

三、填空題（本大題共4小題,每小題5分，共20分.將答案填在題

中的橫線上）

13.底面直徑和高都是4cm的圓柱的側(cè)面面積為I6ncm2.

14.若四棱錐P-ABCD的底面為平行四邊形，邑F,G分別為PA,PD,

CD的中點，則BC與平面EFG的位置關(guān)系為平行.

15.若棱錐的高為16,底面積為512,平行于底面的截面面積為50,

則截得的棱臺的高為！1.

16.（2020年新高考全國I卷）已知直四棱柱ABCDA向GS的棱

長均為2,/84。=60。.以功為球心，西為半徑的球面與側(cè)面BCCiBi的

交線長為爭I.

四'解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證

明過程或演算過程）

17.（10分）某圓柱有一個內(nèi)接長方體48。。-4囪。。1,該長方體的

體對角線長是10V2cm,該圓柱的側(cè)面展開圖為矩形，此矩形的面積是

1007Tcm?,求該圓柱的體積.

解:設(shè)該圓柱底面半徑為rem,高為"cm.如圖所示，

則該圓柱軸截面長方形的對角線長等于它的內(nèi)接長方體的體對

角線長,

f(2r)2+M=(io/)20=5,

(2nrh=IOOTI,=10.

所以V圓柱=5/?="2/?=兀乂52乂10=2507c(cm3).

18.(12分)如圖，在三棱錐尸-ABC中，已知3c是等腰直角三角形,

ZABC=90°,APAC是直角三角形,NP4C=90。,平面P4CJ_平面A6C

求證:平面尸A3J_平面PBC.

證明：因為平面PAC1.平面ABC,PA±AC,

平面A8CA平面PAC=AC,PAu平面PAC,

所以PA_L平面ABC.

因為BCu平面ABC,所以PA±BC.

因為A8，BCA8nPA=A,A3u平面A48,尸Au平面PAB,

所以8C，平面PAB,BCu平面PBC,

所以平面尸A8_L平面PBC.

19.(12分)如圖，在正三棱柱A8GA向G中尸，尸］分別是AC,AC

的中點.

求證:(1)平面A3］吊〃平面CiBF.

(2)平面A31/i_L平面ACGA］.

R

證明：⑴在正三棱柱48C-48C1中,

因為F,FX分別是ACAiC的中點，

所以AFX〃GF.易證得B\Fi//BF.

因為&FQAFi/,GFnBF=F,

所以平面A&Q〃平面C\BF.

(2)在正三棱柱ABC-A}B{CX中A4]，平面AXB{CX,

所以

易證得囪/_LA]G.

因為AGn/UpAi,

所以平面ACCiAi.

因為-u平面ABiFi,

所以平面491外，平面ACCXAX.

20.(12分)如圖所示,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的

菱形,/3。。=60。萬是CD的中點,P4,底面ABCD,PA=V3.

(1)求證:平面尸8E_L平面PAB.

(2)求二面角A-BE-P的大小.

AH

(1)證明：如圖所示，連接BD.

AR

由四邊形ABCD是菱形，且N88=60。，

知△3CQ是等邊三角形.

因為E是。。的中點，所以BELCD.

因為8,所以BELAB.

因為PAL平面ABCD,BEu平面ABCD,

所以PALBE.

因為平面平面P48,所以BE±平面PAB.

因為8Eu平面PBE,

所以平面平面PAB.

(2)解：由⑴知平面平面PAB,

所以PBLBE.

因為A3,8瓦

所以NP84是二面角A-3E-P的平面角.

在RtAPAB中,tanNPBA=^=F=E,

所以NPBA=60°.

故二面角A-BE-P的大小是60°.

21.(12分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形.已知

AB=AD=PA=PB=2,PD=2a.

(1)求點8到面PAD的距離.

(2)取AB中點O,過點O作OELBD于點E.

①求證:NPEO為二面角P-BD-A的平面角.

②求NPEO的正切值.

(1)解：因為PA=PB=AB=2,PA=AD=2,PD=1V2,

所以△PA8為等邊三角形,PA2+AD2=PD2，所以A。，PA.

因為ACASPAClABuAPAu平面PAB,ABu平面PAB,

所以4Z)_L平面PAB.

所以IS'ZSP/IB——x2x2x-^-=-\/3,>SAP/tD——x2x2—2.

設(shè)點8到平面PAD的距離為/?,

由V三棱椎B-PAD=V三棱椎D-PAB,

得［S/XEWh=^S^PAl}-AD,

即［xZx/^^xKxZ,所以〃=g.

(2)①證明:如圖所示，連接PO.

在△PAB中,PA=P3=A8=2,所以PO±AB.

