2024年中考數(shù)學(xué)壓軸題型（全國(guó)）專題15 分類討論思想在五種題型中的應(yīng)用（教師版）

PAGE1PAGE專題15分類討論思想在五種題型中的應(yīng)用通用的解題思路：題型一、等腰三角形的存在問(wèn)題分類討論1.假設(shè)結(jié)論成立；2.找點(diǎn)：當(dāng)所給定長(zhǎng)未說(shuō)明是等腰三角形的底還是腰時(shí)，需分情況討論，具體方法如下：①當(dāng)定長(zhǎng)為腰時(shí)，找已知條件上滿足直線的點(diǎn)時(shí)，以定長(zhǎng)的某一端點(diǎn)為圓心，以定長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，若所畫(huà)弧與坐標(biāo)軸或拋物有交點(diǎn)且交點(diǎn)不是定長(zhǎng)的另一端點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)；若所畫(huà)弧與坐標(biāo)軸或拋物線無(wú)交點(diǎn)或交點(diǎn)是定長(zhǎng)的另一端點(diǎn)時(shí)，滿足條件的點(diǎn)不存在；②當(dāng)定長(zhǎng)為底邊時(shí)，根據(jù)尺規(guī)作圖作出定長(zhǎng)的垂直平分線，若作出的垂直平分線與坐標(biāo)軸或拋物線有交點(diǎn)時(shí)，那交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)，若作出的垂直平分線與坐標(biāo)軸或拋物線無(wú)交點(diǎn)時(shí)，滿足條件的點(diǎn)不存在；以上方法即可找出所有符合條件的點(diǎn).3.計(jì)算：在求點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，大多時(shí)候利用相似三角形求解，如果圖形中沒(méi)有相似三角形，可以通過(guò)添加輔線構(gòu)造相似三角形，有時(shí)也可利用直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解題型二、直角三角形的存在問(wèn)題分類討論1.設(shè)出所求點(diǎn)的坐標(biāo)，用變量表示出所求三角形三邊的長(zhǎng)的平方的代數(shù)式，如本題，設(shè)點(diǎn)F（1，f），△BCF三邊長(zhǎng)為：BF2＝4＋f2，CF2=f2+6f+10，BC=18；2.找點(diǎn)：根據(jù)直角頂點(diǎn)的不確定性，分情況討論：①當(dāng)定長(zhǎng)（已知的兩個(gè)點(diǎn)連線所成的線段）為直角三角形的直邊時(shí)（如本題（4）中的邊BC），分別過(guò)定長(zhǎng)的某一端點(diǎn)（B和C）做其垂線，與所求點(diǎn)滿足的直線或拋物線（本題是拋物線對(duì)稱軸）有交點(diǎn)時(shí)，此交點(diǎn)即為符合條件的點(diǎn)；②當(dāng)定長(zhǎng)為直角角形的斜邊時(shí)，以此定長(zhǎng)為直徑作圓，圓弧與所有點(diǎn)滿足條件的直線或拋物線有交點(diǎn)時(shí)，此交點(diǎn)即為符合條件的點(diǎn).3.計(jì)算：把圖形中的點(diǎn)的坐標(biāo)用含有自變量的代數(shù)式表示出來(lái)，從而表示出三角形各邊（表示線段時(shí)，注意代數(shù)式的符號(hào)），再利用相似三角形得比例線段關(guān)系或利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算.題型三、不等式（組）中的分類討論思想分類討論思想在不等式（組）中主要體現(xiàn)在含有字母系數(shù)的一元一次不等式（組）的解法問(wèn)題，在求其解集時(shí)要對(duì)字母進(jìn)行分類討論。對(duì)含字母系數(shù)的不等式或不等式組，在求解時(shí)一定要注意字母系數(shù)的取值范圍，要進(jìn)行分類討論。題型四、方程（組）和函數(shù)中的分類討論思想在函數(shù)問(wèn)題中，分類有兩種情況：一種是對(duì)概念進(jìn)行分類，一種是分情況討論問(wèn)題，對(duì)概念進(jìn)行分類，是明確概念的一種邏輯方法，有助于對(duì)概念的理解與掌握；分情況討論問(wèn)題，可以幫助我們?nèi)婵疾煲粋€(gè)對(duì)象，得出可能的結(jié)論，也可以使問(wèn)題更容易人手，分類思想方法對(duì)于中學(xué)生來(lái)是比較難掌握的一種數(shù)學(xué)思想方法，在對(duì)概念進(jìn)行分類時(shí)，往往把握不住標(biāo)準(zhǔn)，不能堅(jiān)持用同一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，出現(xiàn)“重"或“漏"的現(xiàn)象，從而容易導(dǎo)致錯(cuò)誤的發(fā)生題型五、圓中的分類討論思想由于圓既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，并且具有旋轉(zhuǎn)不變性，因此有不少題目會(huì)出現(xiàn)多解問(wèn)題。這類題目重在考查同學(xué)們對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握與運(yùn)用情況，它有利于培養(yǎng)同學(xué)們嚴(yán)謹(jǐn)周密的邏輯思維能力。如果解題時(shí)考慮不嚴(yán)密，理解不透切，形成思維定勢(shì)，就會(huì)漏解，從而造成錯(cuò)誤。在圓中解這類問(wèn)題時(shí)，需要利用分類討論思想，在解題時(shí)可以多考慮將圓進(jìn)行折疊或旋轉(zhuǎn)。題型一：等腰三角形中的分類討論思想1．（2023?廣安）如圖，一次函數(shù)為常數(shù)，的圖象與反比例函數(shù)為常數(shù)，的圖象在第一象限交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式．（2）點(diǎn)在軸上，是以為腰的等腰三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】（1）把點(diǎn)、的坐標(biāo)分別代入一次函數(shù)解析式，列出關(guān)于、的方程組，通過(guò)解方程組求得它們的值；然后將點(diǎn)的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，求得的值即可；（2）設(shè)，利用兩點(diǎn)間的距離公式和勾股定理以及列出方程，借助于方程求解即可．【解答】解：（1）將、分別代入一次函數(shù)，得．解得．故．將其代入反比例函數(shù)，得．解得．故一次函數(shù)的解析式為，反比例函數(shù)的解析式為；（2）由（1）知，、，則．設(shè)，當(dāng)時(shí)，．解得或（舍去）．故；當(dāng)時(shí)，．解得或．故或．綜上所述，符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為：或或．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求得一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式，勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì)，此題難度稍大，綜合性比較強(qiáng)，注意對(duì)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的靈活應(yīng)用．2．（2023?澄城縣一模）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)、，與軸交于點(diǎn)，直線是拋物線的對(duì)稱軸．（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）在對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)，使為等腰三角形，若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式即可；（2）由于沒(méi)有指明等腰的底邊，所以需要分類討論：，，，運(yùn)用兩點(diǎn)間距離的求法列出相應(yīng)的方程，通過(guò)解方程求得答案．【解答】解：（1）把點(diǎn)、點(diǎn)分別代入，得．解得．故該拋物線解析式為：；（2）由（1）知，該拋物線解析式為：．則該拋物線的對(duì)稱軸為直線．故設(shè)．、點(diǎn)，，，．①若時(shí)，，解得．點(diǎn)的坐標(biāo)為或；②若時(shí)，，解得或，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，點(diǎn)、、共線，點(diǎn)的坐標(biāo)為；③當(dāng)時(shí)，，解得，點(diǎn)的坐標(biāo)為．綜上所述，符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于二次函數(shù)綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，兩點(diǎn)間的距離公式，等腰三角形的性質(zhì)，解題過(guò)程中，需要對(duì)等腰三角形的底邊或腰進(jìn)行分類討論，以防漏解．3．（2023?婺城區(qū)模擬）在矩形中，，，是上的一點(diǎn)，且，是直線上一點(diǎn)，射線交直線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，連結(jié)、，直線交直線于點(diǎn)．（1）①當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，求與的長(zhǎng)；②求的值．（2）若為等腰三角形時(shí)，求滿足條件的的長(zhǎng)．【分析】（1）①過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，易得，為等腰直角三角形，進(jìn)而得到為等腰直角三角形，，由可推出，則為等腰直角三角形，；②過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，易得，，易證，，得到，，于是，，進(jìn)而可得，由等角加同角相等得，在中，；（2）易得，得到，設(shè)，則，，，易證，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得，，再分三種情況討論：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，進(jìn)而求出，，，再利用平行線分線段成比例得到，以此建立方程求解即可；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，，進(jìn)而求出，由平行線的性質(zhì)得到，于是，由等角的余角相等得，則，以此建立方程求解即可；（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，則，由平行線的性質(zhì)可得，于是，由等角的余角相等得，進(jìn)而得到，以此建立方程求解即可．