2024八年級數(shù)學(xué)下冊重點突圍專題12正方形的性質(zhì)與判定含解析新版浙教版

Page1專題12正方形的性質(zhì)與判定【考點一】正方形的性質(zhì)與判定綜合考例題：（四川達(dá)州·九年級期末）如圖，在中，是的中點、是中點，過點作交的延長線于點，連接．(1)求證：；(2)若，試推斷四邊形的形態(tài)，并證明你的結(jié)論；(3)干脆回答：當(dāng)滿意________時，四邊形是正方形．【答案】(1)見解析；(2)四邊形是菱形，見解析；(3)AC=BC【解析】【分析】（1）利用推出∠DBE=∠AFE，由此證明△BED≌△FEA（AAS），得到BD=AF，即可得到結(jié)論；（2）依據(jù)直角三角形斜邊中線得到AD=CD，即可證得四邊形是菱形；（3）當(dāng)△ABC滿意AC=BC時，理由等腰三角形的三線合一的性質(zhì)得到AD⊥BC，即可證得四邊形是正方形．(1)證明：∵，∴∠DBE=∠AFE，∵是中點，∴AE=DE，∵∠BED=∠AEF，∴△BED≌△FEA（AAS），∴BD=AF，∵是的中點，∴BD=CD，∴CD=AF；(2)四邊形是菱形，理由如下：∵AF∥CD，AF=CD，∴四邊形ADCF是平行四邊形，∵AC⊥BC，點D是BC的中點，∴AD=BD=CD，∴四邊形是菱形；(3)當(dāng)△ABC滿意AC=BC時，四邊形是正方形，理由如下：∵∠BAC=90°，AC=BC，AD為中線，∴AD⊥BC，∴菱形是正方形，故答案為：AC=BC．【點睛】此題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，證明四邊形是菱形，證明四邊形是正方形，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，熟記各定理并嫻熟應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（云南省個舊市其次中學(xué)八年級期中）如圖：已知：是的角平分線，交于，交于．(1)求證：四邊形是菱形；(2)當(dāng)滿意什么條件時，四邊形是正方形？【答案】(1)見解析(2)【解析】【分析】（1）依據(jù)平行四邊形的判定定理：有兩組對邊相互平行的四邊形是平行四邊形，推知四邊形是平行四邊形；然后由平行四邊形的對角相等、對角線平分對角的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)證得；最終由等角對等邊推知的鄰邊；（2）由正方形的四個角都是直角的性質(zhì)知三角形中．(1)解：證明：，，，，四邊形是平行四邊形（有兩組對邊相互平行的四邊形是平行四邊形），（平行四邊形的對角相等）；又是的角平分線，∴∠EAD=∠FAD，∵DE∥AC，∴∠EDA=∠FAD，，（等角對等邊），四邊形是菱形（鄰邊相等的平行四邊形是菱形）；(2)解：由（1）知，四邊形是菱形，當(dāng)四邊形是正方形時，，即，的時，四邊形是正方形．【點睛】本題考查了正方形的判定、菱形的判定．解題的關(guān)鍵是留意：菱形是鄰邊相等的“平行四邊形”，而非鄰邊相等的“四邊形”．2．（江蘇·南京外國語學(xué)校八年級階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的中線，E是CD的中點，過點C作CFAB，交AE的延長線于點F，連接BF．(1)求證：四邊形BDCF是菱形；(2)當(dāng)△ABC滿意什么條件時，四邊形BDCF是正方形？請說明理由．【答案】(1)見解析；(2)AC＝BC，理由見解析【解析】【分析】（1）由“AAS”可證△CEF≌△DEA，可得CF＝AD，由直角三角形的性質(zhì)可得CD＝AD＝BD＝CF，由菱形的判定可證四邊形BDCF是菱形；（2）由等腰三角形的性質(zhì)可得CD⊥AB，即可證四邊形BDCF是正方形．(1)證明：∵CFAB∴∠CFA＝∠BAF，∠ADC＝∠FCD，∵E是CD的中點，∴CE＝DE∴△CEF≌△DEA（AAS）∴CF＝AD，∵CD是Rt△ABC的中線∴CD＝AD＝BD∴CF＝BD，∵CFAB∴四邊形BDCF是平行四邊形，∵CD＝BD∴四邊形BDCF是菱形(2)當(dāng)AC＝BC時，四邊形BDCF是正方形，理由如下：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴△ABC是等腰直角三角形∵CD是AB邊上的中線∴CD⊥AB，∴∠BDC＝90°∵四邊形BDCF是菱形∴四邊形BDCF是正方形．