2024年高考數(shù)學(xué)試卷（文）（全國(guó)甲卷）（解析卷）

絕密★啟用前

2024年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

全國(guó)甲卷文科數(shù)學(xué)

使用范圍：陜西、寧夏、青海、內(nèi)蒙古、四川

注意事項(xiàng)：

1．答題前，務(wù)必將自己的姓名、考籍號(hào)填寫在答題卡規(guī)定的位置上．

2．答選擇題時(shí)，必須使用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮

擦擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．

3．答非選擇題時(shí)，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上．

4．所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無(wú)效．

5．考試結(jié)束后，只將答題卡交回．

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的．

A=1,2,3,4,5,9B=xx+1?A

1.集合，，則AIB=（）

A.1,2,3,4B.1,2,3C.3,4D.1,2,9

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)集合B的定義先算出具體含有的元素，然后根據(jù)交集的定義計(jì)算.

【詳解】依題意得，對(duì)于集合B中的元素x，滿足x+1=1,2,3,4,5,9，

則x可能的取值為0,1,2,3,4,8，即B={0,1,2,3,4,8}，

于是A?B={1,2,3,4}.

故選：A

2.設(shè)z=2i，則z×z=（）

A.-iB.1C.-1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】先根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義寫出z，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法計(jì)算.

第1頁(yè)/共15頁(yè)

【詳解】依題意得，z=-2i，故zz=-2i2=2.

故選：D

ì4x-3y-330

?

3.若實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件íx-2y-2￡0，則z=x-5y的最小值為（）

?

?2x+6y-9￡0

17

A.5B.C.-2D.-

22

【答案】D

【解析】

【分析】畫出可行域后，利用z的幾何意義計(jì)算即可得.

ì4x-3y-330

?

【詳解】實(shí)數(shù)x,y滿足íx-2y-2￡0，作出可行域如圖：

?

?2x+6y-9￡0

11

由z=x-5y可得y=x-z，

55

111

即z的幾何意義為y=x-z的截距的-，

555

則該直線截距取最大值時(shí)，z有最小值，

11

此時(shí)直線y=x-z過(guò)點(diǎn)A，

55

ì3

ì4x-3y-3=0?x=?3?

聯(lián)立í，解得í2，即A?,1÷，

?2x+6y-9=0è2?

??y=1

37

則z=-5′1=-.

min22

故選：D.

4.等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S9=1，a3+a7=（）

72

A.-2B.C.1D.

39

【答案】D

【解析】

第2頁(yè)/共15頁(yè)

【分析】可以根據(jù)等差數(shù)列的基本量，即將題目條件全轉(zhuǎn)化成a1和d來(lái)處理，亦可用等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行

處理，或者特殊值法處理.

【詳解】方法一：利用等差數(shù)列的基本量

9′8

由S=1，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，S=9a+d=1?9a+36d=1，

99121

22

又a+a=a+2d+a+6d=2a+8d=(9a+36d)=.

37111919

故選：D

方法二：利用等差數(shù)列的性質(zhì)

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，，由，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，

a1+a9=a3+a7S9=1

9(a+a)9(a+a)2

S=19=37=1，故a+a=.

922379

故選：D

方法三：特殊值法

12

不妨取等差數(shù)列公差d=0，則S=1=9aTa=，則a+a=2a=.

91193719

故選：D

5.甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（）

1112

A.B.C.D.

4323

【答案】B

【解析】

【分析】分類討論甲乙的位置，得到符合條件的情況，然后根據(jù)古典概型計(jì)算公式進(jìn)行求解.

【詳解】當(dāng)甲排在排尾，乙排第一位，丙有2種排法，丁就1種，共2種；

當(dāng)甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1種排法，丁就1種，共2種；

于是甲排在排尾共4種方法，同理乙排在排尾共4種方法，于是共8種排法符合題意；

4

基本事件總數(shù)顯然是A4=24，

81

根據(jù)古典概型的計(jì)算公式，丙不在排頭，甲或乙在排尾的概率為=.

