人教版九年級數(shù)學上冊《正多邊形和圓》教學案

正多邊形和圓（一）

素質(zhì)教育目標

1.使學生理解正多邊形概念：使學生了解依次連結圓的n等分點所得的多邊形是正多

邊形；過圓的n等分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是正多邊形.

2,通過正多邊形定義教學培養(yǎng)學生歸納能力；通過正多邊形與圓關系定理的教學培養(yǎng)

學生觀察、猜想、推理、遷移能力.

3,向學生滲透“特殊------般”再“一般一一特殊”的唯物辯證法思想.

教學重點、難點、疑點及解決方法

1.重點：正多邊形的定義；n等分圓周（n23）可得圓的內(nèi)接正n邊形和圓的外切正n

邊形.

2.難點：對正n邊形中泛指“n”的理解.

3.疑點及解決方法：揭示定理證明的思路和步驟，說明取n=5的特殊情況證明定理具

有代表性.

教法學法和教具

1.教法：引導學生探索研究發(fā)現(xiàn)法。

2.學法：學生主動探索研究發(fā)現(xiàn)法。

3.教具：三角尺、圓規(guī)、投影儀（或小黑板）。

教學步驟

復習準備部分

同學們思考以下問題：

1.等邊三角形的邊、角各有什么性質(zhì)？

2.正方形的邊、角各有什么性質(zhì)？［安排中下生回答］

3.等邊三角形與正方形的邊、角性質(zhì)有什么共同點？［中上生回答：各邊相等、各角相

等］.

教師：我們今天學習的內(nèi)容”7.15正多邊形和圓

課堂講練部分

一，正多邊形的概念

教師提問：

1,什么是正多邊形？［安排中下生回答:各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形.］

師強調(diào)：如果一個正多邊形有n(n23)條邊，就叫正n邊形.等邊三角形有三條邊叫正三角

形，正方形有四條邊叫正四邊形.

［教師展示圖形］圖7-124

2,上面這些圖形都是正幾邊形？［安排中下生回答：正三角形，正四邊形，正五邊形,

正六邊形.］

3,矩形是正多邊形嗎？為什么？菱形是正多邊形嗎？為什么？［安排中下生回答：矩形

不是正多邊形，因為邊不一定相等.菱形不是正多邊形，因為角不一定相等.］

4,哪位同學記得在同圓中，圓心角、弧、弦、弦心距關系定理？［安排記起來的學生回

答：在同圓中，圓心角、弧、弦、弦心距有一組量相等，那么其余量都相等.］

5,要將圓三等分，那么其中一等份的弧所對圓心角度數(shù)是多少？要將圓四等分、五等

分、六等分呢？［安排中下生回答：將圓三等分，其中每等份弧所對圓心角120。、將圓四

等分，每等份弧所對圓心角90°、五等分，圓心角72°、六等分，圓心角60°］

6,哪位同學能用量角器將黑板上的圓三等分、四等分、五等分、六等分？［接排四名上

等生上黑板完成，其余學生在下面練習本上用量角器等分圓周.］

7,大家依次連結各分點看所得的圓內(nèi)接多邊形是什么樣的多邊形？［學生答:正多邊形.

二，等分圓周法定理

幻燈展示題目：已知：OO中AB=BC=CD=DE=EA.

求證：五邊形ABCDE是。0的內(nèi)接正五邊形.

教師引導學生分析:

1,以五邊形為例，哪位同學能證明這五邊形的五條邊相等？［安排中等生回答：］

2,哪位同學能證明這五邊形的五個角相等？［安排中等生回答：］

3,前面的證明說明“依次連結圓的五等分點所得的圓內(nèi)接五邊形是正五邊形”的觀察

后的猜想是正確的.如果n等分圓周，(n》3)、n=6,n=8……是否也正確呢？［安排學生們

充分討論］.

教師總結：因為在同圓中，弧等弦等，n等分圓就得到n條弦等，也就是n邊形的各邊都相

等.又n邊形的每個內(nèi)角對圓的(n-2)條弧，而每一內(nèi)角所對的弧都相等，根據(jù)弧等、圓周

角相等，證明了n邊形的各角都相等，因此圓內(nèi)接正五邊形的證明具有代表性.

定理：把圓分成n(n23)等份：

(1)依次連結各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正n邊形；

教師強調(diào)：

1,為何要“依次”連結各分點呢？缺少“依次”二字會出現(xiàn)什么現(xiàn)象？大家討論

討論看看.