【解答】解：（1）①當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，四邊形為矩形，，四邊形為矩形，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，，為等腰直角三角形，，，為等腰直角三角形，，，，，為等腰直角三角形，，，；②如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，，，，，，，，，，即，，即，，，，，，即，；（2），，，，即，設(shè)，則，，，由（1）②可知，，，，，，，，即，，，（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，，，，，，即，解得：，（舍去），；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，，，，，，，，，解得：，；（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，如圖，則，，，，，，，解得：，．當(dāng)時(shí)，同理可得，，綜上，當(dāng)或1或或時(shí)，為等腰三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查矩形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是：（1）①熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)；②利用相似三角形性質(zhì)和銳角三角函數(shù)推出；（2）利用分類討論和數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題．4．（2023?濮陽(yáng)縣模擬）在等腰直角三角形中，，，點(diǎn)為直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，繞點(diǎn)將射線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，交直線于點(diǎn)．在圖1中，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，，，又，，．請(qǐng)閱讀上述過(guò)程，并完成以下問(wèn)題：（1）得出的依據(jù)是②（填序號(hào)）．①②③④（2）在以上條件下，如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，求證：．（3）在等邊三角形中，，點(diǎn)為射線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)交直線于點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，當(dāng)為直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)判定的條件看判定的依據(jù)是什么即可做出選擇；（2）將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，，然后推出判定的條件，得到，在中推出，根據(jù)勾股定理得到等式，再代換即可得證；（3）當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，不可能是直角三角形，當(dāng)點(diǎn)在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，分和兩種情況，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)分別進(jìn)行計(jì)算即可求出結(jié)果．【解答】（1）解：推理過(guò)程中判定的條件是兩邊和夾角對(duì)應(yīng)相等，得出的依據(jù)是，故答案為：②；（2）證明：如圖1，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，，，，，，又，，，，，，，，，，又，，；（3）分兩種情況：①如圖2，當(dāng)時(shí)，由旋轉(zhuǎn)可知，又，，，，設(shè)，則，，，，，，，即的長(zhǎng)為；②如圖3，當(dāng)時(shí)，由旋轉(zhuǎn)可知，又，，，，設(shè)，則，，，，，；綜上所述，的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)評(píng)】本題是幾何變換綜合題，主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，深入理解題意是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．5．（2023?武侯區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在矩形中，，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)度得到線段，過(guò)點(diǎn)作的垂線交射線于點(diǎn)，交射線于點(diǎn)．嘗試初探（1）當(dāng)點(diǎn)在延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，與始終相等，且與始終相似，請(qǐng)說(shuō)明理由；深入探究（2）若，隨著線段的旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)的位置也隨之發(fā)生變化，當(dāng)時(shí)，求的值；拓展延伸（3）連接，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求的值（用含的代數(shù)式表示）．【分析】（1）由矩形的四個(gè)角是直角，又，容易得到結(jié)果．（2）連接，設(shè)，，求出，由得到，可求出，得到結(jié)果．（3）分類討論：①點(diǎn)在延長(zhǎng)線上時(shí)，作，設(shè)，，，由勾股定理求出，，得到結(jié)果．②當(dāng)在上時(shí)，設(shè)，由，求出，，得出結(jié)果．【解答】（1）證明：四邊形是矩形，，，，，，，又，，．（2）解：，，，四邊形是矩形，，，，，設(shè)，則，，，連接，由勾股定理得，，，，由（1）得，，，，，，．（3）解：分兩種情況討論，①如圖2，當(dāng)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于，，，，，又，，，，設(shè)，則，，，由勾股定理得，，．②如圖3，當(dāng)在上時(shí)，設(shè)，則，由勾股定理得，，，，，綜上得，或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)是一道綜合題，正確分類討論并畫(huà)出圖形，恰當(dāng)添加輔助線，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題關(guān)鍵．6．（2023?虹口區(qū)一模）如圖，在中，，，點(diǎn)、分別在邊、上，滿足．點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且．（1）當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，求的值；（2）如果，求的值；（3）如果是等腰三角形，求的長(zhǎng)．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，利用等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系定理，勾股定理，三角形的中位線定理解答即可；（2）利用等腰三角形的判定與相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可；（3）利用分類討論的思想方法分①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，③當(dāng)時(shí)三種情形討論解答：利用等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定和三角形的內(nèi)角和定理求得前兩種情形不存在，對(duì)于③利用等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系定理，勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可．【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，，，，，．．．，，，是的中點(diǎn)，是的中位線，，，．在中，；（2），．，，．，．，，，．，，，，；（3）如果是等腰三角形，①當(dāng)時(shí)，則．，，，這與已知條件不符，此種情況不存在；②當(dāng)時(shí)，則，，，，，，，，為鈍角，此種情況不存在；③當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，由題意得：，，，，．．，，，，，．由（1）知：，，．．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系定理，勾股定理，三角形的內(nèi)角和定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，利用分類討論的思想方法解答是解題的關(guān)鍵．7．（2023?文成縣一模）如圖，點(diǎn)，分別為矩形邊，上的點(diǎn)，以為直徑作交于點(diǎn)，且與相切，連結(jié)．（1）若，求證：．（2）若，．①求的長(zhǎng)．②連結(jié)，若是以為腰的等腰三角形，求所有滿足條件的的長(zhǎng)．（3）連結(jié)，若的延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，求的值．【分析】（1）利用圓周角定理和全等三角形的判定定理解答即可；（2）①利用切線的性質(zhì)定理，矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)，通過(guò)證明得到，再利用直角三角形的邊角關(guān)系定理解答即可得出結(jié)論；②利用分類討論的思想方法分兩種情況討論解答：Ⅰ．當(dāng)時(shí)，利用全等三角形的判定與性質(zhì)得到，設(shè)，則，則，利用勾股定理列出方程解答即可；Ⅱ．當(dāng)時(shí)，利用相似三角形的判定得到，進(jìn)而得到，再利用（2）①的結(jié)論，利用勾股定理解答即可得出結(jié)論；（3）利用全等三角形的判定定理證明得到和，得到，利用三角形的中位線得到，設(shè)，則，則，取的中點(diǎn)，連接，利用梯形的中位線定理得到，最后利用相似三角形的判定定理得到，由相似三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：為直徑，．在和中，，和；（2）解：①與相切，，，．四邊形為矩形，，，，，，．在中，，，；②若是以為腰的等腰三角形，Ⅰ．當(dāng)時(shí)，，，，．，．在和中，，，．設(shè)，則，，，，解得：，；Ⅱ．當(dāng)時(shí)，，．．．，，，，，．由（2）知：，，，．