243

故選：B

y2x2

6.已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的上、下焦點(diǎn)分別為F10,4,F20,-4，點(diǎn)P-6,4在該雙曲

a2b2

線上，則該雙曲線的離心率為（）

第3頁(yè)/共15頁(yè)

A.4B.3C.2D.2

【答案】C

【解析】

【分析】由焦點(diǎn)坐標(biāo)可得焦距2c，結(jié)合雙曲線定義計(jì)算可得2a，即可得離心率.

【詳解】由題意，F(xiàn)10,-4、F20,4、P-6,4，

則FF=2c=8，22，22，

12PF1=6+4+4=10PF2=6+4-4=6

2c8

則2a=PF-PF=10-6=4，則e===2.

122a4

故選：C.

7.曲線fx=x6+3x-1在0,-1處的切線與坐標(biāo)軸圍成的面積為（）

1313

A.B.C.D.-

6222

【答案】A

【解析】

【分析】先求出切線方程，再求出切線的截距，從而可求面積.

【詳解】f￠x=6x5+3，所以f￠0=3，故切線方程為y=3(x-0)-1=3x-1，

1111

故切線的橫截距為，縱截距為-1，故切線與坐標(biāo)軸圍成的面積為′1′=

3236

故選：A.

8.函數(shù)fx=-x2+ex-e-xsinx在區(qū)間[-2.8,2.8]的大致圖像為（）

A.B.

C.D.

【答案】B

【解析】

第4頁(yè)/共15頁(yè)

【分析】利用函數(shù)的奇偶性可排除A、C，代入x=1可得f1>0，可排除D.

【詳解】f-x=-x2+e-x-exsin-x=-x2+ex-e-xsinx=fx，

又函數(shù)定義域?yàn)?2.8,2.8，故該函數(shù)為偶函數(shù)，可排除A、C，

?1??1?πe111

又f1=-1+?e-÷sin1>-1+?e-÷sin=-1->->0，

èe?èe?622e42e

故可排除D.

故選：B.

cosa?π?

9.已知=3，則tan?a+÷=（）

cosa-sinaè4?

3

A.23+1B.23-1C.D.1-3

2

【答案】B

【解析】

cosa

【分析】先將弦化切求得tana，再根據(jù)兩角和的正切公式即可求解.

cosa-sina

cosa

【詳解】因?yàn)?3，

cosa-sina

13

所以=3，Ttana=1-，

1-tana3

?p?tana+1

所以tan?a+÷==23-1，

è4?1-tana

故選：B.

原10題略

10.設(shè)a、b是兩個(gè)平面，m、n是兩條直線，且aIb=m.下列四個(gè)命題：

①若m//n，則n//a或n//b②若m^n，則n^a,n^b

③若n//a，且n//b，則m//n④若n與a和b所成的角相等，則m^n

其中所有真命題的編號(hào)是（）

A.①③B.②④C.①②③D.①③④

【答案】A

第5頁(yè)/共15頁(yè)

【解析】

【分析】根據(jù)線面平行的判定定理即可判斷①；舉反例即可判斷②④；根據(jù)線面平行的性質(zhì)即可判斷③.

【詳解】對(duì)①，當(dāng)nìa，因?yàn)閙//n，mìb，則n//b，

當(dāng)nìb，因?yàn)閙//n，mìa，則n//a，

當(dāng)n既不在a也不在b內(nèi)，因?yàn)閙//n，mìa,mìb，則n//a且n//b，故①正確；

對(duì)②，若m^n，則n與a,b不一定垂直，故②錯(cuò)誤；

對(duì)③，過(guò)直線n分別作兩平面與a,b分別相交于直線s和直線t，

因?yàn)閚//a，過(guò)直線n的平面與平面a的交線為直線s，則根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理知n//s，

同理可得n//t，則s//t，因?yàn)閟?平面b，tì平面b，則s//平面b，

因?yàn)閟ì平面a，aIb=m，則s//m，又因?yàn)閚//s，則m//n，故③正確；

對(duì)④，若a?b=m,n與a和b所成的角相等，如果n//a,n//b，則m//n，故④錯(cuò)誤；

綜上只有①③正確，

故選：A.

