橢圓及其性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)梳理及經(jīng)典高考題解析

橢圓及其性質(zhì)【考綱說(shuō)明】1.掌握橢圓的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程，了解橢圓的參數(shù)方程；2.掌握橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)【知識(shí)梳理】知識(shí)要點(diǎn)小結(jié)：知識(shí)點(diǎn)一：橢圓的定義

平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之和等于常數(shù),這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫作橢圓的焦距.注意：假設(shè)，那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡為線段；

假設(shè)，那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡無(wú)圖形.知識(shí)點(diǎn)二：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1．當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中2．當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中；注意：1．只有當(dāng)橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系時(shí)，才能得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

3．在橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，都有和；

4．橢圓的焦點(diǎn)總在長(zhǎng)軸上.當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，；當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，知識(shí)點(diǎn)三：橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)橢圓：的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

〔1〕對(duì)稱性：對(duì)于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：說(shuō)明：把換成、或把換成、或把、同時(shí)換成、、原方程都不變，所以橢圓是以軸、軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，并且是以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，這個(gè)對(duì)稱中心稱為橢圓的中心?！?〕范圍：

橢圓上所有的點(diǎn)都位于直線和所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，。

〔3〕頂點(diǎn)：①橢圓的對(duì)稱軸與橢圓的交點(diǎn)稱為橢圓的頂點(diǎn)。

②橢圓與坐標(biāo)軸的四個(gè)交點(diǎn)即為橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，坐標(biāo)分別為，，，③線段，分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸，,。和分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)。〔4〕離心率：①橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)度的比叫做橢圓的離心率，用表示，記作。

②因?yàn)?，所以的取值范圍是。越接?，那么就越接近，從而越小，因此橢圓越扁；反之，越接近于0，就越接近0，從而越接近于，這時(shí)橢圓就越接近于圓。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，這時(shí)兩個(gè)焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，方程為。注意：橢圓的圖像中線段的幾何特征〔如以下圖〕：〔1〕；；；〔2〕；；；

〔3〕；；；規(guī)律方法：1．如何確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程？

任何橢圓都有一個(gè)對(duì)稱中心，兩條對(duì)稱軸。當(dāng)且僅當(dāng)橢圓的對(duì)稱中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，橢圓的方程才是標(biāo)準(zhǔn)方程形式。此時(shí)，橢圓焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上。確定一個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需要三個(gè)條件：兩個(gè)定形條件；一個(gè)定位條件焦點(diǎn)坐標(biāo)，由焦點(diǎn)坐標(biāo)的形式確定標(biāo)準(zhǔn)方程的類型。2．橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個(gè)量的幾何意義

橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中，三個(gè)量的大小與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)，是由橢圓本身的形狀大小所確定的。分別表示橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)和半焦距長(zhǎng)，均為正數(shù)，且三個(gè)量的大小關(guān)系為：，，且?？山柚覉D理解記憶：

顯然：恰構(gòu)成一個(gè)直角三角形的三條邊，其中a是斜邊，b、c為兩條直角邊。3．如何由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程判斷焦點(diǎn)位置橢圓的焦點(diǎn)總在長(zhǎng)軸上，因此標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點(diǎn)位置的方法是：看，的分母的大小，哪個(gè)分母大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)坐標(biāo)軸上。4．方程是表示橢圓的條件方程可化為，即，所以只有A、B、C同號(hào)，且AB時(shí)，方程表示橢圓。當(dāng)時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在軸上；當(dāng)時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在軸上。5．求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法：①待定系數(shù)法：由條件確定焦點(diǎn)的位置，從而確定橢圓方程的類型，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定方程中的參數(shù)的值。其主要步驟是“先定型，再定量”；

②定義法：由條件判斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程。6．共焦點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程形式上的差異

