山東省濰坊諸城市安丘市高密市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中檢測(cè)數(shù)學(xué)試題

2023年5月份期中檢測(cè)試題高一數(shù)學(xué)本試卷共4頁滿分150分注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、座號(hào)、考生號(hào)填寫在答題卡和試卷規(guī)定的位置上．2．第Ⅰ卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，在選涂其他答案標(biāo)號(hào)．答案寫在試卷上無效．3．第Ⅱ卷必須用0.5毫米黑色簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，不能寫在試卷上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不能使用涂改液、膠帶紙、修正帶．不按以上要求作答的答案無效．4．填空題直接填寫答案，解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知，，若，則（）A.2 B.－2 C.1 D.－1【答案】A【解析】【分析】利用向量共線的坐標(biāo)表示可求答案.【詳解】因?yàn)椋?，，所以，?故選：A.2.若是第四象限角，則是（）A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角【答案】C【解析】【分析】由是第四象限角得到的范圍，再計(jì)算的范圍，即可得到所在的象限.【詳解】因?yàn)槭堑谒南笙藿牵?所以，所以，所以是第三象限角.故選：C3.如圖，航海羅盤將圓周32等分，設(shè)圓盤的半徑為4，則其中每一份的扇形面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出圓的面積，再乘以即可.【詳解】因?yàn)楹胶Ａ_盤將圓周32等分，圓盤的半徑為4，所以每一份的扇形面積為.故選：C.4.設(shè)，是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下面四組向量中，不能作為基底的是（）A.和 B.和C.和 D.和【答案】B【解析】【分析】如果兩個(gè)向量共線便不能作為基底，從而找到共線向量的一組即可，可根據(jù)共線向量的基本定理進(jìn)行判斷.【詳解】不共線的向量可以作為基底，所以不能作為基底的便是共線向量，顯然選項(xiàng)B中，，所以和共線.故選:B.5.已知，則的值為（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】知切求弦，利用商的關(guān)系，即可得解.【詳解】，故選：A6.如圖，已知，，的模均為4，且，則（）A.24 B.－24 C.8 D.－8【答案】A【解析】【分析】由，應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律及定義求值即可.【詳解】由，，所以.故選：A7.如圖所示，角的終邊與單位圓在第一象限交于點(diǎn)P，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，OP繞O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與單位圓交于點(diǎn)Q，角的終邊在OQ上，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知可得，，，用誘導(dǎo)公式即可得出和，又由用誘導(dǎo)公式和二倍角公式得，，即可判斷選項(xiàng)是否正確.【詳解】由三角函數(shù)定義可知，又為第一象限角，所以；又，所以,.故A，B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，所?.故C錯(cuò)誤，D正確；故選：D8.已知函數(shù)，則（）A.是周期函數(shù) B.在區(qū)間單調(diào)遞減C.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱【答案】B【解析】【分析】利用絕對(duì)值的定義及正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)，作出函數(shù)圖象,結(jié)合函數(shù)的圖象即可求解.【詳解】由題意可知，，作出函數(shù)的圖象，如圖所示，由圖像可知，當(dāng)時(shí)，是周期函數(shù)，當(dāng)時(shí)，是常數(shù)函數(shù)，故是不周期函數(shù)，故A錯(cuò)誤；在區(qū)間單調(diào)遞減，故B正確；的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故D錯(cuò)誤.故選:B.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說法中正確的是（）A.是與非零向量共線的單位向量 B.若與共線，則或C.若，則 D.若，，則【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)數(shù)乘向量的意義可判斷A；根據(jù)兩向量共線的定義可判斷B；根據(jù)零向量的定義可判斷C；根據(jù)零向量與其他向量的關(guān)系可判斷D.【詳解】對(duì)于A：根據(jù)數(shù)乘向量的意義得，且的方向與的方向相同，所以選項(xiàng)A正確；對(duì)于B：若與共線，則與的方向相同或相反，或者或?yàn)榱阆蛄?