2024年高考數(shù)學(xué)試卷（上海）（秋考）（回憶版）（解析卷）

2024年上海市高考數(shù)學(xué)試卷（網(wǎng)絡(luò)回憶版）

2024.06

一、填空題（本大題共有12題，滿分54分.其中第1-6題每題4分，第7-12題每題滿分5分)

考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果.

U=1,2,3,4,5A=2,4

1.設(shè)全集，集合，則A=______．

【答案】1,3,5

【解析】

【分析】根據(jù)補(bǔ)集的定義可求A.

【詳解】由題設(shè)有A=1,3,5，

故答案為：1,3,5

?ìx,x>0

2.已知fx=í,則f3=______．

??1,x￡0

【答案】3

【解析】

【分析】利用分段函數(shù)的形式可求f3.

?ìx,x>0

【詳解】因?yàn)閒x=í,故f3=3，

??1,x￡0

故答案為：3.

3.已知x?R,則不等式x2-2x-3<0的解集為______．

【答案】x|-1<x<3

【解析】

【分析】求出方程x2-2x-3=0的解后可求不等式的解集.

【詳解】方程x2-2x-3=0的解為x=-1或x=3，

故不等式x2-2x-3<0的解集為x|-1<x<3，

故答案為：x|-1<x<3.

第1頁/共17頁

4.已知fx=x3+a，x?R，且fx是奇函數(shù)，則a=______．

【答案】0

【解析】

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可求參數(shù)a.

【詳解】因?yàn)閒x是奇函數(shù)，故f-x+f(x)=0即x3+a+-x3+a=0，

故a=0，

故答案為：0.

rr

5.已知k?R,ar=2,5,b=6,k，且ar//b，則k的值為______．

【答案】15

【解析】

【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示得到方程，解出即可.

【詳解】rr，，解得．

Qa//b\2k=5′6k=15

故答案為：15．

6.在(x+1)n的二項(xiàng)展開式中，若各項(xiàng)系數(shù)和為32，則x2項(xiàng)的系數(shù)為______．

【答案】10

【解析】

【分析】令x=1，解出n=5，再利用二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)合理賦值即可.

【詳解】令x=1，\(1+1)n=32，即2n=32，解得n=5，

5r5-r

所以(x+1)的展開式通項(xiàng)公式為Tr+1=C5×x，令5-r=2，則r=3，

322

\T4=C5x=10x．

故答案為：10．

7.已知拋物線y2=4x上有一點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為9，那么點(diǎn)P到x軸的距離為______．

【答案】42

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線的定義知xP=8，將其再代入拋物線方程即可.

2

【詳解】由y=4x知拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-1，設(shè)點(diǎn)Px0,y0，由題意得x0+1=9，解得x0=8，

第2頁/共17頁

22

代入拋物線方程y=4x，得y0=32，解得y0=±42，

則點(diǎn)P到x軸的距離為42．

故答案為：42．

8.某校舉辦科學(xué)競技比賽，有A、B、C3種題庫，A題庫有5000道題，B題庫有4000道題，C題庫有

3000道題．小申已完成所有題，他A題庫的正確率是0.92，B題庫的正確率是0.86，C題庫的正確率是

0.72．現(xiàn)他從所有的題中隨機(jī)選一題，正確率是______．

【答案】0.85

【解析】

【分析】求出各題庫所占比，根據(jù)全概率公式即可得到答案.

【詳解】由題意知，A,B,C題庫的比例為：5:4:3，

543

各占比分別為,,，

121212

543

則根據(jù)全概率公式知所求正確率p=′0.92+′0.86+′0.72=0.85．

121212

故答案為：0.85．

2

9.已知虛數(shù)z，其實(shí)部為1，且z+=mm?R，則實(shí)數(shù)m為______．

z

【答案】2

【解析】

【分析】設(shè)z=1+bi，直接根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，再根據(jù)復(fù)數(shù)分類即可得到答案.

