2025屆新高考數(shù)學(xué)精準(zhǔn)沖刺復(fù)習(xí)隨機(jī)事件的概率與古典概型

必備知識·逐點(diǎn)夯實(shí)2025屆新高考數(shù)學(xué)精準(zhǔn)沖刺復(fù)習(xí)隨機(jī)事件的概率與古典概型核心考點(diǎn)·分類突破【課標(biāo)解讀】【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.結(jié)合具體實(shí)例,理解樣本點(diǎn)和有限樣本空間的含義,理解隨機(jī)事件與樣本點(diǎn)的關(guān)系.2.了解隨機(jī)事件的并、交與互斥的含義,能結(jié)合實(shí)例進(jìn)行隨機(jī)事件的并、交運(yùn)算.3.理解古典概型,能計(jì)算古典概型中簡單隨機(jī)事件的概率.4.理解概率的性質(zhì),掌握隨機(jī)事件概率的運(yùn)算法則.5.會用頻率估計(jì)概率.【核心素養(yǎng)】數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算.【命題說明】考向考法高考命題常以現(xiàn)實(shí)生活為載體,考查隨機(jī)事件、樣本點(diǎn)、事件間的關(guān)系、古典概型;古典概型是高考熱點(diǎn),常以選擇題的形式出現(xiàn).預(yù)測預(yù)計(jì)2025年高考古典概型知識點(diǎn)仍會出題.事件的互斥會與獨(dú)立事件交匯命題.必備知識·逐點(diǎn)夯實(shí)知識梳理·歸納1.有限樣本空間與隨機(jī)事件(1)樣本點(diǎn):隨機(jī)試驗(yàn)的每個可能的基本結(jié)果.(2)樣本空間:全體樣本點(diǎn)的集合,一般用Ω表示.(3)有限樣本空間:樣本空間Ω={ω1,ω2,…,ωn}.(4)隨機(jī)事件(事件):樣本空間Ω的子集.(5)基本事件:只包含一個樣本點(diǎn)的事件.2.兩個事件的關(guān)系和運(yùn)算微點(diǎn)撥

互斥事件不一定是對立事件,但是對立事件一定是互斥事件.項(xiàng)目含義符號表示包含關(guān)系A(chǔ)發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生__________相等關(guān)系B?A且A?B_________并(和)事件______________________A∪B或A+B交(積)事件A與B同時(shí)發(fā)生______________互斥(互不相容)A與B不能同時(shí)發(fā)生A∩B=?互為對立A與B有且僅有一個發(fā)生______________________

A?B

A=B

A與B至少一個發(fā)生

A∩B或AB

A∩B=?,且A∪B=Ω

3.概率的幾個基本性質(zhì)(1)概率的取值范圍:__________.(2)P(Ω)=___,P(?)=___.(3)如果事件A與事件B互斥,那么P(A∪B)=___________.(4)如果事件A與事件B互為對立事件,則P(A)=_______.(5)如果A?B,那么P(A)___P(B).(6)P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).微思考

兩個互斥事件的概率之和等于1嗎?提示:兩個互斥事件概率之和小于或等于1,只有當(dāng)兩互斥事件為對立事件時(shí),其概率和等于1.1≥P(A)≥010P(A)+P(B)1-P(B)≤

5.頻率與概率(1)頻率的穩(wěn)定性一般地,隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大,頻率偏離概率的幅度會縮小,即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會逐漸____________事件A發(fā)生的概率P(A),我們稱頻率的這個性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.

(2)頻率穩(wěn)定性的作用可以用頻率fn(A)估計(jì)概率P(A).微點(diǎn)撥

概率是一個常數(shù),是一個理論值,不隨試驗(yàn)次數(shù)的改變而改變;而頻率是一個試驗(yàn)值,隨著試驗(yàn)次數(shù)的改變而改變,是一個變量.

穩(wěn)定于

類型辨析改編易錯高考題號12,345×√√×2.(必修第二冊P235練習(xí)1改編)一個人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次,事件“至多有一次中靶”的互斥事件是(

)A.至少有一次中靶 B.兩次都中靶C.只有一次中靶

D.兩次都不中靶【解析】選B.射擊兩次中“至多有一次中靶”即“有一次中靶或兩次都不中靶”,與該事件不能同時(shí)發(fā)生的是“兩次都中靶”.3.(必修第二冊P246習(xí)題9改編)從某班學(xué)生中任意找出一人,如果該同學(xué)的身高小于160cm的概率為0.2,該同學(xué)的身高在[160,175](單位:cm)的概率為0.5,那么該同學(xué)的身高超過175cm的概率為(

)A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8【解析】選B.由題意知該同學(xué)的身高小于160cm的概率、該同學(xué)的身高在[160,175](單位:cm)的概率和該同學(xué)的身高超過175cm的概率和為1,故所求概率為1-0.2-0.5=0.3.4.(樣本點(diǎn)理解錯誤)袋中有大小、形狀相同的紅球、黑球各一個,現(xiàn)在有放回地隨機(jī)摸3次,每次摸取一個,觀察摸出球的顏色,則此隨機(jī)試驗(yàn)的樣本點(diǎn)個數(shù)為(

)A.5 B.6 C.7 D.8【解析】選D.因?yàn)槭怯蟹呕氐仉S機(jī)摸3次,所以隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為Ω={(紅,紅,紅),(紅,紅,黑),(紅,黑,紅),(紅,黑,黑),(黑,紅,紅),(黑,紅,黑),(黑,黑,紅),(黑,黑,黑)},共8個.