【點睛】本題考查了正方形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，敏捷運用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．3．（浙江杭州·一模）已知：如圖，邊長為的菱形的對角線與相交于點，若．(1)求證：四邊形是正方形．(2)是上一點，，且，垂足為，與相交于點，求線段的長．【答案】(1)見解析(2)【解析】【分析】（1）由菱形的性質(zhì)得出，，，得出，證出，求出，即可得出結(jié)論；（2）由正方形的性質(zhì)得出，，，，得出，，證出，證明≌，即可得出結(jié)論．(1)證明：四邊形是菱形，，，，，，，，，四邊形是正方形；(2)解：四邊形是正方形，，，，，，，，，垂足為，，，，，在和中，，≌，．，．【點睛】本題考查了正方形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等學(xué)問；嫻熟駕馭正方形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4．（廣東深圳·二模）如圖1，正方形ABCD中，AC為對角線，點P在線段AC上運動，以DP為邊向右作正方形DPFE，連接CE；(1)【初步探究】則AP與CE的數(shù)量關(guān)系是，AP與CE的夾角度數(shù)為；(2)【探究發(fā)覺】點P在線段AC及其延長線上運動時，如圖1，圖2，探究線段DC，PC和CE三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)【拓展延長】點P在對角線AC的延長線上時，如圖3，連接AE，若AB=，AE=，求四邊形DCPE的面積．【答案】(1)AP=CE，90°(2)，理由見解析(3)12【解析】【分析】（1）依據(jù)正方形的性質(zhì)，可得，，再依據(jù)同角的余角相等，可得，再依據(jù)“邊角邊”證得，即可求解；（2）跟（1）小題思路一樣，先證得，可得，再依據(jù)是等腰直角三角形，可得，即可求解；（3）由四邊形ABCD是正方形，可得，再依據(jù)勾股定理，可求得，，進(jìn)而可以求出，，即可求解．(1)解：四邊形ABCD和四邊形DPFE是正方形，，，，，在和中，，，，，AP與CE的夾角的度數(shù)是90°；(2)解：四邊形ABCD和四邊形DPFE是正方形，，，，，在和中，，，，是等腰直角三角形，，；(3)解：連接BD，CE，四邊形ABCD是正方形，，是等腰直角三角形，，，由（1）可知，，由（2）可知，，，，在中，，是等腰直角三角形，，，∴+=12．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)和三角形的全等、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)以及割補法求圖形的面積．【考點二】正方形的折疊問題例題：（廣西南寧·八年級期中）如圖，AC是正方形ABCD的對角線，E是BC上的點，，將沿AE折疊，使點B落在AC上點F處，則AB的長為（

）A．2 B．3 C． D．【答案】C【解析】【分析】由正方形的性質(zhì)得AB＝BC，∠BCD＝∠B＝90°，∠ECF＝∠BCD＝45°，由折疊的性質(zhì)得∠AFE＝∠B＝90°，F(xiàn)E＝BE＝1，證出△CEF是等腰直角三角形，則CE＝FE＝，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠BCD＝∠B＝90°，∠ECF＝∠BCD＝45°，由折疊的性質(zhì)得：∠AFE＝∠B＝90°，F(xiàn)E＝BE＝1，∴∠CFE＝90°，∴△CEF是等腰直角三角形，∴CE＝FE＝，∴BC＝BE＋CE＝1＋，∴AB＝BC＝1＋；故選：C．【點睛】本題考查了翻折變換的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等學(xué)問；嫻熟駕馭翻折變換和正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（山東青島·一模）如圖，在正方形ABCD中，AB=6，E是CD邊上的中點，F(xiàn)是線段BC上的動點，將△ECF沿EF所在的直線折疊得到，連接，則的最小值是_______．