【詳解】設(shè)z=1+bi，b?R且b10.

22?b2+3??b3-b?

則z+=1+bi+=?2÷+?2÷i=m，

z1+biè1+b?è1+b?

ìb2+3

?2=m

?1+b

m?R，\í，解得m=2，

Qb3-b

?=0

??1+b2

故答案為：2.

10.設(shè)集合A中的元素皆為無重復(fù)數(shù)字的三位正整數(shù)，且元素中任意兩者之積皆為偶數(shù)，求集合中元素個(gè)數(shù)

的最大值______．

第3頁/共17頁

【答案】329

【解析】

【分析】三位數(shù)中的偶數(shù)分個(gè)位是0和個(gè)位不是0討論即可.

【詳解】由題意知集合中且至多只有一個(gè)奇數(shù)，其余均是偶數(shù)．

首先討論三位數(shù)中的偶數(shù)，

2

①當(dāng)個(gè)位為0時(shí)，則百位和十位在剩余的9個(gè)數(shù)字中選擇兩個(gè)進(jìn)行排列，則這樣的偶數(shù)有P9=72個(gè)；

111

②當(dāng)個(gè)位不為0時(shí)，則個(gè)位有C4個(gè)數(shù)字可選，百位有C8=256個(gè)數(shù)字可選，十位有C8個(gè)數(shù)字可選，

111

根據(jù)分步乘法這樣的偶數(shù)共有C4C8C8=256，

最后再加上單獨(dú)的奇數(shù)，所以集合中元素個(gè)數(shù)的最大值為72+256+1=329個(gè)．

故答案為：329．

11.已知點(diǎn)B在點(diǎn)C正北方向，點(diǎn)D在點(diǎn)C的正東方向，BC=CD,存在點(diǎn)A滿足

DBAC=16.5°,DDAC=37°，則DBCA=______(精確到0.1度)

【答案】7.8°

【解析】

CACD

【分析】設(shè)DBCA=q，在△DCA和VBCA中分別利用正弦定理得到=，

sinDsinDCAD

CACB

=，兩式相除即可得到答案.

sinq+16.5osin16.5o

【詳解】設(shè)DBCA=q,DACD=90o-q，

CACD

在△DCA中，由正弦定理得=，

sinDsinDCAD

CACD

即=’

éoooùsin37.0o

sin?180-90-q+37.0?

第4頁/共17頁

CACD

即=①

sin90o-q+37.0osin37.0o

CACB

在VBCA中，由正弦定理得=，

sinBsinDCAB

CACBCACB

即=，即=，②

éooùsin16.5oosin16.5o

sin?180-q+16.5?sinq+16.5

②sin90o-q+37.0osin37.0o

因?yàn)镃D=CB，得=，

①sinq+16.5osin16.5o

利用計(jì)算器即可得q?7.8o，

故答案為：7.8o.

12.無窮等比數(shù)列an滿足首項(xiàng)a1>0,q>1，記In=x-yx,y?a1,a2èan,an+1，若對任意正整數(shù)n

集合In是閉區(qū)間，則q的取值范圍是______．

【答案】q32

【解析】

x3y

【分析】當(dāng)n32時(shí)，不妨設(shè)，則x-y?0,a2-a1Uan-a2,an+1-a1U0,an+1-an，結(jié)合In為

1

閉區(qū)間可得q-23-對任意的n32恒成立，故可求q的取值范圍.

qn-2

【詳解】由題設(shè)有n-1，因?yàn)閍>0,q>1，故a>a，故a,a=éaqn-1,aqnù，

an=a1q1n+1nnn+1?11?