由⑴知AD_L平面A43,POu平面PAB,所以POLAD.

因為A8nA0=A,A8u平面ABCZXAQu平面ABCD,

所以PO_L平面A8CD因為BOu平面A8CO,所以POLBD.

因為OELBD,POC\OE=O,POu平面POEQEu平面POE,

所以8D_L平面POE,所以BDtPE,

所以NPEO為二面角P-BD-A的平面角.

②解：尸0=眄2/。2增.

由AB=AD可得四邊形A8CO為正方形，則OE=-AC=-x2V2=~.

442

在△尸OE中，NPOE=90°,所以tanZPEO=—二學二瓜

0E出

2

22.(12分)如圖①所示，在四棱錐S-ABCD中，

ZBAD=ZCDA=ZCBD=2ZABD=90°,^l§iSB。，平面ABCD,

且△S3。是邊長為近的等邊三角形.

⑴求證:C8_LOS.

(2)過點S作ST〃8D,使得四邊形STDB為菱形，連接TA,TD,TC,

得到的圖形如圖②所示，已知平面3MN〃平面且直線OCTI平

面BMN=M，直線TCP)平面，求三棱錐D-MNB的體積.

(1)證明：因為NC&)=90°,所以CBLBD.

因為平面S8DCI平面ABCD=BD,平面SBD_L平面ABCD,

CBu平面ABCD,所以CB_L平面SBD.

因為SOu平面SBD,所以CB.LDS.

(2)解:如圖，取BD的中點為。連接SO,SM,TB,TM.

由平面BMN//平面ADT,得AD//BM,DT//MN.

因為NCA4=90°,所以N8M￡>=90°,即BM±CD.

因為NBAD=ZCDA=90°,所以A3〃CD.

因為ZCBD=2ZABD=90°,

所以ZABD=ZCDB=45°,

即△C8O為等腰直角三角形.

所以DM=MC=1.

因為在△COT中,MN〃DT,M是QC的中點，

所以N是TC的中點.

所以V三枝椎N-DMB=~yT-DMB=~V三枝他S-￡>M8?

因為DS=DB=BS,所以SOVDB.

因為平面S3Q_L平面ABCD,

所以SO,平面A8CD,

“八，T71Tr11「八仁1V61V6

所以三核椎￡>_MN8=TVS-DMB=~X-XSOxS^BDM=t><~X'Z~~-

V22362Z24

第九章統(tǒng)計

時間：120分鐘分值：150分

第I卷（選擇題，共6（）分）

一、單項選擇題（每小題5分，共40分）

1.對某校1200名學生的耐力進行調(diào)查，抽取其中120名學生，

測試他們1500m跑步的成績，得出相應的數(shù)值，在這項調(diào)查中，樣

本是指（C）

A.120名學生B.1200名學生

C.120名學生的成績D.1200名學生的成績

解析：研究對象是某校1200名學生的耐力，在這個過程中，1200

名學生的成績是總體，樣本是這120名學生的成績.故選C.

2.某校數(shù)學教研組為了解學生學習數(shù)學的情況，采用分層隨機

抽樣的方法從高一600人、高二780人、高三〃人中，抽取35人進

行問卷調(diào)查，已知高二被抽取的人數(shù)為13,則〃等于（B）

A.660B.720

C.780D.800

解析：因為從高一600人，高二780人，高三〃人中，抽取35

人進行問卷調(diào)查，已知高二被抽取的人數(shù)為13,所以裝=薪工粽L，

J3十/KU十〃

解得〃=720.

3.已知一組數(shù)據(jù)為20,30,40,50,50,60,70,80淇中平均數(shù)、中位數(shù)

和眾數(shù)的大小關(guān)系是（D）

A.平均數(shù)＞中位數(shù)〉眾數(shù)

B.平均數(shù)〈中位數(shù)（眾數(shù)

C.中位數(shù)〈眾數(shù)（平均數(shù)

D.眾數(shù)=中位數(shù)=平均數(shù)

解析：眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)都是50.

4.某校為了了解高三學生在第一次模擬考試中對數(shù)學的掌握情

況，從高三年級中隨機抽查了100名學生的數(shù)學成績，并制成了如下

頻率分布直方圖，從圖中可以知道這100名學生的平均分數(shù)和中位數(shù)

分別為（B）

頻率/組距

0.03-

0.025-

0.02-

0.018-

0.006--

0.001A

090100110120130140分數(shù)

A.103.2,113.2B.108.2,108

C.103.2,108D.108.2,113.2

解析：根據(jù)題中頻率分布直方圖，得這100名學生的平均分數(shù)為

85X0.006X10+95X0.02X10+105X0.03X10+115X0.025X10+

125X0.018X10+135X0.001X10=108.2;

又0.006X10+0.02X10=0.26<0.5,

0.26+0.03X10=0.56>0.5,

所以中位數(shù)在［100,110)內(nèi)，可設(shè)為工,

則(％—100)*0.03+0.26=0.5,解得％=108.