共焦點(diǎn)，那么c相同。與橢圓共焦點(diǎn)的橢圓方程可設(shè)為，此類問(wèn)題常用待定系數(shù)法求解。7．判斷曲線關(guān)于軸、軸、原點(diǎn)對(duì)稱的依據(jù)：①假設(shè)把曲線方程中的換成，方程不變，那么曲線關(guān)于軸對(duì)稱；②假設(shè)把曲線方程中的換成，方程不變，那么曲線關(guān)于軸對(duì)稱；③假設(shè)把曲線方程中的、同時(shí)換成、，方程不變，那么曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。8．如何求解與焦點(diǎn)三角形△PF1F2〔P為橢圓上的點(diǎn)〕有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題？思路分析：與焦點(diǎn)三角形△PF1F2有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題時(shí)，?？紤]到用橢圓的定義及余弦定理〔或勾股定理〕、三角形面積公式相結(jié)合的方法進(jìn)行計(jì)算解題。將有關(guān)線段，有關(guān)角()結(jié)合起來(lái)，建立、之間的關(guān)系.9．如何計(jì)算橢圓的扁圓程度與離心率的關(guān)系？

長(zhǎng)軸與短軸的長(zhǎng)短關(guān)系決定橢圓形狀的變化。離心率，因?yàn)?，，用表示為。顯然：當(dāng)越小時(shí)，越大，橢圓形狀越扁；當(dāng)越大，越小，橢圓形狀越趨近于圓?！窘?jīng)典例題】1求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例1】〔1〕橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線互相垂直，且此焦點(diǎn)與長(zhǎng)軸較近的一個(gè)端點(diǎn)的距離為，那么橢圓方程為____________〔2〕橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線交橢圓于兩點(diǎn)，假設(shè)，且，那么橢圓方程為_____________________【解】〔1〕由：，又，故求得：。所以，橢圓方程為：〔2〕設(shè)橢圓方程為：，且設(shè)，，PQ的中點(diǎn)為。由：，所以，即有：，又，求得：或。聯(lián)立，消去y,得：，那么有:，即。由韋達(dá)定理可得：，從而有，易知：，，所以或，解之得：或。故橢圓方程為：或?！纠?】中心在原點(diǎn)的橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，斜率為的直線過(guò)右焦點(diǎn)與橢圓交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)點(diǎn)，且〔1〕假設(shè)，求橢圓離心率的取值范圍〔2〕假設(shè)，且弦的中點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為，求橢圓的方程【解】〔1〕設(shè)橢圓方程為：，那么直線的方程為：由，可求得：代入橢圓方程，并整理得：而且，故有：由：得：考慮到，故求得：〔2〕由〔1〕可知，當(dāng)時(shí)，故橢圓方程可化為：聯(lián)立消去得：設(shè)的中點(diǎn)為，那么易知：橢圓的右準(zhǔn)線為：，于是故橢圓方程為：【例3】橢圓的中心在原點(diǎn)，短軸長(zhǎng)為，右準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，右焦點(diǎn)為，且，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)〔1〕求橢圓的方程〔2〕假設(shè)，求直線的方程〔3〕假設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，證明：直線過(guò)定點(diǎn)〔4〕求的最大面積【解】〔1〕橢圓方程為：〔2〕設(shè)直線的方程為：，且設(shè)聯(lián)立消去，得：那么從而求得：由得：，求得所以的方程為：〔3〕有及〔2〕知：。設(shè)直線與軸交于點(diǎn)那么有由〔2〕可知：所以又由〔2〕知：，所以，即故直線過(guò)定點(diǎn)，即為橢圓的右焦點(diǎn)〔4〕由〔1〕得：令，那么當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取“”所以的最大面積為2橢圓的性質(zhì)【例4】橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，在橢圓上存在一點(diǎn)，使得〔1〕求橢圓離心率的取值范圍〔2〕當(dāng)離心率取最小值時(shí)，的面積為，設(shè)是橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，假設(shè)線段的垂直平分線恒過(guò)定點(diǎn)。①求橢圓的方程；②求直線的斜率的取值范圍。【解】〔1〕設(shè)橢圓短軸的端點(diǎn)為B,由及橢圓的性質(zhì)得：所以，從而，即，又，所以，得：，所以?！?〕①當(dāng)取得最小值時(shí)，在短軸頂點(diǎn)，所以，又，故求得：。所以橢圓方程為：②【法一：點(diǎn)差法】設(shè)，設(shè)的中點(diǎn)為，那么即①由的垂直平分線方程為：易知點(diǎn)在該直線上，所以②由①，②可求得：即由：點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，所以【法二：聯(lián)立方程法】設(shè)，設(shè)直線的方程為，的垂直平分線方程為：聯(lián)立消去得：那么有即①又有:從而所以的中點(diǎn)為。