2025屆蘇州市蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末聯(lián)考試題含解析

2025屆蘇州市蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末聯(lián)考試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．水平放置的，用斜二測(cè)畫法作出的直觀圖是如圖所示的，其中，,則繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體的表面積為（）A． B． C． D．2．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若2Sn＝an+1﹣1（n∈N*），則首項(xiàng)a1為（）A．1 B．2 C．3 D．43．若直線與圓交于兩點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．4．某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)用支出與銷售額之間具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)下表數(shù)據(jù)（單位：百萬元)，由最小二乘法求得回歸直線方程為.現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有個(gè)數(shù)據(jù)看不清，請(qǐng)你推斷該數(shù)據(jù)值為（)345582834★5672A．65 B．60 C．55 D．505．甲箱子里裝有個(gè)白球和個(gè)紅球，乙箱子里裝有個(gè)白球和個(gè)紅球．從這兩個(gè)箱子里分別摸出一個(gè)球，設(shè)摸出的白球的個(gè)數(shù)為，摸出的紅球的個(gè)數(shù)為，則（）A．，且 B．，且C．，且 D．，且6．已知的三個(gè)內(nèi)角之比為，那么對(duì)應(yīng)的三邊之比等于（）A． B． C． D．7．若過點(diǎn)，的直線與直線平行，則的值為（）A．1 B．4 C．1或3 D．1或48．已知偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則滿足的的取值范圍是（）A． B．C． D．9．已知，若，則（）A． B． C． D．10．如圖，在矩形中，，,點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，且，則的最大值是()A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是.12．和2的等差中項(xiàng)的值是______.13．設(shè)，則函數(shù)是__________函數(shù)（奇偶性）.14．無窮等比數(shù)列的首項(xiàng)是某個(gè)正整數(shù)，公比為單位分?jǐn)?shù)（即形如：的分?jǐn)?shù)，為正整數(shù)），若該數(shù)列的各項(xiàng)和為3，則________.15．函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則的值是_____________.16．已知，，則______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．從社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少，本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為400萬元，由于該項(xiàng)建設(shè)對(duì)旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會(huì)比上年增加.(1)設(shè)年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為萬元，旅游業(yè)總收入為萬元，寫出的表達(dá)式；(2)至少經(jīng)過幾年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？18．已知數(shù)列前項(xiàng)和（），數(shù)列等差，且滿足，前9項(xiàng)和為153.（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求及使不等式對(duì)一切都成立的最小正整數(shù)的值；（3）設(shè)，問是否存在，使得成立？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.19．已知函數(shù).（1）用五點(diǎn)法作出函數(shù)在區(qū)間上的大致圖象（列表、描點(diǎn)、連線）；（2）若，，求的值.20．已知等差數(shù)列中，，，數(shù)列中，，其前項(xiàng)和滿足：．（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．21．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，，與交于點(diǎn)，，分別為，的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）求證：∥平面；（Ⅲ）求證：平面.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

先根據(jù)斜二測(cè)畫法的性質(zhì)求出原圖形,再分析繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體的表面積即可.【詳解】根據(jù)斜二測(cè)畫法的性質(zhì)可知,原是以為底,高為的等腰三角形.又.故為邊長(zhǎng)為2的正三角形.則繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體可看做兩個(gè)以底面半徑為,高為的圓錐組合而成.故表面積為.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了斜二測(cè)畫法還原幾何圖形與旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積求解.需要根據(jù)題意判斷出旋轉(zhuǎn)后的幾何體形狀再用公式求解.屬于中檔題.2、A【解析】

等比數(shù)列的公比設(shè)為，分別令，結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，解方程可得所求首項(xiàng).【詳解】等比數(shù)列的公比設(shè)為，由，令，可得，，兩式相減可得，即，又所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推式的運(yùn)用，等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3、A【解析】

由題意，得直線是線段的中垂線，則其必過圓的圓心，將圓心代入直線，即可得本題答案．【詳解】解：由題意，得直線是線段的中垂線，所以直線過圓的圓心，圓的圓心為，，解得.故選：A.【點(diǎn)睛】本題給出直線與圓相交，且兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于已知直線對(duì)稱，求參數(shù)的值．著重考查了直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

求出樣本中心點(diǎn)的坐標(biāo)，代入線性回歸方程求解．【詳解】設(shè)表中看不清的數(shù)據(jù)為，則，，代入，得，解得．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查線性回歸方程，明確線性回歸方程恒過樣本點(diǎn)的中心是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．5、D【解析】可取，；，，，，，故選D.6、D【解析】∵已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角之比為,∴有,再由,可得，故三內(nèi)角分別為.再由正弦定理可得三邊之比，故答案為點(diǎn)睛：本題考查正弦定理的應(yīng)用，結(jié)合三角形內(nèi)角和等于，很容易得出三個(gè)角的大小，利用正弦定理即出結(jié)果7、A【解析】

首先設(shè)一條與已知直線平行的直線，點(diǎn)，代入直線方程即可求出的值.【詳解】設(shè)與直線平行的直線：，點(diǎn)，代入直線方程，有.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了利用直線的平行關(guān)系求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.注意直線與直線在時(shí)相互平行.8、A【解析】

根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性分析可得，進(jìn)而結(jié)合單調(diào)性分析可得，解可得的取值范圍，即可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，為偶函數(shù)，則，

又由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

則，

解得：，

故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是得到關(guān)于的不等式．9、C【解析】

由，得，則，則.【考點(diǎn)定位】10、A【解析】

把線段最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，建立函數(shù)表達(dá)式，從而求得最值.【詳解】設(shè)，，，，，，，，，，的最大值是.故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，建立合適的函數(shù)關(guān)系式是解決此題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的分析能力及數(shù)學(xué)建模能力.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