5.AQI是表示空氣質(zhì)量的指數(shù)，AQI越小，表明空氣質(zhì)量越好，

當AQI不大于100時稱空氣質(zhì)量為“優(yōu)良”.如圖是某地4月1日

到12日AQI的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，圖中點4表示4月1日的AQI為201.則

1日2日3口4日5口6日7日8口9日10口11口12日日期

A.這12天中有6天空氣質(zhì)量為“優(yōu)良”

B.這12天中空氣質(zhì)量最好的是4月9日

C.這12天的AQI的中位數(shù)是90

D.從4日到9日，空氣質(zhì)量越來越好

解析：這12天中,空氣質(zhì)量為“優(yōu)良”的有95,85,77,67,72,92,

共6天，故A正確；這12天中空氣質(zhì)量最好的是4月9日，AQI為

95+104

67,故B正確；這12天的AQI的中位數(shù)是一一=99.5,故C不

正確；從4日到9日，AQI越來越小，空氣質(zhì)量越來越好，D正確.

6.一個容量為32的樣本，已知某組樣本的頻率為0.25,則該組

樣本的頻數(shù)為（B）

A.4B.8C.12D.16

X|

解析：設(shè)頻數(shù)為x,貝132=0.25,工=32義工=8.

7.為了解學生“陽光體育”活動的情況，隨機統(tǒng)計了〃名學生

的“陽光體育”活動時間（單位：分鐘），所得數(shù)據(jù)都在區(qū)間［10,110］

內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖所示.已知活動時間在［10,35）內(nèi)的頻數(shù)為

80,則〃的值為（B）

“頻率/組距

0.016------------------

0.012----------1—

0.008----------------------

0.004----------

0~~-------3------------------

10356085110時間/分鐘

A.700B.800

C.850D.900

解析：由題中頻率分布直方圖，知組距為25,所以活動時間在

［10,35）內(nèi)的頻率為0.1.因為活動時間在［10,35）內(nèi)的頻數(shù)為80,所以n

=^=800.

8.2019年4月，某學校的學生參加了某考試機構(gòu)舉行的大聯(lián)考，

現(xiàn)從該校參加考試的學生數(shù)學成績在10（）分及以上的試卷中隨機抽

取了20份試卷，這20份試卷的得分情況如下：

109,112,120,128,135,139,142,150,118,124,127,135,138,144,114,

126,126,135,137,148.則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是（C）

A.120B.138

C.138.5D.139

解析：將這20個數(shù)據(jù)從小到大排列：

109,112,114,118,120,124,126,126,127,128,135,135,135,137,138,139,142,

144,148,150.

力=20><75%=15,.?.這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為第15個數(shù)據(jù)

和第16個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即一2—=1385

二、多項選擇他（每小題4分，共20分）

9.經(jīng)過中央電視臺《魅力中國城》欄目的三輪角逐，黔東南州

以三輪競演總分排名第一名問鼎“最具人氣魅力城市”.如圖統(tǒng)計了

黔東南州從2010年到2017年的旅游總?cè)藬?shù)（萬人次）的變化情況，從

一個側(cè)面展示了大美黔東南的魅力所在.根據(jù)這個圖表，在下列給出

的黔東南州從2010年到2017年的旅游總?cè)藬?shù)的四個判斷中，正確的

A.自2011年起旅游總?cè)藬?shù)逐年增加

B.2017年旅游總?cè)藬?shù)超過2015,2016兩年的旅游總?cè)藬?shù)的和

C.自2011年起年份數(shù)與旅游總?cè)藬?shù)成正相關(guān)

D.從2014年起旅游總?cè)藬?shù)增長加快

解析：從圖表中看出：在A中，旅游總?cè)藬?shù)逐年增加，故A正

確；在B中，2017年旅游總?cè)藬?shù)沒有超過2015,2016兩年的旅游總

人數(shù)的和，故B錯誤；在C中，年份數(shù)與旅游總?cè)藬?shù)成正相關(guān)，故C

正確；在D中，從2014年起旅游總?cè)藬?shù)增長加快，故D正確.

10.某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收

集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量（單位：萬

人）的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖.

A.月接待游客量逐月增加

B.年接待游客量逐年增加

C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月

D.各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動

性更小，變化比較平穩(wěn)

解析：根據(jù)折線圖，可知2014年8月到9月、2014年10月到

11月等月接待游客量都是減少的，所以A錯誤；易知B、C、D正確.故

選BCD.