綜上，若是以為腰的等腰三角形，滿足條件的的長(zhǎng)為或；（3）解：為圓的直徑，．在和中，，，，．，，．在和中，，，，，，．，．為的中位線，，．設(shè)，則，．取的中點(diǎn)，連接，如圖，則為梯形的中位線，．，．，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，圓的切線的性質(zhì)定理，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)三角形的中位線定理，利用分類討論的思想方法解答是解題的關(guān)鍵．8．（2023?涪城區(qū)模擬）如圖，已知：在中，，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，交于，以為直徑的分別交，于點(diǎn)，．（1）求證：．（2）若，．①當(dāng)，求的長(zhǎng)．②當(dāng)為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)求出所有滿足條件的的腰長(zhǎng)．（3）若，且，，在一條直線上，則與的比值為．【分析】（1）利用切線的判定定理與弦切角定理解答即可；（2）①利用直角三角形的邊角關(guān)系解答即可；②利用分類討論的方法分三種情況討論解答：當(dāng)時(shí)，通過(guò)證明，利用直角三角形的邊角關(guān)系解答即可；當(dāng)時(shí)，利用垂徑定理和直角三角形的邊角關(guān)系解答即可；當(dāng)時(shí)，利用等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系和勾股定理解答即可；（3）畫(huà)出符合題意的圖形，通過(guò)證明，得出比例式，利用等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，通過(guò)等量代換得到關(guān)于與的一元二次方程，解方程即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：為的直徑，，為的切線，；（2）解：①，，，．．，，．，；②當(dāng)時(shí)，，，，．為的直徑，．，在和中，，，．，，；當(dāng)時(shí)，，，為的直徑，，，．，，．，，，，．．．．，；當(dāng)時(shí)，，．，，，．．，，．設(shè)，，．，．．，．．．．綜上，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，滿足條件的的腰長(zhǎng)為或或．（3）解：當(dāng)，，在一條直線上時(shí)，為的直徑，，，，．，．，．，．，．．，．解得：或（不合題意，舍去）．，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓周角定理，切線的判定與性質(zhì)，弦切角定理，求得三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，特殊角的三角函數(shù)值，一元二次方程的解法，勾股定理，利用分類討論的思想方法解答是解題的關(guān)鍵．9．（2023?河南模擬）如圖所示，在中，，點(diǎn)為射線上一動(dòng)點(diǎn)，作，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接．（點(diǎn)、在的兩側(cè)）【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1所示，若時(shí)，、的數(shù)量關(guān)系為，直線、的夾角為；【類比探究】（2）如圖2所示，若時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；【拓展延伸】（3）若，，且是以為腰的等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)．【分析】（1）證，由全等三角形的性質(zhì)得，，即可解決問(wèn)題；（2）證，由相似三角形的性質(zhì)得，再證，得，即可得出結(jié)論；（3）分兩種情況，①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，由直角三角形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)分別求出的長(zhǎng)即可．【解答】解：（1），，是等腰直角三角形，，，同理：，，，，即，，，，，故答案為：，；（2）不成立，，理由如下：，，，又，，，又，，即，，，在中，，，；（3），，，，，分兩種情況：①如圖3，當(dāng)時(shí)，同（2）可知，，，；②如圖4，當(dāng)時(shí)，則，，，，，，，，，同（2）可知，，，即，解得：；綜上所述，的長(zhǎng)為或3．【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及分類討論等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等和三角形相似是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．題型二：直角三角形中的分類討論思想1．（2022?大連模擬）如圖，中，，，，點(diǎn)在邊上，過(guò)點(diǎn)作的垂線與邊或相交于點(diǎn)，將點(diǎn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線與邊或相交于點(diǎn)．設(shè)的長(zhǎng)為，四邊形的面積為．（1）求的長(zhǎng)；（2）求關(guān)于的函數(shù)解析式，并直接寫(xiě)出自變量的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)勾股定理求解即可．（2）根據(jù)正切函數(shù)可知，，分點(diǎn)，在線段上，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，或者點(diǎn)，都在線段上三種情況分析，再分別表示出，，，根據(jù)梯形面積公式即可求解．【解答】解：（1）在中，，，．根據(jù)勾股定理得，，．（2）當(dāng)點(diǎn)，在邊上時(shí)，如圖所示；在中，，，．又于點(diǎn)，．在中，，．．．于點(diǎn)，，在中，，．當(dāng)點(diǎn)落在點(diǎn)時(shí)，，即，解得，當(dāng)時(shí)，．當(dāng)點(diǎn)落在上，點(diǎn)落在上時(shí)，如圖所示；．在中，．．當(dāng)點(diǎn)落在點(diǎn)時(shí)，．即，解得．當(dāng)時(shí)，．當(dāng)點(diǎn)，落在上時(shí)，如圖所示；，，，．，，即．在中，，．當(dāng)，．綜上所述：【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查勾股定理，解直角三角形，求函數(shù)關(guān)系式相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，分類討論是解決本題的關(guān)鍵．2．（2022?蓮池區(qū)校級(jí)二模）如圖，中，，，．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿方向繞行一周，與垂直的動(dòng)直線從開(kāi)始．以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右平移，分別交，于，兩點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，直線也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．（1）當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于，①當(dāng)時(shí)，求證：；②設(shè)的面積為，用含的代數(shù)式表示，并求當(dāng)為何值時(shí)，有最大值；（2）當(dāng)直線等分的面積時(shí)求的值，并判斷此時(shí)點(diǎn)落在的哪條邊上；（3）直接寫(xiě)出時(shí)的值．【分析】（1）①由，，，即可證明；②由，可得，求出，則，再由求的最大值即可；（2）分別求出，，再由題意可得，求出的值即可；（3）分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，過(guò)點(diǎn)作交于，由，可得方程，解得；當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，過(guò)點(diǎn)作交于，由，可得方程，解得．【解答】（1）①證明：，，，，，；②解：點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，，，由題意可知，，，，，，，，，，，，，時(shí)，有最大值；（2）解：由②可知，，，，，直線等分的面積，，解得或，，，，點(diǎn)在邊上；（3）解：當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，過(guò)點(diǎn)作交于，，，，，解得；當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，過(guò)點(diǎn)作交于，，，，，，，解得；綜上所述：的值為或．【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形的綜合題，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)是解題是關(guān)鍵．3．（2022?濟(jì)南二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，四邊形為平行四邊形，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)，若，．（1）求反比例函數(shù)解析式；（2）點(diǎn)是軸上一動(dòng)點(diǎn)，求最大時(shí)的值；（3）連接，在反比例函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)，平面內(nèi)是否存在點(diǎn)，使得四邊形為矩形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）先確定出，即可得出點(diǎn)坐標(biāo)，最后用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論；（2）先求出解析式，由平行四邊形的性質(zhì)可得，，，利用待定系數(shù)法可求解析式，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形關(guān)系可得出當(dāng)點(diǎn)，，三點(diǎn)共線時(shí)，最大，求出直線的解析式，令即可求解；（3）若四邊形為矩形，則是直角三角形且為一條直角邊，根據(jù)直角頂點(diǎn)需要分兩種情況，畫(huà)出圖形分別求解即可．