，但與的模不一定相等，所以不一定得到或，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C：根據(jù)零向量的定義知選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，得不到與平行，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：AC.10.設(shè)平面向量，，，，在方向上的投影向量為，則（）A.的最大值為4 B.最大值為2C. D.【答案】AC【解析】【分析】設(shè)與的夾角為，則由數(shù)量積的公式可得，，當(dāng)為銳角時(shí)，，即可判斷A，C，D，由向量的求模公式可得即可判斷B.【詳解】設(shè)與的夾角為，對(duì)于選項(xiàng)A，，因?yàn)椋?，即的最大值?，故選項(xiàng)A正確.對(duì)于選項(xiàng)B，，所以最大值為，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)樵诜较蛏系耐队跋蛄繛?，所以與的夾角為或，，所以，即，故選項(xiàng)C正確.對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)為銳角時(shí)，，，，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AC11.如圖（1）所示的摩天輪抽象成如圖（2）所示的平面圖形，然后以摩天輪轉(zhuǎn)輪中心為原點(diǎn)，以水平線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)O到地面的高OT為，點(diǎn)P為轉(zhuǎn)輪邊緣上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P在x軸上的垂足為M，轉(zhuǎn)輪半徑為，記以O(shè)P為終邊的角為，點(diǎn)P離地面的高度為，則（）A.點(diǎn)P坐標(biāo)為 B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由三角函數(shù)定義可求點(diǎn)P坐標(biāo)及的長(zhǎng)度，從而可判斷選項(xiàng)A、D,由向量的加法可知，再求出其模，從而判斷選項(xiàng)B，由平面向量數(shù)量積的定義可判斷選項(xiàng)C.【詳解】設(shè)點(diǎn)，由三角函數(shù)定義，，從而可得點(diǎn)P坐標(biāo)為，所以選項(xiàng)A正確；因?yàn)椋?，只有?dāng)?shù)慕K邊落在軸上時(shí)，，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以選項(xiàng)C正確;當(dāng)?shù)慕K邊在第一、二象限或軸正半軸上時(shí)，；當(dāng)?shù)慕K邊在第三、四象限或軸負(fù)半軸上時(shí)，因?yàn)?，此時(shí)；當(dāng)?shù)慕K邊軸上時(shí)，，此時(shí)，所以，不管的終邊在何處，都有，所以選項(xiàng)D正確.故選：ACD12.已知函數(shù)（其中A，，，B均為常數(shù)，，，）的部分圖像如圖所示，則（）A.B.C.圖像的對(duì)稱中心為D.函數(shù)為偶函數(shù)【答案】ABD【解析】【分析】先由圖像求出，得到的解析式，即可判斷選項(xiàng)A正確；求出，化簡(jiǎn)得，由當(dāng)時(shí)，有最大值可判斷選項(xiàng)B正確；求出圖像的對(duì)稱中心，取適當(dāng)?shù)闹担?，即可判斷選項(xiàng)C錯(cuò)誤；求出，化簡(jiǎn)得，由，即可判斷選項(xiàng)D正確.【詳解】由圖可知的最大值為3，最小值為0，則，因?yàn)?，所以，所以，所以函?shù)解析式，在函數(shù)圖像上，，則，解得，，取，則，函數(shù)解析式為.故選項(xiàng)A正確.因?yàn)?，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有最大值，所以，故選項(xiàng)B正確.圖像的對(duì)稱中心滿足，解得，等價(jià)于，所以圖像的對(duì)稱中心為故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.，因?yàn)椋院瘮?shù)為偶函數(shù).故選項(xiàng)D正確.故選：ABD第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.記，那么______．【答案】【解析】【分析】取的坐標(biāo)為，與的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故在的終邊上，計(jì)算得到答案.【詳解】在的終邊上取一點(diǎn)，使，則的坐標(biāo)為.因?yàn)榕c的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)在的終邊上，所以.故答案為：14.寫出一個(gè)最小正周期為6的奇函數(shù)______．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】此題答案不唯一，只要滿足最小正周期6且為奇函數(shù)即可.【詳解】的最小正周期為,且定義域?yàn)椋瑫r(shí)滿足題意.故答案為：15.設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都成立，則的最小值是______．【答案】##0.75【解析】【分析】由恒成立問題，求出函數(shù)最值，利用最值的性質(zhì)進(jìn)行求值即可.【詳解】因?yàn)閷?duì)任意的實(shí)數(shù)x都成立，所以在時(shí)取得最大值，所以，則，則，又因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，取得最小值為.