當(dāng)n=1時(shí)，x,y?a1,a2，故x-y?a1-a2,a2-a1，此時(shí)I1為閉區(qū)間，

當(dāng)n32時(shí)，不妨設(shè)x3y，若x,y?a1,a2，則x-y?0,a2-a1，

若y?a1,a2,x?an,an+1，則x-y?an-a2,an+1-a1，

若x,y?an,an+1，則x-y?0,an+1-an，

綜上，x-y?0,a2-a1Uan-a2,an+1-a1U0,an+1-an，

又In為閉區(qū)間等價(jià)于0,a2-a1èan-a2,an+1-a1è0,an+1-an為閉區(qū)間，

而an+1-a1>an+1-an>a2-a1，故an+1-an3an-a2對任意n32恒成立，

n-1n-2

故an+1-2an+a230即a1qq-2+a230，故qq-2+130，

第5頁/共17頁

1

故q-23-對任意的n32恒成立，因q>1，

qn-2

1

故當(dāng)n?+￥時(shí)，-?0，故q-230即q32.

qn-2

故答案為：q32.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：與等比數(shù)列性質(zhì)有關(guān)的不等式恒成立，可利用基本量法把恒成立為轉(zhuǎn)為關(guān)于與公比有

關(guān)的不等式恒成立，必要時(shí)可利用參變分離來處理.

二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，其中第13-14題每題滿分4分，第15-16題每題

滿分5分)每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格

涂黑，選對得滿分，否則一律得零分.

13.已知?dú)夂驕囟群秃Ｋ韺訙囟认嚓P(guān)，且相關(guān)系數(shù)為正數(shù)，對此描述正確的是（）

A.氣候溫度高，海水表層溫度就高

B.氣候溫度高，海水表層溫度就低

C.隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈上升趨勢

D.隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈下降趨勢

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)可得正確的選項(xiàng).

【詳解】對于AB，當(dāng)氣候溫度高，海水表層溫度變高變低不確定，故AB錯(cuò)誤.

對于CD，因?yàn)橄嚓P(guān)系數(shù)為正，故隨著氣候溫度由低到高時(shí)，海水表層溫度呈上升趨勢，

故C正確，D錯(cuò)誤.

故選：C.

14.下列函數(shù)fx的最小正周期是2π的是（）

A.sinx+cosxB.sinxcosx

C.sin2x+cos2xD.sin2x-cos2x

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)輔助角公式、二倍角公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系并結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.

第6頁/共17頁

?π?

【詳解】對A，sinx+cosx=2sin?x+÷，周期T=2π，故A正確；

è4?

12π

對B，sinxcosx=sin2x，周期T==π，故B錯(cuò)誤；

22

對于選項(xiàng)C，sin2x+cos2x=1，是常值函數(shù)，不存在最小正周期，故C錯(cuò)誤；

2π

對于選項(xiàng)D，sin2x-cos2x=-cos2x，周期T==π，故D錯(cuò)誤，

2

故選：A．

15.定義一個(gè)集合Ω，集合中的元素是空間內(nèi)的點(diǎn)集，任取P1,P2,P3?Ω，存在不全為0的實(shí)數(shù)l1,l2,l3，

uuuruuuruuurr

使得l1OP1+l2OP2+l3OP3=0．已知(1,0,0)?Ω，則(0,0,1)?Ω的充分條件是（）

A.0,0,0?WB.-1,0,0?W

C.0,1,0?WD.0,0,-1?W

【答案】C

【解析】

【分析】首先分析出三個(gè)向量共面，顯然當(dāng)1,0,0,0,0,1,0,1,0?Ω時(shí)，三個(gè)向量構(gòu)成空間的一個(gè)基底，

則即可分析出正確答案.

uuuruuuruuur

【詳解】由題意知這三個(gè)向量OP1,OP2,OP3共面，即這三個(gè)向量不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，

