第8講 范圍與最值齊飛（含解析）

a+ba+b則OA的取值范圍是()【例4】在面積為2的△ABC中,E,F分別是AB,AC的中點,點P在直線EF上,則2PC.PB+BC的最小值是.最大值是...________+b2．在平行四邊形ABCD中,已知AB=8,AD=5,CP=3PD,AP.BP=2,則AB是.2,ct1at2b的最小值是()A.5B.7C.12D.13為.a+ba+b【解析】a+2b2+y2(x+2)22+y2(x+2)2+y2a+b22x+y++=與與2-2x+1令令則所以當(dāng)=1時,所求的最大值為2.【點撥】運(yùn)用坐標(biāo)法﹐探尋已知條件與所求值之間的代數(shù)關(guān)系.當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?故所求的最大值為2·.【點撥】數(shù)形結(jié)合﹐再利用三角函數(shù)的有界性.【解法3】如圖8-2,B為AC的中點,2所以當(dāng)且僅當(dāng)a+b=b時,等號成立. 所以a+b+b2·2,即所求的最大值是2·2.【點撥】巧用均值不等式.【解法4】記a+b=x,b=y,則x-y=2,x+y=2.因為x2+y2=所以當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2時等號成立,故所求的最大值是2·2.【點撥】雙換元再運(yùn)用基本不等式.易知以a+b,b為鄰邊的平行四邊形為矩形,于是a+b|2+b|2=4,令a+b=2cosθ,b=2sinθ,0θ,(4,(4,當(dāng)且僅當(dāng)時,取得最大值2·.【點撥】合理構(gòu)造,三角換元.易知以a+b,b為鄰邊的平行四邊形為矩形,于是a+b|2+b|2=4, 所以a+b+b22, 當(dāng)且僅當(dāng)a+b=b時等號成立,故所求的最大值是2·2.22【點撥】先探尋已知條件與所求式子之間的關(guān)系,找到恒等式a+b+b=4,再運(yùn)用不等式求最值.22【賞析】【解法1】設(shè)向量坐標(biāo),再利用所得式子平方和為定值進(jìn)行三角換元,轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值問題.【解法2】構(gòu)造向量,數(shù)形結(jié)合,更快速簡潔.【解法3】利用中點化簡向量,再利用基本不等式求出最值.【解法4】雙換元,更易看出式子本質(zhì);【解法5】、【解法6】巧妙構(gòu)造,開拓思維.【例2】如圖8-3,在△ABC中,D是BC的中點,E,F是AD上的兩個點,BA.CA=4,BF.CF=-1,則BE.CE的值是.【解析】【解法1】因為BA.CA=AB.AC=AD2-BD2，2-BD2=AD2-BD2.進(jìn)而=ED2-BD2=AD2-BD2=【點撥】運(yùn)用極化恒等式a×b=(a+b)2-(a-b)2【解法2】作點A,E,F關(guān)于點D的對稱點A,,E,,F,,設(shè)BA=a,BA,=b，則由已知得【點撥】向量問題基底化【解法3】因為FB×FC=(AB-AF)×(AC-AF)=AB×AC-AF×(AB+AC)+22225.22【點撥】巧用向量加減法.【解法4】記BC=2m,以BC所在的直線為x軸,BC的中點D為原點建立平面直角坐標(biāo)系，則B,,,又因為222【點撥】運(yùn)用坐標(biāo)法.【賞析】【解法1】使用向量的極化恒等式,是針對含有向量的數(shù)量積和可利用中點求解的問題的常用手段,方法簡潔有效.【解法2】和【解法3】運(yùn)用向量的基底和線性運(yùn)算轉(zhuǎn)化,對思維能力有較高要求.【解法4】使用坐標(biāo)法,是解決平面向量問題的又一利器.則OA的取值范圍是()【解析】【解法1】如圖8-5,由“平行四邊形對角線的平方和等于四條邊的平方和”可知2OP2B+(2OH)2，=2-OP2【點撥】巧用平行四邊形性質(zhì).【賞析】【解法1】是“平行四邊形對角線的平方和等于四條邊的平方和”化成三角形的應(yīng)用,可以解決一些三角形中有關(guān)長度的問題.【解法2】是坐標(biāo)法,從角度方面解決問題.向量問題主要從“形”與“數(shù)”兩個角度考慮.【例4】在面積為2的△ABC中,E,F分別是AB,AC的中點,點P在直線EF上,則2PC.PB+BC的最小值是.【解析】【解法1】設(shè)△PBC中角P,B,C所對的邊分別為p,b,c,則由△PBC面積為1知bcsinP=2，所以bc=，所以從而進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為求的最小值.令，得ysinP=2-cosP，即ysinP+cosP=2,其中cosφ=,sinφ=.為單位圓的左半圓.）22【點撥】根據(jù)三角形的面積公式,問題可轉(zhuǎn)化為已知VPBC的面積為1,求PC×PB+BC小值﹐結(jié)合三角換元﹐即可求出其最小值.4【解法2】設(shè)BC的中點為D,則.BC2 故所求的最小值為2·3.【點撥】直接利用向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積的運(yùn)算律進(jìn)行變形處理.【解法3】以BC中點為原點,BC所在直線為x軸,過BC中點與BC垂直的直線為y.