【答案】##【解析】【分析】由題意可知，繼而可知點的運動軌跡是以為圓心，以為半徑的圓弧，然后由點，，三點共線時最小即可求得答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴，∵E是CD邊上的中點，∴∵△ECF沿EF所在的直線折疊得到，∴，∴當(dāng)點，，三點共線時，最小，如圖，在中，由勾股定理得：，∴，∴的最小值為．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理和兩點之間線段最短等，依據(jù)已知條件確定點的運動軌跡和利用兩點之間線段最短求最值是解題的關(guān)鍵．2．（江蘇師范高校附屬試驗學(xué)校一模）如圖，將邊長為4的正方形紙片ABCD折疊，使得點A落在邊CD的中點E處，折痕為FG，點F、G分別在邊AD、BC上，則折痕FG的長度為______．【答案】【解析】【分析】過點G作GH⊥AD于H，依據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得GF⊥AE，然后求出∠GFH=∠D，再利用“角角邊”證明△ADE和△GHF全等，依據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得GF=AE，再利用勾股定理列式求出AE，從而得解．【詳解】解：如圖，過點G作GH⊥AD于H，則四邊形ABGH中，HG=AB，由翻折變換的性質(zhì)得GF⊥AE，∵∠AFG+∠DAE=90°，∠AED+∠DAE=90°，∴∠AFG=∠AED，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=AB，∴HG=AD，在△ADE和△GHF中，，∴△ADE≌△GHF（AAS），∴GF=AE，∵點E是CD的中點，∴DE=CD=2，在Rt△ADE中，由勾股定理得，AE，∴GF的長為2．故答案為：．【點睛】本題考查翻折變換的問題，折疊問題其實質(zhì)是軸對稱，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等，找到相應(yīng)的直角三角形利用勾股定理求解是解決本題的關(guān)鍵．3．（廣東·普寧市紅領(lǐng)巾試驗學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，在正方形紙片ABCD中，E是CD的中點，將正方形紙片折疊，點B落在線段AE上的點G處，折痕為AF．若AD＝4cm，求CF的長【答案】6﹣【解析】【分析】設(shè)BF＝x，則FG＝x，CF＝4﹣x，在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF2＝，在Rt△FCE中，利用勾股定理可得EF2＝（4﹣x）2+22，從而得到關(guān)于x的方程，求解x即可．【詳解】解：設(shè)BF＝x，則則FG＝x，CF＝4﹣x．∵E是CD的中點，∴DE=CE=在Rt△ADE中，利用勾股定理可得AE＝．依據(jù)折疊的性質(zhì)可知AG＝AB＝4，BF=FG=x∴GE＝AE-AG=﹣4．在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF2＝（﹣4）2+x2，在Rt△FCE中，利用勾股定理可得EF2＝（4﹣x）2+22，∴（﹣4）2+x2＝（4﹣x）2+22，解得x＝﹣2，∴BF＝2﹣2∴FC=BC-BF=4-（2﹣2）=6-2．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)及翻轉(zhuǎn)折疊的性質(zhì)，精確運用題目中的條件用兩種方法表示出EF，列出方程式解題的關(guān)鍵．4．（廣東深圳·八年級階段練習(xí)）把正方形紙片放在直角坐標(biāo)系中，如圖所示，正方形紙片ABCD的邊長為3，點E、F分別在BC、CD上，將AB、AD分別沿AE、AF折疊，點B、D恰好都落在點G處，已知3BE＝BC．（1）請干脆寫出D、E兩點的坐標(biāo)，并求出直線EF的解析式；（2）在直線EF上是否存在點M，使得△AFM的面積是△AEF的面積的一半，若存在，懇求出點M的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．（3）若點P、Q分別是線段AG、AF上的動點，則EP＋PQ的最小值是多少？并求出此時點Q的坐標(biāo)．