重難點01 函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性【2024高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)題型突破】（原卷版）

高中數(shù)學(xué)精編資源2/2重難點專題01函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性TOC\o"1-3"\h\u一、重難點題型歸納 1題型1利用函數(shù)性質(zhì)解不等式 1題型3構(gòu)造奇偶函數(shù)求函數(shù)值 3題型4對稱性、奇偶性的運用 4◆類型1對稱軸 5◆類型2中心對稱+軸對稱構(gòu)造周期性 6◆類型3“類”周期函數(shù) 7◆類型4對稱性解決恒成立 8題型5三角函數(shù)中的對稱性問題 9題型6復(fù)雜奇函數(shù)問題 11題型7函數(shù)的旋轉(zhuǎn)問題 12題型8兩個函數(shù)的對稱問題 13二、最新真題、模考題組練 14題型1利用函數(shù)性質(zhì)解不等式1、對于任意x1,x2、解不等式常涉及到奇偶性，注意配圖解不等式3、涉及到偶函數(shù)時：如果口朝上：誰離對稱軸（x=0）遠，誰的函數(shù)值就大；如果口朝下：誰離對稱軸（x=0【例題1】（2023·江西宜春·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x+2)=log3(3A．-∞,-2 B．-2,C．-∞,-2∪0,+∞ D【變式1-1】1.（2023·湖南常德·常德市一中?？寄M預(yù)測）定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f（x）滿足fx-f-x=xex+e-xA．-23,2 B．2,+∞ C．-∞,-2【變式1-1】2.（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)fx=sinx-1+ex-1A．3,+∞ B．1,+∞ C．-∞【變式1-1】3.（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)=ex-1+e1-A．-4 B．-12 C．2 D【變式1-1】4.（2021·廣西·廣西師范大學(xué)附屬外國語學(xué)校?？寄M預(yù)測）設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f(x)=ax(aA．-23 B．-34 C．【變式1-1】5.（2020·湖南邵陽·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)f(x)是定義在R的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞減，若實數(shù)a滿足f(log題型2利用奇偶性、周期性對稱性求值函數(shù)周期性的常用結(jié)論與技巧設(shè)函數(shù)y=fx①若f(x+②若f(x+③若f(x+④若f(x+⑤f(x【例題2】（2022·全國·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x),g(x)是定義在R上的偶函數(shù)，g(3)=2，若對任意x∈R，都有f(x+6)=f(x)+f(3)，對任意m,n∈R且m+n=4，都有g(shù)(m)=g(n)，則f(99)+g(99)=【變式2-1】1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知定義域為R的函數(shù)fx存在導(dǎo)函數(shù)f'x，且滿足f-x=fx,fA．y=x B．y=0 C．y=x+1 D．y=-x+1【變式2-1】2.（多選）（2022·山東·濰坊七中高三階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)y=fx的定義域為R，且滿足f1+x=f1-x，fx-2+f-xA．y=fx+1是偶函數(shù) B．y=fC．函數(shù)y=fx-lgx有10【變式2-1】3.（2023·浙江溫州·模擬預(yù)測）定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+1)+f(x-1)=f(2022)，f(-2x+1)=f(2x+5)，若f12=12，則f(2022)=題型3構(gòu)造奇偶函數(shù)求函數(shù)值對于fx本身不具有奇偶性，通過構(gòu)造（通常將尾巴常數(shù)變?yōu)?），構(gòu)造奇函數(shù)，利用奇函數(shù)的對稱性，求函數(shù)值【例題3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=ln(x+1+x2)+1x+4在[-8，8]A．8 B．6 C．4 D．2【變式3-1】1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fx=ax3+bsinx+3A．-1 B．2 C．5 D．7【變式3-1】2.（2022·河南·高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)fx=alnx+1x-1+bsinA．-1 B．2 C．5 D．7【變式3-1】3.（2022·河南省淮陽中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)fx=2ex+1-1【變式3-1】4.