【解答】解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)作軸于，，，，，，，點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，，反比例函數(shù)解析式為；（2）點(diǎn)，點(diǎn)，解析式為：，四邊形是平行四邊形，，，，點(diǎn)，設(shè)解析式為：，，，解析式為：，聯(lián)立方程組可得：，或（舍去），點(diǎn)；在中，，則當(dāng)點(diǎn)，，三點(diǎn)共線時(shí)，，此時(shí)，取得最大值，由（1）知，，設(shè)直線的解析式為：，，解得，直線的解析式為：，令，即，得，最大時(shí)的值為6．（3）存在，理由如下：若四邊形為矩形，則是直角三角形，則①當(dāng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖2，過(guò)點(diǎn)作的垂線與交于點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)，作軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)，，由“一線三等角”模型可得，則，，，，，，即，設(shè)，則，，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，則，解得，（負(fù)值舍去），，；②當(dāng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，這種情況不成立；綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)綜合問(wèn)題，涉及矩形的判定與性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定．第一問(wèn)的關(guān)鍵是求出點(diǎn)的坐標(biāo)，第二問(wèn)的關(guān)鍵是知道當(dāng)點(diǎn)，，三點(diǎn)共線時(shí)，取得最大值，第三問(wèn)的關(guān)鍵是利用矩形的內(nèi)角是直角進(jìn)行分類討論，利用相似三角形的性質(zhì)建立等式．4．（2022??？谀M）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于、兩點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在線段上以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在線段上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)的面積為，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，試求與的函數(shù)關(guān)系，并求的最大值；（3）在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻，使為直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）把點(diǎn)、的坐標(biāo)分別代入拋物線解析式，列出關(guān)于系數(shù)、的解析式，通過(guò)解方程組求得它們的值；（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，利用三角形的面積公式列出與的函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)進(jìn)行解答；（3）分當(dāng)和兩種情況，據(jù)余弦函數(shù)，可得關(guān)于的方程，解方程，可得答案．【解答】解：（1）把點(diǎn)、點(diǎn)分別代入得：，解得，所以該拋物線的解析式為：；（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，則，，，由題意得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，在中，，如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，即，，，，，、中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)存在時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，答：運(yùn)動(dòng)1秒使的面積最大，最大面積是；（3）存在，理由：如圖，在中，，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，則，，，當(dāng)時(shí)，，即，化簡(jiǎn)，得：，解得：；當(dāng)時(shí)，，（即在圖中，當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)，得：，解得，綜上所述：或時(shí)，為直角三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和三角形的面積求法，解題關(guān)鍵是在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)要注意該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)范圍，即自變量的取值范圍．5．（2023?乳山市二模）過(guò)四邊形的頂點(diǎn)作射線，為射線上一點(diǎn)，連接．將繞點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至，記旋轉(zhuǎn)角，連接．（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1，數(shù)學(xué)興趣小組探究發(fā)現(xiàn)，如果四邊形是正方形，且．無(wú)論點(diǎn)在何處，總有，請(qǐng)證明這個(gè)結(jié)論．（2）【類比遷移】如圖2，如果四邊形是菱形，，，連接．當(dāng)，時(shí)，求的長(zhǎng)；（3）【拓展應(yīng)用】如圖3，如果四邊形是矩形，，，平分，．在射線上截取，使得．當(dāng)是直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．【分析】（1）利用正方形性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)變換證明，即可證得結(jié)論；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，先證明，可得，，再證明：是等邊三角形，是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，利用解直角三角形即可求得答案；（3）分三種情況討論：①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，③當(dāng)時(shí)，分別求出的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：如圖1，四邊形是正方形，，，，，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至，，，．（2）解：如圖2，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，四邊形是菱形，，由旋轉(zhuǎn)得：，，即，，，，，，是等邊三角形，，，，，，，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，；（3）解：①當(dāng)時(shí)，如圖3，連接，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，四邊形是矩形，，，，，，，，，，，，，即，平分，，，，在中，，，，，，，，在中，，，，，，即，，，，，，，，，，，，；②當(dāng)時(shí)，如圖4，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，則，，，，，四邊形是矩形，，，，，在中，，，，在中，，在中，，，解得：；③當(dāng)時(shí)，由②知：，，，，，解得：或，均不符合題意；綜上所述，的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形和菱形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用前面所學(xué)的知識(shí)解答后面的題目，運(yùn)用分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想，具有很強(qiáng)的綜合性，是中考?？碱}型．題型三：不等式（組）中的分類討論思想1．（2023?淄博）某古鎮(zhèn)為發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，吸引更多的游客前往游覽，助力鄉(xiāng)村振興，決定在“五一”期間對(duì)團(tuán)隊(duì)旅游實(shí)行門票特價(jià)優(yōu)惠活動(dòng)，價(jià)格如下表：購(gòu)票人數(shù)（人每人門票價(jià)（元605040題中的團(tuán)隊(duì)人數(shù)均不少于10人．現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)團(tuán)隊(duì)共102人，計(jì)劃利用“五一”假期到該古鎮(zhèn)旅游，其中甲團(tuán)隊(duì)不足50人，乙團(tuán)隊(duì)多于50人．（1）如果兩個(gè)團(tuán)隊(duì)分別購(gòu)票，一共應(yīng)付5580元，問(wèn)甲、乙團(tuán)隊(duì)各有多少人？（2）如果兩個(gè)團(tuán)隊(duì)聯(lián)合起來(lái)作為一個(gè)“大團(tuán)隊(duì)”購(gòu)票，比兩個(gè)團(tuán)隊(duì)各自購(gòu)票節(jié)省的費(fèi)用不少于1200元，問(wèn)甲團(tuán)隊(duì)最少多少人？【分析】（1）設(shè)甲團(tuán)隊(duì)有人，乙團(tuán)隊(duì)人，但需要考慮乙團(tuán)隊(duì)人數(shù)是否大于100，所以分類討論即可．甲團(tuán)隊(duì)按票價(jià)是每人80元，乙團(tuán)隊(duì)按票價(jià)是每人60元，如果乙超過(guò)100人，大概需要繳納4000多元，但是5580元減去4000多元，剩下的錢不足以構(gòu)成甲的人數(shù)，因?yàn)榇藭r(shí)甲的人數(shù)只能是1人，所以這種情況省略；所以甲人數(shù)在50以下，乙人數(shù)在51到100之間，聯(lián)列方程即可；（2）兩個(gè)團(tuán)隊(duì)要合起來(lái)購(gòu)票的話，每人40元，列出一共購(gòu)票的錢和各自購(gòu)票的錢之和，然后建立不等式即可求解；【解答】解：（1）設(shè)甲人數(shù)人，乙人數(shù)人；當(dāng)乙大于100人時(shí)，此時(shí)甲人數(shù)只能是1人，共花的價(jià)格不夠5580元；乙人數(shù)在51到100之間，甲人數(shù)在10到50之間；列方程得：；解之得：，；甲48人，乙54人；答：甲團(tuán)隊(duì)48人，乙團(tuán)隊(duì)54人．（2）設(shè)甲人數(shù)人，乙人數(shù)人；甲乙一起買價(jià)格：（元；甲乙分開(kāi)買價(jià)格：；；解之得：．