統(tǒng)計(jì)學(xué)第7章參數(shù)估計(jì)

應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)王印紅中國(guó)海洋大學(xué)法政學(xué)院

Top100.wang@126.com第7章參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)在統(tǒng)計(jì)方法中的地位參數(shù)估計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)方法描述統(tǒng)計(jì)推斷統(tǒng)計(jì)第7章參數(shù)估計(jì)§7.1§7.2§7.3§7.4參數(shù)估計(jì)的概論一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)樣本容量的確定統(tǒng)計(jì)推斷的過(guò)程樣本總體樣本統(tǒng)計(jì)量例如：樣本均值、比例、方差總體均值、比例、方差等§7.1參數(shù)估計(jì)的概論1.估計(jì)量與估計(jì)值2.點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)3.置信水平和置信區(qū)間4.評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)··

如樣本均值，樣本比例、樣本方差等例如:

樣本均值就是總體均值 的一個(gè)估計(jì)量參數(shù)用 表示，估計(jì)量用 表示

估計(jì)值：估計(jì)參數(shù)時(shí)計(jì)算出來(lái)的統(tǒng)計(jì)量的具體值·

如果樣本均值x

=80，則80就是 的估計(jì)值1.估計(jì)量與估計(jì)值(estimator

&

estimated

value)·

估計(jì)量：用于估計(jì)總體參數(shù)的統(tǒng)計(jì)量的名稱(chēng)。2.點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)＃點(diǎn)估計(jì)：用樣本的統(tǒng)計(jì)量值直接作為總體參數(shù)的估計(jì)值。例如：用樣本均值直接作為總體均值的估計(jì)例如：用兩個(gè)樣本均值之差直接作為總體均值之差的估計(jì)沒(méi)有給出估計(jì)值接近總體參數(shù)程度的信息二戰(zhàn)中的點(diǎn)估計(jì)案例2.點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)

區(qū)間估計(jì)：在點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上，給出總體參數(shù)估計(jì)的一個(gè)區(qū)間范圍，該區(qū)間由樣本統(tǒng)計(jì)量加減抽樣誤差而得到的。區(qū)間估計(jì)的圖示X-1.96x+1.96x-

2.58x+

2.58x90%的樣本95%的樣本99%的樣本-1.65x+1.65x·為是總體參數(shù)未在區(qū)間內(nèi)的比例·

常用的置信水平值有99%,95%,90%·

相應(yīng)的

為0.01，0.05，0.103.置信水平和置信區(qū)間置信水平

將同種方法構(gòu)造估計(jì)區(qū)間的步驟重復(fù)很多次，估計(jì)區(qū)間包含總體參數(shù)真值的次數(shù)所占的比例稱(chēng)為置信水平。表示為(1-3.置信水平和置信區(qū)間置信區(qū)間

由樣本統(tǒng)計(jì)量所構(gòu)造的總體參數(shù)的估計(jì)區(qū)間稱(chēng)為置信區(qū)間，統(tǒng)計(jì)學(xué)家在某種程度上確信這個(gè)區(qū)間會(huì)包含真正的總體參數(shù)，所以給它取名為置信區(qū)間

用一個(gè)具體的樣本所構(gòu)造的區(qū)間是一個(gè)特定的區(qū)間，我們無(wú)法知道這個(gè)樣本所產(chǎn)生的區(qū)間是否包含總體參數(shù)的真值·

我們只能是希望這個(gè)區(qū)間是大量包含總體參數(shù)真值的區(qū)間中的一個(gè)，但它也可能是少數(shù)幾個(gè)不包含參數(shù)真值的區(qū)間中的一個(gè)Have

students

explainwhy

each

of

these

occurs.Level

of

confidence

can

be

seen

in

the

sampling

distribution.3.置信水平和置信區(qū)間3.

置信水平(1-)，影響z

的大小影響區(qū)間寬度的因素1. 總體數(shù)據(jù)的離散程度，用 來(lái)測(cè)度2.樣本容量，An

estimator

is

a

randomvariable

used

to

estimate

a

population

parameter

(characteristic).UnbiasednessAn

estimator

is

unbiased

if

the

mean

of

its

sampling

distribution

is

equal

to

the

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efficiencyof

an

unbiased

estimator

is

measured

by

the

variance

of

its

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distribution.If

two

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with

the

same

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size,

are

both

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then

the

one

with

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smaller

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has

greater

relative

efficiency.ConsistencyAn

estimator

is

a

consistent

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of

a

population

parameter

if

the

larger

the

sample

size,

the

more

likely

it

is

that

the

estimate

will

comeclose

to

the

parameter.4.評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)

無(wú)偏性：估計(jì)量抽樣分布的數(shù)學(xué)期望等于被估計(jì)的總體參數(shù)P(

)BA無(wú)偏有偏An

estimator

is

a

randomvariable

used

to

estimate

a

population

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(characteristic).UnbiasednessAn

estimator

is

unbiased

if

the

mean

of

its

sampling

distribution

is

equal

to

the

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parameter.EfficiencyThe

efficiencyof

an

unbiased

estimator

is

measured

by

the

variance

of

its

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distribution.If

two

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with

the

same

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size,

are

both

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then

the

one

with

the

smaller

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has

greater

relative

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estimator

is

a

consistent

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of

a

population

parameter

if

the

larger

the

sample

size,

the

more

likely

it

is

that

the

estimate

will

comeclose

to

the

parameter.4.評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)有效性：對(duì)同一總體參數(shù)的兩個(gè)無(wú)偏點(diǎn)估計(jì)量，有更小標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)量更有效AB的抽樣分布的抽樣分布P(

