2025屆北京市東城區(qū)東直門中學高一下數學期末經典試題含解析

2025屆北京市東城區(qū)東直門中學高一下數學期末經典試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．數列是各項均為正數的等比數列，數列是等差數列，且，則（）A． B．C． D．2．已知向量，，若向量與的夾角為，則實數（）A． B． C． D．3．《九章算術》是我國古代數學成就的杰出代表.其中《方田》章給出計算弧田面積所用的經驗公式為:弧田面積(弦矢+矢).弧田，由圓弧和其所對弦所圍成.公式中“弦”指圓弧所對的弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差.現有圓心角為，弦長等于的弧田.按照《九章算術》中弧田面積的經驗公式計算所得弧田面積為（）A． B． C． D．4．若滿足，且的最小值為，則實數的值為（）A． B． C． D．5．已知圓與交于兩點，其中一交點的坐標為，兩圓的半徑之積為9，軸與直線都與兩圓相切，則實數（）A． B． C． D．6．設函數,，其中,.若，且的最小正周期大于，則（）A．, B．,C．, D．,7．已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，則A∪B=A．（–1，1） B．（1，2） C．（–1，+∞） D．（1，+∞）8．下列四個函數中，與函數完全相同的是（）A． B．C． D．9．數列中，對于任意，恒有，若，則等于()A． B． C． D．10．在等比數列中，，，則（）A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若圓弧長度等于圓內接正六邊形的邊長，則該圓弧所對圓心角的弧度數為________.12．設滿足不等式組，則的最小值為_____.13．的值域是______.14．設為三條不同的直線，為兩個不同的平面，給出下列四個判斷:①若則；②若是在內的射影，，則；③底面是等邊三角形，側面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；④若球的表面積擴大為原來的16倍，則球的體積擴大為原來的32倍；其中正確的為___________.15．若數列滿足，，則數列的通項公式______．16．對于下列數排成的數陣：它的第10行所有數的和為________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖所示，在平面直角坐標系中，角和的頂點與坐標原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊分別與單位圓交于點、兩點，點的縱坐標為.（Ⅰ)求的值；（Ⅱ)若，求的值.18．如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，，，底面.（1）證明：；（2）設，求點到面的距離.19．（1）若關于x的不等式2x＞m（x2+6）的解集為{x|x＜﹣3或x＞﹣2}，求不等式5mx2+x+3＞0的解集．（2）若2kx＜x2+4對于一切的x＞0恒成立，求k的取值范圍．20．中，內角，，所對的邊分別是，，，已知.（1）求角的大??；（2）設，的面積為，求的值.21．正四面體是側棱與底面邊長都相等的正三棱錐，它的對棱互相垂直.有一個如圖所示的正四面體，E，F，G分別是棱AB，BC，CD的中點.（1）求證：面EFG；（2）求異面直線EG與AC所成角的大小.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】分析：先根據等比數列、等差數列的通項公式表示出、，然后表示出和，然后二者作差比較即可．詳解：∵an=a1qn﹣1，bn=b1+（n﹣1）d，∵，∴a1q4=b1+5d，=a1q2+a1q6=2（b1+5d）=2b6=2a5﹣2a5=a1q2+a1q6﹣2a1q4=a1q2（q2﹣1）2≥0所以≥故選B．點睛：本題主要考查了等比數列的性質．比較兩數大小一般采取做差的方法．屬于基礎題．2、B【解析】

根據坐標運算可求得與，從而得到與；利用向量夾角計算公式可構造方程求得結果.【詳解】由題意得：，，，解得：本題正確選項：【點睛】本題考查利用向量數量積、模長和夾角求解參數值的問題，關鍵是能夠通過坐標運算表示出向量和模長，進而利用向量夾角公式構造方程.3、C【解析】

首先根據圖形計算出矢，弦，再帶入弧田面積公式即可.【詳解】如圖所示：因為，，為等邊三角形.所以，矢，弦..故選：C【點睛】本題主要考查扇形面積公式，同時考查學生對題意的理解，屬于中檔題.4、B【解析】