【答案】（1）D點坐標(biāo)為（3，3），E點坐標(biāo)為（1，0），直線EF的解析式為；（2）當(dāng)M的坐標(biāo)為（2，）或（4，）時，使得△AFM的面積是△AEF的面積的一半；（3）（2，2）【解析】【分析】（1）依據(jù)正方形的性質(zhì)即可得到BC=CD=3，∠BCD=90°，則D點坐標(biāo)為（3，3），再由3BE=BC，得到BE=1，則E點坐標(biāo)為（1，0），CE=BC-BE=2，由折疊的性質(zhì)可知，EF=BE=1，F(xiàn)G=DF，設(shè)CF=x，則GF=DF=3-x，EF=EG+FG=4-x，由，得到，即可求出F的坐標(biāo)為（3，），設(shè)直線EF的解析式為，把E、F的坐標(biāo)代入求解即可；（2）由△AEF和△AFM等高，則，從而得到，然后分當(dāng)M在線段EF上時，即M為EF的中點時，此時記作M1，當(dāng)M在EF延長線上時，此時記作M2，則，即此時F為的中點，依據(jù)中點坐標(biāo)公式求解即可；（3）由，得到當(dāng)Q、P、E三點共線的時候有最小值EQ，再由點到直線的距離垂線段最短可知，當(dāng)EQ⊥AF時，EQ有最小值，即有最小值，先用面積法求出，然后求出直線AF的解析式為；設(shè)Q點坐標(biāo)為（t，），則，由此求解即可．【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是邊長為3的正方形，∴BC=CD=3，∠BCD=90°，∴D點坐標(biāo)為（3，3），∵3BE=BC，∴BE=1，∴E點坐標(biāo)為（1，0），CE=BC-BE=2，由折疊的性質(zhì)可知，EG=BE=1，F(xiàn)G=DF，設(shè)CF=x，則GF=DF=3-x，EF=EG+FG=4-x，∵，∴，解得，∴F的坐標(biāo)為（3，），設(shè)直線EF的解析式為，∴，∴，∴直線EF的解析式為；（2）假設(shè)在直線EF上是否存在點M，使得△AFM的面積是△AEF的面積的一半，∵△AEF和△AFM等高，∴，∴，當(dāng)M在線段EF上時，即M為EF的中點時，此時記作M1，∵E點坐標(biāo)為（1，0），F(xiàn)的坐標(biāo)為（3，），∴，∴M1的坐標(biāo)為（2，）；當(dāng)M在EF延長線上時，此時記作M2，則，即此時F為的中點，∴，∴，∴M2的坐標(biāo)為（4，）；∴綜上所述，當(dāng)M的坐標(biāo)為（2，）或（4，）時，使得△AFM的面積是△AEF的面積的一半；（3）如圖所示，連接EQ，∵，∴當(dāng)Q、P、E三點共線的時候有最小值EQ，再由點到直線的距離垂線段最短可知，當(dāng)EQ⊥AF時，EQ有最小值，即有最小值，由（1）得，有折疊的性質(zhì)可得AG=AB=3，∠AGE=∠AGF=∠ABC=90°，∴，∵，∴，設(shè)直線AF的解析式為∴，∴，∴直線AF的解析式為；設(shè)Q點坐標(biāo)為（t，），∴，解得，∴Q點坐標(biāo)為（2，2）【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)與幾何綜合，正方形的性質(zhì)，兩點距離公式，解題的關(guān)鍵在于能夠嫻熟駕馭一次函數(shù)的相關(guān)學(xué)問．【考點三】正方形的動點問題例題：（廣東·深圳市龍華區(qū)潛龍學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，已知四邊形為正方形，，點為對角線上一動點，連接，過點作，交于點，以、為鄰邊作矩形，連接．(1)求證：矩形是正方形；(2)探究：①與有怎樣的位置關(guān)系？請說明理由．②的值為______．【答案】(1)見解析(2)①，理由見解析；②2【解析】【分析】（1）作于，于，得到，然后證得，得到≌，則有，依據(jù)正方形的判定即可證得矩形是正方形；（2）①依據(jù)正方形的性質(zhì)得到，，依據(jù)余角的性質(zhì)得到，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，依據(jù)垂直的定義即可得到結(jié)論；②依據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，依據(jù)線段的和差即可得的結(jié)論．(1)如圖，作于，于，，點是正方形對角線上的點，，，，，在和中，，≌，，四邊形是矩形，矩形是正方形；(2)①，理由如下：正方形和正方形，，，，，在和中，，≌，，，，，；②由知，≌，，，故答案為：．