2025屆杭州市高級中學(xué) 高一下數(shù)學(xué)期末達(dá)標(biāo)檢測試題含解析

2025屆杭州市高級中學(xué)高一下數(shù)學(xué)期末達(dá)標(biāo)檢測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知a,,若關(guān)于x的不等式的解集為,則()A． B． C． D．2．將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個單位，得到一個偶函數(shù)的圖象，則的一個可能取值為（）A． B． C． D．3．已知等比數(shù)列的前項和為，則下列一定成立的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則4．在中，，點是內(nèi)（包括邊界）的一動點，且，則的最大值是（）A． B． C． D．5．在學(xué)習(xí)等差數(shù)列時，我們由，，，，得到等差數(shù)列的通項公式是，象這樣由特殊到一般的推理方法叫做（）A．不完全歸納法 B．?dāng)?shù)學(xué)歸納法 C．綜合法 D．分析法6．已知向量，，若，則（）A． B． C． D．7．等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則（）A．3 B．6 C．9 D．818．的內(nèi)角的對邊分別為，分別根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（）A．B．C．D．9．一個球自高為米的地方自由下落，每次著地后回彈高度為原來的，到球停在地面上為止，球經(jīng)過的路程總和為（）米A． B． C． D．10．式子的值為（）A． B．0 C．1 D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．平面四邊形中,,則=_______.12．在數(shù)列中，，則______________.13．已知，，是與的等比中項，則最小值為_________．14．已知角的頂點在坐標(biāo)原點，始邊與軸正半軸重合，終邊經(jīng)過點，則______.15．已知直線l與圓C：交于A，B兩點，，則滿足條件的一條直線l的方程為______.16．竹簡于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典著，其中記載有求“囷蓋”的術(shù)：“置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一”.該術(shù)相當(dāng)于給出圓錐的底面周長與高，計算其體積的近似公式為.該結(jié)論實際上是將圓錐體積公式中的圓周率取近似值得到的.則根據(jù)你所學(xué)知識，該公式中取的近似值為______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)，且的解集為.（1）求函數(shù)的解析式；（2）解關(guān)于的不等式，；（3）設(shè)，若對于任意的都有，求的最小值.18．已知數(shù)列，，滿足，，，.（1）設(shè)，求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列，的前n項和.19．已知拋物線的焦點為，過的直線交軸正半軸于點，交拋物線于兩點，其中點在第一象限.（Ⅰ）求證：以線段為直徑的圓與軸相切；（Ⅱ）若,,，求的取值范圍.20．已知直線l過點（1，3），且在y軸上的截距為1．

（1）求直線l的方程；

（2）若直線l與圓C：（x-a）2+（y+a）2=5相切，求實數(shù)a的值．21．某菜農(nóng)有兩段總長度為米的籬笆及，現(xiàn)打算用它們和兩面成直角的墻、圍成一個如圖所示的四邊形菜園（假設(shè)、這兩面墻都足夠長）已知（米），，，設(shè)，四邊形的面積為.（1）將表示為的函數(shù)，并寫出自變量的取值范圍；（2）求出的最大值，并指出此時所對應(yīng)的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

由不等式的解集為R，得的圖象要開口向上，且判別式，即可得到本題答案.【詳解】由不等式的解集為R，得函數(shù)的圖象要滿足開口向上，且與x軸至多有一個交點，即判別式.故選：D【點睛】本題主要考查一元二次不等式恒成立問題.2、B【解析】

利用函數(shù)y＝Asin（ωx+）的圖象變換可得函數(shù)平移后的解析式，利用其為偶函數(shù)即可求得答案．【詳解】令y＝f（x）＝sin（2x+），則f（x）＝sin[2（x）+]＝sin（2x），∵f（x）為偶函數(shù)，∴＝kπ，∴＝kπ，k∈Z，∴當(dāng)k＝0時，．故的一個可能的值為．故選：B．【點睛】本題考查函數(shù)y＝Asin（ωx+）的圖象變換，考查三角函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，屬于中檔題．3、C【解析】

