浙江省之江教育評價2025屆高一數(shù)學第二學期期末監(jiān)測模擬試題含解析

浙江省之江教育評價2025屆高一數(shù)學第二學期期末監(jiān)測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知圓錐的底面半徑為，母線與底面所成的角為，則此圓錐的側面積為（）A． B． C． D．2．如圖所示，在中，點D是邊的中點，則向量（）A． B．C． D．3．的周期為（）A． B． C． D．4．《九章算術》中有如下問題：“今有勾五步，股一十二步，問勾中容圓，徑幾何？”其大意：“已知直角三角形兩直角邊長分別為5步和12步，問其內(nèi)切圓的直徑為多少步？”現(xiàn)若向此三角形內(nèi)隨機投一粒豆子，則豆子落在其內(nèi)切圓外的概率是()A． B． C． D．5．定義運算，設，若，，，則的值域為（）A． B． C． D．6．在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且，則（）A． B． C． D．7．一個長方體長、寬分別為5，4，且該長方體的外接球的表面積為，則該長方體的表面積為（）A．47 B．60 C．94 D．1988．如圖，在矩形中，，,點為的中點，點在邊上，點在邊上，且，則的最大值是()A． B． C． D．9．在中,,則是（）A．等邊三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形10．函數(shù)的最小正周期為π，若其圖象向左平移個單位后得到的函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)f（x）的圖象（）A．關于點對稱 B．關于點對稱C．關于直線對稱 D．關于直線對稱二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知數(shù)列的前項和為，則其通項公式__________．12．在銳角中，則的值等于．13．數(shù)列滿足，設為數(shù)列的前項和，則__________．14．已知扇形的圓心角為，半徑為，則扇形的面積．15．已知，且，則________．16．已知函數(shù)，下列說法：①圖像關于對稱；②的最小正周期為；③在區(qū)間上單調(diào)遞減；④圖像關于中心對稱；⑤的最小正周期為；正確的是________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在數(shù)列中，，，且；（1）設，證明是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）若是與的等差中項，求的值，并證明：對任意的，是與的等差中項；18．某種汽車的購車費用是10萬元，每年使用的保險費、養(yǎng)路費、汽油費約為萬元，年維修費用第一年是萬元，第二年是萬元，第三年是萬元，…，以后逐年遞增萬元汽車的購車費用、每年使用的保險費、養(yǎng)路費、汽油費、維修費用的和平均攤到每一年的費用叫做年平均費用.設這種汽車使用年的維修費用的和為，年平均費用為.(1）求出函數(shù)，的解析式；(2）這種汽車使用多少年時，它的年平均費用最??？最小值是多少？19．已知直線，，是三條不同的直線，其中.（1）求證：直線恒過定點，并求出該點的坐標；（2）若以，的交點為圓心，為半徑的圓與直線相交于兩點，求的最小值.20．已知正方形的中心為,一條邊所在直線的方程是.(1)求該正方形中與直線平行的另一邊所在直線的方程;(2)求該正方形中與直線垂直的一邊所在直線的方程.21．在△ABC中，D為BC邊上一點，，設，.（1）試、用表示；（2）若，，且與的夾角為60°，求及的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

首先計算出母線長，再利用圓錐的側面積（其中為底面圓的半徑，為母線長），即可得到答案．【詳解】由于圓錐的底面半徑，母線與底面所成的角為，所以母線長，故圓錐的側面積；故答案選B【點睛】本題考查圓錐母線和側面積的計算，解題關鍵是熟練掌握圓錐的側面積的計算公式，即（其中為底面圓的半徑，為母線長），屬于基礎題2、D【解析】

根據(jù)向量線性運算法則可求得結果.【詳解】為中點本題正確選項：【點睛】本題考查根據(jù)向量線性運算，用基底表示向量的問題，屬于?？碱}型.3、D【解析】

根據(jù)正弦型函數(shù)最小正周期的結論即可得到結果.【詳解】函數(shù)的最小正周期故選：【點睛】本題考查正弦型函數(shù)周期的求解問題，關鍵是明確正弦型函數(shù)的最小正周期.4、C【解析】