又在的垂直平分線上，所以，即②將②代人①求得：【注1】在方法二中，也可由得到②【注2】求取值范圍問(wèn)題通常要建立不等式，關(guān)于不等式的來(lái)源有以下幾種情況：〔1〕不等式；〔2〕橢圓上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足；〔3〕；〔4〕橢圓內(nèi)部的點(diǎn)滿足；【例5】橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，斜率為的直線過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)與橢圓交于兩點(diǎn)，與向量共線?！?〕求橢圓的離心率〔2〕設(shè)為橢圓上任一點(diǎn)，假設(shè)，求證：為定值【解】〔1〕設(shè)橢圓方程為，設(shè)，，由：直線AB的方程為：，代入橢圓方程，得：，由韋達(dá)定理得：，易知：因?yàn)榕c向量共線，所以，而，所以，即，于是有：又，所以，故有：。〔2〕由〔1〕得：，，所以橢圓方程為：，即，直線AB的方程為：，于是有：，，從而，。于是。設(shè)，由：，將M的坐標(biāo)代入橢圓方程得：，即，于是有：。故為定值。【例6】A為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，弦分別過(guò)焦點(diǎn)，當(dāng)軸時(shí)，恰有.〔1〕橢圓的離心率〔2〕設(shè)，，判斷是否為定值？【解】〔1〕當(dāng)軸時(shí)，，從而依定義有，所以而，所以，即?！?〕由〔1〕可知橢圓方程為：，設(shè)①假設(shè)的斜率都存在，那么直線的方程為代入橢圓方程，并整理得：由韋達(dá)定理有由：；同理可得：所以②假設(shè)有一個(gè)斜率不存在，不妨設(shè)軸那么所以綜上所述為定值。3.最值問(wèn)題【例7】是橢圓的左，右焦點(diǎn)以及兩定點(diǎn)〔1〕設(shè)為橢圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)①求的最大值與最小值；②求的最大值與最小值?！?〕過(guò)點(diǎn)作直線與橢圓交于兩點(diǎn)，假設(shè)為銳角〔為原點(diǎn)〕，求直線的斜率的取值范圍【解】〔1〕①由：點(diǎn)在橢圓內(nèi)部。易知所以，。依定義有：，所以，由三角不等式可得：，即。當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)依次共線以及三點(diǎn)依次共線時(shí)，左右等號(hào)分別成立。所以；〔此時(shí)三點(diǎn)依次共線〕。〔此時(shí)三點(diǎn)依次共線〕②【法一】易知所以，設(shè)，那么。因?yàn)椋十?dāng)，即點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，有最小值當(dāng)，即點(diǎn)P為橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，有最大1.【法二】易知，所以，設(shè)，由向量的數(shù)量積定義及余弦定理可得：〔以下同解法一〕〔2〕顯然直線不滿足題設(shè)條件，設(shè)，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立，消去，整理得：∴由得：或又所以又所以，即所以。故由①、②得：或【例8】橢圓，是垂直于軸的弦，直線交軸于點(diǎn)，為橢圓C的右焦點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)〔1〕證明：點(diǎn)在橢圓上〔2〕求面積的最大值【解】〔1〕由。設(shè)，那么且，與的方程分別為：聯(lián)立兩直線的方程求得：即因?yàn)?，所以點(diǎn)在橢圓上〔2〕設(shè)直線的方程為且聯(lián)立那么由：所以所以令，函數(shù)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，故當(dāng)時(shí)，取得最大值【例9】橢圓的中心在原點(diǎn)，左，右焦點(diǎn)分別為，右頂點(diǎn)為，設(shè)，過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，求的最大值【解】【方法一】由可得：橢圓方程為：。設(shè)那么，所以直線的方程為：即，作于，那么易知，所以因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以可設(shè)所以當(dāng)時(shí)，取得最大值【方法二】由，可得當(dāng)且僅當(dāng)即或時(shí)取等號(hào)所以的最大值為【例10】〔08山東〕曲線所圍成的封閉圖形的面積為，曲線的內(nèi)切圓半徑為，記是以與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓〔1〕求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程〔2〕設(shè)是過(guò)橢圓中心的任意弦，是線段的垂直平分線，是上異于橢圓中心的點(diǎn)。①假設(shè)〔為坐標(biāo)原點(diǎn)〕當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程；②假設(shè)點(diǎn)是與橢圓的交點(diǎn)，求的最小面積【解】〔1〕由題意得又，解得：．因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．〔2〕①假設(shè)所在直線的斜率存在且不為零，設(shè)所在直線方程為，且設(shè)．