人教版(新教材)高中數(shù)學(xué)第一冊(必修1)：4. 5 . 3 函數(shù)模型的應(yīng)用

4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用

【學(xué)習(xí)目標】1.能利用已知函數(shù)模型求解實際問題2能自建確定性函數(shù)模型解決實際問題3

了解建立擬合函數(shù)模型的步驟，并了解檢驗和調(diào)整的必要性.

知識梳理梳理教材夯實基礎(chǔ)

知識點一幾類已知函數(shù)模型

函數(shù)模型函數(shù)『解析』式

一次函數(shù)模型j（x）=ax+b（＜a,b為常數(shù)，aWO）

反比例函數(shù)模型危）=（+匕/，人為常數(shù)且20）

1

二次函數(shù)模型J（x）=ax+bx+c（afb,c為常數(shù)，aWO）

x

指數(shù)型函數(shù)模型fix）=ba+c（afb,c為常數(shù)，b#0,。＞0且aWl）

對數(shù)型函數(shù)模型j（x）=biogax+c（a9b,c為常數(shù),bWO,且。Wl）

基函數(shù)型模型yU）=aV，+6（a,b為常數(shù),aWO）

知識點二應(yīng)用函數(shù)模型解決問題的基本過程

1.審題——弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型.

2.建?！獙⒆匀徽Z言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識建立相

應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.

3.求?！蠼鈹?shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)模型.

4.還原—將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實際問題.

■思考辨析判斷正誤

1.實際問題中兩個變量之間一定有確定的函數(shù)關(guān)系.（X）

2.函數(shù)模型中，要求定義域只需使函數(shù)式有意義.（X）

3.用函數(shù)模型預(yù)測的結(jié)果和實際結(jié)果必須相等，否則函數(shù)模型就無存在意義了.（X）

4.在選擇實際問題的函數(shù)模型時，必須使所有的數(shù)據(jù)完全符合該函數(shù)模型.（X）

5.利用函數(shù)模型求實際應(yīng)用問題的最值時，要特別注意取得最值時的自變量與實際意義是否

相符.（J）

題型探究探究重點提升素養(yǎng)

-------------------------------------------------------------------N--------------------

一、指數(shù)型函數(shù)模型

例1一種放射性元素，最初的質(zhì)量為500g,按每年10%衰減.

(1)求，年后，這種放射性元素的質(zhì)量IP的表達式；

(2)由求出的函數(shù)表達式，求這種放射性元素的半衰期(結(jié)果精確到0.1).

解(1)最初的質(zhì)量為500g.

經(jīng)過1年，w=500(1-10%)=500X0.9；

經(jīng)過2年，w=500X0.92；

由此推知，f年后，w=500X09.

⑵由題意得500X09=250,即09=0.5,兩邊取以10為底的對數(shù)，

得lg09=lg0.5,即/lg0.9=lg0.5,

，lg0.9~66

即這種放射性元素的半衰期為6.6年.

反思感悟在實際問題中，有關(guān)人口增長、銀行復(fù)利、細胞分裂等增長率問題?？梢杂弥笖?shù)

型函數(shù)模型表示，通?？梢员硎緸閥=N(l+p)》(其中N為基礎(chǔ)數(shù)，p為增長率，x為時間)的

形式.

跟蹤訓(xùn)練1物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻規(guī)律來描述，設(shè)物體的初始溫度是T0,

經(jīng)過一定時間，后的溫度是T,則T-Ta=(Tn-Ta)X,其中7；表示環(huán)境溫度，〃稱為半

衰期，現(xiàn)有一杯用88℃熱水沖的速溶咖啡，放在24℃的房間中，如果咖啡降溫到40℃需要

20min,那么降溫到32℃時，需要多長時間？

20

解由題意知40—24=(88—24)x(g)”,

嶗=(，?

解得刀=10,

故原式可化簡為7-24=(88-24)X

當(dāng)T=32時，代入上式,

(1Xio

得32—24=(88-24)x1,J

即臼"'=籍??；"=30.

