廣東省汕頭市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（教師版）

汕頭市2022~2023學(xué)年度普通高中教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)高一數(shù)學(xué)本試卷共6頁(yè)，22小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.考生注意：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名填寫(xiě)在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，監(jiān)考員將答題卡交回.第Ⅰ卷選擇題一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.設(shè)全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】觀察出圖中陰影部分表示的集合為，結(jié)合交集的定義即可求解.【詳解】由得，圖中陰影部分表示的集合是，故.故選：A2.設(shè)復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及模的運(yùn)算即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以．故選：A．3.甲、乙兩人獨(dú)立解某一道數(shù)學(xué)題，已知該題被甲獨(dú)立解出的概率為0.7，被甲或乙解出的概率為0.94，則該題被乙獨(dú)立解出的概率為（）A.0.9 B.0.8 C.0.7 D.0.6【答案】B【解析】【分析】由題意，表示出該題未被解出的概率，然后列出方程，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)乙獨(dú)立解出該題的概率為，由題意可得，∴．故選：B.4.如圖，點(diǎn)D、E分別AC、BC的中點(diǎn)，設(shè)，，F(xiàn)是DE的中點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算，利用基底向量表示即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)D、E分別AC、BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是DE的中點(diǎn)，所以.即.故選：C.5.著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休.”在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，我們經(jīng)常用函數(shù)的圖象來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)，也經(jīng)常用函數(shù)的解析式來(lái)琢磨函數(shù)的圖象特征，如某體育品牌的LOGO為，可抽象為如圖所示的軸對(duì)稱的優(yōu)美曲線，下列函數(shù)中，其圖象大致可“完美”局部表達(dá)這條曲線的函數(shù)是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先根據(jù)圖像判斷函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，再根據(jù)圖像趨勢(shì)知道區(qū)間一開(kāi)始是單調(diào)遞減的，由此判斷選項(xiàng)中哪個(gè)符合即可.【詳解】由圖可知，該函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，根據(jù)，可知BD錯(cuò)誤；在區(qū)間先是單調(diào)遞減的，在區(qū)間是單調(diào)遞減的，因此符合圖形先單調(diào)遞減.故選:C6.在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與的非負(fù)半軸重合，將角的終邊按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到的角終邊與圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)的單位圓交于點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題設(shè)易知，利用誘導(dǎo)公式、倍角余弦公式有，即可求值.【詳解】由題設(shè)，由.故選：A7.已知，，是直線，是平面，若，，則“，”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】舉反例判斷充分性，再證明必要性得解.【詳解】若∥，，如果，則“”不一定成立.如圖所示，所以“，”是“”非充分條件.如果“”，又，所以，因?yàn)椋?，所以“，”是“”的必要條件.所以“，”是“”的必要非充分條件.故選：B8.設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，對(duì)任意的，滿足：，且，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先由，判斷出在上是增函數(shù)，然后再根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性即可求出的解集.【詳解】解：對(duì)任意的，都有，在上是增函數(shù)，令，則，為偶函數(shù)，在上是減函數(shù)，且，，當(dāng)時(shí)，，即，解得：，當(dāng)時(shí)，，即，解得：，綜上所述：的解集為：.