首先畫出滿足條件的平面區(qū)域，然后根據目標函數取最小值找出最優(yōu)解，把最優(yōu)解點代入目標函數即可求出的值．【詳解】畫出滿足條件的平面區(qū)域，如圖所示：，由，解得：，由得：，顯然直線過時，z最小，∴，解得：，故選B．【點睛】本題主要考查簡單的線性規(guī)劃，已知目標函數最值求參數的問題，屬于?？碱}型．5、A【解析】

根據圓的切線性質可知連心線過原點,故設連心線,再代入,根據方程的表達式分析出是方程的兩根,再根據韋達定理結合兩圓的半徑之積為9求解即可.【詳解】因為兩切線均過原點,有對稱性可知連心線所在的直線經過原點,設該直線為,設兩圓與軸的切點分別為,則兩圓方程為：,因為圓與交于兩點,其中一交點的坐標為.所以①,②.又兩圓半徑之積為9,所以③聯立①②可知是方程的兩根,化簡得,即.代入③可得,由題意可知,故.因為的傾斜角是連心線所在的直線的傾斜角的兩倍.故,故.故選：A【點睛】本題主要考查了圓的方程的綜合運用,需要根據題意列出對應的方程,結合韋達定理以及直線的斜率關系求解.屬于難題.6、B【解析】

根據周期以及最值點和平衡位置點先分析的值，然后帶入最值點計算的值.【詳解】因為，，所以，則，所以，即，故；則，代入可得：且，所以.故選B.【點睛】（1）三角函數圖象上，最值點和平衡位置的點之間相差奇數個四分之一周期的長度；（2）計算的值時，注意選用最值點或者非特殊位置點，不要選用平衡位置點（容易多解）.7、C【解析】

根據并集的求法直接求出結果.【詳解】∵，∴，故選C.【點睛】考查并集的求法，屬于基礎題.8、C【解析】

先判斷函數的定義域是否相同，再通過化簡判斷對應關系是否相同，從而判斷出與相同的函數.【詳解】的定義域為，A.，因為，所以，定義域為或，與定義域不相同；B.，因為，所以，所以定義域為，與定義域不相同；C.，因為，所以定義域為，又因為，所以與相同；D.，因為，所以，定義域為，與定義域不相同.故選：C.【點睛】本題考查與三角函數有關的相同函數的判斷，難度一般.判斷相同函數時，首先判斷定義域是否相同，定義域相同時再去判斷對應關系是否相同（函數化簡），結合定義域與對應關系即可判斷出是否是相同函數.9、D【解析】因為,所以

,

.選D.10、B【解析】

設等比數列的公比為，由等比數列的定義知與同號，再利用等比中項的性質可求出的值.【詳解】設等比數列的公比為，則，，.由等比中項的性質可得，因此，，故選：B.【點睛】本題考查等比中項性質的應用，同時也要利用等比數列的定義判斷出項的符號，考查運算求解能力，屬于中等題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1【解析】

根據圓的內接正六邊形的邊長得出弧長，利用弧長公式即可得到圓心角.【詳解】因為圓的內接正六邊形的邊長等于圓的半徑，所以圓弧長所對圓心角的弧度數為1.故答案為：1【點睛】此題考查弧長公式，根據弧長求圓心角的大小，關鍵在于熟記圓的內接正六邊形的邊長.12、-6【解析】作出可行域，如圖內部（含邊界），作直線，當向下平移時，減小，因此當過點時，為最小值．13、【解析】

對進行整理，得到正弦型函數，然后得到其值域，得到答案.【詳解】，因為所以的值域為.故答案為：【點睛】本題考查輔助角公式，正弦型函數的值域，屬于簡單題.14、①②【解析】