甲最少18人；答：甲團(tuán)隊(duì)最少18人．【點(diǎn)評(píng)】本題考查學(xué)生不等式的基本應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．2．（2021?商河縣校級(jí)模擬）閱讀下面材料，根據(jù)要求解答問(wèn)題：求不等式的解集．解：根據(jù)“同號(hào)兩數(shù)相乘，積為正”可得：①或②解不等式組①得：．解不等式組②得．不等式的解集為或．請(qǐng)你仿照上述方法解決下列問(wèn)題：（1）求不等式的解集．（2）求不等式的解集．【分析】（1）將不等式轉(zhuǎn)換為兩個(gè)不等式組①或②，分別求解；（2）將不等式轉(zhuǎn)換為兩個(gè)不等式①或②，分別求解；【解答】解：（1）可得：①或②，解不等式①得：無(wú)解；解不等式組②得：；不等式的解集為：；（2）可得：①或②，解不等式①得：；解不等式組②得：；不等式的解集為：或；【點(diǎn)評(píng)】本題考查二元一次不等式的解法；能夠?qū)⒍淮尾坏仁睫D(zhuǎn)化為一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵．3．（2024?江門校級(jí)一模）先閱讀理解下面的例題，再按要求解答下列問(wèn)題：例題：解一元二次不等式．解：，可化為，．由有理數(shù)的乘法法則“兩數(shù)相乘，同號(hào)得正”，得①，②，解不等式組①，得，解不等式組②，得，的解集為或，即一元二次不等式的解集為或．（1）一元二次不等式的解集為或；（2）分式不等式的解集為；（3）解一元二次不等式．【分析】（1）先把不等式的左邊分解因式，然后根據(jù)”兩數(shù)相乘，同號(hào)相乘得正“得兩個(gè)不等式組，解各個(gè)不等式組即可；（2）根據(jù)“兩數(shù)相除，同號(hào)得正”得兩個(gè)不等式組，解各個(gè)不等式組即可；（3）把不等式的左邊分解因式，根據(jù)據(jù)”兩數(shù)相乘，異號(hào)相乘得負(fù)“得兩個(gè)不等式組，解各個(gè)不等式組即可．【解答】解：（1），，，解不等式組①得：，解不等式②得：，一元二次不等式的解集為：或，故答案為：或；（2），，解不等式組①得：，解不等式組②得：，分式不等式的解集為：或，故答案為：或；（3），，，不等式組①得：，解不等式組②無(wú)解，不等式的解集為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解一元一次不等式組，解題關(guān)鍵是熟練掌握把特殊不等式轉(zhuǎn)化成一元一次不等式組的方法和技巧．4．（2022?泰安三模）某公司推出一款桔子味飲料和一款荔枝味飲料，桔子味飲料每瓶售價(jià)是荔枝味飲料每瓶售價(jià)的倍．4月份桔子味飲料和荔枝味飲料總銷售60000瓶，桔子味飲料銷售額為250000元，荔枝味飲料銷售額為280000元．（1）求每瓶桔子味飲料和每瓶荔枝味飲料的售價(jià)；（2）五一期間，該公司提供這兩款飲料12000瓶促銷活動(dòng)，考慮荔枝味飲料比較受歡迎，因此要求荔枝味飲料的銷量不少于桔子味飲料銷量的；不多于桔子味飲料的2倍．桔子味飲料每瓶7折銷售，荔枝味飲料每瓶降價(jià)2元銷售，問(wèn)：該公司銷售多少瓶荔枝味飲料使得總銷售額最大？最大銷售額是多少元？【分析】（1）根據(jù)題意找到等量關(guān)系，根據(jù)等量關(guān)系列分式方程求解即可．（2）根據(jù)題意找不等關(guān)系列出不等式組，求出解集，再列出銷售數(shù)量與銷售額的函數(shù)關(guān)系，在求出的解集的范圍內(nèi)求銷售額的最大值即可．【解答】解：（1）設(shè)每瓶荔枝味飲料的售價(jià)為元，則每瓶桔子味飲料的售價(jià)為元，根據(jù)題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意，，答：每瓶桔子味飲料的售價(jià)為10元，每瓶荔枝味飲料的售價(jià)為8元．（2）設(shè)銷售荔枝味飲料瓶，則銷售桔子味飲料瓶，根據(jù)題意得：，解得：，設(shè)總銷售額元，則，是的一次函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，銷售額最大，最大值是76800元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用、不等式組的應(yīng)用和一次函數(shù)求最值的應(yīng)用問(wèn)題，能找出等量關(guān)系和不等關(guān)系，列出分式方程和不等式組是出本題的關(guān)鍵．題型四:方程（組）和函數(shù)中的分類討論思想1．（2024?鐘樓區(qū)校級(jí)模擬）共享電動(dòng)車是一種新理念下的交通工具；主要面向的出行市場(chǎng)，現(xiàn)有，兩種品牌的共享電動(dòng)車，給出的圖象反映了收費(fèi)（元與騎行時(shí)間之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，其中品牌收費(fèi)方式對(duì)應(yīng)，品牌的收費(fèi)方式對(duì)應(yīng)，請(qǐng)根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問(wèn)題：（1）說(shuō)出圖中函數(shù)、的圖象交點(diǎn)表示的實(shí)際意義；（2）求、關(guān)于的函數(shù)解析式；（3）①如果小明每天早上需要騎行品牌或品牌的共享電動(dòng)車去工廠上班，已知兩種品牌共享電動(dòng)車的平均行駛速度均為，小明家到工廠的距離為那么小明選擇品牌共享電動(dòng)車更省錢？（填“”或“”②當(dāng)為何值時(shí)，兩種品牌共享電動(dòng)車收費(fèi)相差3元？【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象可得交點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合，所表示的實(shí)際意義即可解答；（2）利用待定系數(shù)法即可求解，注意為分段函數(shù)；（3）①先根據(jù)“時(shí)間路程速度”求出小明從家騎行到工廠所需時(shí)間，再分別求出選擇和品牌共享電動(dòng)車所需費(fèi)用，比較即可求解；②分兩種情況討論：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，或．以此列出方程，求解即可．【解答】解：（1）由圖象可得，，交點(diǎn)表示的實(shí)際意義是：當(dāng)騎行時(shí)間為時(shí)，，兩種品牌的共享電動(dòng)車收費(fèi)都為8元；（2）設(shè)，將點(diǎn)代入得，，解得：，，由圖象可知，當(dāng)時(shí)，，設(shè)當(dāng)時(shí)，，將點(diǎn)，代入得，，解得：，當(dāng)時(shí)，，；（3）①小明從家騎行到工廠所需時(shí)間為，品牌所需費(fèi)用為（元，品牌所需費(fèi)用為（元，，選擇品牌共享電動(dòng)車更省錢；故答案為：；②當(dāng)時(shí)，，，解得：，當(dāng)時(shí)，或，或，解得：（舍去）或，綜上，當(dāng)?shù)闹禐?.5或35時(shí)，兩種品牌共享電動(dòng)車收費(fèi)相差3元．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查一次函數(shù)的應(yīng)用、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、解一元一次方程，利用待定系數(shù)法正確求出函數(shù)解析式，并學(xué)會(huì)利用分類討論思想解決問(wèn)題．2．（2023?西華縣三模）如圖1，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左邊），與軸交于點(diǎn)．直線經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的直線與直線及軸分別交于點(diǎn)、．設(shè)．①點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)恰為線段的中點(diǎn)，求此時(shí)的值；②當(dāng)點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在一點(diǎn)，使．若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）先利用直線求出、兩點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式；（2）①對(duì)點(diǎn)的位置進(jìn)行分類，一類在點(diǎn)下方，一類在點(diǎn)上方，列方程解答；②根據(jù)條件，對(duì)點(diǎn)的位置進(jìn)行分類，將幾何代數(shù)化，列方程解答．【解答】解：（1）在中，當(dāng)時(shí)，，，令，則，，，將點(diǎn)，的坐標(biāo)代入拋物線中，得，，拋物線的解析式為．（2）①軸，，，，，Ⅰ、當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)下方時(shí)，有，或，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，，三點(diǎn)重合，舍去，．Ⅱ、當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)上方時(shí)，有，或，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，，三點(diǎn)重合，舍去；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在點(diǎn)下方，舍去．綜上所述：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)恰為線段的中點(diǎn)．②當(dāng)在第四象限時(shí)：在中，，在中，，，，，，，，（舍或，．當(dāng)在第一象限時(shí)：，，，，設(shè)，則，在中，，，，，，設(shè)直線的表達(dá)式為，代入，得，，，（舍或，將代入得，點(diǎn)坐標(biāo)為，．綜上，或，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，將幾何代數(shù)化，利用方程解決，還涉及了分類和數(shù)形結(jié)合的思想，關(guān)鍵是讓點(diǎn)動(dòng)起來(lái)，分類時(shí)不要漏情況．3．（2023?池州三模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)和點(diǎn)在拋物線上．（1）若，，求拋物線的解析式；（2）已知點(diǎn)，在該拋物線上，且．①比較，，0的大小，并說(shuō)明理由；②將線段沿水平方向平移得到線段，若線段與拋物線有交點(diǎn)，直接寫(xiě)出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．