故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應(yīng)用貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.某些數(shù)學(xué)問(wèn)題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無(wú)關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的作用.因此對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據(jù)題目的特點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問(wèn)題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡(jiǎn)潔明快的思路，有著非凡的功效.二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分，全部選對(duì)的得5分）9.在黨中央、國(guó)務(wù)院決策部署下，近一年來(lái)我國(guó)經(jīng)濟(jì)運(yùn)行呈現(xiàn)企穩(wěn)回升態(tài)勢(shì)．如圖為2022年2月至2023年1月社會(huì)消費(fèi)品零售總額增速月度同比折線圖，月度同比指的是與去年同期相比，圖中縱坐標(biāo)為增速百分比．就圖中12個(gè)月的社會(huì)消費(fèi)品零售總額增速而言，以下說(shuō)法正確的是（）A.12個(gè)月的月度同比增速百分比的中位數(shù)為1%B.12個(gè)月的月度同比增速百分比的平均值大于0C.圖中前6個(gè)月的月度同比增速百分比波動(dòng)比后6個(gè)月的大D.共有8個(gè)月的月度同比增速百分比大于12個(gè)月的月度同比增速百分比的平均值【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合相關(guān)概念逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】由折線圖可得增速百分比（%）由小到大依次：，對(duì)于A：12個(gè)月的月度同比增速百分比的中位數(shù)為，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)椋?2個(gè)月的月度同比增速百分比的平均值小于0，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：由折線圖可得前6個(gè)月的月度同比增速百分比先大幅度波動(dòng)后漸漸趨于穩(wěn)定，后6個(gè)月的大波動(dòng)整體較小，所以前6個(gè)月的月度同比增速百分比波動(dòng)比后6個(gè)月的大，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)椋芍笥诘挠?，共?個(gè)，所以共有6個(gè)月的月度同比增速百分比大于12個(gè)月的月度同比增速百分比的平均值，故D錯(cuò)誤；故選：AC.10.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，下列說(shuō)法正確的是（）A.的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B.的圖像關(guān)于直線對(duì)稱C.將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖像D.若方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)圖中的信息求出，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)分析.【詳解】由圖可知：，的周期，當(dāng)時(shí)，，，；對(duì)于A，，錯(cuò)誤；對(duì)于B，，正確；對(duì)于C，將向右平移：，正確；對(duì)于D，的大致圖像如下：欲使得在內(nèi)方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則，正確；故選：BCD.11.陀螺是中國(guó)民間最早的娛樂(lè)工具之一，也作陀羅，閩南語(yǔ)稱作“干樂(lè)”，北方叫作“冰尜（gá）”或“打老?！保畟鹘y(tǒng)古陀螺大致是木制或鐵制的倒圓錐形．現(xiàn)有一圓錐形陀螺（如圖所示），其底面半徑為3，將其放倒在一平面上，使圓錐在此平面內(nèi)繞圓錐頂點(diǎn)S滾動(dòng)，當(dāng)圓錐在平面內(nèi)轉(zhuǎn)回原位置時(shí)，圓錐本身恰好滾動(dòng)了3周，則（）A.圓錐的母線長(zhǎng)為9 B.圓錐的表面積為C.圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖（扇形）的圓心角為 D.圓錐的體積為【答案】AB【解析】【分析】對(duì)于A，利用圓錐在平面內(nèi)轉(zhuǎn)回原位置求解以S為圓心，為半徑的圓的面積，再求解圓錐的側(cè)面積，根據(jù)圓錐本身恰好滾動(dòng)了3周列出方程求解結(jié)果；對(duì)于B，利用圓錐的表面積公式進(jìn)行計(jì)算；對(duì)于C，圓錐的底面圓周長(zhǎng)即為圓錐側(cè)面展開(kāi)圖(扇形)的弧長(zhǎng)，根據(jù)弧長(zhǎng)公式求解圓心角；對(duì)于D，求解圓錐的高，利用圓錐體積公式求解.