2,經(jīng)過圓的五等分點作圓的切線，大家觀察以相鄰切線的交點為頂點的五邊形是不是

正五邊形？

八八八八ZX

幻燈展示題目：已知：中，AB=BC=CD=DE=EA,TP、

圖7-126

PQ、QR、RS、ST分別是經(jīng)過分點A、B、C、D、E的。。的切線.

求證：五邊形PQRST是。0的外切正五邊形

教師引導學生分析：

1,由弧等推得弦等、弦切角等，哪位同學能說明五邊形PQRST的各角都相等？［安排中

上生回答］

2,哪位同學能證明五邊形PQRST的各邊都相等？［安排中等生回答.］

教師總結：前面同學的證明，說明''經(jīng)過圓的五等分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂

點的多邊形是這個圓的外切正五邊形同樣根據(jù)弧等弦等、弦切角等就可證明經(jīng)過圓的n

等分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的n個等腰三角形全等，從而證明了這個圓的

以它n等分點為切點的外切n邊形是正n邊形.

(2)經(jīng)過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外

切正n邊形.

教師強調(diào)：定理(2)中少“相鄰”兩字行不行？少“相鄰”兩字會出現(xiàn)什么現(xiàn)象？同學們相

互間討論研究看看.

總結、擴展、反思

本堂課我們學習的知識：

1.學習了正多邊形的定義.

2.n等分圓周(n23)可得圓的內(nèi)接正n邊形和圓的外切正n邊形.

課堂作業(yè)：教材P.143.練習2、3

布置作業(yè)：P.157中2、3.

板書設計

教后札記：學生對正多邊形的概念能夠理解，會用等分圓周法作圖，但是，由于對多邊形

接觸較少，應用有難度，解題不周密，要指導學生對正多邊形的概念作圖和定理的反思學習。

正多邊形和圓（二）

素質(zhì)教育目標

1.使學生了解在任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓；正

多邊形都是軸對稱圖形，有偶數(shù)條邊的正多邊形又是中心對稱圖形；邊數(shù)相同的正多邊形都

相似；使學生理解正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角等概念.

2.通過正多邊形性質(zhì)的教學培養(yǎng)學生的探索、推理、歸納、遷移等能力；通過正多邊

形有關概念的教學，培養(yǎng)學生的閱讀理解能力.

3：向學生滲透特殊到一般再由一般到特殊的唯物辯證法思想.

教學重點、難點、疑點及解決方法

1.重點：正多邊形的性質(zhì)；正多邊形的有關概念.

2.難點：對“正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，且這兩個圓是同心圓”的理解.

3.疑點及解決方法：正n邊形n個頂點共圓的證明.解決此疑點的方法是復習點與圓

的位置關系，即到圓心距離等于半徑的點在圓上.

教法學法和教具

1.教法：引導學生探索研究發(fā)現(xiàn)法。

2.學法：學生主動探索研究發(fā)現(xiàn)法。

3.教具：三角尺、圓規(guī)、投影儀（或小黑板）。

教學過程

復燈引入梆合

上節(jié)課我們學習了正多邊形的定義，并且知道只要n等分（n23）圓周就可以得到的圓的內(nèi)接

正n邊形和圓的外切正n邊形.那么給定正多邊形能否得到圓呢？為解決此問題本堂課繼續(xù)

研究正多邊形和圓.

復習提問：1.作已知三角形的外接圓，圓心是已知三角形的什么線的交點？半徑是什么？［安

排記起來的學生回答］.2.作已知三角形的內(nèi)切圓，圓心是已知三角形的什么線的交點？半

徑是什么？［請回憶起來的學生回答］.

請兩名中上學生到黑板前一人畫不等邊三角形的外接圓與內(nèi)切圓，另一人畫正三角形的外接

圓與內(nèi)切圓，其余學生在練習本上畫上述兩種三角形的外接圓與內(nèi)切圓.

據(jù)堂耕搭梆今

教師引導：通過作圖不難發(fā)現(xiàn)，不等邊三角形都既有一個外接圓，又都有一個內(nèi)切圓.大家

觀察黑板上兩種三角形的外接圓與內(nèi)切圓，結合你畫的圖，你發(fā)現(xiàn)正三角形的外接圓與內(nèi)切

有什么特殊之處？（學生思考、回答：正三角形的外接圓與內(nèi)切圓是同心圓.）

教師引導：正方形是不是既有一個外接圓又有一個內(nèi)切圓，并且兩圓同心呢？［學生討論］

在學生討論的基礎上，教師依次提問如下問題：

1.正方形外接圓的圓心在哪？（安排中上生回答：正方形對角線的交點.）

2.根據(jù)正方形的哪個性質(zhì)證明對角線的交點是它的外接圓圓心？（安排中上生回答）

3.正方形有內(nèi)切圓嗎？圓心在哪？半徑是誰？（安排中上生回答）.

