青島第二中學(xué)2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

青島第二中學(xué)2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．七巧板是我國(guó)古代勞動(dòng)人民發(fā)明的一種智力玩具，由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成.如圖是一個(gè)用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率為（）A． B． C． D．2．已知數(shù)列（，）具有性質(zhì)：對(duì)任意、（），與兩數(shù)中至少有一個(gè)是該數(shù)列中的一項(xiàng)，對(duì)于命題：①若數(shù)列具有性質(zhì)，則；②若數(shù)列，，（）具有性質(zhì)，則；下列判斷正確的是（）A．①和②均為真命題 B．①和②均為假命題C．①為真命題，②為假命題 D．①為假命題，②為真命題3．如圖，一船自西向東勻速航行，上午10時(shí)到達(dá)一座燈塔P的南偏西75°距塔64海里的M處，下午2時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處，則這只船的航行速度為（）海里/小時(shí)．A． B．C． D．4．已知冪函數(shù)過(guò)點(diǎn)，則的值為()A． B．1 C．3 D．65．下面四個(gè)命題：①“直線a∥直線b”的充要條件是“a平行于b所在的平面”；②“直線l⊥平面α內(nèi)所有直線”的充要條件是“l(fā)⊥平面α”；③“直線a、b為異面直線”的必要不充分條件是“直線a、b不相交”；④“平面α∥平面β”的充分不必要條件是“α內(nèi)存在不共線的三點(diǎn)到β的距離相等”；其中正確命題的序號(hào)是()A．①② B．②③ C．③④ D．②④6．甲、乙兩個(gè)不透明的袋中各有5個(gè)僅顏色不同的球，其中甲袋中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球，乙袋中有2個(gè)紅球，3個(gè)白球，現(xiàn)從兩袋中各隨機(jī)取一球，則兩球不同顏色的概率為（）A． B． C． D．7．執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的n是4，則輸出的P是A．8 B．5 C．3 D．28．已知兩個(gè)變量x，y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，試驗(yàn)測(cè)得(x，y)的四組值分別為(1,2)，(2,4)，(3,5)，(4,7)，則y與x之間的回歸直線方程為()A．y＝0.8x＋3 B．y＝－1.2x＋7.5C．y＝1.6x＋0.5 D．y＝1.3x＋1.29．已知，則三個(gè)數(shù)、、由小到大的順序是（）A． B．C． D．10．若關(guān)于的不等式的解集為，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．?dāng)?shù)列滿足，則的前60項(xiàng)和為_____．12．已知數(shù)列滿足，則__________.13．在中，若，則等于__________.14．設(shè)，且，則的取值范圍是______.15．函數(shù)，的圖象與直線y=k有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍是_____.16．定義在上的函數(shù)，對(duì)任意的正整數(shù)，都有，且，若對(duì)任意的正整數(shù)，有，則___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．解關(guān)于x的不等式18．已知為平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)，表示的面積（1）若求；（2）若，，，證明:；（3）若，，，其中，且坐標(biāo)原點(diǎn)恰好為的重心，判斷是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.19．已知向量，，，設(shè)函數(shù)．（1）求的最小正周期；（2）求在上的最大值和最小值．20．如圖，在三棱錐中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，，．求證：⑴平面；⑵．21．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，．（1）求角的大??；（2）若，的面積為，求及的值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，計(jì)算出陰影部分區(qū)域的面積和正方形區(qū)域的面積，然后利用幾何概型的概率公式計(jì)算出所求事件的概率.【詳解】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則陰影部分由三個(gè)小等腰直角三角形構(gòu)成，則正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為，則等腰直角三角形的邊長(zhǎng)為，對(duì)應(yīng)每個(gè)小等腰三角形的面積，則陰影部分的面積之和為，正方形的面積為，若在此正方形中任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查面積型幾何概型概率公式計(jì)算事件的概率，解題的關(guān)鍵在于計(jì)算出所求事件對(duì)應(yīng)區(qū)域的面積和總區(qū)域的面積，考查計(jì)算能力，屬于中等題.2、A【解析】

本題是一種重新定義問(wèn)題，要我們理解題目中所給的條件，解決后面的問(wèn)題，把后面的問(wèn)題挨個(gè)驗(yàn)證．【詳解】解：①若數(shù)列具有性質(zhì)，取數(shù)列中最大項(xiàng)，則與兩數(shù)中至少有一個(gè)是該數(shù)列中的一項(xiàng)，而不是該數(shù)列中的項(xiàng)，是該數(shù)列中的項(xiàng)，又由，；故①正確；②數(shù)列，，具有性質(zhì)，，與至少有一個(gè)是該數(shù)列中的一項(xiàng)，且，若是該數(shù)列中的一項(xiàng)，則，，易知不是該數(shù)列的項(xiàng)，．若是該數(shù)列中的一項(xiàng)，則或或，a、若同，b、若，則，與矛盾，c、，則，綜上．故②正確．故選：．【點(diǎn)睛】考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，此題能很好的考查學(xué)生的應(yīng)用知識(shí)分析、解決問(wèn)題的能力，側(cè)重于對(duì)能力的考查，屬中檔題．3、C【解析】