解方程組得：，，所以．設(shè)，由題意知：，所以，即，因?yàn)槭堑拇怪逼椒志€，所以直線的方程為，即，因此，又，所以，故．當(dāng)或不存在時(shí)，上式仍然成立．綜上所述，的軌跡方程為．②當(dāng)存在且時(shí)，由〔1〕得：，，由解得：，，所以，，．由于，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)面積的最小值是．當(dāng)，．當(dāng)不存在時(shí)，．綜上所述，的面積的最小值為．【〔2〕②另解】因?yàn)?，又，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)面積的最小值是．【例11】(2009山東卷)設(shè)橢圓E:過(guò)M〔2，〕，N(,1)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，〔1〕求橢圓E的方程；〔2〕是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且？假設(shè)存在，寫出該圓的方程，并求|AB|的取值范圍，假設(shè)不存在說(shuō)明理由?！?〕設(shè)直線與橢圓相切于點(diǎn)，與橢圓E只有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)取何值時(shí)，取得最大值？并求此最大值【解】〔1〕因?yàn)闄E圓E:過(guò)M〔2，〕，N(,1)兩點(diǎn),所以解得即所以橢圓E的方程為〔2〕①假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A、B，且。設(shè)該圓的切線方程為解方程組消去y，得：,,.那么△=，即由由韋達(dá)定理得：，。于是要使,需使，所以，①因?yàn)橹本€為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線，所以圓的半徑為②由①②可得：，所求的圓為，而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，切線為，與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為或，滿足。綜上,存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A、B，且.②因?yàn)?，，所以ⅰ〕當(dāng)時(shí)，。因?yàn)樗?，即,所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取”=”.ⅱ〕當(dāng)時(shí),.?！钞?dāng)AB的斜率不存在時(shí),兩個(gè)交點(diǎn)為或此時(shí),ABDO綜上,|AB|的取值范圍為：。即:ABDO②【另解】如圖，設(shè)，作于D，由①及可得：，易知，。所以。令，，易知：函數(shù)在上遞減，在上遞增。所以，。故?！?〕設(shè)直線的方程為，設(shè)，因?yàn)橹本€與圓相切，所以①聯(lián)立，消去Y得：由：，即②由①②可得：，。當(dāng)直線與橢圓有唯一公共點(diǎn)Q時(shí)，有：即有：從而有：于是有：而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)。所以，故當(dāng)時(shí)，?！菊n堂練習(xí)】一.選擇題：１.橢圓上的一點(diǎn)P，到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離為３，那么P到另一焦點(diǎn)距離為〔〕A．２B．３２．中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在橫軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，短軸長(zhǎng)為２，那么橢圓方程是〔〕A.B.C.D.３.與橢圓9x2+4y2=36有相同焦點(diǎn)，且短軸長(zhǎng)為4的橢圓方程是()A４．橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是，那么等于〔〕A. B. C. D.５．假設(shè)橢圓短軸上的兩頂點(diǎn)與一焦點(diǎn)的連線互相垂直，那么離心率等于()A. B. C. D.６．橢圓兩焦點(diǎn)為，，P在橢圓上，假設(shè)△的面積的最大值為12，那么橢圓方程為〔〕A.B.C.D.７．橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是F1(－1,0),F2(1,0)，P為橢圓上一點(diǎn)，且|F1F2|是|PF1|與|PF2A＋＝1B＋＝1C＋＝1D＋＝1８.橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和中心，將兩準(zhǔn)線間的距離四等分，那么它的焦點(diǎn)與短軸端點(diǎn)連線的夾角為()(A)450(B)600(C)900(D)1200９．橢圓上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)F1的距離是2，N是MF1的中點(diǎn)，那么|ON|為……〔〕A.4B.2C.810．△ABC的頂點(diǎn)B、C在橢圓EQ\f(x\S(2),3)＋y2＝1上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，那么△ABC的周長(zhǎng)是()〔A〕2EQ\r(,3)〔B〕6〔C〕4EQ\r(,3)〔D〕12二、填空題：11．方程表示焦點(diǎn)在軸的橢圓時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是____________12．