（2022·江西·貴溪市實驗中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)fx=alnx2【變式3-1】5.若函數(shù)fx=tx2+2x+t2+sinxx2題型4對稱性、奇偶性的運用函數(shù)對稱性（異號對稱）（1）軸對稱：函數(shù)fx對于定義域內(nèi)任意實數(shù)x滿足fa+x=fb-x，則函數(shù)f2.如果函數(shù)y=fx滿足fa+x3.y=f(a-x（2）點對稱：若函數(shù)f(x)①f②f③f（2）點對稱：若函數(shù)f(x)①f②f③f◆類型1對稱軸【例題4-1】（2022·寧夏·銀川一中高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)y=fx的定義域為-∞,1∪1,+∞，且fx+1為奇函數(shù)，當(dāng)x<1A．4 B．2 C．-12 D．-6【變式4-1】1.已知函數(shù)fx=2ex-2-A．-2B．-12C．-1D．-【變式4-1】2.已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x)=f(a-x)，若函數(shù)y=x2-ax-5與y=f(x)的圖像的交點為x1,y1，A．1 B．2 C．3 D．4【變式4-1】3.已知函數(shù)fx①函數(shù)fx②函數(shù)fx③函數(shù)fx的定義域為R④對于任意的x∈-1,0，f'x<0（A．②③ B．①③ C．②④ D．①②③◆類型2中心對稱+軸對稱構(gòu)造周期性關(guān)于對稱中心與對稱軸構(gòu)造周期的經(jīng)驗結(jié)論1.若函數(shù)有兩個對稱中心（a，0）與（b，0）），則函數(shù)具有周期性，周期T=2|a-b|.2.若函數(shù)有兩條對稱軸x=a與x=b，則函數(shù)具有周期性，周期T=2|a-b|.3.若函數(shù)有一個對稱中心（a，0）與一條對稱軸x=b，，則函數(shù)具有周期性，周期T=4|a-b|.【例題4-2】已知函數(shù)fx為定義域為R的偶函數(shù)，且滿足f12+x=f32-x，當(dāng)x∈-1?【變式4-2】1.定義在R上的奇函數(shù)fx滿足f2-x=fx，且在0,1上單調(diào)遞減，若方程fx=-1在0,1上有實數(shù)根，則方程A．30 B．14 C．12 D．6【變式4-2】2.已知定義域為R的函數(shù)fx的圖像關(guān)于原點對稱，且f3-x+f-x=0，若曲線y=fx在6,f6處切線的斜率為4A．y=-4x-8088 B．y=4x+8088 C．y=-14x-【變式4-2】3.若函數(shù)y=f(x)是R上的奇函數(shù)，又y=f(x+1)為偶函數(shù)，且-1≤x1<x2≤1時，[f(x2)-f(A．f(2017)<f(2018)<f(2019) B．f(2018)<f(2017)<f(2019)C．f(2018)<f(2019)<f(2017) D．f(2019)<f(2018)<f(2017)【變式4-2】4.(多選)（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)校考二模）定義在R上的函數(shù)fx?gx，其導(dǎo)函數(shù)分別為f'x?A．f'B．gx關(guān)于-1,1C．gx周期為D．g◆類型3“類”周期函數(shù)“似周期函數(shù)”或者“類周期函數(shù)”，俗稱放大鏡函數(shù)，要注意以下幾點辨析：1.是從左往右放大，還是從右往左放大.2.放大（縮小）時，要注意是否函數(shù)值有0.3.放大（縮?。r，是否發(fā)生了上下平移.【例題4-3】設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為D，如果存在非零常數(shù)T，對于任意x∈D，都有f(x+T)=T?f(x)，則稱函數(shù)y=f(x)是“似周期函數(shù)”，非零常數(shù)T為函數(shù)y=f(x)的“似周期”．現(xiàn)有下面四個關(guān)于“似周期函數(shù)”的命題：①如果“似周期函數(shù)”y=f(x)的“似周期”為-1，那么它是周期為2的周期函數(shù)；②函數(shù)f(x)=2x是“似周期函數(shù)③如果函數(shù)f(x)=cosωx是“似周期函數(shù)”，那么“ω=2kπ,k∈Z或ω=(2k+1)π,k∈Z”．以上正確結(jié)論的個數(shù)是（A．0B．1C．2D．3【變式4-3】1.已知函數(shù)f(x)滿足當(dāng)x≤0時，2f(x-2)=f(x)，且當(dāng)x∈(-2,0]時，f(x)=|x+1|-1；當(dāng)x>0時，f(x)=logax(a>0且a≠1).若函數(shù)f(x)的圖象上關(guān)于原點對稱的點恰好有3對，則aA．(625,+∞) B．(4,64) C．(9,625) D．(9,64)【變式4-3】2.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R，滿足f(x+1)=2f(x)，且當(dāng)x∈(0,1]時，f(x)=x(x-1)．若對任意x∈(-∞,m]，都有f(x)≥-12，則m的取值范圍是（A．-∞,32 BC．-∞,52 D【變式4-3】3.定義在R上函數(shù)滿足fx+1=12fx，且當(dāng)x∈0,1時，fx=1-2x-1A．72 B．92 C．134◆類型4對稱性解決恒成立常見不等式恒成立轉(zhuǎn)最值問題：（1）?x（2）?x（3）?x（4）?x（5）?x（6）?x（7）?x（8）?x【例題4-4】已知函數(shù)f(x)=lg(x+x2+1)，且對于任意的x∈(1，A．