本題首先可以根據(jù)直角三角形的三邊長求出三角形的內(nèi)切圓半徑，然后分別計算出內(nèi)切圓和三角形的面積，最后通過幾何概型的概率計算公式即可得出答案.【詳解】如圖所示，直角三角形的斜邊長為，設內(nèi)切圓的半徑為，則，解得.所以內(nèi)切圓的面積為，所以豆子落在內(nèi)切圓外部的概率，故選C．【點睛】本題主要考查“面積型”的幾何概型，屬于中檔題.解決幾何概型問題常見類型有：長度型、角度型、面積型、體積型，求與面積有關的幾何概型問題關鍵是計算問題的總面積以及事件的面積；幾何概型問題還有以下幾點容易造成失分，在備考時要高度關注：（1）不能正確判斷事件是古典概型還是幾何概型導致錯誤；（2）基本事件對應的區(qū)域測度把握不準導致錯誤；（3）利用幾何概型的概率公式時,忽視驗證事件是否等可能性導致錯誤．5、C【解析】

由題意，由于與都是周期函數(shù)，且最小正周期都是，故只須在一個周期上考慮函數(shù)的值域即可，分別畫出與的圖象，如圖所示，觀察圖象可得：的值域為，故選C.6、C【解析】

根據(jù)題目條件結合三角形的正弦定理以及三角形內(nèi)角和定理可得sinA，進而利用二倍角余弦公式得到結果.【詳解】∵．∴sinAcosB＝4sinCcosA﹣sinBcosA即sinAcosB+sinBcosA＝4cosAsinC∴sinC＝4cosAsinC∵1＜C＜π，sinC≠1．∴1＝4cosA，即cosA，那么．故選C【點睛】本題考查了正弦定理及二倍角余弦公式的靈活運用，考查計算能力，屬于基礎題．7、C【解析】

根據(jù)球的表面積公式求得半徑，利用等于體對角線長度的一半可構造方程求出長方體的高，進而根據(jù)長方體表面積公式可求得結果.【詳解】設長方體高為，外接球半徑為，則，解得：長方體外接球半徑為其體對角線長度的一半解得：長方體表面積本題正確選項：【點睛】本題考查與外接球有關的長方體的表面積的求解問題，關鍵是能夠明確長方體的外接球半徑為其體對角線長度的一半，從而構造方程求出所需的棱長.8、A【解析】

把線段最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，建立函數(shù)表達式，從而求得最值.【詳解】設，，，，，，，，，，的最大值是.故選A.【點睛】本題主要考查函數(shù)的實際應用，建立合適的函數(shù)關系式是解決此題的關鍵，意在考查學生的分析能力及數(shù)學建模能力.9、C【解析】

由二倍角公式可得，，再根據(jù)誘導公式可得，然后利用兩角和與差的余弦公式，即可將化簡成，所以，即可求得答案．【詳解】因為，，所以，，即，．故選：C．【點睛】本題主要考查利用二倍角公式，兩角和與差的余弦公式進行三角恒等變換，意在考查學生的數(shù)學運算能力，屬于基礎題．10、C【解析】

利用最小正周期為π，求出的值，根據(jù)平移得出，然后利用對稱性求解.【詳解】因為函數(shù)的最小正周期為π，所以，圖象向左平移個單位后得到，由得到的函數(shù)是奇函數(shù)可得，即.令得，，故A,B均不正確；令得，，時可得C正確.故選C.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖像變換和性質(zhì).平移變換時注意平移方向和對解析式的影響，性質(zhì)求解一般利用整體換元意識來處理.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】分析：先根據(jù)和項與通項關系得當時，，再檢驗，時，不滿足上述式子，所以結果用分段函數(shù)表示.詳解：∵已知數(shù)列的前項和，∴當時，，當時，，經(jīng)檢驗，時，不滿足上述式子，故數(shù)列的通項公式．點睛：給出與的遞推關系求，常用思路是：一是利用轉(zhuǎn)化為的遞推關系，再求其通項公式；二是轉(zhuǎn)化為的遞推關系，先求出與之間的關系，再求.應用關系式時，一定要注意分兩種情況，在求出結果后，看看這兩種情況能否整合在一起.12、2【解析】設由正弦定理得13、【解析】