過(guò)點(diǎn)且與橢圓有共同的焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_____________13．設(shè),,△的周長(zhǎng)是，那么的頂點(diǎn)的軌跡方程為_______14．如圖：從橢圓上一點(diǎn)向軸作垂線，恰好通過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，且它的長(zhǎng)軸端點(diǎn)及短軸的端點(diǎn)的連線∥，那么該橢圓的離心率等于_____________三、解答題：15.橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，離心率，短軸長(zhǎng)為，求橢圓的方程。16.點(diǎn)和圓：，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在半徑上，且，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。17．A、B為橢圓+=1上兩點(diǎn)，F(xiàn)2為橢圓的右焦點(diǎn)，假設(shè)|AF2|+|BF2|=a，AB中點(diǎn)到橢圓左準(zhǔn)線的距離為，求該橢圓方程．18．〔10分〕根據(jù)條件，分別求出橢圓的方程：〔1〕中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為；〔2〕中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在軸上，短軸的一個(gè)頂點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)組成的三角形的周長(zhǎng)為，且。19．〔12分〕為橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)。〔1〕求的最大值；〔2〕假設(shè)且的面積為，求的值；【課后作業(yè)】一、選擇題〔本大題共10小題，每題5分，共50分〕1．以下命題是真命題的是 〔〕 A．到兩定點(diǎn)距離之和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓 B．到定直線和定點(diǎn)F(c，0)的距離之比為的點(diǎn)的軌跡是橢圓 C．到定點(diǎn)F(－c，0)和定直線的距離之比為(a>c>0)的點(diǎn)的軌跡是左半個(gè)橢圓D．到定直線和定點(diǎn)F(c，0)的距離之比為(a>c>0)的點(diǎn)的軌跡是橢圓2．假設(shè)橢圓的兩焦點(diǎn)為〔－2，0〕和〔2，0〕，且橢圓過(guò)點(diǎn)，那么橢圓方程是 〔〕A． B． C． D．3．假設(shè)方程x2+ky2=2表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍為 〔〕A．〔0，+∞〕 B．〔0，2〕 C．〔1，+∞〕 D．〔0，1〕4．設(shè)定點(diǎn)F1〔0，－3〕、F2〔0，3〕，動(dòng)點(diǎn)P滿足條件，那么點(diǎn)P的軌跡是 〔〕A．橢圓 B．線段C．不存在 D．橢圓或線段5．橢圓和具有 〔〕A．相同的離心率 B．相同的焦點(diǎn) C．相同的頂點(diǎn) D．相同的長(zhǎng)、短軸6．假設(shè)橢圓兩準(zhǔn)線間的距離等于焦距的4倍，那么這個(gè)橢圓的離心率為 〔〕A． B． C． D．7．是橢圓上的一點(diǎn)，假設(shè)到橢圓右準(zhǔn)線的距離是，那么點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離是 〔〕A． B． C． D．8．橢圓上的點(diǎn)到直線的最大距離是 〔〕A．3 B． C． D．9．在橢圓內(nèi)有一點(diǎn)P〔1，－1〕，F(xiàn)為橢圓右焦點(diǎn)，在橢圓上有一點(diǎn)M，使|MP|+2|MF|的值最小，那么這一最小值是 〔〕A． B． C．3 D．410．過(guò)點(diǎn)M〔－2，0〕的直線m與橢圓交于P1，P2，線段P1P2的中點(diǎn)為P，設(shè)直線m的斜率為k1〔〕，直線OP的斜率為k2，那么k1k2的值為 〔〕A．2 B．－2 C． D．－二、填空題〔此題共4小題，每題6分，共24分〕11．離心率，一個(gè)焦點(diǎn)是的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為___________.12．與橢圓4x2+9y2=36有相同的焦點(diǎn),且過(guò)點(diǎn)(－3，２)的橢圓方程為_______________．13．是橢圓上的點(diǎn)，那么的取值范圍是________________．14．橢圓Ｅ的短軸長(zhǎng)為6，焦點(diǎn)Ｆ到長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)的距離等于９，那么橢圓Ｅ的離心率等于__________________．三、解答題〔本大題共6題，共76分〕15．橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，離心率，短軸長(zhǎng)為，求橢圓的方程．(12分)A、B為橢圓+=1上兩點(diǎn)，F(xiàn)2為橢圓的右焦點(diǎn)，假設(shè)|AF2|+|BF2|=a，AB中點(diǎn)到橢圓左準(zhǔn)線的距離為，求該橢圓方程．(12分)高考及模擬題：1.(2008年惠州調(diào)研)(文科)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的eq\r(2)倍，那么橢圓的離心率等于()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2)D.eq\f(\r(3),2)1．