I2J648

因此，需要30min可降溫到320c.

二、對數(shù)型函數(shù)模型

例22018年12月8日，我國的“長征”三號火箭成功發(fā)射了嫦娥四號探測器，這標志著中

國人民又邁出了具有歷史意義的一步.火箭的起飛質(zhì)量M是箭體（包括搭載的飛行器）的質(zhì)量

皿噸）和燃料質(zhì)量M噸）之和.在不考慮空氣阻力的條件下，假設(shè)火箭的最大速度y（km/s）關(guān)于

x（噸）的函數(shù)關(guān)系式為），=/[ln（/n+x）—ln（V2/n）J+41n2（其中k￥0）.當(dāng)燃料質(zhì)量為（五一1）成

噸時，該火箭的最大速度為4km/s.

（1）求“長征”三號系列火箭的最大速度y與燃料質(zhì)量x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）已知“長征”三號火箭的起飛質(zhì)量M是479.8噸，則應(yīng)裝載多少噸燃料才能使火箭的最大

飛行速度達到8km/s?（結(jié)果精確到0.1噸，e取2.718）

解（1）由題意得4=&{ln（必—1），〃』—ln（^2m））+41n2,解得％=8,

所以y=8/InOw+x）—ln（加〃?）』+41n2=81n'~-.

⑵由已知得M=〃?+x=479.8,則/T?=479.8-X,

479?

又），=8,則8=81n,…，解得x=303.3.

479.8-x

故應(yīng)裝載大約303.3噸燃料，才能使火箭的最大飛行速度達到8km/s.

反思感悟?qū)?shù)函數(shù)應(yīng)用題的基本類型和求解策略

（1）基本類型：有關(guān)對數(shù)函數(shù)的應(yīng)用題一般都會給出函數(shù)的『解析』式，然后根據(jù)實際問題

求解.

（2）求解策略：首先根據(jù)實際情況求出函數(shù)『解析』式中的參數(shù)，或給出具體情境，從中提

煉出數(shù)據(jù)，代入『解析』式求值，然后根據(jù)數(shù)值回答其實際意義.

跟蹤訓(xùn)練2“學(xué)習(xí)曲線”可以用來描述學(xué)習(xí)某一任務(wù)的速度，假設(shè)函數(shù)f=-1441g（l一箭

中，f表示達到某一英文打字水平所需的學(xué)習(xí)時間，N表示每分鐘打出的字數(shù).則當(dāng)N=40

時，t=.（已知lg5、0.699,lg3^0.477）

『答案』36.72

"解析』當(dāng)N=40時，/=-1441g（l—需）=-1441gl

=-I44（lg5-21g3尸36.72.

三、建立擬合函數(shù)模型解決實際問題

例3某企業(yè)常年生產(chǎn)一種出口產(chǎn)品，自2017年以來，每年在正常情況下，該產(chǎn)品產(chǎn)量平穩(wěn)

增長.已知2017年為第1年，前4年年產(chǎn)量代物萬件）如下表所示：

1234

於）4.005.587.008.44

（1）畫出2017~2020年該企業(yè)年產(chǎn)量的散點圖；

（2）建立一個能基本反映（誤差小于0.1）這一時期該企業(yè)年產(chǎn)量變化的函數(shù)模型，并求出函數(shù)

「解析』式；

(3)2021年(即x=5)因受到某國對我國該產(chǎn)品反傾銷的影響，年產(chǎn)量減少30%,試根據(jù)所建立

的函數(shù)模型，確定2021年的年產(chǎn)量為多少？

解(1)畫出散點圖，如圖所示.

1234x

(2)由散點圖知，可選用一次函數(shù)模型.

[a+b=4,

設(shè)*x)=ax+6(a#0).由已知得J,

\?>a+b=l,

?=1.5,

解得,——

b—2.5,

所以1x)=1.5x+25檢驗：

<2)=5.5,且|5.58—5.5|=0.08<0」.