先求出的值，再根據(jù)正弦定理求出的值，從而求得船的航行速度.【詳解】由題意，在中，由正弦定理得，得所以船的航行速度為（海里/小時(shí)）故選C項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理解三角形，屬于簡(jiǎn)單題.4、C【解析】

設(shè)，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，求得，然后再求函數(shù)值．【詳解】設(shè)，由題意，，即，∴．故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查冪函數(shù)的解析式，屬于基礎(chǔ)題．5、B【解析】

逐項(xiàng)分析見(jiàn)詳解.【詳解】①“a平行于b所在的平面”不能推出“直線a∥直線b”，如：正方體上底面一條對(duì)角線平行于下底面，但上底面的一條對(duì)角線卻不平行于下底面非對(duì)應(yīng)位置的另一條對(duì)角線，故錯(cuò)誤；②“直線l⊥平面α內(nèi)所有直線”是“l(fā)⊥平面α”的定義，故正確；③“直線a、b不相交”不能推出“直線a、b為異面直線”，這里可能平行；“直線a、b為異面直線”可以推出“直線a、b不相交”，所以是必要不充分條件，故正確；④“α內(nèi)存在不共線的三點(diǎn)到β的距離相等”不能推出“平面α∥平面β”，這里包含了平面相交的情況，“平面α∥平面β”能推出“α內(nèi)存在不共線的三點(diǎn)到β的距離相等”，所以是必要不充分條件，故錯(cuò)誤.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查空間中平行與垂直關(guān)系的判斷，難度一般.對(duì)可以利用判定定理和性質(zhì)定理直接分析的問(wèn)題，可直接判斷；若無(wú)法直接判斷的問(wèn)題可采用作圖法或者排除法判斷.6、D【解析】

現(xiàn)從兩袋中各隨機(jī)取一球，基本事件總數(shù)，兩球不同顏色包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出兩球不同顏色的概率．【詳解】甲、乙兩個(gè)不透明的袋中各有5個(gè)僅顏色不同的球，其中甲袋中有3個(gè)紅球、2個(gè)白球，乙袋中有2個(gè)紅球、3個(gè)白球，現(xiàn)從兩袋中各隨機(jī)取一球，基本事件總數(shù)，兩球不同顏色包含的基本事件個(gè)數(shù)，則兩球不同顏色的概率為．故選．【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查古典概型等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．7、C【解析】試題分析：k=1，滿足條件k＜4，則執(zhí)行循環(huán)體，p=0+1=1，s=1，t=1k=2，滿足條件k＜4，則執(zhí)行循環(huán)體，p=1+1=2，s=1，t=2k=3，滿足條件k＜4，則執(zhí)行循環(huán)體，p=1+2=3，s=2，t=3k=4，不滿足條件k＜4，則退出執(zhí)行循環(huán)體，此時(shí)p=3考點(diǎn)：程序框圖8、C【解析】試題分析：設(shè)樣本中線點(diǎn)為，其中，即樣本中心點(diǎn)為，因?yàn)榛貧w直線必過(guò)樣本中心點(diǎn)，將代入四個(gè)選項(xiàng)只有B,C成立，畫出散點(diǎn)圖分析可知兩個(gè)變量x，y之間正相關(guān)，故C正確．考點(diǎn)：回歸直線方程9、C【解析】

比較三個(gè)數(shù)、、與的大小關(guān)系，再利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出、的大小，可得出這三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系.【詳解】，，，，且，函數(shù)為減函數(shù)，所以，，即，，因此，，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)冪的大小關(guān)系，常用的方法有如下幾種：（1）底數(shù)相同，指數(shù)不同，利用同底數(shù)的指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)比較大小；（2）指數(shù)相同，底數(shù)不同，利用同指數(shù)的冪函數(shù)的單調(diào)性來(lái)比較大小；（3）底數(shù)和指數(shù)都不相同時(shí)，可以利用中間值法來(lái)比較大小.10、C【解析】

根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)列不等式，根據(jù)一元二次不等式恒成立時(shí)，判別式和開口方向的要求列不等式組，解不等式組求得的取值范圍.【詳解】由得，即恒成立，由于時(shí)，在上不恒成立，故，解得.故選：C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查一元二次不等式恒成立的條件，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1830【解析】