(-∞，0)C．[4，+∞【變式4-4】1.已知函數(shù)f(x)=2x+m2x+1（0≤x≤1），函數(shù)g(x)=(m-1)x（1≤x≤2）.若任意的x1∈0,1A．1,53 B．2,3 C．2,5【變式4-4】2.已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，且f(x+1)關(guān)于直線x=-1對稱.當(dāng)x≥0時，f(x)={2-14x2+1,0≤x<22-A．[-14,0) B．[12,1]【變式4-4】3.已知f(x)=2sin|πx|-sin|πx|，g(x)=|lnx|-2m，若對于題型5三角函數(shù)中的對稱性問題1.三角函數(shù)的對稱性，周期性，奇偶性，單調(diào)性，考查時可能單獨考，也可能以多選的形式綜合在一個題目中考查.2.三角函數(shù)的奇偶性（1）函數(shù)y=Asin(ωx+φ)是奇函數(shù)?φ=（2）函數(shù)y=Acos(ωx+φ)是奇函數(shù)?φ=（3）函數(shù)y=Atan(ωx+φ3.三角函數(shù)的對稱性（1）函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象的對稱軸由ωx（2）函數(shù)y=Acos(ωx+φ)的圖象的對稱軸由ωx（3）函數(shù)y=Atan(ωx+4.基本規(guī)律1.三角函數(shù)的對稱中心（對稱軸）有數(shù)個，適當(dāng)結(jié)合條件確定合適.2.要注意一個隱含性質(zhì)：一次函數(shù)是直線，它上邊任何一個點都可以作為對稱中心.一般情況下，選擇它與坐標軸交點，或則別的合適的點【例題5】（2022·湖南·長沙一中高三階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的圖象的一條對稱軸與其相鄰的一個對稱中心的距離為π4，將f(x)的圖象向右平移π6個單位長度得到函數(shù)g(x)的圖象.若函數(shù)g(x)的圖象在區(qū)間π2A．π6,π2 B．π3,【變式5-1】1.（2023·天津·統(tǒng)考二模）設(shè)函數(shù)fx=sinπ2x，gx=e-A．4051 B．4049 C．2025 D．2023【變式5-1】2.已知函數(shù)y=sinx+1與y=x+2x在[-a?，??a]（a∈Z，且a>2017）上有m個交點(A．0B．mC．2mD．2017【變式5-1】3.已知函數(shù)f(x)=2(x+1)+sinx+ln(x2+1A．(-∞,23-1) B．(-∞,-23+1) C．題型6復(fù)雜奇函數(shù)問題1.若fx滿足fa+x+特殊的奇函數(shù)：（考試難點）：①對數(shù)與反比例復(fù)合：②指數(shù)與反比例復(fù)合：③對數(shù)與無理式復(fù)合：3.形如【例題6】已知函數(shù)fx=12x+1+exA．0,eB．0,eC．0,1D【變式6-1】1.對于定義在D上的函數(shù)fx，點Am,n是fx圖像的一個對稱中心的充要條件是：對任意x∈D都有fx+f【變式6-1】2.設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x2+1-x)，若a，b的最大值為A．1 B．10 C．5 D．8【變式6-1】3.已知函數(shù)fx=x-e2+lnexe-x，若A．34 B．54 C．2 D題型7函數(shù)的旋轉(zhuǎn)問題【例題7】（2021?青島開學(xué)）將函數(shù)y=13-x2-2(x∈[-3,3])的圖象繞點(-3,0)逆時針旋轉(zhuǎn)α(0≤α≤θ)，得到曲線C，對于每一個旋轉(zhuǎn)角α，曲線C都是一個函數(shù)的圖象，則A．32 B．23 C．1 D【變式7-1】1.（2021春?池州期末）設(shè)D是含數(shù)1的有限實數(shù)集，f(x)是定義在D上的函數(shù)，若f(x)的圖象繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)π3后與原圖象重合，則在以下各項中f(1)A．3 B．1 C．33 D．【變式7-1】2.（2017春?新華區(qū)校級期末）將函數(shù)y=-x2+x(x∈[0,1])圖像繞點（1,0）順時針旋轉(zhuǎn)θ角(0<θ<π2)得到曲線A．π6 B．π4 C．π3【變式7-1】3.（2021?沈河區(qū)校級四模）將函數(shù)hx=exx≥0的圖像繞坐標原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)角θθ∈0,π，得到曲線CA．π4 B．π2 C．3π4【變式7-1】4.（多選）（2021?雨花區(qū)校級模擬）已知函數(shù)y=f(x)，x∈A，且π∈A，函數(shù)y=f(x)，x∈A的圖象繞坐標原點順時針旋轉(zhuǎn)nπ4所得新的函數(shù)圖象與原函數(shù)圖象重合，其中n可以取任意正整數(shù)，則fπ的值不可能為（A．0 B．3π3 C．π D題型8兩個函數(shù)的對稱問題【例題8】（2021?武侯區(qū)校級模擬）已知函數(shù)f(x)=ax-ex與函數(shù)g(x)=xlnx+1的圖像上恰有兩對關(guān)于x軸對稱的點，則實數(shù)A．(e-1,+∞) B．e-12,+∞ C．e-12,+∞【變式8-1】1.（2021春?海淀區(qū)校級期末）若函數(shù)y=x3-x2-1-a，（(x∈1e,eA．0,1e3C．1e3+2,【變式8-1】2.（2021?