對A，由空間直角坐標(biāo)系易知0,0,0,(1,0,0),(0,0,1)三個(gè)向量共面，則當(dāng)-1,0,0,(1,0,0)?W無法推出

(0,0,1)?Ω，故A錯(cuò)誤；

對B，由空間直角坐標(biāo)系易知-1,0,0,(1,0,0),(0,0,1)三個(gè)向量共面，則當(dāng)0,0,0,(1,0,0)?W無法推出

(0,0,1)?Ω，故A錯(cuò)誤；

對C，由空間直角坐標(biāo)系易知1,0,0,0,0,1,0,1,0三個(gè)向量不共面，可構(gòu)成空間的一個(gè)基底，

則由1,0,0,0,1,0?Ω能推出0,0,1?Ω，

對D，由空間直角坐標(biāo)系易知1,0,0,0,0,1,0,0,-1三個(gè)向量共面，

則當(dāng)0,0,-1(1,0,0)?W無法推出(0,0,1)?Ω，故D錯(cuò)誤.

故選：C．

第7頁/共17頁

f(x)

16.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，定義集合M=x0x0?R,x?-￥,x0,fx<fx0，在使得

M=-1,1的所有fx中，下列成立的是（）

A.存在fx是偶函數(shù)B.存在fx在x=2處取最大值

C.存在fx是嚴(yán)格增函數(shù)D.存在fx在x=-1處取到極小值

【答案】B

【解析】

【分析】對于ACD利用反證法并結(jié)合函數(shù)奇偶性、單調(diào)性以及極小值的概念即可判斷，對于B，構(gòu)造函數(shù)

ì-2,x<-1

?

fx=íx,-1￡x￡1即可判斷.

?

?1,x>1

【詳解】對于A，若存在y=f(x)是偶函數(shù),取x0=1?[-1,1],

則對于任意x?(-￥,1),f(x)<f(1),而f(-1)=f(1),矛盾,故A錯(cuò)誤；

ì-2,x<-1,

?

對于B，可構(gòu)造函數(shù)fx=íx,-1￡x￡1,滿足集合M=-1,1，

?

?1,x>1,

當(dāng)x<-1時(shí)，則fx=-2，當(dāng)-1￡x￡1時(shí)，fx?-1,1，當(dāng)x>1時(shí)，fx=1，

則該函數(shù)fx的最大值是f2，則B正確；

對C，假設(shè)存在fx，使得fx嚴(yán)格遞增，則M=R，與已知M=-1,1矛盾，則C錯(cuò)誤；

對D，假設(shè)存在fx，使得fx在x=-1處取極小值，則在-1的左側(cè)附近存在n，使得

fn>f-1，這與已知集合M的定義矛盾，故D錯(cuò)誤；

故選：B.

三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)

寫出必要的步驟

17.如圖為正四棱錐P-ABCD,O為底面ABCD的中心．

第8頁/共17頁

（1）若AP=5,AD=32，求VPOA繞PO旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積；

（2）若AP=AD,E為PB的中點(diǎn)，求直線BD與平面AEC所成角的大?。?/p>

【答案】（1）12π

π

（2）

4

【解析】

【分析】（1）根據(jù)正四棱錐的數(shù)據(jù)，先算出直角三角形VPOA的邊長，然后求圓錐的體積；

（2）連接EA,EO,EC，可先證BE^平面ACE，根據(jù)線面角的定義得出所求角為DBOE，然后結(jié)合題

目數(shù)量關(guān)系求解.

【小問1詳解】

正四棱錐滿足且PO^平面ABCD，由AOì平面ABCD，則PO^AO，

又正四棱錐底面ABCD是正方形，由AD=32可得，AO=3，

故PO=PA2-AO2=4，

根據(jù)圓錐的定義，VPOA繞PO旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是以PO為軸，AO為底面半徑的圓錐，

即圓錐的高為PO=4，底面半徑為AO=3，

1

根據(jù)圓錐的體積公式，所得圓錐的體積是′π′32′4=12π

3

【小問2詳解】

連接EA,EO,EC，由題意結(jié)合正四棱錐的性質(zhì)可知，每個(gè)側(cè)面都是等邊三角形，

由E是PB中點(diǎn)，則AE^PB,CE^PB，又AEICE=E,AE,CEì平面ACE，

故PB^平面ACE，即BE^平面ACE，又BDI平面ACE=O，

第9頁/共17頁

于是直線BD與平面AEC所成角的大小即為DBOE，

32

不妨設(shè)AP=AD=6，則BO=32,BE=3，sinDBOE==，

322

éπù

又線面角的范圍是0,，

?ê2?ú

π

故DBOE=.即為所求.

