2025屆東北三省四市教研聯(lián)合體高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測試題含解析

2025屆東北三省四市教研聯(lián)合體高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．如圖，有一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，汽車在點(diǎn)測得公路北側(cè)山頂?shù)难鼋菫?0°，汽車行駛后到達(dá)點(diǎn)測得山頂在北偏西30°方向上，且仰角為45°，則山的高度為（）A． B． C． D．2．已知向量a=(1，-1)，bA．-1 B．0 C．1 D．23．用數(shù)學(xué)歸納法證明n+1n+2?n+n=-2A．2k+1 B．22k+1 C．2k+1k+14．已知點(diǎn)在第二象限，角頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為軸的非負(fù)半軸，則角的終邊落在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．已知半圓C：（），A、B分別為半圓C與x軸的左、右交點(diǎn)，直線m過點(diǎn)B且與x軸垂直，點(diǎn)P在直線m上，縱坐標(biāo)為t，若在半圓C上存在點(diǎn)Q使，則t的取值范圍是（）A． B．C． D．6．下面一段程序執(zhí)行后的結(jié)果是（）A．6 B．4 C．8 D．107．已知兩點(diǎn)，，則（）A． B． C． D．8．如圖是一個(gè)正方體的平面展開圖，在這個(gè)正方體中①②③與為異面直線④以上四個(gè)命題中，正確的序號是（）A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④9．已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，且在區(qū)間上恰好取得一次最大值為2，則的取值范圍是（）A． B． C． D．10．如果，并且，那么下列不等式中不一定成立的是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知直線與圓交于兩點(diǎn)，若，則____.12．把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，所得圖象正好關(guān)于原點(diǎn)對稱，則的最小值為________.13．三棱錐P﹣ABC的底面ABC是等腰三角形，AC＝BC＝2，AB＝2，側(cè)面PAB是等邊三角形且與底面ABC垂直，則該三棱錐的外接球表面積為_____．14．已知，則__________.15．不等式的解集為________.16．若直線y＝x＋m與曲線x＝恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，是邊長為2的正三角形.若，平面，平面平面，，且.（1）求證：平面；（2）求證：平面平面.18．已知數(shù)列前n項(xiàng)和滿足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．19．假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和支出的維修費(fèi)y(萬元)有如下表的統(tǒng)計(jì)資料(1)畫出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，并判斷y與x是否呈線性相關(guān)關(guān)系(2)若y與x呈線性相關(guān)關(guān)系，求線性回歸方程的回歸系數(shù)，(3)估計(jì)使用年限為10年時(shí)，維修費(fèi)用是多少?參考公式及相關(guān)數(shù)據(jù):20．某校研究性學(xué)習(xí)小組從汽車市場上隨機(jī)抽取輛純電動汽車調(diào)查其續(xù)駛里程(單次充電后能行駛的最大里程),被調(diào)查汽車的續(xù)駛里程全部介于公里和公里之間,將統(tǒng)計(jì)結(jié)果分成組:,,,,,繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求直方圖中的值;（2）求輛純電動汽車?yán)m(xù)駛里程的中位數(shù);（3）若從續(xù)駛里程在的車輛中隨機(jī)抽取輛車,求其中恰有一輛車的續(xù)駛里程為的概率.21．已知函數(shù).（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）若在區(qū)間上的最大值為，求的最小值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

通過題意可知：，設(shè)山的高度，分別在中求出，最后在中，利用余弦定理，列出方程，解方程求出的值.【詳解】由題意可知：.在中，.在中，.在中，由余弦定理可得：（舍去），故本題選D.【點(diǎn)睛】本題考查了余弦定理的應(yīng)用，弄清題目中各個(gè)角的含義是解題的關(guān)鍵.2、C【解析】

由向量的坐標(biāo)運(yùn)算表示2a【詳解】解：因?yàn)閍=(1,-1)，b=(-1,2故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了向量的加法和數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算；屬于基礎(chǔ)題目．3、B【解析】

要分清起止項(xiàng)，以及相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系，由此即可分清增加的代數(shù)式?！驹斀狻慨?dāng)n=k時(shí)，左邊=k+1當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊====k+1∴從k到k+1，左邊需要增乘的代數(shù)式為22k+1【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生如何理解數(shù)學(xué)歸納法中的遞推關(guān)系。4、C【解析】

根據(jù)點(diǎn)的位置，得到不等式組，進(jìn)行判斷角的終邊落在的位置．【詳解】點(diǎn)在第二象限在第三象限，故本題選C．【點(diǎn)睛】本題考查了通過角的正弦值和正切值的正負(fù)性，判斷角的終邊位置，利用三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．5、A【解析】