11.為了解戶籍、性別對生育二胎選擇傾向的影響，某地從育齡

人群中隨機抽取了容量為100的樣本，其中城鎮(zhèn)戶籍與農(nóng)村戶籍各

50人；男性60人，女性40人，繪制不同群體中傾向選擇生育二胎

與傾向選擇不生育二胎的人數(shù)比例圖（如圖所示），其中陰影部分表示

傾向選擇生育二胎的對應比例，則下列敘述中正確的是（ABD）

100%

8o%

6o%

4o%

2O%

0%

城鎮(zhèn)戶籍農(nóng)村戶籍男性女性

A.是否傾向選擇生育二胎與戶籍有關(guān)

B.是否傾向選擇生育二胎與性別無關(guān)

C.傾向選擇生育二胎的人員中，男性人數(shù)與女性人數(shù)相同

D.傾向選擇不生育二胎的人員中，農(nóng)村戶籍人數(shù)少于城鎮(zhèn)戶籍

人數(shù)

解析：由題圖，可得是否傾向選擇生育二胎與戶籍有關(guān)、性別無

關(guān)，傾向選擇不生育二胎的人員中，農(nóng)村戶籍人數(shù)少于城鎮(zhèn)戶籍人數(shù),

傾向選擇生育二胎的人員中，男性人數(shù)為60義60%=36,女性人數(shù)為

40X60%=24,不相同.

12.為了了解某校九年級1600名學生的體能情況，隨機抽查了

部分學生，測試1分鐘仰臥起坐的成績（次數(shù)），將數(shù)據(jù)整理后繪制成

如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)統(tǒng)計圖的數(shù)據(jù)，下列結(jié)論錯誤的是

（AD）

I頻率/組距

0.08

0.06

0.04

0.02

0^1520253035次數(shù)

A.該校九年級學生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)的中位數(shù)估計值為25

B.該校九年級學生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)的眾數(shù)估計值為27.5

C.該校九年級學生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)超過30次的人數(shù)約

為320

D.該校九年級學生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)少于20次的人數(shù)約

為32

解析：由題圖知，中位數(shù)是26.25,眾數(shù)是27.5』分鐘仰臥起坐

的次數(shù)超過30次的頻率為0.2,所以估計該校九年級學生1分鐘仰臥

起坐的次數(shù)超過30次的人數(shù)約有320人；1分鐘仰臥起坐的次數(shù)少

于20次的頻率為0.1,所以該校九年級學生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)少

于20次的人數(shù)約有160人.

第II卷(非選擇題，共90分)

三、填空題(每小題5分，共20分)

13.(2019?江蘇高考)已知一組數(shù)據(jù)6,7,8,8,9,10,則該組數(shù)據(jù)的方

差是1?

——1

解析：x=&X(6+7+8+8+9+10)=8,

所以方差為、義[(6—8)2+(7—8)2+(8—8尸+(8—8)2+(9—8)2+

(10-8)2]=|.

14.用簡單隨機抽樣的方法從含〃個個體的總體中，逐個抽取一

個樣本量為3的樣本，若其中個體a在第一次就被抽取的概率為g,

那么〃=&

解析：在每一次抽樣中，每個個體被抽到的概率都為,=!，所以

〃O

/?=8.

15.有一組數(shù)據(jù)X\,如…，…W%〃)，它們的平均數(shù)

是10,若去掉其中最大的％,”余下的數(shù)據(jù)的平均數(shù)為9,若去掉最小

的兩，余下的數(shù)據(jù)的平均數(shù)為11,則占關(guān)于n的表達式為xx=ll-n,

法關(guān)于n的表達式為/=〃+9.

解析：由題意：~~午-----=io,

-----F%"=10〃，①

.---

?n—1，9

.*.X\+必+…+x〃一]=9(九一1),②

.-----\-xn

,n_—i111,

.?.%2+%3+…+%”=11(〃-1),③

①一②得：％“=〃+9,

①一③得:JC]=11—n.

16.已知樣本量為200,在樣本的頻率分布直方圖中，共有〃個

小矩形，若中間一個小矩形的面積等于其余(〃一1)個小矩形面積和的

則該組的頻數(shù)為力.

解析：設(shè)除中間一個小矩形外的(〃一1)個小矩形面積的和為P,

113

則中間一個小矩形面積為,尸，P+?P=I,夕=不則中間一個小矩形

的面積等于;P=；,200X^=50,即該組的頻數(shù)為50.

四、解答題(寫出必要步驟，70分)

17.(10分)某城市100戶居民的月平均用電量(單位：度)，以

[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),

[280