式4)=8.5,K|8.44-8.5|=0.06<0.1.

所以一次函數(shù)模型八x)=1.5x+2.5能基本反映年產(chǎn)量的變化.

(3)根據(jù)所建的函數(shù)模型，預(yù)計2021年的年產(chǎn)量為_/(5)=1.5X5+2.5=10(萬件),

又年產(chǎn)量減少30%,

即10X70%=7(萬件)，即2021年的年產(chǎn)量為7萬件.

反思感悟建立擬合函數(shù)與預(yù)測的基本步驟

根據(jù)原始數(shù)據(jù)、表格，繪出散點圖

通過觀察散點圖，畫出“最貼近”的直線或曲線,

即擬合直線或擬合曲線

選求根據(jù)所學(xué)函數(shù)知識，求出擬合直線或擬合曲線的

、函數(shù)函數(shù)解析式

利用函數(shù)解析式，根據(jù)條件對所給問題提出問題

預(yù)測和控制，為決策和管理提供依據(jù)

跟蹤訓(xùn)練3水葫蘆原產(chǎn)于巴西，1901年作為觀賞植物引入我國.現(xiàn)在南方一些水域中水葫

蘆已泛濫成災(zāi)，嚴重影響航道安全和水生動物生長.某科研團隊在某水域放入一定量的水葫

蘆進行研究，發(fā)現(xiàn)其蔓延速度越來越快，經(jīng)過2個月其覆蓋面積為18m2,經(jīng)過3個月其覆蓋

面積為27m2.現(xiàn)水葫蘆的覆蓋面積y(單位：n?)與經(jīng)過的時間x(單位：月，x6N)的關(guān)系有兩

個函數(shù)模型y=ka'(k>0,〃>1)與y=px^+虱">0)可供選擇.

(1)試判斷哪個函數(shù)模型更合適，并求出該模型的『解析」式;

(2)求原先投放的水葫蘆的面積，并求約經(jīng)過幾個月該水域中水葫蘆的面積是當(dāng)初投入的

1000倍.

(參考數(shù)據(jù)：lg2心0.3010,lg3"0.4771)

解(1),.,>-=W>0,〃>1)的增長速度越來越快，y=px5+q(p>o)的增長速度越來越慢,

.,.函數(shù)模型y=fa/(Q0,〃>1)更合適，

(3

履2=18,a=K，

則有解得J2

尉3=27,

、攵=8,

???y=8X|j/a￡N).

⑵設(shè)經(jīng)過x個月該水域中水葫蘆的面積是當(dāng)初投放的1000倍.

當(dāng)x=0時，y=8,則有8X(|}=8X1000,

log,1000=!gj?QQ=T1704

1lg|Ig3Tg2

o2

.??原先投放的水葫蘆的面積為8m2,約經(jīng)過17個月該水域中水葫蘆的面積是當(dāng)初投入的

1000倍.

隨堂演練基礎(chǔ)鞏固學(xué)以致用

-----------------N-----------------

1.一輛汽車在某段路途中的行駛路程S關(guān)于時間r變化的圖象如圖所示，那么圖象所對應(yīng)的

函數(shù)模型是()

S]f

230()

x

2200

2l(X)

2(XM)|

...

~o\~i_23_tr

A.分段函數(shù)B.二次函數(shù)

C.指數(shù)型函數(shù)D.對數(shù)型函數(shù)

『答案』A

2.某種植物生長發(fā)育的數(shù)量y與時間x的關(guān)系如下表:

Xi23…

…

yi38

則下面的函數(shù)關(guān)系式中，擬合效果最好的是()

A.y=2x~\B.y=/T

C.y=2x-\D.y=1.5f-2.5x+2

『答案』D

3.某位股民購進某只股票，在接下來的交易時間內(nèi)，他的這只股票先經(jīng)歷了3