π9

11.在ABC中內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊分別為a,b,c，若B=，b2=ac，則sinA+sinC=（）

V34

373

A.B.2C.D.

222

【答案】C

【解析】

113

【分析】利用正弦定理得sinAsinC=，再利用余弦定理有a2+c2=ac，再利用正弦定理得到

34

sin2A+sin2C的值，最后代入計(jì)算即可.

p941

【詳解】因?yàn)锽=,b2=ac，則由正弦定理得sinAsinC=sin2B=.

3493

第6頁(yè)/共15頁(yè)

9

由余弦定理可得:b2=a2+c2-ac=ac，

4

131313

即:a2+c2=ac，根據(jù)正弦定理得sin2A+sin2C=sinAsinC=，

4412

7

所以(sinA+sinC)2=sin2A+sin2C+2sinAsinC=，

4

7

因?yàn)锳,C為三角形內(nèi)角，則sinA+sinC>0，則sinA+sinC=.

2

故選：C.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．

原13題略

12.函數(shù)fx=sinx-3cosx在0,π上的最大值是______．

【答案】2

【解析】

【分析】結(jié)合輔助角公式化簡(jiǎn)成正弦型函數(shù)，再求給定區(qū)間最值即可.

?π?πéπ2πù

【詳解】fx=sinx-3cosx=2sin?x-÷，當(dāng)x?0,π時(shí)，x-?-,，

è3?3?ê33?ú

ππ5π

當(dāng)x-=時(shí)，即x=時(shí)，fx=2.

326max

故答案為：2

115

13.已知a>1，-=-，則a=______．

log8aloga42

【答案】64

【解析】

【分析】將log8a,loga4利用換底公式轉(zhuǎn)化成log2a來(lái)表示即可求解.

11315

-=-loga=-2

【詳解】由題2，整理得log2a-5log2a-6=0，

log8aloga4log2a22

Tlog2a=-1或log2a=6，又a>1，

66

所以log2a=6=log22，故a=2=64

故答案為：64.

第7頁(yè)/共15頁(yè)

2

14.曲線y=x3-3x與y=-x-1+a在0,+￥上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則a的取值范圍為_(kāi)_____．

【答案】-2,1

【解析】

2

【分析】將函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程，令x3-3x=-x-1+a，分離參數(shù)a，構(gòu)造新函數(shù)

gx=x3+x2-5x+1,結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得gx單調(diào)區(qū)間，畫出大致圖形數(shù)形結(jié)合即可求解.

232

【詳解】令x3-3x=-x-1+a，即a=x3+x2-5x+1，令gx=x+x-5x+1x>0,

則g￠x=3x2+2x-5=3x+5x-1，令g￠x=0x>0得x=1，

當(dāng)x?0,1時(shí)，g￠x<0，gx單調(diào)遞減，

當(dāng)x?1,+￥時(shí)，g￠x>0，gx單調(diào)遞增，g0=1,g1=-2，

2

因?yàn)榍€y=x3-3x與y=-x-1+a在0,+￥上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

所以等價(jià)于y=a與gx有兩個(gè)交點(diǎn)，所以a?-2,1.

故答案為：-2,1

三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．第17題第21題為必

考題，每個(gè)考題考生必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．

（一）必考題：共60分．

15.已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且2Sn=3an+1-3.

（1）求an的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列Sn的通項(xiàng)公式.

n-1

?5?

【答案】（1）

an=?÷

è3?

第8頁(yè)/共15頁(yè)

n

3?5?3

（2）?÷-

2è3?2

【解析】

【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首項(xiàng)后可求通項(xiàng)；

（2）利用等比數(shù)列的求和公式可求Sn.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)?Sn=3an+1-3,故2Sn-1=3an-3，

5

所以2a=3a-3an32即5a=3a故等比數(shù)列的公比為q=，

nn+1nnn+13

n-1

5?5?

故2a=3a-3=3a′-3=5a-3，故a=1，故.

12111an=?÷

3è3?