軸建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)Bm2m22222223,.222aaaaa當(dāng)且僅當(dāng)m=0,a4=時取等號.故所求的最小值為23.【點撥】建立平面直角坐標(biāo)系,把向量坐標(biāo)化,從而把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題.【解法4】如圖8-7,取BC中點為M,連結(jié)并延長MP交過點A的BC的平行線于點P,,過點M作MH丄P,A,H為垂足.222222而S△ABC=2，即2∣HM∣∣BC∣=2,所以PC【點撥】向量運(yùn)算,數(shù)形結(jié)合.【解法1】思維獨(dú)特,利用面積公式和余弦定理將所求式子轉(zhuǎn)化為分式型三角函數(shù)值域問題.【解法2】利用向量運(yùn)算化簡后用基本不等式求最值.【解法3】將坐標(biāo)法與基本不等式結(jié)合.【解法4】用幾何法解決向量問題,利用中點轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算,技巧性較強(qiáng).【例5】已知向量a,b,a=1,b=2,若對任意單位向量e,均有a.e+b.e最大值是.【解析】【解法1】如圖8-8,由題意,對任意單位向量e,均有a.e+b.e·成立,又因為10=2(a2+b2)=(a+b)2+(a-b)2,所以(a-b)24,4a.b=(a+b)26-4=2→a.b【點撥】數(shù)形結(jié)合,結(jié)合已知條件,直接利用向量數(shù)量積的性質(zhì)即可求解.【解法2】由題意,要求a.b的最大值,不妨設(shè)向量a,b之間的夾角為β,向量a與任意單位向量e的夾角為α,a.e+b.e=cosα+2cos(β-α)=cosα+2(cosαcosβ+sinαsinβ)因為max=所以5+4cosβ6,即cosβ,故a.b=2cosβ,即max=.【點撥】利用向量數(shù)量積的定義，把問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題，即可求解,【解法3】如圖8-9,由題意,要求a.b的最大值,不妨設(shè)向量a,e的夾角為α,向量b與任意單位向量e的夾角為β,記α+β=θ,a.e+b.e=cosα+2cosβ=cosα+2cos(θ-α)=cosα+2(cosθcosα+sinθsinα)=(1+2cosθ)cosα+2sinθsinα 6, 6,a.e+b.e ,4所以(1+2cosθ)2+(2sinθ)26,所以cos ,4【點撥】根據(jù)向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律,把問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題,即可求解.【賞析】【解法1】巧妙運(yùn)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解,【解法2】與【解法3】稍有區(qū)別,均把所求間題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題進(jìn)行求解.【例6】已知向量a,b,c滿足a=b=2,c=1,(a-c).(b-c)=0,則a-b的取值范圍.________【解析】如圖8-10,設(shè)=c,則=a-c,=b-c,由矩形性質(zhì)知:OD2+OC2=OA2+OB2,解得,,OD-OCCDOD+OC,所以·7-1a-b·7+1.【點撥】數(shù)形結(jié)合,根據(jù)題干條件,作出草圖,結(jié)合矩形的性質(zhì),即可求解.附:矩形性質(zhì)證明.已知ABCD為矩形,O是ABCD平面內(nèi)一點.證明:如圖8-11,設(shè)AC,BD交于點P,連結(jié)OP.222【解法2】,設(shè)A,B是以O(shè)為圓心,2為半徑的圓上的兩點,且AC丄BC,Ma-b為ABa-b而MA=MC,所以MO2+MC2=4.設(shè)M(x,y),則x2+y2由（*)知,x,所以·7-1a-b·7+1.【點撥】建立坐標(biāo)系,向量坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題.(2cosα,2sinα),b=(2cosβ,2sinβ)，則由(a-c).(b-c)得(2cosα-1)(2cosβ-1)+4sinαsinβ=0,(α-β)-2(cosα+cosβ)+1=0,所以-12t-1,2α-β16-16cos=2所以2α-β16-16cos=2所以7-1a-b·7+1.所以【點撥】利用三角函數(shù)表示向量坐標(biāo);結(jié)合三角恒等變換,三角函數(shù)有界性解決問題.【賞析】【解法1】構(gòu)造向量,利用矩形性質(zhì)快速解答.【解法2】利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為函數(shù)問題,庽常規(guī)解法.【解法3】進(jìn)行三角換元,利用三角函數(shù)有界性求最值,計算量較大.強(qiáng)化訓(xùn)練1．1．設(shè)非零向量OA滿足由{-b∣=1,故當(dāng)|b|≠0時,以a+b,由{ 222=222=是.即PM丄AB時ΔABO的面積最大,因此原題等價于在RtΔAOB中答圖8-1求AP.PO的最大值.(M為OA的中