根據(jù)題意，設(shè)PQ與x軸交于點(diǎn)T，分析可得在Rt△PBT中，|BT||PB||t|，分p在x軸上方、下方和x軸上三種情況討論，分析|BT|的最值，即可得t的范圍，綜合可得答案．【詳解】根據(jù)題意，設(shè)PQ與x軸交于點(diǎn)T，則|PB|＝|t|，由于BP與x軸垂直，且∠BPQ，則在Rt△PBT中，|BT||PB||t|，當(dāng)P在x軸上方時(shí)，PT與半圓有公共點(diǎn)Q，PT與半圓相切時(shí)，|BT|有最大值3，此時(shí)t有最大值，當(dāng)P在x軸下方時(shí)，當(dāng)Q與A重合時(shí)，|BT|有最大值2，|t|有最大值，則t取得最小值，t＝0時(shí)，P與B重合，不符合題意，則t的取值范圍為[，0）]；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓方程的應(yīng)用，涉及直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．6、A【解析】

根據(jù)題中的程序語句，直接按照順序結(jié)構(gòu)的功能即可求出?！驹斀狻坑深}意可得：，，，所以輸出為6，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查順序結(jié)構(gòu)的程序框圖的理解，理解語句的含義是解題關(guān)鍵。7、C【解析】

直接利用兩點(diǎn)間距離公式求解即可．【詳解】因?yàn)閮牲c(diǎn)，，則，故選．【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的模，兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用．8、D【解析】

作出直觀圖,根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行判斷.【詳解】作出正方體得到直觀圖如圖所示:由直觀圖可知,與為互相垂直的異面直線,故①不正確;,故②正確;與為異面直線,故③正確;由正方體性質(zhì)可知平面,故,故④正確.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了正方體的結(jié)構(gòu)特征,直線,平面的平行于垂直,屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

化簡函數(shù)為正弦型函數(shù)，根據(jù)題意，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求得的取值范圍.【詳解】解：函數(shù)則函數(shù)在上是含原點(diǎn)的遞增區(qū)間；又因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增，則，得不等式組又因?yàn)?，所以解?又因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上恰好取得一次最大值為2，可得，所以，綜上所述，可得.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)應(yīng)用問題，也考查了三角函數(shù)的靈活應(yīng)用，屬于中檔題.10、D【解析】

不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號的方向改變，可判定A的真假；a>b，-1>-2，根據(jù)同向不等式可以相加，可判定B的真假；根據(jù)a-b>0則b-a<0，進(jìn)行判定C的真假；a的符號不確定，從而選項(xiàng)D不一定成立，從而得到結(jié)論．【詳解】∵a，b∈R，并且a>b，∴?a<?b，故A一定正確；a>b，?1>?2，根據(jù)同向不等式可以相加得，a?1>b?2，故B一定正確；a?b>0則b?a<0，所以a?b>b?a，故C一定正確；不等式兩邊乘(或除以)同一個(gè)正數(shù),不等號的方向不變,不等式兩邊乘(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號的方向改變，而a的符號不確定，故D不一定正確.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用不等式的性質(zhì)判斷不等關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式與圓的垂徑定理求解.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離：，由得，解得.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的應(yīng)用.此題也可聯(lián)立圓與直線方程，消元后用弦長公式求解.12、【解析】

根據(jù)條件先求出平移后的函數(shù)表達(dá)式為，令即可得解.【詳解】由題意可得平移后的函數(shù)表達(dá)式為，圖象正好關(guān)于原點(diǎn)對稱，即，又，的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的平移以及三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.13、【解析】

求出的外接圓半徑，的外接圓半徑，求出外接球的半徑，即可求出該三棱錐的外接球的表面積．【詳解】由題意，設(shè)的外心為，的外心為，則的外接圓半徑，在中，因?yàn)?，由余弦定理可得，所以，所以的外接圓半徑，在等邊中，由，所以，所以，設(shè)球心為，球的半徑為，則，又由面，面，則，所以該三棱錐的外接球的表面積為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三棱錐的外接球的表面積的求解，其中解答中熟練應(yīng)用空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，確定球的半徑是解答的關(guān)鍵，著重考查了空間想象能力，以及推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題．14、【解析】

對已知等式的左右兩邊同時(shí)平方，利用同角的三角函數(shù)關(guān)系式和二倍角的正弦公式，可以求出的值，再利用二倍角的余弦公式可以求出.【詳解】因?yàn)?，所以，即，所?【點(diǎn)睛】本題考查了同角的三角函數(shù)關(guān)系，考查了二倍角的正弦公式和余弦公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.15、【解析】