【小問(wèn)2詳解】

n

é?5?ù

1′1-

ê?÷ún

êè3?ú3?5?3

由等比數(shù)列求和公式得S=??=-.

n5?÷

1-2è3?2

3

16.如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，

BC//AD,EF//AD，AD=4,AB=BC=EF=2，ED=10,FB=23，M為AD的中點(diǎn).

（1）證明：BM//平面CDE；

（2）求點(diǎn)M到ABF的距離.

【答案】（1）證明見(jiàn)詳解；

613

（2）

13

【解析】

【分析】（1）結(jié)合已知易證四邊形BCDM為平行四邊形，可證BM//CD，進(jìn)而得證；

第9頁(yè)/共15頁(yè)

（2）作FO^AD，連接OB，易證OB,OD,OF三垂直，結(jié)合等體積法VM-ABF=VF-ABM即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)锽C//AD,BC=2,AD=4,M為AD的中點(diǎn)，所以BC//MD,BC=MD，

四邊形BCDM為平行四邊形，所以BM//CD，

又因?yàn)锽M?平面CDE，CDì平面CDE，所以BM//平面CDE；

【小問(wèn)2詳解】

如圖所示，作BO^AD交AD于O，連接OF，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為等腰梯形，BC//AD,AD=4,

AB=BC=2，所以CD=2，

結(jié)合（1）BCDM為平行四邊形，可得BM=CD=2，

又AM=2，所以VABM為等邊三角形，O為AM中點(diǎn)，所以O(shè)B=3，

又因?yàn)樗倪呅蜛DEF為等腰梯形，M為AD中點(diǎn)，所以EF=MD,EF//MD，

四邊形EFMD為平行四邊形，F(xiàn)M=ED=AF，所以△AFM為等腰三角形，

22

VABM與△AFM底邊上中點(diǎn)O重合，OF^AM，OF=AF-AO=3，

因?yàn)镺B2+OF2=BF2，所以O(shè)B^OF，所以O(shè)B,OD,OF互相垂直，

1132

由等體積法可得VM-ABF=VF-ABM，V=S×FO=××2×3=3，

F-ABM3△ABM34

22

2

FA2+AB2-FB210+2-23139

cosDFAB===,sinDFAB=，

2FA×AB2×10×2210210

113939

S△=FA×AB×sinDFAB=×10×2×=，

FAB222102

1139

設(shè)點(diǎn)M到FAB的距離為d，則V=V=×S×d=××d=3，

M-FABF-ABM3△FAB32

613613

解得d=，即點(diǎn)M到ABF的距離為.

1313

第10頁(yè)/共15頁(yè)

17.已知函數(shù)fx=ax-1-lnx+1．

（1）求fx的單調(diào)區(qū)間；

（2）若a￡2時(shí)，證明：當(dāng)x>1時(shí)，fx<ex-1恒成立．

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析

【解析】

【分析】（1）求導(dǎo)，含參分類討論得出導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而得出原函數(shù)的單調(diào)性；

（2）先根據(jù)題設(shè)條件將問(wèn)題可轉(zhuǎn)化成證明當(dāng)x>1時(shí)，ex-1-2x+1+lnx>0即可.

【小問(wèn)1詳解】

1ax-1

f(x)定義域?yàn)?0,+￥)，f￠(x)=a-=

xx

ax-1

當(dāng)a￡0時(shí)，f￠(x)=<0，故f(x)在(0,+￥)上單調(diào)遞減；

x

?1?

當(dāng)a>0時(shí)，x??,+￥÷時(shí)，f￠(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

èa?

?1?

當(dāng)x??0,÷時(shí)，f￠(x)<0，f(x)單調(diào)遞減.

èa?

綜上所述，當(dāng)a￡0時(shí)，f(x)在(0,+￥)上單調(diào)遞減；

?1??1?

a>0時(shí)，f(x)在?,+￥÷上單調(diào)遞增，在?0,÷上單調(diào)遞減.

èa?èa?

【小問(wèn)2詳解】

a￡2，且x>1時(shí)，ex-1-f(x)=ex-1-a(x-1)+lnx-13ex-1-2x+1+lnx，

令g(x)=ex-1-2x+1+lnx(x>1)，下證g(x)>0即可.