【點睛】此題主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正方形的判定，三角形的全等的性質(zhì)和判定，勾股定理，解本題的關(guān)鍵是正確作出協(xié)助線，證得≌．【變式訓(xùn)練】1．（北京大興·八年級期中）已知四邊形ABCD是正方形，點E為射線AC上一動點（點E不與A，C重合），連接DE，過點E作EF⊥DE，交射線BC于點F，過點D，F(xiàn)分別作DE，EF的垂線，兩垂線交于點G，連接CG．(1)如圖，當(dāng)點E在對角線AC上時，依題意補全圖形，并證明：四邊形DEFG是正方形；(2)在（1）的條件下，猜想：CE，CG和AC的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；(3)當(dāng)點E在對角線AC的延長線上時，干脆用等式表示CE，CG和AC的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)見解析；(2)CE+CG=AC，證明見解析；(3)CE+AC=CG，證明見解析【解析】【分析】（1）過點E作EM⊥BC，垂足為M，作EN⊥CD，垂足N，然后先證明四邊形DEFG為矩形，再利用△DEN≌△FEM，得出ED=EF，最終得出結(jié)論；（2）先證明∠ADE=∠CDG，再利用△ADE≌△CDG，得出AE=CG，即可證明結(jié)論；（3）先證明∠ADE=∠ADC+∠CDE=∠GDE+∠CDE=∠GDC，再利用△ADE≌△CDG，即可得出結(jié)論．(1)過點E作EM⊥BC，垂足為M，作EN⊥CD，垂足N，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BCD＝90°，且∠ECN＝45°∴∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°，NE=NC，∴四邊形EMCN是正方形，∴EM=EN，∵EF⊥DE，DG⊥DE，F(xiàn)G⊥EF，∴四邊形DEFG為矩形，∵∠DEN+∠NEF=90°，∠MEF+∠NEF=90o，∴∠DEN=∠MEF，又∵∠DNE=∠FME=90o，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM，∴ED=EF，∴四邊形DEFG是正方形；(2)CE+CG=AC，證明：∵四邊形DEFG是正方形，∴DE=DG，∠EDC+CDG=90o，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADE+∠EDC=90o，∴∠ADE=∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG，∴AE=CG，∴CE+CG=CE+AE=AC；(3)CG=AC+CE，如圖：∵四邊形ABCD為正方形，四邊形DEFG為正方形，∴AD=CD，∠ADC=90o，ED=GD,且∠GDE=90o，∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=∠GDE+∠CDE=∠GDC，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG，∴AE=CG=AC+CE；【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)和判定，三角形的全等的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是正確作出協(xié)助線．2．（山西陽泉·九年級期末）綜合與實踐：如圖（1），已知點E為正方形對角線上一動點（不與點C重合），連接．(1)實踐與操作：在圖中，畫出以點B為旋轉(zhuǎn)中心，將線段逆時針旋轉(zhuǎn)的線段，并且連接．(2)視察與猜想：視察圖（1），猜想并推理可以得到以下結(jié)論：結(jié)論1，和之間的位置關(guān)系是______；結(jié)論2，和之間的數(shù)量關(guān)系是______．(3)探究與發(fā)覺：①如圖（2），若點E在延長線上時，（2）中的兩個結(jié)論是否仍舊成立，說明理由．②如圖（2），若，，請干脆寫出的長．【答案】(1)見解析(2)，(3)①成立，理由見解析；②【解析】【分析】（1）按題意干脆作圖即可；（2）先證△ABF和△CBE，可得AF=CE，再證得∠CAF=90°，即得；（3）①先證得，可得，，進(jìn)一步得到．