將三階矩陣化為普通運(yùn)算，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出不等式的解集.【詳解】不等式化為，整理得，，，即，，即不等式的解集為故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了其他不等式的解法，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，以及三階矩陣，是一道中檔題.16、{m|－1＜m≤1或m＝－}【解析】

由x=，化簡得x2+y2=1，注意到x≥0，所以這個(gè)曲線應(yīng)該是半徑為1，圓心是（0，0）的半圓，且其圖象只在一、四象限．畫出圖象，這樣因?yàn)橹本€與其只有一個(gè)交點(diǎn)，由此能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．【詳解】由x=，化簡得x2+y2=1，注意到x≥0，所以這個(gè)曲線應(yīng)該是半徑為1，圓心是（0，0）的半圓，且其圖象只在一、四象限．畫出圖象，這樣因?yàn)橹本€與其只有一個(gè)交點(diǎn)，從圖上看出其三個(gè)極端情況分別是：①直線在第四象限與曲線相切，②交曲線于（0，﹣1）和另一個(gè)點(diǎn)，③與曲線交于點(diǎn)（0，1）．直線在第四象限與曲線相切時(shí)解得m=﹣，當(dāng)直線y=x+m經(jīng)過點(diǎn)（0，1）時(shí)，m=1．當(dāng)直線y=x+m經(jīng)過點(diǎn)（0，﹣1）時(shí)，m=﹣1，所以此時(shí)﹣1＜m≤1．綜上滿足只有一個(gè)公共點(diǎn)的實(shí)數(shù)m的取值范圍是：﹣1＜m≤1或m=﹣．故答案為：{m|－1＜m≤1或m＝－}．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意數(shù)形結(jié)合思想的合理運(yùn)用．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）見解析【解析】

（1）取的中點(diǎn)，連接，由平面平面，得平面，再證即可證明（2）證明平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理從而進(jìn)行證明．【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，且?所以，.又因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?，又平面，所以又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）連接，由（1）知，又，，所以四邊形是平行四邊形，所以.又是正三角形，為的中點(diǎn)，∴，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，所以平?又平面，所以.因?yàn)?，，所以平?因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行的證明，線面垂直，面面垂直的判定定理，考查空間想象和推理能力，熟記定理是關(guān)鍵，是一道中檔題．18、（1）（2）【解析】

（1）利用當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即可求解（2）由裂項(xiàng)相消求解即可【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．所以可得.（2）由題意知，可設(shè)則.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，考查裂項(xiàng)相消求和，注意相消時(shí)提出系數(shù)和剩余項(xiàng)數(shù)，是中檔題19、（1）見解析；（2），；（3）12.38萬元【解析】

（1）在坐標(biāo)系中畫出5個(gè)離散的點(diǎn)；（2）利用最小二乘法求出，再利用回歸直線過散點(diǎn)圖的中心，求出；（3）將代入（2）中的回歸直線方程，求得.【詳解】（1）散點(diǎn)圖如下：所以從散點(diǎn)圖年，它們具有線性相關(guān)關(guān)系.（2），，于是有，.（3）回歸直線方程是當(dāng)時(shí)，（萬元），即估計(jì)使用年限為10年時(shí)，維修費(fèi)用是萬元.【點(diǎn)睛】本題考查散點(diǎn)圖的作法、最小二乘法求回歸直線方程及利用回歸直線預(yù)報(bào)當(dāng)時(shí)，的值，考查數(shù)據(jù)處理能力.20、（1）（2）（3）【解析】

（1）利用小矩形的面積和為,求得值,即可求得答案;（2）中位數(shù)的計(jì)算方法為:把頻率分布直方圖分成兩個(gè)面積相等部分的平行于軸的直線橫坐標(biāo),即可求得答案;（3）據(jù)直方圖求出續(xù)駛里程在和續(xù)駛里程在的車輛數(shù),利用排列組合和概率公式求出其中恰有一輛車的續(xù)駛里程在的概率,即可求得答案.【詳解】（1）由直方圖可得:（2）根據(jù)中位數(shù)的計(jì)算方法為:把頻率分布直方圖分成兩個(gè)面積相等部分的平行于軸的直線橫坐標(biāo).直方圖可得:可得:輛純電動汽車?yán)m(xù)駛里程的中位數(shù).（3）續(xù)駛里程在的車輛數(shù)為:續(xù)駛里程在第五組的車輛數(shù)為.從輛車中隨機(jī)抽取輛車,共有中抽法，其中恰有一輛車的續(xù)駛里程在的抽法有種，其中恰有一輛車的續(xù)駛里程在的概率為.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)條型統(tǒng)