11

g￠(x)=ex-1-2+，再令h(x)=g￠(x)，則h￠(x)=ex-1-，

xx2

顯然h￠(x)在(1,+￥)上遞增，則h￠(x)>h￠(1)=e0-1=0，

第11頁(yè)/共15頁(yè)

即g￠(x)=h(x)在(1,+￥)上遞增，

故g￠(x)>g￠(1)=e0-2+1=0，即g(x)在(1,+￥)上單調(diào)遞增，

故g(x)>g(1)=e0-2+1+ln1=0，問(wèn)題得證

x2y2?3?

18.設(shè)橢圓C:+=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M?1,÷在C上，且MF^x軸．

a2b2è2?

（1）求C的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)P4,0的直線與C交于A,B兩點(diǎn)，N為線段FP的中點(diǎn)，直線NB交直線MF于點(diǎn)Q，證

明：AQ^y軸．

x2y2

【答案】（1）+=1

43

（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】（1）設(shè)Fc,0，根據(jù)M的坐標(biāo)及MF^x軸可求基本量，故可求橢圓方程.

（2）設(shè)AB:y=k(x-4)，Ax1,y1，Bx2,y2，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，用A,B的坐標(biāo)表示

y1-yQ，結(jié)合韋達(dá)定理化簡(jiǎn)前者可得y1-yQ=0，故可證AQ^y軸.

【小問(wèn)1詳解】

b23a2-13

設(shè)Fc,0，由題設(shè)有c=1且=，故=，故a=2，故b=3，

a2a2

x2y2

故橢圓方程為+=1.

43

【小問(wèn)2詳解】

直線AB的斜率必定存在，設(shè)AB:y=k(x-4)，Ax1,y1，Bx2,y2，

ì3x2+4y2=12

由í可得3+4k2x2-32k2x+64k2-12=0，

?y=k(x-4)

第12頁(yè)/共15頁(yè)

11

故Δ=1024k4-43+4k264k2-12>0，故-<k<，

22

32k264k2-12

又x+x=,xx=，

123+4k2123+4k2

3

y?5?-y

?5?BN:y=2x-2-3y

而N,0，故直線5?÷，故y=2=2，

?֏2?Q5

è2?x2-2x2-5

2x2-

2

3y2y1′2x2-5+3y2

所以y1-yQ=y1+=

2x2-52x2-5

kx-4′2x-5+3kx-4

=122

2x2-5

64k2-1232k2

2′-5′+8

2xx-5x+x+822

=k1212=k3+4k3+4k

2x2-52x2-5

128k2-24-160k2+24+32k2

2，

=k3+4k=0

2x2-5

故y1=yQ，即AQ^y軸.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：

（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為x1,y1,x2,y2；

（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，注意D的判斷；

（3）列出韋達(dá)定理；

（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為x1+x2、x1x2（或y1+y2、y1y2）的形式；

（5）代入韋達(dá)定理求解.

（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，并用2B鉛筆將所選題號(hào)

涂黑，多涂、錯(cuò)涂、漏涂均不給分，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．

19.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐

標(biāo)方程為r=rcosq+1.

（1）寫出C的直角坐標(biāo)方程；

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ìx=t

（2）設(shè)直線l：í（t為參數(shù)），若C與l相交于A、B兩點(diǎn)，若AB=2，求a的值.

?y=t+a

【答案】（1）y2=2x+1

3

（2）a=

4

【解析】

?ìr=x2+y2

【分析】（1）根據(jù)í可得C的直角方程.

??rcosq=x

（2）將直線的新的參數(shù)方程代入C的直角方程，

法1：結(jié)合參數(shù)s的幾何意義可得關(guān)于a的方程，從而可求參數(shù)a的值；

法2：將直線的直角方程與曲線的直角方程聯(lián)立，結(jié)合弦長(zhǎng)公式可求a的值.

【小問(wèn)1詳解】

?ìr=x2+y2

由r=rcosq+