教師引導：通過大家畫圖實踐與理論探討發(fā)現(xiàn)正方形既有一個外接圓又有一個內(nèi)切圓并且兩

圓同心.大家再看看矩形、菱形是否具有這條性質(zhì)？（學生在練習本上畫、前后左右討論得

出矩形只有外接圓，菱形只有內(nèi)切圓結論）

教師引導：我們發(fā)現(xiàn)正三角形既有外接圓又有內(nèi)切圓且兩圓同心，發(fā)現(xiàn)正方形也是如此，我

們猜想正多形是否都具備這個性質(zhì)呢？

掛出預先畫好一個正五邊形ABCDE的小黑板.

教師講解：如果正五邊形ABCDE有外接圓，則A、B、C、D、E五點應都在同一個圓上，且它

們到圓心的距離相等.大家知道不在同一直線上的三點確定一個圓，不妨過正五邊形ABCDE

的頂點A、B、C作。0,連結0A、OB、0C、0D、0E.0A=0B=0C；證0D=0A、0E=0A即可.

板書：過正五邊形ABCDE的頂點A、B、C、作。0連結0A、OB、0C、0D.

教師分析、啟發(fā)、提問：L證點D在。0上就是證0D=0A,你打算證哪兩個三角形全等？（安

排中下生回答）.2.要證AAOB絲△C0D已具備了哪些全等條件？（安排中下生回答）.3.要

證△AOBgCOD還缺少什么條件？（安排中下生回答）.4.誰能證N3=N4?（安排中上生完成）

圖7-127

板書:

Z3=Z4)

OB=OC=>Z1=Z2

OB=OC

ZABC=ZBCD

BA=CD

△OAB^AODC

=OA=OD=點D在OO上'

=正五邊形

同理點E在00上

ABCDE有一個外接圓。0.

講授：照此法證明，正六邊形、正七邊形、…正n邊形不都應當有一個外接嗎？

分析、啟發(fā)、提問：既然正五邊形有一個外接。0,那么正五邊形的五條邊也就應是。0的

五條等弦.根據(jù)弦等、弦心距相等，可知點0到五邊的距離相等.那么正五邊形有無內(nèi)切圓

呢？圓心是誰？半徑是誰？（按中等生回答）.同樣，正n邊形也應有一個內(nèi)切。0,且兩圓

同心.哪位同學能敘述一下正多邊形的這個性質(zhì)定理？（安排中上生回答）

板書：定理：任何正多邊形都有一個外接圓和---1*內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓.

教師引導，正n邊形既有一個外接圓又有一個內(nèi)切圓，而且兩圓同心就給正多邊形帶來了一

系列的有關概念，請閱讀教材P.158下數(shù)第2自然段.學生看書，教師板書：1.正多邊

形中心；2.正多邊形半徑；3.正多邊形的邊心距；4.正多邊形的中心角.

錦堂優(yōu)司,教師提問：

1.0是正aABC的中心，它是正aABC的圓與圓的圓心:

2.0B叫正aABC的它是正AABC的圓的半徑；

圖7-128

3.0D叫作正AABC的,它是正AABC的圓的半徑.

4.正方形ABCD的外接圓圓心0叫做正方形ABCD的..

5.正方形ABCD的內(nèi)切圓。0的半徑0E叫做正方形ABCD的.

6.00是正五邊形ABCDE的外接圓，弦AB的弦心距OF叫正五邊形ABCDE的,它是

正五邊形ABCDE的圓的半徑.

7.NAOB叫做正五邊形ABCDE的角，它的度數(shù)是.

8.圖中正六邊形ABCDEF的中心角是,它的度數(shù)是.

圖7-129

9.你發(fā)現(xiàn)正六邊形ABCDEF的半徑與邊長具有什么數(shù)量關系？為什么？

10.正三角形的一個外角度數(shù)是：正方形的一個外角度數(shù)是；正五邊形的一個

外角度數(shù)是;正六邊形的一個外角度數(shù)是;正n邊形的一個外角度數(shù)是.

11.正n邊形的一個外角度數(shù)與它的____角的度數(shù)相等.