(2009年柳州模擬)(理科)如果一個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，那么這個(gè)橢圓的離心率為()A.eq\f(\r(5),4)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(1,2)2．(2008年佛山二模)假設(shè)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，拋物線y2＝2bx的焦點(diǎn)為F.假設(shè)eq\o(F1F,\s\up6(→))＝3eq\o(FF2,\s\up6(→))，那么此橢圓的離心率為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(\r(3),3)3．(2008年江西卷)F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，那么橢圓離心率的取值范圍是()A．(0,1)B．(0，eq\f(1,2)]C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))4．(2009年江西卷)過(guò)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，F(xiàn)2為右焦點(diǎn)，假設(shè)∠F1PF2＝60°，那么橢圓的離心率為()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,3)5．(2008年湖北卷)如右圖所示，“嫦娥一號(hào)”探月衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球，在月球附近一點(diǎn)P變軌進(jìn)入以月球球心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行，最終衛(wèi)星在P點(diǎn)第三次變軌進(jìn)入以F為圓心的圓形軌道Ⅲ繞月飛行，假設(shè)用2c1和2c2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長(zhǎng)軸的長(zhǎng)，給出以下式子：①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③c1a2>a1c2；④eq\f(c1,a1)＜eq\f(c2,a2).其中正確式子的序號(hào)是()A．①③B．②③C．①④D．②④6．(2008年全國(guó)卷Ⅰ)在△ABC中，AB＝BC，cosB＝－eq\f(7,18).假設(shè)以A，B為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，那么該橢圓的離心率e＝___________.7．(2009年田家炳中學(xué)模擬)設(shè)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的四個(gè)頂點(diǎn)分別為A、B、C、D,假設(shè)菱形ABCD的內(nèi)切圓恰好經(jīng)過(guò)橢圓的焦點(diǎn)，那么橢圓的離心率為_________．8．(2008年江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的焦距為2，以O(shè)為圓心，a為半徑作圓，過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)，0))作圓的兩切線互相垂直，那么離心率e＝________.9．(2009年天津卷)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(－c,0)、F2(c,0)(c＞0)，過(guò)點(diǎn)Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)，0))的直線與橢圓相交于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，且F1A∥F2B，|F1A|＝2|F2B|.(1)求橢圓的離心率；(2)求直線AB的斜率；(3)設(shè)點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，直線F2B上有一點(diǎn)H(m，n)(m≠0)在△AF1C的外接圓上，求eq\f(n,m)的值．10．(2009年蘇北十校聯(lián)考)如右圖，橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為F1、F2、B，我們稱△F1BF2為橢圓C的特征三角形．如果兩個(gè)橢圓的特征三角形是相似的，那么稱這兩個(gè)橢圓是“相似橢圓”，且三角形的相似比即為橢圓的相似比．(1)橢圓C1：eq\f(x2,4)＋y2＝1和C2：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1，判斷C2與C1是否相似，如果相似那么求出C2與C1的相似比，假設(shè)不相似，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)寫出與橢圓C1相似且半短軸長(zhǎng)為b的橢圓Cb的方程，并列舉相似橢圓之間的三種性質(zhì)(不需證明)；(3)直線l：y＝x＋1，在橢圓Cb上是否存在兩點(diǎn)M、N關(guān)于直線l對(duì)稱，假設(shè)存在，那么求出函數(shù)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c