【詳解】對(duì)于A，設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，以S為圓心，為半徑的圓的面積為，圓錐的側(cè)面積為，當(dāng)圓錐在平面內(nèi)轉(zhuǎn)回原位置時(shí)，圓錐本身恰好滾動(dòng)了3周，則，所以圓錐的母線長(zhǎng)為，故A正確；對(duì)于B，圓錐的表面積，故B正確；對(duì)于C，圓錐的底面圓周長(zhǎng)為，設(shè)圓錐側(cè)面展開(kāi)圖(扇形)的圓心角為，則，解得，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，圓錐的高，所以圓錐的體積為,故D錯(cuò)誤.故選：AB.12.已知實(shí)數(shù)a，b，滿足a＞b＞0，，則（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于選項(xiàng)A：根據(jù)題意結(jié)合基本不等式分析判斷；對(duì)于選項(xiàng)B：利用作差法分析判斷；對(duì)于選項(xiàng)C：分析可得，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性分析判斷；對(duì)于選項(xiàng)D：結(jié)合冪函數(shù)單調(diào)性分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)椋?，解得或，所以或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：，因a＞b＞0，則，即，且，所以，即，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)閍＞b＞0，且，可得同號(hào)，則有：若同正，可得，則，可得；若同負(fù)，可得，則，可得；綜上所述：，又因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞減，所以，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)閍＞b＞0，則，可得在內(nèi)單調(diào)遞增，可得，且，所以，故D正確；故選：BCD.第Ⅱ卷非選擇題三、填空題（每小題5分，共20分）13.若，且，則的取值范圍為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)元素與集合間的關(guān)系即可求解.【詳解】由于，所以，解得，故答案：14.已知向量，則下列說(shuō)法正確的是___________.（1）（2）（3）向量在向量上投影向量的模長(zhǎng)是（4）與向量方向相同的單位向量是【答案】（1）（4）【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，向量的幾何意義，向量的投影向量的計(jì)算，單位向量的計(jì)算方法，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由題意，向量，由，則，所以，故（1）正確；由，可得，故（2）錯(cuò)誤；由向量在向量方向上的投影向量為，故其模長(zhǎng)為，故（3）錯(cuò)誤；由，所以與向量方向相同的單位向量是，故（4）正確；故答案為：（1）（4）.15.半正多面體亦稱“阿基米德體”，是以邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體．如圖，將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，如此共可截去八個(gè)三棱錐，得到一個(gè)有十四個(gè)面的半正多面體，它的各棱長(zhǎng)都相等，其中八個(gè)面為正三角形，六個(gè)面為正方形，稱這樣的半正多面體為二十四等邊體．若該二十四等邊體的體積為，則原正方體的外接球的表面積為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】令原正方體的棱長(zhǎng)為，原正方體的外接球的半徑為，由該二十四等邊體是由棱長(zhǎng)為的正方體沿各棱中點(diǎn)截去8個(gè)三棱錐所得，可得，解得，再根據(jù)正方體的體對(duì)角線就是外接球的直徑可以求得，從而可求表面積.【詳解】令原正方體的棱長(zhǎng)為，原正方體的外接球的半徑為，因?yàn)樵摱牡冗咉w是由棱長(zhǎng)為的正方體沿各棱中點(diǎn)截去8個(gè)三棱錐所得，所以.解得，即，因?yàn)檎襟w的體對(duì)角線就是外接球的直徑，所以，即，所以則原正方體的外接球的表面積為.故答案為：16.已知，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)與的關(guān)系，換元得二次函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可得，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】設(shè)，則，由于，故，故，則，，整理得；，，由于在單調(diào)遞增，故，故.故答案為：四、解答題（共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.已知某公司計(jì)劃生產(chǎn)一批產(chǎn)品總共萬(wàn)件（），其成本為（萬(wàn)元/萬(wàn)件），其廣告宣傳總費(fèi)用為萬(wàn)元，若將其銷售價(jià)格定為萬(wàn)元/萬(wàn)件．（1）將該批產(chǎn)品的利潤(rùn)（萬(wàn)元）表示為的函數(shù)；（2）當(dāng)廣告宣傳總費(fèi)用為多少萬(wàn)元時(shí)，該公司的利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)為多少萬(wàn)元?【答案】（1），（2）宣傳費(fèi)用為萬(wàn)元時(shí)，利潤(rùn)最大為萬(wàn)元．