故答案為：.16.已知平面向量，，滿足，，，．當(dāng)時(shí)，______．【答案】【解析】【分析】通過作圖將向量模表示為線段長(zhǎng)度，借助幾何圖形求線段長(zhǎng)度即可.【詳解】如圖，作，，，由題意知，，，則，.設(shè)直線與直線交點(diǎn)為，則，且，，即.因?yàn)椋?，所以，故，即，所?作于，于，則與相似，且相似比，所以.設(shè)，則，，又，所以，所以.在中，,又，所以，即點(diǎn)與點(diǎn)重合，故，所以，故，.又與相似，且相似比為，于是，，所以在中，.從而，故.故答案為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.寫出兩角差的余弦公式，并利用單位圓以及向量的數(shù)量積證明該公式．【答案】；證明見解析.【解析】【分析】先寫出兩角差的余弦公式，在單位圓中設(shè)的終邊與單位圓相交，寫出交點(diǎn)坐標(biāo)，并計(jì)算向量的數(shù)量積.再由或得到，從而證明，即可證明結(jié)論.【詳解】公式：證明：如圖，單位圓中，設(shè)，，，又存在，使得或，所以，因?yàn)?，所以，故?8.在如圖的方格紙（每個(gè)小方格邊長(zhǎng)為1）上有A，B，C三點(diǎn)，已知向量以A為始點(diǎn)．（1）試以B為始點(diǎn)畫出向量，使，且，并求向量的坐標(biāo)；（2）在（1）的條件下，求．【答案】（1）作圖見解析；（2）【解析】【分析】（1）利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可解決；（2）利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算結(jié)合分類討論即可解決.【小問1詳解】向量滿足，且，則如圖，這兩個(gè)向量均滿足題意，證明如下：向量，，則，得，因?yàn)椋獾?，所以；【小?詳解】若，，，所以．若，，．所以．19.已知向量，，．（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由向量垂直的坐標(biāo)表示求得，結(jié)合角的范圍求大小；（2）利用向量數(shù)量積、輔助角公式可得，根據(jù)正弦型函數(shù)性質(zhì)求值域，即可得范圍.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，得，又，所以．【小?詳解】，因?yàn)椋?，則，所以，故．20.某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：（1）請(qǐng)將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，填寫在答題卡上相應(yīng)位置，并求出函數(shù)的解析式；（2）先將圖象上的所有點(diǎn)，向左平移個(gè)單位，再把圖象上所有點(diǎn)，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模玫降膱D象，若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，求當(dāng)取得最小值時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．【答案】（1）填表見解析；（2），【解析】【分析】（1）由圖得，計(jì)算得，從而可得，代入點(diǎn)計(jì)算得，從而可得函數(shù)解析式，根據(jù)五點(diǎn)法分別計(jì)算數(shù)據(jù)并補(bǔ)全表格；（2）根據(jù)三角函數(shù)伸縮平移變換規(guī)律得函數(shù)，由對(duì)稱軸列式計(jì)算得值，再利用整體法計(jì)算函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【小問1詳解】根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)，得，，可得，當(dāng)時(shí)，，解得，所以．?dāng)?shù)據(jù)補(bǔ)全如下表：x【小問2詳解】將圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，再把所有點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，得到的圖象，所以因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，，解得，，因?yàn)椋?，此時(shí)，由，，可得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，．21.如圖，在梯形中，．（1）令，，用，表示，，；（2）若，且，求，．【答案】（1），，（2），【解析】【分析】（1）根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得；（2）首先求出，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律及得到方程，求出，最后根據(jù)及運(yùn)算律計(jì)算可得.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，，；【小?詳解】因?yàn)?，，所以，因?yàn)椋?，所以，解得，所以，因?yàn)椋?，所以?2.定義函數(shù)的“積向量”為，向量的“積函數(shù)”為．（1）若向量的“積函數(shù)”滿足，求的值；（2）已知，設(shè)，且“積函數(shù)”為，其最大值為t，求的最小值，并判斷此時(shí)，的關(guān)系．【