)An

estimator

is

a

randomvariable

used

to

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a

population

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(characteristic).UnbiasednessAn

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is

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mean

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is

measured

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its

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distribution.If

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with

the

same

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size,

are

both

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then

the

one

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variance

has

greater

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efficiency.ConsistencyAn

estimator

is

a

consistent

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of

a

population

parameter

if

the

larger

the

sample

size,

the

more

likely

it

is

that

the

estimate

will

comeclose

to

the

parameter.4.評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)一致性：隨著樣本容量的增大，估計(jì)量值越來(lái)越接近被估計(jì)的總AB較小的樣本容量的體參數(shù)P()較大的樣本容量§7.2一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)1.總體均值的區(qū)間估計(jì)2.總體比例的區(qū)間估計(jì)3.總體方差的區(qū)間估計(jì)一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)總體均值的區(qū)間估計(jì)(正態(tài)總體、

２已知，或非正態(tài)總體、大樣本)1.總體均值的區(qū)間估計(jì)1.

假定條件··

總體服從正態(tài)分布,且方差(

２)

已知如果不是正態(tài)分布，可由正態(tài)分布來(lái)近似(n30)·

使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量Ｚ3.

總體均值 在1- 置信水平下的置信區(qū)間為總體均值的區(qū)間估計(jì)(例題分析)【例7-1】一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，為對(duì)產(chǎn)量質(zhì)量進(jìn)行監(jiān)測(cè)，企業(yè)質(zhì)檢部門(mén)經(jīng)常要進(jìn)行抽檢，以分析每袋重量是否符合要求?，F(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機(jī)抽取了25袋，測(cè)得每袋重量如下表所示。已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布，且總體標(biāo)準(zhǔn)差為10克。試估計(jì)該批產(chǎn)品平均重量的置信區(qū)間，置信水平為95%總體均值的區(qū)間估計(jì)(例題分析)/2=1.96。根解：已知Ｘ~N( ，102)，n=25,

1- =

95%，z據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得：總體均值 在1- 置信水平下的置信區(qū)間為該食品平均重量的置信區(qū)間為101.44克~109.28克總體均值的區(qū)間估計(jì)(例題分析)【例7-2】一家保險(xiǎn)公司收集到由36投保個(gè)人組成的隨機(jī)樣本，得到每個(gè)投保人的年齡(周歲)數(shù)據(jù)如下表。試建立投保人年齡90%的置信區(qū)間總體均值的區(qū)間估計(jì)(例題分析)/2=1.645。根據(jù)樣本數(shù)解：已知n=36,

1- =

90%，z據(jù)計(jì)算得：

，總體均值 在1-置信水平下的置信區(qū)間為投保人平均年齡的置信區(qū)間為37.37歲~41.63歲總體均值的區(qū)間估計(jì)(正態(tài)總體、

２未知、小樣本)總體均值的區(qū)間估計(jì)1.(小樣本)假定條件總體服從正態(tài)分布,且方差(

２)

未知小樣本(n

<30)·

使用t

分布統(tǒng)計(jì)量3.總體均值在1- 置信水平下的置信區(qū)間為As

a

result

of

this

class,

you

will

be

able

to

...t

分布分布是類(lèi)似正態(tài)分布的一種對(duì)稱(chēng)分布，它通常要比正態(tài)分布平坦和分散。一個(gè)特定的分布依賴(lài)于稱(chēng)之為自由度的參數(shù)。隨著自由度的增大，分布也逐漸趨于正態(tài)分布Xt

分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的比較t

分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布不同自由度的t分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布t

(df

=

13)t

(df

=

5)Zt總體均值的區(qū)間估計(jì)(例題分析)【例】已知某種燈泡的壽命服從正態(tài)分布，現(xiàn)從一批燈泡中隨機(jī)抽取16只，測(cè)得其使用壽命(小時(shí))如下。建立該批燈泡平均使用壽命95%的置信區(qū)間總體均值的區(qū)間估計(jì)(例題分析)/2=2.131。根解：已知Ｘ~t(n-1)，n=16,

1- =

95%，t據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得：

，總體均值 在1- 置信水平下的置信區(qū)間為該種燈泡平均使用壽命的置信區(qū)間為1476.8小時(shí)～1503.2小時(shí)總體比例的區(qū)間估計(jì)1.·假定條件·

總體服從二項(xiàng)分布可以由正態(tài)分布來(lái)近似·

使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量Ｚ3. 總體比例 在1- 置信水平下的置信區(qū)間為總體比例的區(qū)間估計(jì)(例題分析)【例】某城市想要估計(jì)下崗職工中女性所占的比例，隨機(jī)抽取了100個(gè)下崗職工，其中65人為女性職工。試