【分析】（1）利用待定系數(shù)法解答即可；（2）①利用分類討論的方法分和兩種情形討論解答：分別求得拋物線對(duì)稱軸，利用拋物線的對(duì)稱性和二次函數(shù)性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合的思想方法解答即可；②結(jié)合函數(shù)的圖象利用平移的性質(zhì)分別求得的橫坐標(biāo)的最小值與最大值即可得出結(jié)論．【解答】解：（1），，點(diǎn)和點(diǎn)在拋物線上．，解得：，拋物線的解析式為．（2）①，或．當(dāng)時(shí)，拋物線的開(kāi)口方向向下，經(jīng)過(guò)，，拋物線的對(duì)稱軸為，為拋物線的頂點(diǎn)，為函數(shù)的最大值且大于0，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸的下方，，，，0的大小關(guān)系為：；當(dāng)時(shí)，拋物線的開(kāi)口方向向下，經(jīng)過(guò)，，拋物線的對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，隨增大而增大，由拋物線性質(zhì)可知：在拋物線上，，，綜上，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，②點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．理由：由①可知：當(dāng)時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸為，此時(shí)向右平移到相切時(shí)是最大值，把，代入可得：，則，，拋物線解析式可簡(jiǎn)化為，經(jīng)過(guò)，的直線解析式為，設(shè)平移后解析式為，直線與拋物線相切時(shí)得：，整理得：，令△，則，解得：，所以最大值為，即時(shí)，的橫坐標(biāo)的取值范圍為：．由①可知：當(dāng)時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸為，點(diǎn)，關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，，將線段沿水平方向向左平移至與重合時(shí)，線段與拋物線有交點(diǎn)，再向左平移就沒(méi)有交點(diǎn)了，而由平移到平移了2個(gè)單位，的橫坐標(biāo)的最小值為，將線段沿水平方向向右平移至與重合時(shí)，線段與拋物線有交點(diǎn)，再向右平移就沒(méi)有交點(diǎn)了，而由平移到平移了4個(gè)單位，的橫坐標(biāo)的最大值為，即時(shí)，的橫坐標(biāo)的取值范圍為：．綜上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，平移的點(diǎn)坐標(biāo)的特征，數(shù)形結(jié)合法，利用待定系數(shù)法和數(shù)形結(jié)合法解答是解題關(guān)鍵．4．（2023?河北模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)為，與軸相交于、兩點(diǎn)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)）．（1）判斷點(diǎn)是否在拋物線上，并說(shuō)明理由；（2）若點(diǎn)到軸的距離為5，求的值；（3）若線段的長(zhǎng)小于等于4，求的取值范圍．【分析】（1）將點(diǎn)代入拋物線進(jìn)行驗(yàn)證即可；（2）將已知拋物線解析式利用配方法轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，求得頂點(diǎn)坐標(biāo)；然后由“點(diǎn)到軸的距離為5”列出方程并解答；（3）分和兩種情況下求得線段的長(zhǎng)度，結(jié)合“線段的長(zhǎng)小于等于4”列出不等式并求得的取值范圍．【解答】解：（1）點(diǎn)在拋物線上，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)在拋物線上；（2），點(diǎn)到軸的距離為5，當(dāng)時(shí)，，解得，；當(dāng)時(shí)，，解得，；綜上所述，的值為或；（3）①當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向下．由（1）知，拋物線與軸的交點(diǎn)為，拋物線的對(duì)稱軸為直線，，，，，此種情況不符合題意；②當(dāng)時(shí)，拋物線的開(kāi)口向上，在軸上關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱且距離為4的兩點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，當(dāng)時(shí)，，，拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，，，．綜上所述，的取值范圍為：．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于二次函數(shù)綜合題型，綜合考查了二次函數(shù)的三種形式，拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，兩點(diǎn)間的距離公式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及拋物線的軸對(duì)稱性質(zhì)，難度不是很大．5．（2023?鹽城二模）已知點(diǎn)，，，在二次函數(shù)的圖象上，且滿足．（1）如圖，若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．①求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；②若，此時(shí)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為點(diǎn)，求的正切值；③在、之間的二次函數(shù)圖象上的最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)、的坐標(biāo)；（2）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的最大值與最小值的差為3，點(diǎn)，在對(duì)稱軸的異側(cè)，則的取值范圍為．【分析】（1）①將點(diǎn)代入二次函數(shù)中求出即可．②根據(jù)題意，，關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，求出，的坐標(biāo)，如圖，在中，，求出、即可解答．③根據(jù)在、之間的二次函數(shù)圖象上的最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，列出方程，求解，在分，，，在對(duì)稱軸左右側(cè)兩種情況求解即可．（2）根據(jù)二次函數(shù)得到頂點(diǎn)坐標(biāo)，函數(shù)最大值為2，結(jié)合最大值與最小值的差為3，確定函數(shù)的最小值為，根據(jù)函數(shù)的增減性分類計(jì)算即可．【解答】解：（1）①二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，．二次函數(shù)的表達(dá)式為：．答：二次函數(shù)的表達(dá)式為：．②，，關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，對(duì)稱軸是直線，頂點(diǎn)為，且，，，解得，，，，，如圖，在中，，，，，答：的正切值為．③在、之間的二次函數(shù)圖象上的最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，或，當(dāng)，在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí)，拋物線隨的增大而增大，且，在、之間的二次函數(shù)圖象上的最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，，，當(dāng)時(shí)，，，；當(dāng)，在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，拋物線隨的增大而減小，且，在、之間的二次函數(shù)圖象上的最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，，，當(dāng)時(shí)，，，．綜上，，或，．答：，或，．（2）二次函數(shù)，頂點(diǎn)為，函數(shù)的最大值為2，當(dāng)時(shí)，如圖，最大值與最小值的差為3，，設(shè)，的對(duì)稱點(diǎn)為，，二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，，，，，根據(jù)題意得，解得，，，，，解得，，解得；當(dāng)時(shí)，如圖，最大值與最小值的差為3，，設(shè)，的對(duì)稱點(diǎn)為，，二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，，，，，根據(jù)題意得，解得，，，，，解得，，解得；綜上，的取值范圍為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和最值是解題的關(guān)鍵．6．（2023?錦州）如圖，拋物線交軸于點(diǎn)和，交軸于點(diǎn)，，頂點(diǎn)為．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）若點(diǎn)在第一象限內(nèi)對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上，四邊形的面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)是對(duì)稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn)是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)，使以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，且，如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）把點(diǎn)和點(diǎn)，代入求拋物線的表達(dá)式；（2）將四邊形分割，，利用建立方程求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）對(duì)，，，四個(gè)點(diǎn)按順時(shí)針和逆時(shí)針排成菱形，分別求解．【解答】解：（1）拋物線過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，，，，拋物線的表達(dá)式．（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，如圖．設(shè)，，，，四邊形的面積為，，，，，．（3）存在點(diǎn)，使以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，且，滿足條件的坐標(biāo)為，或，．