對四個命題分別進行判斷即可得到結論【詳解】①若，垂足為，與確定平面，，則，，則，，則，故，故正確②若，是在內的射影，，根據三垂線定理，可得，故正確③底面是等邊三角形，側面都是有公共頂點的等腰三角形的三棱錐是正三棱錐，故不正確④若球的表面積擴大為原來的倍，則半徑擴大為原來的倍，則球的體積擴大為原來的倍，故不正確其中正確的為①②【點睛】本題主要考查了空間中直線與平面之間的位置關系、球的體積等知識點，數量掌握各知識點然后對其進行判斷，較為基礎。15、【解析】

在等式兩邊取倒數，可得出，然后利用等差數列的通項公式求出的通項公式，即可求出.【詳解】，等式兩邊同時取倒數得，.所以，數列是以為首項，以為公差的等差數列，.因此，.故答案為：.【點睛】本題考查利用倒數法求數列通項，同時也考查了等差數列的定義，考查計算能力，屬于中等題.16、【解析】

由題意得第10行的第一個數的絕對值為，第10行的最后一個數的絕對值為，再根據奇數為負數，偶數為正數，得到第10行的各個數，由此能求出第10行所有數的和．【詳解】第1行1個數，第2行2個數，則第9行9個數，故第10行的第一個數的絕對值為，第10行的最后一個數的絕對值為，且奇數為負數，偶數為正數，故第10行所有數的和為，故答案為：．【點睛】本題以數陣為背景，觀察數列中項的特點，求數列通項和前項和，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時要注意等差數列性質的合理運用．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ)；（Ⅱ)【解析】

（Ⅰ）由題意知的值，可求得和的值，即得所求式子的值；（Ⅱ）由題意知的值，由的值求得的值．【詳解】（Ⅰ)由題意可得，，∴（Ⅱ)因為即，∵，∴，∴∴【點睛】本題考查了平面向量的數量積計算問題，也考查了三角函數求值問題，是中檔題18、（1）見解析（2）【解析】試題分析：（Ⅰ）要證明線線垂直，一般用到線面垂直的性質定理，即先要證線面垂直，首先由已知底面.知，因此要證平面，從而只要證，這在中可證；（Ⅱ）要求點到平面的距離，可過點作平面的垂線，由（Ⅰ）的證明，可得平面，從而有平面，因此平面平面，因此只要過作于，則就是的要作的垂線，線段的長就是所要求的距離．試題解析：（Ⅰ）證明：因為，，由余弦定理得.從而，∴，又由底面，面，可得.所以平面.故.（Ⅱ）解：作，垂足為.已知底面，則，由（Ⅰ）知，又，所以.故平面，.則平面.由題設知，，則，，根據，得，即點到面的距離為.考點：線面垂直的判定與性質．點到平面的距離．19、（1）；（2）【解析】

（1）原不等式等價于根據不等式的解集由根與系數的關系可得關于的方程，解出的值，進而求得的解集；（2）由對于一切的恒成立，可得，求出的最小值即可得到的取值范圍．【詳解】（1）原不等式等價于，所以的解集為則，，所以等價于，即，所以，所以不等式的解集為（2）因為，由，得，當且僅當時取等號.【點睛】本題主要考查了一元二次不等式的解法，不等式恒成立問題和基本不等式，考查了方程思想和轉化思想，屬基礎題．20、（1）（2）【解析】

（1）利用正弦定理可將已知等式化為，利用兩角和差余弦公式展開整理可求得，根據可求得結果；（2）利用三角形面積公式可構造方程求出；利用余弦定理可直接求得結果.【詳解】（1）由正弦定理可得：，即（2）設的面積為，則由得：，解得：由余弦定理得：【點睛】本題考查解三角形的相關知識，涉及到正弦定理化簡邊角關系式、三角形面積公式和余弦定理的應用；關鍵是能夠通過正弦定理將邊化角，得到角的一個三角函數值，從而根據角的范圍求得結果.21、（1）證明見解析；（2）【解析】

（1）連接EF，FG，GE