【解析】【分析】（1）根據(jù)利潤(rùn)與成本及產(chǎn)量的關(guān)系直接列式；（2）利用基本不等式求最值【小問(wèn)1詳解】，；【小問(wèn)2詳解】，，，當(dāng)即宣傳費(fèi)用為萬(wàn)元時(shí)，利潤(rùn)最大為萬(wàn)元．18.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．（1）求的值；（2）點(diǎn)在線段上，，求的面積．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理、三角函數(shù)的和差角公式將條件變形可得答案；（2）由可得，然后由余弦定理可解出，即可得答案；或利用正弦定理結(jié)合結(jié)合條件求，然后再利用余弦定理及三角形面積公式即得.【小問(wèn)1詳解】由正弦定理得：．所以所以．所以，因?yàn)?，所以；【小?wèn)2詳解】法1；因?yàn)?，即，又，所以，即．在中，由余弦定理得，，所以，所以，所?法2：設(shè)，在中，由正弦定理得：，同理，在中，，所以，所以，所以，又，所以，即.在中，由余弦定理得，得，所以.所以.19.某市為了了解人們對(duì)“中國(guó)夢(mèng)”的偉大構(gòu)想的認(rèn)知程度，針對(duì)本市不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，滿分100分（95分及以上為認(rèn)知程度高），結(jié)果認(rèn)知程度高的有人，按年齡分成5組，其中第一組：，第二組：，第三組：，第四組：，第五組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有10人.（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這人的平均年齡和第80百分位數(shù)；（2）現(xiàn)從以上各組中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取20人，擔(dān)任本市的“中國(guó)夢(mèng)”宣傳使者.（i）若有甲（年齡38），乙（年齡40）兩人已確定人選宣傳使者，現(xiàn)計(jì)劃從第四組和第五組被抽到的使者中，再隨機(jī)抽取2名作為組長(zhǎng)，求甲、乙兩人至少有一人被選上的概率；（ii）若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為37和，第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為43和1，據(jù)此估計(jì)這人中35~45歲所有人的年齡的方差.【答案】（1）32.25歲；37.5；（2）（i）；（ii）10.【解析】【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖，利用組中值乘以相應(yīng)的頻率，即可的這人的平均年齡；設(shè)第80百分位數(shù)為，計(jì)算從左到右頻率和為或計(jì)算從右到左頻率和為，即可求出；(2)（i）由題意可得，第四組應(yīng)抽取4人，記為，，，甲，第五組抽取2人，記為，乙，根據(jù)古典概型計(jì)算方法求解即可；（ii）根據(jù)方差的計(jì)算原理計(jì)算合并后方差即可.【詳解】解：（1）設(shè)這人的平均年齡為，則（歲）.設(shè)第80百分位數(shù)為，方法一：由，解得.方法二：由，解得.（2）（i）由題意得，第四組應(yīng)抽取4人，記為，，，甲，第五組抽取2人，記為，乙，對(duì)應(yīng)的樣本空間為：，共15個(gè)樣本點(diǎn).設(shè)事件“甲、乙兩人至少一人被選上”，則，共有9個(gè)樣本點(diǎn).所以，.（ii）設(shè)第四組、第五組的宣傳使者的年齡的平均數(shù)分別為，，方差分別為，，則，，，，設(shè)第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為，方差為.則，，因此，第四組和第五組所有宣傳使者的年齡方差為10，據(jù)此，可估計(jì)這人中年齡在35~45歲的所有人的年齡方差約為10.20.如圖，在四棱錐中，，為棱的中點(diǎn)，平面.（1）證明：平面（2）求證：平面平面（3）若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正切值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）因?yàn)榍?，所以為平行四邊形，則，利用線面平行的判定定理即可得證；（2）由已知可得，，由線面垂直的判定定理可得面，進(jìn)而即可證得結(jié)論；（3）由平面可得，作于，可知面，所以為直線與平面所成角，在直角中求解即可．【小問(wèn)1詳解】∵且，∴四邊形為平行四邊形，∴，又平面，平面，所以平面.【小問(wèn)2詳解】∵平面，平面，∴，連接，∵且，∴四邊形為平行四邊形，∵，，∴平行四邊形為正方形，∴，又，∴，又，面，∴面，∵面，∴平面平面.【小問(wèn)3詳解】∵平面，平面，∴，又，，平面，∴平面，因?yàn)槠矫?，∴∴為二面角的平面角，從而，所以，作于，連接，∵平面平面，平面，平面平面，∴面，所以為直線與平面所成角，在直角中，，，，∴，因?yàn)槊?，面，所以，在直角中，，，∴，則直線與平面所成角的正切值為.21.已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）若的最小正周期為，求的解析式；（2）若，，是否存在實(shí)數(shù)，使得在上單調(diào)？若存在，求出的取值集合；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）根據(jù)最小正周期為得到，再根據(jù)的圖象過(guò)點(diǎn)，得到，即可得到的解析式；（2