由題意可得，，，，，，…，，變形可得，，，，，，，，…，利用數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征，求出的前60項(xiàng)和．【詳解】解：，∴，，，，，，…，，∴，，，，，，，，…，從第一項(xiàng)開始，依次取2個(gè)相鄰奇數(shù)項(xiàng)的和都等于2，從第二項(xiàng)開始，依次取2個(gè)相鄰偶數(shù)項(xiàng)的和構(gòu)成以8為首項(xiàng)，以16為公差的等差數(shù)列，的前60項(xiàng)和為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查遞推公式的應(yīng)用，考查利用構(gòu)造等差數(shù)列求數(shù)列的前項(xiàng)和，屬于中檔題．12、【解析】

數(shù)列為以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列?！驹斀狻恳?yàn)樗杂炙詳?shù)列為以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列。所以所以故填【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列，屬于基礎(chǔ)題。13、；【解析】

由條件利用三角形內(nèi)角和公式求得，再利用正弦定理即可求解.【詳解】在中，，，，即，，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理解三角形，需熟記定理的內(nèi)容，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

通過(guò)可求得x的取值范圍，接著利用反正弦函數(shù)的定義可得的取值范圍.【詳解】，，即.由反正弦函數(shù)的定義可得，即的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦函數(shù)的定義域和值域，反正弦函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

作出其圖像，可只有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)k的范圍為.故答案為16、【解析】

根據(jù)條件求出的表達(dá)式，利用等比數(shù)列的定義即可證明為等比數(shù)列，即可求出通項(xiàng)公式．【詳解】令，得，則，，令，得，則，，令，得，即，則，即所以，數(shù)列是等比數(shù)列，公比，首項(xiàng)．所以，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的判斷和證明，綜合性較強(qiáng)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于難題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、見(jiàn)解析.【解析】試題分析：（1）討論的取值，分為，兩種情形，求出對(duì)應(yīng)不等式的解集即可.試題解析：當(dāng)a=0時(shí)，原不等式化為x+10，解得;當(dāng)時(shí)，原不等式化為，解得；綜上所述，當(dāng)a=0時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.點(diǎn)睛：本題考查了含有字母系數(shù)的不等式的解法與應(yīng)用問(wèn)題，元二次不等式的核心還是求一元二次方程的根，然后在結(jié)合圖象判定其區(qū)間解題時(shí)應(yīng)用分類討論的思想，是中檔題目；常見(jiàn)的討論形式有：1、對(duì)二項(xiàng)式系數(shù)進(jìn)行討論；2、相對(duì)應(yīng)的方程是否有根進(jìn)行討論；3、對(duì)應(yīng)根的大小進(jìn)行討論.18、（1）；（2）詳見(jiàn)解析；（3）是定值，值為，理由見(jiàn)解析.【解析】

（1）已知三點(diǎn)坐標(biāo)，則可以求出三邊長(zhǎng)度及對(duì)應(yīng)向量，由向量數(shù)量積公式可以求出夾角余弦值，從而算出正弦值，利用面積公式完成作答；（2）和（1）的方法一樣，唯獨(dú)不同在于（1）是具體值，而（2）中是參數(shù)，我們可以把參數(shù)當(dāng)做整體（視為已知）能處理；（3）由恰好為的正心可以獲取，而可以借助（2）的公式直接運(yùn)用，本題也就完成作答.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，，所以因?yàn)椋?，所以?）因?yàn)?，所以所以因?yàn)樗运运?；?）因?yàn)闉榈闹匦模杂?1)可知又因?yàn)闉榈闹匦?，所以，平方相加?，即，所以所以，所以是定值，值為【點(diǎn)睛】已知三角形三點(diǎn)，去探究三角形面積問(wèn)題，通過(guò)向量數(shù)量積為載體，算出相對(duì)應(yīng)邊所在向量的模長(zhǎng)、夾角余弦值，進(jìn)一步算出正弦值，從而算出面積，這三問(wèn)存在層層遞進(jìn)的過(guò)程，從特殊到一般慢慢設(shè)問(wèn)，非常好的一個(gè)探究性習(xí)題.19、（1）（2）時(shí)，取最小值；時(shí)，取最大值1．【解析】

試題分析：（1）根據(jù)向量數(shù)量積、二倍角公式及配角公式得，再根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)得．（2）先根據(jù)得，，再根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)得最大值和最小值．試題解析：（1），最小正周期為．（2）當(dāng)時(shí)，，由圖象可知時(shí)單調(diào)遞增，時(shí)單調(diào)遞減，所以當(dāng)，即時(shí)，取最小值；當(dāng)，即時(shí)，取最大值1．20、(1)見(jiàn)證明；(2)見(jiàn)證明【解析】

（1）由中位線定理即可說(shuō)明，由此證明平面；（2）首先證明平