北京市第十二中學2025屆高一數(shù)學第二學期期末教學質(zhì)量檢測試題含解析

北京市第十二中學2025屆高一數(shù)學第二學期期末教學質(zhì)量檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知扇形的弧長是8，其所在圓的直徑是4，則扇形的面積是（）A．8 B．6 C．4 D．162．己知，，若軸上方的點滿足對任意，恒有成立，則點縱坐標的最小值為（）A． B． C．1 D．23．若，，則與的夾角為（）A． B． C． D．4．設(shè)變量，滿足約束條件，則目標函數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．5．數(shù)列只有5項，分別是3，5，7，9，11，的一個通項公式為（）A． B． C． D．6．把函數(shù)，圖象上所有的點向右平行移動個單位長度，橫坐標伸長到原來的2倍，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為（）A． B．C． D．7．如圖，有一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，汽車在點測得公路北側(cè)山頂?shù)难鼋菫?0°，汽車行駛后到達點測得山頂在北偏西30°方向上，且仰角為45°，則山的高度為（）A． B． C． D．8．在三棱錐中，，，，平面平面，則三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．9．若是一個圓的方程，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．10．長方體，，，，則異面直線與所成角的余弦值為A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知向量，，則在方向上的投影為______.12．如圖，邊長為2的菱形的對角線相交于點，點在線段上運動，若，則的最小值為_______.13．在中，給出如下命題:①是所在平面內(nèi)一定點，且滿足，則是的垂心；②是所在平面內(nèi)一定點，動點滿足，，則動點一定過的重心；③是內(nèi)一定點，且，則；④若且，則為等邊三角形，其中正確的命題為_____（將所有正確命題的序號都填上）14．正項等比數(shù)列中，，，則公比__________．15．關(guān)于的方程只有一個實數(shù)根，則實數(shù)_____．16．已知滿足約束條件，則的最大值為__三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．己知向量，，設(shè)函數(shù)，且的圖象過點和點.（1）當時，求函數(shù)的最大值和最小值及相應(yīng)的的值；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的4倍，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，若在有兩個不同的解，求實數(shù)的取值范圍.18．已知函數(shù).(1)求的值及f(x)的對稱軸；(2)將的圖象向左平移個單位得到函數(shù)的圖象，求的單調(diào)遞增區(qū)間.19．已知數(shù)列的前n項和為，且，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若等差數(shù)列滿足，且，，成等比數(shù)列，求c．20．已知函數(shù)，且函數(shù)是偶函數(shù)，設(shè)(1)求的解析式；(2)若不等式≥0在區(qū)間(1，e2]上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(3)若方程有三個不同的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍．21．已知.（1）求不等式的解集；（2）若關(guān)于的不等式能成立，求實數(shù)的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

直接利用扇形的面積公式求解.【詳解】扇形的弧長l=8，半徑r=2，由扇形的面積公式可知，該扇形的面積S=1故選A【點睛】本題主要考查扇形面積的計算，意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.2、D【解析】

由題意首先利用平面向量的坐標運算法則確定縱坐標的解析式，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)確定點P縱坐標的最小值即可.【詳解】設(shè)，則，，故，恒成立，即恒成立，據(jù)此可得：，故，當且僅當時等號成立.據(jù)此可得的最小值為，則的最小值為.即點縱坐標的最小值為2.故選D.【點睛】本題主要考查平面向量的坐標運算，二次函數(shù)最值的求解等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.3、A【解析】

根據(jù)平面向量夾角公式可求得，結(jié)合的范圍可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)與的夾角為，又故選：【點睛】本題考查平面向量夾角的求解問題，關(guān)鍵是熟練掌握兩向量夾角公式，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

作出可行域，利用平移法即可求出．【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示：當直線平移至經(jīng)過直線與直線的交點時，取得最大值，．故選：C．【點睛】本題主要考查簡單線性規(guī)劃問題的解法應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5、B【解析】

根據(jù)題意，得到數(shù)列為等差數(shù)列，通過首項和公差，得到通項.【詳解】因為數(shù)列只有5項，分別是3，5，7，9，11，所以是以為首項，為公差的等差數(shù)列，.故選：B.【點睛】本題考查求等差數(shù)列的通項，屬于簡單題.6、C【解析】