教師引導：下面我們研究正多邊形都具有哪些性質(zhì)？

教師提問：根據(jù)正多邊形的定義，你想到它應具有什么性質(zhì)？（安排中下生回答）

板書：正多邊形性質(zhì)：1.各邊都相等；2.各角都相等.

教師提問：1.什么叫軸對稱圖形？（安排記起來的學生回答）.2.正三角形是不是軸對稱圖

形？（讓中下生答）.3.它有幾條對稱軸？（中等生回答）.4.正方形是不是軸對稱圖形？（中

下生回答）.5.它有凡條對稱軸？（中等生回答）

演示:觀察圖中正五邊形、正六邊形是不是軸對稱圖形？如果是，它們又各應有幾條對稱軸？

（學生思考、討論）

教師引導：以此類推，對正n邊形又該有什么結論？（讓中下生回答）

板書：性質(zhì)3.正多邊形都是軸對稱圖形，一個正n邊形共有n條對稱軸，每條

對稱軸都通過正n邊形的中心.

教師提問：1.什么叫中心對稱圖形？（讓記起來的學生回答）.2.正三角形是不是中心對稱

圖形？正方形呢？正五邊形呢？正六邊形呢？3.什么樣的正多邊形是中心對稱圖形？（安排

中等學生回答）.

板書：續(xù)性質(zhì)3邊數(shù)是偶數(shù)的正多邊形還是中心對稱圖形，它的中心就是對稱

中心.

教師提問：1.所有的等邊三角形都相似嗎？為什么？（安排中上生回答）.2.所有的正方形

都相似嗎？為什么？（安排中等生回答）.3.所有的邊數(shù)相同的正多邊形都相似嗎？為什么？

（由中下生回答）.

板書：性質(zhì)4.邊數(shù)相同的正多邊形相似.

（教師講解）：大家都記得相似多邊形的周長比等于相似比.面積的比等于相似比平方，不難

證明，相似正多邊形的邊心距、半徑的比都等于相似比.

板書：續(xù)性質(zhì)4,它們周長的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比

等于相似比的平方.

性質(zhì)5：任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓.

總精制新展（教師引導學生反思）

本堂課主要學習了正多邊形的兩部分有關內(nèi)容：1.概念;2.性質(zhì).

錦膏煉燈：P.145頁練習1、2、3

中黃作業(yè)教材：P.157中4；

板書設計

正多邊形和圓（二）

一，定理二，練習三，小結

DA

管/

圖7-127圖7-128圖7-129

教后札記：學生對正多邊形的有關概念能夠理解，但是,應用較生，對定理能夠理解，但

是，由于解題的綜合性較強，對多邊形接觸較少，應用有難度，解題不周密，要指導學生對

正多邊形的概念、作圖和定理的反思學習。

正多邊形和圓（三）

素質(zhì)教育目標

1.復習鞏固正多邊形的定義及其有關概念；復習鞏固正多邊形的性質(zhì)和判定.

2,通過復習使學生提高歸納、系統(tǒng)知識的能力；通過證明和畫圖提高學生綜合運用分析問題

和解決問題的能力；通過一題多解的訓練培養(yǎng)學生的發(fā)散思維能力.

3,通過系統(tǒng)歸納知識滲透系統(tǒng)、全面、聯(lián)系客觀看問題的唯物辯證認識觀.

通過一題多解的發(fā)散思維訓練和逆向思維訓練，培養(yǎng)學生對科學孜孜不倦的探索精神和不斷

更新的創(chuàng)新意識及選優(yōu)意識.

教學重點、難點及解決方法

1.重點：系統(tǒng)本單元的知識，復習正多邊形的定義、概念、性質(zhì)和判定；在理解正多邊形

的判定方法的基礎上一題多解，對學生進行發(fā)散思維訓練；通過正多邊形與圓關系的第二定

理的逆定理的證明，對學生進行求異思維的訓練.

2.難點：綜合運用知識證題.

教法學法和教具

1.教法：引導學生探索研究發(fā)現(xiàn)法.

2.學法：學生主動探索研究發(fā)現(xiàn)法。

3.教具：三角尺、圓規(guī)、投影儀（或小黑板）。

教學過程

教師談話引入：前兩節(jié)我們學習了正多邊形的定義、概念、正多邊形的性質(zhì)和判定.本堂課

我們對這一單元進行復習.