4

18.若fx=logax(a>0,a11)．

（1）y=fx過4,2，求f2x-2<fx的解集；

（2）存在x使得fx+1、fax、fx+2成等差數(shù)列，求a的取值范圍．

【答案】（1）x|1<x<2

（2）a>1

【解析】

【分析】（1）求出底數(shù)a，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可求不等式的解；

2

2?13?1

（2）存在x使得fx+1、fax、fx+2成等差數(shù)列等價(jià)于a=2?+÷-在0,+￥上有解，

èx4?8

利用換元法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求a的取值范圍．

【小問1詳解】

2

因?yàn)閥=fx的圖象過4,2，故loga4=2，故a=4即a=2（負(fù)的舍去），

而fx=log2x在0,+￥上為增函數(shù)，故f2x-2<fx，

故0<2x-2<x即1<x<2，

故f2x-2<fx的解集為x|1<x<2.

【小問2詳解】

因?yàn)榇嬖趚使得fx+1、fax、fx+2成等差數(shù)列，

故2fax=fx+1+fx+2有解，故2logaax=logax+1+logax+2，

因?yàn)閍>0,a11，故x>0，故a2x2=x+1x+2在0,+￥上有解，

x2+3x+2321321

由2??在0,+￥上有解，

a=2=1++2=2?+÷-

xxxèx4?8

第10頁/共17頁

2

1?3?1

令t=?0,+￥，而y=2?t+÷-在0,+￥上的值域?yàn)?,+￥，

xè4?8

故a2>1即a>1.

19.為了解某地初中學(xué)生體育鍛煉時(shí)長與學(xué)業(yè)成績的關(guān)系，從該地區(qū)29000名學(xué)生中抽取580人，得到日均

體育鍛煉時(shí)長與學(xué)業(yè)成績的數(shù)據(jù)如下表所示：

時(shí)間范圍

0,0.50.5,11,1.51.5,22,2.5

學(xué)業(yè)成績

優(yōu)秀5444231

不優(yōu)秀1341471374027

（1）該地區(qū)29000名學(xué)生中體育鍛煉時(shí)長不少于1小時(shí)人數(shù)約為多少？

（2）估計(jì)該地區(qū)初中學(xué)生日均體育鍛煉的時(shí)長（精確到0.1）

（3）是否有95%的把握認(rèn)為學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀與日均體育鍛煉時(shí)長不小于1小時(shí)且小于2小時(shí)有關(guān)？

n(ad-bc)2

（附：c2=,其中n=a+b+c+d，Pc233.841?0.05．）

a+bc+da+cb+d

【答案】（1）12500

（2）0.9h

（3）有

【解析】

【分析】（1）求出相關(guān)占比，乘以總?cè)藬?shù)即可；

（2）根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式即可得到答案；

（3）作出列聯(lián)表，再提出零假設(shè)，計(jì)算卡方值和臨界值比較大小即可得到結(jié)論.

【小問1詳解】

179+43+2825

由表可知鍛煉時(shí)長不少于1小時(shí)的人數(shù)為占比=，

58058

25

則估計(jì)該地區(qū)29000名學(xué)生中體育鍛煉時(shí)長不少于1小時(shí)的人數(shù)為29000′=12500．

58

【小問2詳解】

估計(jì)該地區(qū)初中生的日均體育鍛煉時(shí)長約為

第11頁/共17頁

1é0.50.5+11+1.51.5+22+2.5ù

′139+′191+′179+′43+′28?0.9．

580?ê22222?ú

則估計(jì)該地區(qū)初中學(xué)生日均體育鍛煉的時(shí)長為0.9小時(shí).