核心考點(diǎn)·分類突破考點(diǎn)一隨機(jī)事件的頻率與概率[例1](1)(多選題)一部機(jī)器有甲、乙、丙三個易損零件,在一個生產(chǎn)周期內(nèi),每個零件至多會出故障一次,工程師統(tǒng)計(jì)了近100個生產(chǎn)周期內(nèi)一部機(jī)器各類型故障發(fā)生的次數(shù)得到如圖所示的柱狀圖,由頻率估計(jì)概率,在一個生產(chǎn)周期內(nèi),下列說法正確的是(

)A.至少有一個零件發(fā)生故障的概率為0.8B.有兩個零件發(fā)生故障的概率比只有一個零件發(fā)生故障的概率更大C.乙零件發(fā)生故障的概率比甲零件發(fā)生故障的概率更大D.已知甲零件發(fā)生了故障,此時(shí)丙零件發(fā)生故障的概率比乙零件發(fā)生故障的概率更大

75%

9328124585696834312573930275564887301135

投籃次數(shù)8101520304050進(jìn)球次數(shù)681217253239進(jìn)球頻率

2.某籃球運(yùn)動員在同一條件下進(jìn)行投籃練習(xí),結(jié)果如表:(2)這位運(yùn)動員投籃一次,進(jìn)球的概率約是多少?【解析】(2)由于進(jìn)球頻率都在0.8左右擺動,故這位運(yùn)動員投籃一次,進(jìn)球的概率約是0.8.(3)若這位運(yùn)動員進(jìn)球的概率是0.8,那么他投10次籃一定能投進(jìn)8次嗎?【解析】(3)不一定,一名運(yùn)動員投籃進(jìn)球的概率是0.8,表示投籃成功的可能性,他在10次一組的投籃中,可能會投進(jìn)8次.投籃次數(shù)8101520304050進(jìn)球次數(shù)681217253239進(jìn)球頻率

考點(diǎn)二互斥事件與對立事件[例2](1)(2024·長春模擬)連續(xù)拋擲一枚硬幣3次,觀察正面出現(xiàn)的情況,事件“至少2次出現(xiàn)正面”的對立事件是(

)A.只有2次出現(xiàn)反面B.至少2次出現(xiàn)正面C.有2次或3次出現(xiàn)正面D.有2次或3次出現(xiàn)反面【解析】選D.連續(xù)拋擲一枚硬幣3次,正面出現(xiàn)的次數(shù)有0,1,2,3,因此事件“至少2次出現(xiàn)正面”的對立事件是“正面出現(xiàn)0次或1次”即“有2次或3次出現(xiàn)反面”.

解題技法1.求簡單的互斥事件、對立事件的概率的方法解此類問題,首先應(yīng)根據(jù)互斥事件和對立事件的定義分析出所給的兩個事件是互斥事件還是對立事件,再選擇相應(yīng)的概率公式進(jìn)行計(jì)算.2.求復(fù)雜的互斥事件概率的兩種方法(1)直接求法:將所求事件分解為一些彼此互斥的事件的和,運(yùn)用互斥事件概率的加法公式計(jì)算.(2)間接求法:先求此事件的對立事件的概率,再用公式求解,即運(yùn)用逆向思維(正難則反),特別是“至多”“至少”型題目,用間接求法會較簡便.對點(diǎn)訓(xùn)練1.(多選題)下列說法中正確的有(

)A.若事件A與事件B是互斥事件,則P(AB)=0B.若事件A與事件B是對立事件,則P(A+B)=1C.某人打靶時(shí)連續(xù)射擊三次,則事件“至少有兩次中靶”與事件“至多有一次中靶”是對立事件D.把紅、橙、黃3張紙牌隨機(jī)分給甲、乙、丙3人,每人分得1張,則事件“甲分得的不是紅牌”與事件“乙分得的不是紅牌”是互斥事件

【加練備選】1.(多選題)對空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次,每次發(fā)射一枚炮彈,設(shè)事件A={兩彈都擊中飛機(jī)},事件B={兩彈都沒擊中飛機(jī)},事件C={恰有一彈擊中飛機(jī)},事件D={至少有一彈擊中飛機(jī)},則下列關(guān)系正確的是(

)A.AD=?

B.BD=?C.A+C=D

D.A+B=B+D【解析】選BC.“恰有一彈擊中飛機(jī)”指第一枚擊中且第二枚沒中或第一枚沒中且第二枚擊中,“至少有一彈擊中飛機(jī)”包含兩種情況,一種是恰有一彈擊中,另一種是兩彈都擊中,故AD≠?,BD=?,A+C=D,A+B≠B+D.2.某河流A與河流B是水庫C的主要水源,只要河流A,B之一不缺水,水庫C就不缺水.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道河流A,B不缺水的概率分別是0.7和0.9,同時(shí)不缺水的概率是0.65.則水庫C不缺水的概率為