最終證得；②由可得CE=AF，再由，可得AC的長，進(jìn)而求得AB的長．(1)畫圖正確；(2)，，理由如下：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∵以點B為旋轉(zhuǎn)中心，將線段逆時針旋轉(zhuǎn)的線段，∴BE=BF，∠EBF=90°，∴∠ABC=∠EBF=90°，∴∠ABF=∠CBE，在△ABF和△CBE中，∴△ABF和△CBE（SAS），∴AF=CE，∠BAF=∠BCE，∵∠BAC+∠BCE=90°，∴∠BAC+∠BAF=90°，∴∠CAF=90°，即；故答案為

；；(3)①當(dāng)點E在的延長線上時（2）中的兩個結(jié)論仍舊成立理由：由正方形得，，．∵，∴．即．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知．在和中，∴∴，．∴．即．②的長為．理由：∵，∴CE=AF，∵，，∴AC=5，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=．【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定，關(guān)鍵是要作協(xié)助線構(gòu)造全等的三角形，在正方形和三角形中協(xié)助線一般是垂線段，要牢記正方形的兩特性質(zhì)，即四邊相等，四個內(nèi)角都是90°．3．（湖南岳陽·八年級期末）在中，為銳角，點D為射線BC上一動點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．解答下列問題：(1)假如，①如圖1，當(dāng)點D在線段BC上時（與點B不重合），線段CF、BD之間的位置關(guān)系為；數(shù)量關(guān)系為；②如圖2，當(dāng)點D在線段BC的延長線上時，①中的結(jié)論是否仍舊成立，并說明理由；(2)如圖3，假如，點D在線段BC上運動（與點B不重合）．摸索究：當(dāng)時，（1）中的CF，BD之間的位置關(guān)系是否仍舊成立，并說明理由．【答案】(1)①，；②成立，理由見解析(2)成立，理由見解析【解析】【分析】（1）①依據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠BAC＝∠DAF＝90°，推出△DAB≌△FAC，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；②由正方形ADEF的性質(zhì)可推出△DAB≌△FAC，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CF＝BD，∠ACF＝∠ABD，依據(jù)余角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）過點A作AG⊥AC交CB或CB的延長線于點G，于是得到∠GAC＝90°，可推出∠ACB＝∠AGC，證得AC＝AG，依據(jù)（1）的結(jié)論于是得到結(jié)果．(1)解：（1）①，；理由：正方形ADEF中，AD＝AF，∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，在△DAB與△FAC中，∴△DAB≌△FAC（SAS），∴CF＝BD，∠B＝∠ACF，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠ACF＝∠B＝45°，∴∠ACB＋∠ACF＝90°，即CF⊥BD；故答案為：，；②成立．理由：在等腰直角中，，在正方形ADEF中，，，，在與中，，，又在等腰直角中，，，，；(2)解：成立．理由：過點A作，交CB的延長線于點G，如圖所示：，是等腰直角三角形，，，在正方形ADEF中，，，，在與中，，，．【點睛】本題考查了四邊形的綜合題，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，過點A作AG⊥AC交CB的延長線于點G構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．【考點四】正方形的無刻度作圖問題例題：（江西吉安·八年級期末）如圖所示的是由6個形態(tài)、大小完全相同的小長方形組成的大長方形網(wǎng)格（每個小長方形的寬都是1），小長方形的頂點稱為這個長方形網(wǎng)格的格點，請僅用無刻度的直尺在長方形網(wǎng)格中完成下列作圖．