先利用裂項求和法將數(shù)列的通項化簡，并求出，由此可得出的值.【詳解】，.，因此，，故答案為：.【點睛】本題考查裂項法求和，要理解裂項求和法對數(shù)列通項結構的要求，并熟悉裂項法求和的基本步驟，考查計算能力，屬于中等題.14、【解析】試題分析：由題可知，；考點：扇形面積公式15、【解析】試題分析：由得：解方程組：得：或因為，所以所以不合題意，舍去所以，所以，答案應填：.考點：同角三角函數(shù)的基本關系和兩角差的三角函數(shù)公式.16、②③⑤【解析】

將函數(shù)解析式改寫成：，即可作出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象即可判定.【詳解】由題：，，所以函數(shù)為奇函數(shù)，，是該函數(shù)的周期，結合圖象分析是其最小正周期，，作出函數(shù)圖象：可得，該函數(shù)的最小正周期為，圖像不關于對稱；在區(qū)間上單調(diào)遞減；圖像不關于中心對稱；故答案為：②③⑤【點睛】此題考查三角函數(shù)圖象及其性質(zhì)的辨析，涉及周期性，對稱性和單調(diào)性，作為填空題，恰當?shù)乩脠D象解決問題能夠起到事半功倍的作用.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）略（2）（3）證明略【解析】本題源自等差數(shù)列通項公式的推導．（1）證明：由題設（），得，即，．又，，所以是首項為1，公比為的等比數(shù)列．（2）由（1），，……，（）．將以上各式相加，得（）．所以當時，上式對顯然成立．（3）由（2），當時，顯然不是與的等差中項，故．由可得，由得，①整理得，解得或（舍去）．于是．另一方面，，．由①可得，．所以對任意的，是與的等差中項．18、（1），；（2）時，年平均費用最小，最小值為3萬元．【解析】試題分析：根據(jù)題意可知，汽車使用年的維修費用的和為，而第一年的維修費用是萬元，以后逐年遞增萬元，每一年的維修費用形成以為首項，為公差的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的前項和即可求出的解析式；將購車費、每年使用的保險費、養(yǎng)路費、汽油費以及維修費用之和除以即可得到年平均費用，根據(jù)基本不等式即可求出平均費用的最小值．試題解析：（1）根據(jù)題意可知，汽車使用年的維修費用的和為，而第一年的維修費用是萬元，以后逐年遞增萬元，每一年的維修費用形成以為首項，為公差的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的前項和公式可得：因為購車費、每年使用的保險費、養(yǎng)路費、汽油費以及維修費用之和為，所以年平均費用為；（2）因為所以當且僅當即時，年平均費用最小，最小值為3萬元．考點：本題考查了等差數(shù)列的前項和公式以的掌握，以及基本不等式的應用，同時考查了學生解決實際應用題的能力．19、（1）證明見解析；定點坐標；（2）【解析】

（1）將整理為：，可得方程組，從而求得定點；（2）直線方程聯(lián)立求得圓心坐標，將問題轉(zhuǎn)化為求圓心到直線距離的最大值的問題，根據(jù)圓的性質(zhì)可知最大值為，從而求得最小值.【詳解】（1）證明：，可化為：令，解得：，直線恒過定點（2）將，聯(lián)立可得交點坐標設到直線的距離為，則則求的最小值，即求的最大值由（1）知，直線恒過點，則最大時，，即【點睛】本題考查直線過定點問題的求解、直線被圓截得弦長的最值的求解，關鍵是能夠根據(jù)圓的性質(zhì)確定求解弦長的最小值即為求解圓心到直線距離的最大值，求得最大值從而代入求得弦長最小值.20、(1);(2)或.【解析】

（1）由直線平行則斜率相等，設出所求直線方程，利用M點到兩直線距離相等求解；（2）由直線垂直則斜率乘積為-1，設出所求直線，利用M點到兩直線距離相等求解.【詳解】（1）設與直線平行的另一邊所在直線方程為，則，解得，或(舍).所