理由如下：如圖，連接，，四邊形是菱形，且，是等邊三角形，是等邊三角形，，，直線的表達(dá)式為，，，；如圖，連接、、，四邊形是菱形，且，是等邊三角形，是等邊三角形，，，，，，，，直線的表達(dá)式為，，，，綜上，，或，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)解析式的求法，與四邊形面積和菱形結(jié)合，對(duì)于（2）關(guān)鍵是分割，對(duì)于（3）關(guān)鍵是找清分類標(biāo)準(zhǔn)．7．（2024?肇東市模擬）綜合與實(shí)踐如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)和，點(diǎn)的坐標(biāo)是，與軸交于點(diǎn)．．點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）如圖2．當(dāng)點(diǎn)在第四象限的拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接，，，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)及的最大面積；（3）當(dāng)點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，借助圖1探究以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，并直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】（1）利用待定系數(shù)法解答即可；（2）連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用，求得的面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，利用配方法和二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可；（3）利用分類討論的思想方法分兩種情形解答：當(dāng)時(shí)，四邊形為平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)求得線段即可；②當(dāng)時(shí)，四邊形為平行四邊形時(shí)，利用平行四邊形的性質(zhì)求得線段即可求得結(jié)論．【解答】解：（1）由題意得：，解得：．拋物線的表達(dá)式為；（2）連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)．，，．點(diǎn)在第四象限的拋物線上，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，．，，，當(dāng)時(shí)，的面積最大，最大值為6．此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為或或，或，．理由：①當(dāng)時(shí)，四邊形為平行四邊形，如圖，軸，令，則，解得：或3．．．四邊形為平行四邊形，．．；四邊形為平行四邊形，如圖，同理可得：，；②當(dāng)時(shí)，四邊形為平行四邊形時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，四邊形為平行四邊形，，．．在和中，，．，．令，則，解得：．，，．．．，；如圖，同理可得：，，．令，則，解得：．，．，．．．．，．綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或，或，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．8．（2023?扶余市二模）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，，頂點(diǎn)為．（1）求該拋物線的解析式，并直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖，把原拋物線軸下方的部分沿軸翻折到軸上方，將翻折得到的部分與原拋物線軸上方的部分記作圖形，在圖形中，回答：①點(diǎn)，之間的函數(shù)圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為；②當(dāng)時(shí)，求的取值范圍；③當(dāng)，且時(shí)，若最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差為，直接寫(xiě)出的值．【分析】（1）將，代入，即可求得其解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）根據(jù)頂點(diǎn)的變換（關(guān)于軸對(duì)稱）和變換后開(kāi)口向下，可以寫(xiě)出變換后的函數(shù)解析式；（3）根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)分類討論進(jìn)行求解．【解答】解：（1）將，代入，得：，解得：，拋物線的解析式為：，，點(diǎn)的坐標(biāo)為．（2）①變換后的頂點(diǎn)為，，故答案為：；②當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，的取值范圍為；③當(dāng)時(shí)，得：，解得：（舍去），當(dāng)時(shí)，得：，解得：（舍去），；由，得：，，當(dāng)時(shí)，或，解得：（舍去），，（舍去），；當(dāng)時(shí)，，解得：（舍去）；的值為或或．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)解析式的求法及其性質(zhì)和圖象的變換等，綜合性較強(qiáng)，數(shù)形結(jié)合分類討論是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．9．（2024?南丹縣一模）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為點(diǎn)．（1）求拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；（2）如圖1，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，且位于軸上方，橫坐標(biāo)為，連接，若，求的值；（3）如圖2，將拋物線平移后得到頂點(diǎn)為的拋物線．點(diǎn)為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)．當(dāng)以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形與全等時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】（1）根據(jù)、兩點(diǎn)的坐標(biāo)用待定系數(shù)法求出解析式；（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，若，則，先求直線的解析式，由點(diǎn)的坐標(biāo)可求出直線的解析式，聯(lián)立直線和拋物線方程可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，當(dāng)點(diǎn)在軸下方時(shí)，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可求出直線的解析式，同理聯(lián)立直線和拋物線方程則求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）先求出的解析式，可設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，表示、坐標(biāo)及、，根據(jù)以，，為頂點(diǎn)的三角形與全等，分類討論對(duì)應(yīng)邊相等的可能性即可求點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：（1）由題意得：，解得．拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為；（2）當(dāng)時(shí)，，，設(shè)直線的解析式為，，解得，直線的解析式為，如答圖1，當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，，，設(shè)直線的解析式為，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，解得：，直線的解析式為，，解得：，（舍去），，綜合以上可得的值為；（3）拋物線平移后得到，且頂點(diǎn)為，，即．設(shè)，則，，①如答圖2，當(dāng)在點(diǎn)上方時(shí)，，，與全等，當(dāng)且時(shí)，，，，當(dāng)且時(shí)，無(wú)解；②如答圖3，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)下方時(shí)，同理：，，，，則，．綜合可得點(diǎn)坐標(biāo)為或．【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，三角形全等的判定，應(yīng)用了數(shù)形結(jié)合和分類討論的數(shù)學(xué)思想．10．（2022?長(zhǎng)春二模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸的交點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作直線垂直于軸．（1）求拋物線的對(duì)稱軸（用含的式子表示）；（2）將拋物線在軸右側(cè)的部分沿直線翻折，其余部分保持不變，組成圖形，點(diǎn)，，，為圖形上任意兩點(diǎn)．①當(dāng)時(shí)，若，判斷與的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；②若對(duì)于，，都有，求的取值范圍；（3）當(dāng)圖象與直線恰好有3個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直接寫(xiě)出的取值范圍．【分析】（1）直接利用對(duì)稱軸公式即可求出；（2）①利用圖象法，根據(jù)函數(shù)的增減性判斷即可；②通過(guò)計(jì)算可知，點(diǎn)、、為拋物線上關(guān)于對(duì)用軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，分類討論當(dāng)變化時(shí)，軸與點(diǎn)、的相對(duì)位置：當(dāng)軸在點(diǎn)左側(cè)時(shí)（含點(diǎn)，作出圖形，即可得出經(jīng)翻折后，得到點(diǎn)，的縱坐標(biāo)相同，此時(shí)，不符題意；當(dāng)軸在點(diǎn)右側(cè)時(shí)（含點(diǎn)，作出圖形，即可得出點(diǎn)、分別和點(diǎn)、重合，此時(shí)，不符題意；當(dāng)軸在點(diǎn)、之間時(shí)（不含、，作出圖形，即可得出經(jīng)翻折后，點(diǎn)在下方，點(diǎn)、重合，在上方，此時(shí)，符合題意，即有．