利用二倍角的余弦公式以及輔助角公式將函數(shù)化為的形式，然后再利用三角函數(shù)的圖像變換即可求解.【詳解】函數(shù)，函數(shù)圖象上所有的點向右平行移動個單位長度可得，在將橫坐標伸長到原來的2倍，可得.故選：C【點睛】本題考查了二倍角的余弦公式、輔助角公式以及三角函數(shù)的圖像平移伸縮變換，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】

通過題意可知：，設(shè)山的高度，分別在中求出，最后在中，利用余弦定理，列出方程，解方程求出的值.【詳解】由題意可知：.在中，.在中，.在中，由余弦定理可得：（舍去），故本題選D.【點睛】本題考查了余弦定理的應(yīng)用，弄清題目中各個角的含義是解題的關(guān)鍵.8、D【解析】

結(jié)合題意，結(jié)合直線與平面垂直的判定和性質(zhì)，得到兩個直角三角形，取斜邊的一半，即為外接球的半徑，結(jié)合球表面積計算公式，計算，即可．【詳解】過P點作，結(jié)合平面ABC平面PAC可知，，故，結(jié)合可知，，所以，結(jié)合所以,所以，故該外接球的半徑等于，所以球的表面積為，故選D．【點睛】考查了平面與平面垂直的性質(zhì)，考查了直線與平面垂直的判定和性質(zhì)，難度偏難．9、C【解析】

根據(jù)即可求出結(jié)果.【詳解】據(jù)題意，得，所以.【點睛】本題考查圓的一般方程，屬于基礎(chǔ)題型.10、A【解析】

由題，找出，故(或其補角)為異面直線與所成角，然后解出答案即可.【詳解】如圖，連接，由，(或其補角)為異面直線與所成角，由已知可得，則．．即異面直線與所成角的余弦值為．故選A．【點睛】本題考查了異面直線的夾角問題，找平行線，找出夾角是解題的關(guān)鍵，屬于較為基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由平面向量投影的定義可得出在方向上的投影為，從而可計算出結(jié)果.【詳解】設(shè)平面向量與的夾角為，則在方向上的投影為.故答案為：.【點睛】本題考查平面向量投影的計算，熟悉平面向量投影的定義是解題的關(guān)鍵，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.12、【解析】

以為原點建立平面直角坐標系，利用計算出兩點的坐標，設(shè)出點坐標，由此計算出的表達式，，進而求得最值.【詳解】以為原點建立平面直角坐標系如下圖所示，設(shè)，則①，由得②，由①②解得，故.設(shè)，則，當時取得最小值為.故填：.【點睛】本小題主要考查平面向量的坐標運算，考查向量數(shù)量積的坐標表示以及數(shù)量積求最值，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.13、①②④．【解析】

①:運用已知的式子進行合理的變形，可以得到，進而得到，再次運用等式同樣可以得到,，這樣可以證明出是的垂心；②：運用平面向量的減法的運算法則、加法的幾何意義，結(jié)合平面向量共線定理，可以證明本命題是真命題；③：運用平面向量的加法的幾何意義以及平面向量共線定理，結(jié)合面積公式，可證明出本結(jié)論是錯誤的；④：運用平面向量的加法幾何意義和平面向量的數(shù)量積的定義，可以證明出本結(jié)論是正確的.【詳解】①:，同理可得：,，所以本命題是真命題；②:，設(shè)的中點為，所以有，因此動點一定過的重心，故本命題是真命題；③:由，可得設(shè)的中點為，,,故本命題是假命題；④:由可知角的平分線垂直于底邊，故是等腰三角形，由可知：，所以是等邊三角形，故本命題是真命題，因此正確的命題為①②④.【點睛】本題考查了平面向量的加法的幾何意義和平面向量數(shù)量積的運算，考查了數(shù)形結(jié)合思想.14、【解析】

根據(jù)題意，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，進而分析可得答案.【詳解】根據(jù)題意，等比數(shù)列中，，則，又由數(shù)列是正項的等比數(shù)列，所以.【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式的應(yīng)用，其中解答中熟記等比數(shù)列的通項公式，以及注意數(shù)列是正項等比數(shù)列是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

首先從方程看是不能直接解出這個方程的根的，因此可以轉(zhuǎn)化成函數(shù)，從函數(shù)的奇偶性出發(fā)?！驹斀狻吭O(shè)，則∴為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對稱，又依題意只有一個零點，故此零點只能是，所以，∴，∴，∴，∴，故答案為：【點睛】本題主要考查了函數(shù)奇偶性以及零點與方程的關(guān)系，方程的根就是對應(yīng)函數(shù)的零點，本題屬于基礎(chǔ)題。16、【解析】