(1)在圖1中作一個斜邊為5的直角三角形；(2)在圖2中作一個面積為5的正方形；【答案】(1)見解析(2)見解析【解析】【分析】（1）依據(jù)題意可知AD=4，CD=3，依據(jù)勾股定理可求AC=5，AC即所求；（2）依據(jù)題意EF=FG=GH=HE=，所以四邊形EFGH是面積為5的正方形．(1)解：如圖1，AC為所求線段；由題意可知AD=4，CD=3，由勾股定理可得，∴線段AC即為所求；(2)解：如圖2，四邊形EFGH所求正方形；由題意可知AF=1，EF=2，依據(jù)勾股定理可得，同理FG=GH=HE=，∴四邊形EFGH是面積為5的正方形．【點睛】本題考查了作圖-困難作圖，駕馭勾股定理和正方形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（江蘇南京·八年級期末）已知正方形，是的中點，請僅用無刻度的直尺按下列要求畫圖．（保留畫圖痕跡，不寫畫法）(1)在圖①中，畫，垂足為；(2)在圖②中，畫，垂足為．【答案】(1)見解析(2)見解析【解析】【分析】（1）連接點P與正方形的對角線的交點，并延長交AB于一點，即為點Q；（2）連接BD，交AP于點F，連接CF并延長交AD于點E，連接BE交AP于一點即為點H．(1)解：如圖，即為所求．．(2)解：連接BD，交AP于點F，連接CF并延長交AD于點E，連接BE交AP于一點即為點H，∵四邊形ABCD是正方形，BD為對角線，∴∠ADB=∠CDB，AD=CD，∵DF=DF，∴△ADF≌△CDF，∴∠DAF=∠DCF，∵∠ADP=∠CDE=90°，∴△ADP≌△CDE，∴DE=DP，∴AE=DP，∵AB=AD，∠BAE=∠ADP=90°，∴△ABE≌△DAP，∴∠ABE=∠DAP，∵∠BAH+∠DAP=90°，∴∠ABE+∠BAH=90°，∴∠AHB=90°，即如圖，即為所求．．【點睛】此題考查了利用正方形的性質(zhì)作垂線，全等三角形的判定及性質(zhì)，熟記正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（江西·九年級期中）如圖所示的是正方形ABCD和，點E，B，C在同始終線上，且．請僅用無刻度的直尺按要求作圖（保留作圖痕跡）．（1）如圖1，P是CD的中點，作于點M．（2）如圖2，作．【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】【分析】（1）依據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)解答；（2）利用全等三角形的判定與性質(zhì)及平行四邊形的判定解答即可．【詳解】解：（1）如圖1，CM即為所求．連接AC，BD交于點O，則O為AC中點，∵P為CD中點，∴OP∥AD，連接PO并延長交AB于點Q，AQPD為矩形，，連接CQ并延長交AE于M，則△ABE≌△CBQ，∴∠E=∠1=∠2，∵∠E+∠3=90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠AMC=90°，∴CM⊥AE；（2）如圖2，CN即為所求，連接AC，BD交于O，連接EO并延長交AD延長線于點N，連接CN，易證△EOB≌△NOD，∴EB=ND，∴AN平行且相等，∴四邊形AECN為平行四邊形，∴CN∥AE．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)及平行四邊形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是敏捷運用這些性質(zhì)．3．（江西吉安·九年級期中）如圖所示，四邊形ABCD是正方形，是等邊三角形，請僅用無刻度的直尺分別按下列要求做圖（保留作圖痕跡）．（1）在圖1中，作CD的中點M．（2）在圖2中，在CD邊上作一點N，使．【答案】（1）作圖見解析；（2）作圖見解析【解析】【分析】（1）依據(jù)正方形的性質(zhì)作圖即可；（2）依據(jù)正方形的性質(zhì)的性質(zhì)作圖即可；【詳解】（1）連接AC，BD交于點F，連接EF并延長交DC于M，即點M時所求點；（2）在（1）的基礎(chǔ)上延長ME交AB于點H，連接HC，BM交于點P，連接FP，并延長交BC于點G，連接CF，MG交于點Q，連接PQ并延長交DC于點N，即可得到；【點睛】本題主要考查了利用正方