【小問3詳解】

由題列聯(lián)表如下：

1,2其他合計(jì)

優(yōu)秀455095

不優(yōu)秀177308485

合計(jì)222358580

提出零假設(shè)H0：該地區(qū)成績優(yōu)秀與日均鍛煉時(shí)長不少于1小時(shí)但少于2小時(shí)無關(guān)．

其中a=0.05．

580′(45′308-177′50)2

c2=?3.976>3.841．

95′485′222′358

則零假設(shè)不成立，

即有95%的把握認(rèn)為學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀與日均鍛煉時(shí)長不小于1小時(shí)且小于2小時(shí)有關(guān)．

2

2y

20.已知雙曲線Γ:x-=1,(b>0),左右頂點(diǎn)分別為A1,A2，過點(diǎn)M-2,0的直線l交雙曲線Γ于P,Q

b2

兩點(diǎn).

（1）若離心率e=2時(shí)，求b的值．

26

（2）若b=,△MAP為等腰三角形時(shí)，且點(diǎn)P在第一象限，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

32

OQuuuruuuur的

（3）連接并延長，交雙曲線Γ于點(diǎn)R，若A1R×A2P=1，求b取值范圍．

【答案】（1）b=3

（2）P2,22

?30ù

（3）0,3U?3,ú

è3?

【解析】

【分析】（1）根據(jù)離心率公式計(jì)算即可；

第12頁/共17頁

（2）分三角形三邊分別為底討論即可；

（3）設(shè)直線l:x=my-2，聯(lián)立雙曲線方程得到韋達(dá)定理式，再代入計(jì)算向量數(shù)量積的等式計(jì)算即可.

【小問1詳解】

cc

由題意得e===2，則c=2，b=22-1=3．

a1

【小問2詳解】

y2

26Γ:x2-=1

當(dāng)b=時(shí)，雙曲線8，其中M-2,0，A21,0，

3

3

因?yàn)椤鱉A2P為等腰三角形，則

1

①當(dāng)以MA為底時(shí)，顯然點(diǎn)P在直線x=-上，這與點(diǎn)P在第一象限矛盾，故舍去；

22

②當(dāng)以A2P為底時(shí)，MP=MA2=3，

ì23ì23

ì3y2x=-x=-

?x2-=1?11?11ìx=1

設(shè)Px,y，則í8,聯(lián)立解得í或í或í，

?22?817?817?y=0

?(x+2)+y=9y=-y=

??11??11

因?yàn)辄c(diǎn)P在第一象限，顯然以上均不合題意，舍去；

（或者由雙曲線性質(zhì)知MP>MA2，矛盾，舍去）；

③當(dāng)以MP為底時(shí)，A2P=MA2=3，設(shè)Px0,y0，其中x0>0,y0>0，

ìx-12+y2=9

?00

2ìx=2

?y?0

則有í20，解得í，即P2,22．

x0-=1

?8??y0=22

??3

綜上所述：P2,22.

【小問3詳解】

由題知A1-1,0,A21,0，

uuuruuuur

當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，此時(shí)A1R×A2P=0，不合題意，則kl10，

則設(shè)直線l:x=my-2，

設(shè)點(diǎn)Px1,y1,Qx2,y2，根據(jù)OQ延長線交雙曲線Γ于點(diǎn)R，

第13頁/共17頁

根據(jù)雙曲線對稱性知R-x2,-y2，

ìx=my-2

?