設(shè)等比數(shù)列的公比為q，利用通項公式與求和公式即可判斷出結(jié)論．【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，若，則，則，而與0的大小關(guān)系不確定.若，則，則與同號，則與0的大小關(guān)系不確定.故選：C【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式與求和公式及其性質(zhì)、不等式的性質(zhì)與解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．4、B【解析】

根據(jù)分析得出點的軌跡為線段，結(jié)合圖形即可得到的最大值.【詳解】如圖：取，，，點是內(nèi)（包括邊界）的一動點，且，根據(jù)平行四邊形法則，點的軌跡為線段，則的最大值是，在中，，，，，故選：B【點睛】此題考查利用向量方法解決平面幾何中的線段長度最值問題，數(shù)形結(jié)合處理可以避免純粹的計算，降低難度.5、A【解析】

根據(jù)題干中的推理由特殊到一般的推理屬于歸納推理，但又不是數(shù)學(xué)歸納法，從而可得出結(jié)果.【詳解】本題由前三項的規(guī)律猜想出一般項的特點屬于歸納法，但本題并不是數(shù)學(xué)歸納法，因此，本題中的推理方法是不完全歸納法，故選：A.【點睛】本題考查歸納法的特點，判斷時要區(qū)別數(shù)學(xué)歸納法與不完全歸納法，考查對概念的理解，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

∵，∴.∴，即，∴,，故選B.【考點定位】向量的坐標(biāo)運(yùn)算7、A【解析】

利用等比數(shù)列性質(zhì)可求得，將所求式子利用對數(shù)運(yùn)算法則和等比數(shù)列性質(zhì)可化為，代入求得結(jié)果.【詳解】且本題正確選項：【點睛】本題考查等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是靈活利用等比中項的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

運(yùn)用正弦定理公式，可以求出另一邊的對角正弦值，最后還要根據(jù)三角形的特點：“大角對大邊”進(jìn)行合理排除.【詳解】A.,由所以不存在這樣的三角形.B.,由且所以只有一個角BC.中，同理也只有一個三角形.D.中此時，所以出現(xiàn)兩個角符合題意，即存在兩個三角形.所以選擇D【點睛】在直接用正弦定理求另外一角中，求出后，記得一定要去判斷是否會出現(xiàn)兩個角.9、D【解析】

設(shè)球第次到第次著地這一過程中球經(jīng)過的路程為米，可知數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，由此可得出球經(jīng)過的路程總和為米.【詳解】設(shè)球第次到第次著地這一過程中球經(jīng)過的路程為米，則，由題意可知，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，因此，球經(jīng)過的路程總和米.故選:D.【點睛】本題考查等比數(shù)列的實際應(yīng)用，涉及到無窮等比數(shù)列求和問題，考查計算能力，屬于中等題.10、B【解析】

根據(jù)兩角和的余弦公式，得到原式，即可求解，得到答案.【詳解】由兩角和的余弦公式，可得，故選B.【點睛】本題主要考查了兩角和的余弦公式的化簡求值，其中解答中熟記兩角和的余弦公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

先求出，再求出，再利用余弦定理求出AD得解.【詳解】依題意得中，，故．在中，由正弦定理可知，，得．在中，因為，故．則．在中，由余弦定理可知，，即．得．【點睛】本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于中檔題.12、20【解析】

首先根據(jù)已知得到：是等差數(shù)列，公差，再計算即可.【詳解】因為，所以數(shù)列是等差數(shù)列，公差..故答案為：【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的判斷和等差數(shù)列項的求法，屬于簡單題.13、1【解析】

根據(jù)等比中項定義得出的關(guān)系，然后用“1”的代換轉(zhuǎn)化為可用基本不等式求最小值．【詳解】由題意，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．所以最小值為1．故答案為：1．【點睛】本題考查等比中項的定義，考查用基本不等式求最值．解題關(guān)鍵是用“1”的代換找到定值，從而可用基本不等式求最值．14、【解析】

利用三角函數(shù)的定義可求出的值.【詳解】由三角函數(shù)的定義可得，故答案為.【點睛】本題考查利用三角函數(shù)的定義求余弦值，解題的關(guān)鍵就是三角函數(shù)定義的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.15、（答案不唯一）【解析】