（教師提問，學生回答）

1.什么叫做正多邊形？

2.什么是正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角？

3.正多邊形有哪些性質(zhì)？（邊、角、對稱性、相似性、有兩圓且同心）

4.正多邊形的半徑實質(zhì)是它的什么圓的半徑：它的邊心距又是什么圓的半徑？

5.正多邊形的中心角實質(zhì)是在它的外接圓中每邊所對的什么角？如何求它的值？它的度數(shù)

與正多邊形的一個什么角度數(shù)相等？

6.正n邊形有幾條對稱軸？當邊數(shù)是什么數(shù)時，正n邊形又是中心對稱圖形？

7.所有的正多邊形都相似嗎？

8.正多邊形外接圓的圓心一定還是它的____圓的圓心.

9.已知：如圖7-132,正六邊形ABCDEF

求：正六邊形ABCDEF的外接圓和內(nèi)切圓.

當展示第9題時，要求學生討論如何完成，并且要說出作圖的依據(jù).

在學生分組充分討論之后，教師組織全班交流，并安排學生按要求畫出正六邊形ABCDEF的

外接圓和內(nèi)切圓.

（復習提問）：判斷一個多邊形是正多邊形的方法有哪些？（安排中上學生回答：1.定義法;

2.等分圓周法.）

展示練習題）：

圖7-133

已知：如圖7-133,F、C、II、M、N分別為正五邊形ABCDE各邊中點.

求證：五邊形FGHMN是正五邊形.

題目展示后安排學生討論、研究.在學生充分討論后教師提出如下問題，帶領全班學生證明

這道題.

1.要證五邊形FGHMN是正五邊形，必須證其五邊相等.五角相等.要證五邊相等，你想到

證哪些三角形全等？（安排中下生回答）.

2.要證這些三角形全等，正五邊形ABCDE提供了哪些全等條件？（安排中下生回答）.

3.哪位同學能證五邊形FGHMN的五個角相等？（安排中等生回答）.

展示練習題2：如圖7T34,求證：各角相等的圓外切五邊形是正五邊形.

圖7-134

己知：（安排學生填寫）

求證：（安排學生填寫）

分析：要證五邊形ABCDE是正五邊形，己知己具備了五個角相等，顯然證五條邊相等即可.

提出問題：大家討論研究如何證五邊形的五條邊相等呢？

師生共同分析：證五邊相等，先證其二邊相等，其余同理可證.要證：線段相等，習慣證三

角形全等.例如證AB=BC可證aAOB會/XBOC,要證這兩個三角形全等需三個條件，大家找找

看.當學生每找出一個條件，教師都要追問一下“為什么？”

這是大家熟悉的利用正多邊形定義證明了這道題.大家再想一想，能不能用等分圓周的方法

證明這道題呢：討論討論、研究研究、試試看.

圖7-135

如圖7T35,師生共同分析：已知五邊形與相切，要證其為正五邊形只要證五個切點是

?0圓周的五等分點即可.即，證明/A'OB'=NB'OC'=NC'OD'=ND'OE'=NE'

OA'.要證五個角等，可先證其兩個角等，然后同理可證.

（提問）哪位同學能證/A'OB'=NB'OC'?（安排中等生證明）.

展示練習題3：

求證：各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形.

教師引導：此題的多邊形的邊數(shù)不具體，你打算如何處理？（安排中上生回答：以五邊形為

例.）

教師用幻燈給出這道題的圖形，然后安排學生寫出這題的已知、求證.再要求學生討論研究

分別用定義和等分圓周法證明.（可安排兩名中上學生到黑板證明）

己知：如圖7-136,五邊形ABCDE內(nèi)接于。0,且AB=BC=CD=DE=EA.

求證：五邊形ABCDE是正五邊形.

A

圖7-136

教師引導：這道題的兩種證法，哪一種簡單？（安排中下生回答：方法2簡單）

教師或請優(yōu)等生歸納：證圓的內(nèi)接多邊形或圓的外切多邊形是正多邊形時.只要證圓周被n

等分即可.這種方法要優(yōu)于用正多邊形定義證明的方法.

教師引導：大家知道，正多邊形既有一個外接圓又有一個內(nèi)切圓，并且兩圓同心.反之，如

果已知一個多邊形既有一個外接圓又有一個內(nèi)切圓，并且這兩個圓是同心圓，那么這個多邊

形是不是正多邊形呢？

幻燈給出以五邊形為例的圖形.安排學生討論研究.

圖7-137

已知:如圖7-137,同心00分別為五邊形ABCDE的內(nèi)切圓和外接圓,切點分別為F、G