由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標代入目標函數(shù)得答案．【詳解】由約束條件作出可行域，如圖所示，化目標函數(shù)為，由圖可得，當直線過時，直線在軸上的截距最大，所以有最大值為．故答案為1．【點睛】本題主要考查簡單線性規(guī)劃求解目標函數(shù)的最值問題．其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域，利用“一畫、二移、三求”，確定目標函數(shù)的最優(yōu)解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，及推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）最大值為2，此時；最小值為－1，此時.（2）【解析】

（1）根據(jù)向量數(shù)量積坐標公式，列出函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)圖像過定點，求解函數(shù)解析式，當時，解出的范圍，根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)，可求最值；（2）根據(jù)三角函數(shù)平移伸縮變換，寫出解析式，畫出在上的圖象，根據(jù)圖像即可求解參數(shù)取值范圍.【詳解】解：（1）由題意知.根據(jù)的圖象過點和，得到，解得，.當時，，，最大值為2，此時，最小值為－1，此時.（2）將函數(shù)的圖象向右平移一個單位得，再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的4倍，縱坐標不變，得令，，如圖當時，在有兩個不同的解∴，即.【點睛】本題考查（1）三角函數(shù)最值問題（2）三角函數(shù)的平移伸縮變換，考查計算能力，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中等題型.18、（1），；（2）?！窘馕觥?/p>

（1）求得函數(shù)，代入即可求解的值，令，即可求得函數(shù)的對稱軸的方程；（2）由（1），結(jié)合三角函數(shù)的圖象變換，求得，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）由函數(shù)，則，令，解得，即函數(shù)的對稱軸的方程為（2）由（1）可知函數(shù)的圖象向左平移個單位得到函數(shù)的圖象，可得的圖象，令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.【點睛】本題主要考查了三函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及三角函數(shù)的圖象變換的應(yīng)用，其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及三角函數(shù)的圖象變換求得函數(shù)的解析式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）；（2）．【解析】

（1）根據(jù)題意，數(shù)列為1為首項，4為公差的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列通項公式計算即可；（2）由（1）可求數(shù)列的前n項和為，根據(jù)，，成等差數(shù)列及，，成等比數(shù)列，利用等差、等比數(shù)列性質(zhì)可求出c．【詳解】（1），，，故數(shù)列是以1為首項，4為公差的等差數(shù)列．．（2）由（1）知，，，，，，法1：，，成等比數(shù)列，，即，整理得：，或．①當時，，所以（定值），滿足為等差數(shù)列，②當時，，，，，不滿足，故此時數(shù)列不為等差數(shù)列（舍去）．法2：因為為等差數(shù)列，所以，即，解得或．①當時，滿足，，成等比數(shù)列，②當時，，，，不滿足，，成等比數(shù)列（舍去），綜上可得．【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項及求和，等差數(shù)列、等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，解決此類問題通常借助方程思想列方程（組）求解，屬于中等題.20、(1)；(2)；(3).【解析】

（1）對稱軸為，對稱軸為，再根據(jù)圖像平移關(guān)系求解；（2）分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值；（3）令為整體，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)根的分布問題求解.【詳解】(1)函數(shù)的對稱軸為，因為向左平移1個單位得到，且是偶函數(shù)，所以，所以.(2)即又，所以，則因為，所以實數(shù)的取值范圍是.(3)方程即化簡得令，則若方程有三個不同的實數(shù)根，則方程必須有兩個不相等的實數(shù)根，且或，令當時，則，即，當時，，，，舍去，綜上，實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查求函數(shù)解析式，函數(shù)不等式恒成立及函數(shù)零點問題.函數(shù)不等式恒成立通常采用參數(shù)分離法；函數(shù)零點問題要結(jié)合函數(shù)與方程的關(guān)系求解.21、(1)(1)或.【解析】

（1）運用絕對值的意義，去絕對值，解不等式，求并集即可；（1）求得|t﹣1|+|1t+3|的最小值，原不等式等價為|x+l|﹣|x﹣m|的最大值，由絕對值不等式的性質(zhì)，以及絕對值不等式的解法，可得所求范圍．【詳解】解：（1）由題意可得|x﹣1|+|1x+3|＞4，當x≥1時