確定圓心到直線的距離，即可求直線的方程.【詳解】由題意得圓心坐標(biāo)，半徑，，∴圓心到直線的距離為，∴滿足條件的一條直線的方程為.故答案為：（答案不唯一）.【點睛】本題考查直線和圓的方程的應(yīng)用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題.16、3【解析】

首先求出圓錐體的體積，然后與近似公式對比，即可求出公式中取的近似值.【詳解】由題知圓錐體的體積，因為圓錐的底面周長為，所以圓錐的底面面積，所以圓錐體的體積，根據(jù)題意與近似公式對比發(fā)現(xiàn)，公式中取的近似值為.故答案為：.【點睛】本題考查了圓錐體的體積公式，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）答案不唯一，具體見解析（3）1【解析】

（1）根據(jù)韋達(dá)定理即可。（2）分別對三種情況進(jìn)行討論。（3）帶入，分別對時三種情況討論。【詳解】（1）的解集為可得1，2是方程的兩根，則，（2）時，時，時，（3），為上的奇函數(shù)當(dāng)時，當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且時，，在時，取得最大值，即；當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，且時，，在時，取得最小值，即；對于任意的都有則等價于或（）則的最小值為1【點睛】本題主要考查了含參數(shù)的一元二次不等式，以及絕對值不等式，在解決含參數(shù)的不等式時首先要對參數(shù)進(jìn)行討論。本題屬于難題。18、（1）（2）【解析】

（1）由數(shù)列的遞推公式得到和的關(guān)系式，進(jìn)而推導(dǎo)出滿足的關(guān)系式，進(jìn)而求得數(shù)列的通項公式；（2）的通項公式是由等差數(shù)列的項乘以等比數(shù)列的項，利用乘公比錯位相減法，即可求解數(shù)列的前n項和.【詳解】（1）由題意，知，則，即，又由，所以，所以，所以，，，，.（2）由（1）知：，，，兩式相減得：.【點睛】本題主要考查數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用、以及“錯位相減法”求和，此類題目是數(shù)列問題中的常見題型，解答中確定通項公式是基礎(chǔ)，準(zhǔn)確計算求和是關(guān)鍵，易錯點是在“錯位”之后求和時，弄錯等比數(shù)列的項數(shù)，能較好的考查考生的邏輯思維能力及基本計算能力等.19、（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.【解析】

試題分析：（Ⅰ）題意實質(zhì)上證明線段的中點到軸的距離等于線段長的一半，根據(jù)拋物線的定義設(shè)可證得；（Ⅱ）同樣設(shè)，，把已知,用坐標(biāo)表示出來，消去坐標(biāo)及，得出與的關(guān)系，此時就可得出的取值范圍．試題解析：（Ⅰ）由已知,設(shè)，則，圓心坐標(biāo)為，圓心到軸的距離為，圓的半徑為，所以，以線段為直徑的圓與軸相切．（Ⅱ）解法一：設(shè)，由,,得，，所以，，由，得．又，，所以．代入，得，，整理得，代入，得，所以，因為，所以的取值范圍是．解法二：設(shè)，，將代入，得，所以（*），由，，得，，所以，，，將代入（*）式，得，所以，．代入，得．因為，所以的取值范圍是．考點：拋物線的定義，拋物線的焦點弦問題．20、（1）y=2x+1；（2）a=-2或【解析】

（1）求得直線的斜率，再由點斜式方程可得所求直線方程；（2）運(yùn)用直線和圓相切的條件，即圓心到直線的距離等于半徑，解方程可得所求值．【詳解】（1）直線l過點（1，3），且在y軸上的截距為1，可得直線l的斜率為=2，則直線l的方程為y3=2（x1），即y=2x+1；

（2）若直線l與圓C：（xa）2+（y+a）2=5相切，

可得圓心（a，a）到直線l的距離為，即有

=，解得a=2或．【點睛】本題考查直線方程和圓方程的運(yùn)用，考查直線和圓相切的條件，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．21、（1），其中；（2）當(dāng)時，取得最大值.【解