聯(lián)立有2Tb2m2-1y2-4b2my+3b2=0，

í2y

?x-2=1

?b

顯然二次項(xiàng)系數(shù)b2m2-110，

2

其中Δ=-4mb2-4b2m2-13b2=4b4m2+12b2>0，

4b2m3b2

y+y=①，yy=②，

12b2m2-112b2m2-1

uuuruuuur

A1R=-x2+1,-y2,A2P=x1-1,y1，

uuuruuuur

則A1R×A2P=-x2+1x1-1-y1y2=1，因?yàn)镻x1,y1,Qx2,y2在直線l上，

則x=my-2，x=my-2，

1122

2

即-my2-3my1-3-y1y2=1，即y1y2m+1-y1+y23m+10=0，

3b24b2m

將①②代入有2，

m+1×22-3m×22+10=0

bm-1bm-1

即3b2m2+1-3m×4b2m+10b2m2-1=0

化簡得b2m2+3b2-10=0，

210

所以m=-3,代入到b2m2-110,得b2=10-3b211,所以b213,

b2

101010

且m2=-330，解得b2￡，又因?yàn)閎>0，則0<b2￡，

b233

2?10ù?30ù

綜上知，b?0,3U?3,ú，\b?0,3U?3,ú．

è3?è3?

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問的關(guān)鍵是采用設(shè)線法，為了方便運(yùn)算可設(shè)l:x=my-2，將其與雙曲線

方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理式，再寫出相關(guān)向量，代入計(jì)算，要注意排除聯(lián)立后的方程得二次項(xiàng)系數(shù)不為0.

第14頁/共17頁

22

21.對于一個(gè)函數(shù)fx和一個(gè)點(diǎn)Ma,b，令sx=(x-a)+(fx-b)，若Px0,fx0是sx

取到最小值的點(diǎn)，則稱P是M在fx的“最近點(diǎn)”．

1

（1）對于f(x)=(x>0)，求證：對于點(diǎn)M0,0，存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P是M在fx的“最近點(diǎn)”；

x

x

（2）對于fx=e,M1,0，請判斷是否存在一個(gè)點(diǎn)P，它是M在fx的“最近點(diǎn)”，且直線MP與

y=f(x)在點(diǎn)P處的切線垂直；

（3）已知y=f(x)在定義域R上存在導(dǎo)函數(shù)f￠(x)，且函數(shù)g(x)在定義域R上恒正，設(shè)點(diǎn)

M1t-1,ft-gt，M2t+1,ft+gt．若對任意的t?R，存在點(diǎn)P同時(shí)是M1,M2在fx

的“最近點(diǎn)”，試判斷fx的單調(diào)性．

【答案】（1）證明見解析

（2）存在，P0,1

（3）嚴(yán)格單調(diào)遞減

【解析】

【分析】（1）代入M(0,0)，利用基本不等式即可；

22x

（2）由題得sx=(x-1)+e，利用導(dǎo)函數(shù)得到其最小值，則得到P，再證明直線MP與切線垂直即可；

1

（3）根據(jù)題意得到s￠x=s￠x=0，對兩等式化簡得f￠x0=-，再利用“最近點(diǎn)”的定義得

1020g(t)

到不等式組，即可證明x0=t，最后得到函數(shù)單調(diào)性.

【小問1詳解】

1211

當(dāng)M(0,0)時(shí)，2??22，

sx=(x-0)+?-0÷=x+232x×2=2

èx?xx

1

當(dāng)且僅當(dāng)x2=即x=1時(shí)取等號，

x2

故對于點(diǎn)M0,0，存在點(diǎn)P1,1，使得該點(diǎn)是M0,0在fx的“最近點(diǎn)”．

【小問2詳解】

2

由題設(shè)可得sx=(x-1)2+ex-0=(x-1)2+e2x，

則s￠x=2x-1+2e2x，因?yàn)閥=2x-1,y=2e2x均為R上單調(diào)遞增函數(shù)，

第15頁/共17頁

則s￠x=2x-1+2e2x在R上為嚴(yán)格增函數(shù)，

而s￠0=0，故當(dāng)x<0時(shí)，s￠x<0，當(dāng)x>0時(shí)，s￠x>0，

故sx=s0=2，此時(shí)P0,1，

min

x

而f￠x=e,k=f￠0=1，故fx在點(diǎn)P處的切線方程為y=x+1.

0-1

而k=