，，是平面內(nèi)兩個(gè)相互垂直的單位向量，∴，∴，，，為與的夾角，∵是平面內(nèi)兩個(gè)相互垂直的單位向量∴，即，所以當(dāng)時(shí)，即與共線時(shí)，取得最大值為，故答案為.12、【解析】

根據(jù)等差中項(xiàng)性質(zhì)求解即可【詳解】設(shè)等差中項(xiàng)為，則，解得故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查等差中項(xiàng)的求解，屬于基礎(chǔ)題13、偶【解析】

利用誘導(dǎo)公式將函數(shù)的解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)，即可判斷出函數(shù)的奇偶性.【詳解】，因此，函數(shù)為偶函數(shù).故答案為：偶.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)奇偶性的判斷，解題的關(guān)鍵就是利用誘導(dǎo)公式對(duì)三角函數(shù)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)，考查分析問題和解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

利用無窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和，可求得，從而，利用首項(xiàng)是某個(gè)自然數(shù)，可求，進(jìn)而可求出.【詳解】無窮等比數(shù)列各項(xiàng)和為3，，是個(gè)自然數(shù)，則，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

利用同角三角函數(shù)平方關(guān)系，易將函數(shù)化為二次型的函數(shù)，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)，及函數(shù)在上的最大值為1，易求出的值．【詳解】函數(shù)又函數(shù)在上的最大值為1，≤0，又,且在上單調(diào)遞增，所以即．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三角函數(shù)的最值，其中利用同角三角函數(shù)平方關(guān)系，將函數(shù)化為二次型的函數(shù)，是解答本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．16、【解析】

利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得的值，利用二倍角的正切公式，求得，再利用兩角和的正切公式，求得的值，再結(jié)合的范圍，求得的值．【詳解】，，，，，，故答案：.【點(diǎn)睛】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和的正切公式，二倍角的正切公式，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)，；(2)至少經(jīng)過5年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入.【解析】

(1)利用等比數(shù)列求和公式可求出n年內(nèi)的旅游業(yè)總收入與n年內(nèi)的總投入；（2）設(shè)至少經(jīng)過年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入，可得－＞0，結(jié)合（1）可得，解得，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】(1)第1年投入為800萬元，第2年投入為800×(1－)萬元，…第n年投入為800×(1－)n－1萬元，所以，n年內(nèi)的總投入為=800+800×(1－)+…+800×(1－)n－1==4000×［1－()n］第1年旅游業(yè)收入為400萬元，第2年旅游業(yè)收入為400×(1+)，…，第n年旅游業(yè)收入400×(1+)n－1萬元.所以，n年內(nèi)的旅游業(yè)總收入為=400+400×(1+)+…+400×(1+)n－1==1600×［()n－1］(2)設(shè)至少經(jīng)過n年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入，由此－＞0，即：1600×［()n－1］－4000×［1－()n］＞0，令x=()n，代入上式得：5x2－7x+2＞0.解此不等式，得x＜，或x＞1(舍去).即()n＜，由此得n≥5.∴至少經(jīng)過5年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入.【點(diǎn)睛】本題主要考查閱讀能力及建模能力、等比數(shù)列的求和公式，屬于難題.與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合的題型也是高考命題的動(dòng)向，這類問題的特點(diǎn)是通過現(xiàn)實(shí)生活的事例考查書本知識(shí)，解決這類問題的關(guān)鍵是耐心讀題、仔細(xì)理解題，只有吃透題意，才能將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解答.18、（1），；（2），；（3）11.【解析】

（1）由數(shù)列的前項(xiàng)和結(jié)合求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再由，可得為等差數(shù)列，由已知求出公差，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案；（2）把數(shù)列，的通項(xiàng)公式代入，然后利用裂項(xiàng)相消法求和，可得使不等式對(duì)一切都成立的最小正整數(shù)的值；（3）分為偶數(shù)和奇數(shù)分類分析得答案．【詳解】解：（1）由．故當(dāng)時(shí)，．時(shí)，，而當(dāng)時(shí)，，，又，即，為等差數(shù)列，于是．而，故，，因此，，即；（2）．．易知單調(diào)遞增，由，得，而，故，；（3），①當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)．此時(shí)，，，．②當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為奇數(shù)．此時(shí)，．，（舍去）．綜上，存在唯一正整數(shù)，使得成立．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，考查數(shù)列的函數(shù)特性，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．19、（1）見解析；（2）.【解析】

（1）將分別取、、、、，求出對(duì)應(yīng)的值和的值，并列出表格，利用五點(diǎn)法可作出函數(shù)在區(qū)間上的大致圖象；（2）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出、、的值，代入計(jì)算即可.【詳解】（1）列表如下：作圖如下：（2）因?yàn)?，，所以，?所以.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)“五點(diǎn)法”作圖，同時(shí)也考查了利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求值，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.20、（1）（2）【解析】試題分析：(1)對(duì)于求得首項(xiàng)和公差即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，對(duì)于，利用遞推關(guān)系求解數(shù)列的通項(xiàng)公式即可；(2)利用數(shù)列的特點(diǎn)錯(cuò)位相減求解數(shù)列的前n項(xiàng)和即可.試題解析：(I)①②①-②得,為等比數(shù)列,(II)由兩式相減，得點(diǎn)睛：一般地，如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列{bn}的公比，然后作差求解．21、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析（Ⅲ）見解析【解析】

（I）通過證明平面來證得平面平面.（II）取中點(diǎn)，連接，通過證明四邊形為平行四邊形，證得，由此證得∥平面.（III）通過證明平面證得，通過計(jì)算證明證得，由此證得