即；（3）當(dāng)時(shí)，圖象與直線恰好有3個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，可列不等式組，當(dāng)時(shí)，圖象與直線恰好有3個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，可列不等式組，分別解出即可得到結(jié)果．【解答】解：（1）拋物線的對(duì)稱軸為直線；（2）①當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)解析式是，對(duì)稱軸為軸，圖形如圖1所示：：圖形上的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)和，滿足隨的增大而減小，，；②通過(guò)計(jì)算可得，，為拋物線上關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，下面討論當(dāng)變化時(shí)，軸與點(diǎn)、的相對(duì)位置：如圖2所示：當(dāng)軸在點(diǎn)左側(cè)時(shí)（含點(diǎn)，經(jīng)翻折后，得到點(diǎn)、的縱坐標(biāo)相同，，不符合題意；如圖3所示：當(dāng)軸在點(diǎn)右側(cè)時(shí)（含點(diǎn)，點(diǎn)，分別和點(diǎn)、重合，，不符合題意；如圖4所示：當(dāng)軸在點(diǎn)、之間時(shí)（不含、，經(jīng)翻折后，點(diǎn)在下方，點(diǎn)、重合，在上方，，符合題意，此時(shí)有，，綜上所述：的取值范圍為；（3）當(dāng)時(shí)，如圖所示拋物線翻折后，圖象與直線：恰好有3個(gè)公共點(diǎn)在點(diǎn)、之間，，解得；當(dāng)時(shí)，如圖所示，圖象與直線恰好有3個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，，解得：．綜上所述，的取值范圍為：或．【點(diǎn)評(píng)】本題為二次函數(shù)綜合題，考查拋物線的對(duì)稱軸，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)等知識(shí)，較難，利用數(shù)形結(jié)合與分類討論的思想是解答本題的關(guān)鍵．題型五：圓中的分類討論思想1．（2023?花都區(qū)一模）如圖1，已知，在射線、上分別截取點(diǎn)、，使．（1）求證：；（2）如圖2，以為直徑在的上方作一個(gè)半圓，點(diǎn)為半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．①當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．②在線段上取一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，若，當(dāng)點(diǎn)在半圓上從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．【分析】（1）證明是等邊三角形即可得到結(jié)果．（2）連接，則，，先求出，再利用勾股定理即可求出．（3）分類討論：當(dāng)時(shí)，證明得到，點(diǎn)在邊的中垂線上，求出的高即可．②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑為圖中以為弦的弧長(zhǎng)，求出弧的圓心角，半徑，再求出弧長(zhǎng)即可．【解答】（1）證明：，，是等邊三角形，．（2）解：如圖2，連接，，，是等邊三角形，，，，點(diǎn)為半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，，，．（3）解：是等邊三角形，，，①如圖3，當(dāng)時(shí)，，，，，，點(diǎn)在邊的中垂線上，此時(shí)點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑為．②如圖4，時(shí)，即時(shí)，，，，，此時(shí)點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑為圖中以為弦的弧長(zhǎng)，最高點(diǎn)在邊中垂線上，線段的處．．設(shè)弦所在圓的半徑為，由垂徑定理得，，解得，，弦所對(duì)的圓心角為弧的長(zhǎng)．綜上得，點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，弧長(zhǎng)計(jì)算公式等知識(shí)，合理進(jìn)行分類討論，準(zhǔn)確找到點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題關(guān)鍵．2．（2023?裕華區(qū)二模）如圖1，平行四邊形中，，，，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上且，為半圓的直徑且，，如圖2，點(diǎn)從點(diǎn)處沿方向運(yùn)動(dòng)，帶動(dòng)半圓向左平移，每秒個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)停止平移，如圖3，停止平移后半圓立即繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每秒轉(zhuǎn)動(dòng)，點(diǎn)落在直線上時(shí)，停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．（1）如圖1，12；（2）如圖2，當(dāng)半圓與邊相切于點(diǎn)，求的長(zhǎng)；（3）如圖3，當(dāng)半圓過(guò)點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)，①求平移和旋轉(zhuǎn)過(guò)程中掃過(guò)的面積；②求的長(zhǎng)；（4）直接寫(xiě)出半圓與平行四邊形的邊相切時(shí)的值．（參考數(shù)據(jù)：，【分析】（1）連接，根據(jù)勾股定理可表示出，代入求解即可．（2）連接、，根據(jù)角平分線的定理可得是的角平分線，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，根據(jù)度角的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理即可求解．（3）①作輔助線，根據(jù)度角的直角三角形的性質(zhì)，即可求出平移中的面積；根據(jù)勾股定理及全等三角形的性質(zhì)與判定，即可求出旋轉(zhuǎn)中的面積．②作輔助線，結(jié)合①，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出，，即可求解．（4）分類討論：當(dāng)半圓與邊相切于點(diǎn)時(shí)；當(dāng)半圓與邊相切時(shí)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合；當(dāng)半圓與邊相切于點(diǎn)時(shí)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的角求解即可．【解答】（1）如圖，連接，在中，，，，故答案為：12．（2）如圖，連接，，半圓與邊相切于點(diǎn)，，，，是的角平分線，，，，，，在中，，．答：的長(zhǎng)為．（3）①如圖，連接，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由題意可知，，，在中，，，，，，，，，，在平移中：，．在旋轉(zhuǎn)中：，．答：平移過(guò)程中掃過(guò)的面積為，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中掃過(guò)的面積為．②如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由①可得，，，，，，，即，解得，，．答：的長(zhǎng)為．（4）當(dāng)半圓與邊相切于點(diǎn)時(shí)，；當(dāng)半圓與邊相切時(shí)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合，此時(shí)，；當(dāng)半圓與邊相切于點(diǎn)時(shí)，如圖，，，點(diǎn)到直線的距離為，即此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，，，，，綜上，的值為1或2或14．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的綜合應(yīng)用，熟練掌握勾股定理及銳角三角函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2022?順平縣二模）如圖1，將半徑為2的剪掉一個(gè)的扇形之后，得到扇形，將扇形放置在數(shù)軸上，使點(diǎn)與原點(diǎn)重合且垂直于數(shù)軸，然后將圖形沿?cái)?shù)軸正方向滾動(dòng)，直至點(diǎn)落在數(shù)軸上時(shí)停止?jié)L動(dòng)．記優(yōu)弧與數(shù)軸的切點(diǎn)為點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)作直線平行于數(shù)軸，當(dāng)與弧有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，記另一個(gè)公共點(diǎn)為點(diǎn)，將直線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到直線，交數(shù)軸于點(diǎn)．（1）當(dāng)點(diǎn)落在數(shù)軸上時(shí)，其對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的實(shí)數(shù)為；（2）當(dāng)直線經(jīng)過(guò)圓心時(shí)，線段的長(zhǎng)度為；（3）當(dāng)與扇形所在圓相切于圓的左側(cè)時(shí)，求弦的長(zhǎng)及點(diǎn)對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的實(shí)數(shù)；（4）直接寫(xiě)出整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中長(zhǎng)度的最大值．【分析】（1）利用圓的弧長(zhǎng)公式計(jì)算優(yōu)弧的長(zhǎng)即可得出結(jié)論；（2）利用分類討論的思想方法分兩種情況解答：①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，利用矩形的性質(zhì)和直角三角形的邊角關(guān)系定理解答即可；②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，利用①的方法解答即可；（3）連接，，與交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作