2024年江蘇省揚(yáng)州市樹人教育集團(tuán)九年級(jí)中考三模數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）

2024年江蘇省揚(yáng)州市樹人教育集團(tuán)九年級(jí)中考三模數(shù)學(xué)試題一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分.）1.在下列四個(gè)實(shí)數(shù)中，的倒數(shù)是（）A. B. C. D.2.下列計(jì)算正確的是（）A. B.C. D.3.如圖所示，該幾何體的俯視圖是（）A.正方形 B.長(zhǎng)方形 C.三角形 D.圓4.已知圓錐的底面半徑是，母線長(zhǎng)為，則圓錐的側(cè)面積是（）A. B. C. D.5.如圖，點(diǎn)、、、在網(wǎng)格中小正方形頂點(diǎn)處，與相交于點(diǎn)，小正方形的邊長(zhǎng)為1，則的長(zhǎng)等于（）A.2 B. C. D.6.已知點(diǎn)A（1，m），B（，n），在一次函數(shù)y＝2x+1圖象上，則m與n的大小關(guān)系是（）Am＞n B.m＝n C.m＜n D.無法確定7.如圖，二次函數(shù)的圖象與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線，下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)時(shí)，．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A.個(gè) B.個(gè) C.個(gè) D.個(gè)8.如圖，在邊長(zhǎng)一定的正方形ABCD中，F(xiàn)是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接AF，以AF為斜邊作等腰直角三角形AEF．有下列四個(gè)結(jié)論：①；②四邊形AFCE的面積是定值；③當(dāng)時(shí)，E為△ADC的內(nèi)心；④若點(diǎn)F在BC上以一定的速度，從B往C運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)E與點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)速度相等．其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.）9.“燕雪花大軒臺(tái)”是詩仙李白眼里雪花，單個(gè)雪花的重量其實(shí)很輕，只有左右，用科學(xué)記數(shù)法可表示為______．10.函數(shù)中，自變量x的取值范圍是____．11.分解因式：x2y-4y=____．12.已知關(guān)于x的方程的根是和3，則_______．13.勞動(dòng)教育已納入人才培養(yǎng)全過程，某學(xué)校加大投入，建設(shè)校園農(nóng)場(chǎng)，該農(nóng)場(chǎng)一種作物的產(chǎn)量?jī)赡陜?nèi)從300千克增加到363千克．設(shè)平均每年增產(chǎn)的百分率為，則可列方程為________．14.如圖，測(cè)角儀CD豎直放在距建筑物AB底部5m的位置，在D處測(cè)得建筑物頂端A的仰角為50°．若測(cè)角儀的高度是1.5m，則建筑物AB的高度約為_____m．（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）15.如圖，在中，以點(diǎn)為圓心，為半徑作弧，分別交射線，于點(diǎn)，，再分別以，為圓心，的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在內(nèi)部交于點(diǎn)，作射線，若，則，兩點(diǎn)之間的距離為_____.16.如圖，的頂點(diǎn)A在y軸上，頂點(diǎn)B，D在x軸上，邊與y軸交于點(diǎn)E，若，，，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為______．17.如圖，點(diǎn)是反比例函數(shù)圖像上一點(diǎn)，作軸，軸，垂足分別為、，交反比例函數(shù)的圖像于、兩點(diǎn)，的面積是，則的值是______．18.如圖，在直角坐標(biāo)系中，，是上一點(diǎn)，B是y正半軸上一點(diǎn)，且，，垂足為，則最小值為__________________．三、解答題（本大題共10小題，共96分.）19.（1）計(jì)算：．（2）求不等式的正整數(shù)解．20.先化簡(jiǎn)再求值：，其中．21.如圖，四邊形ABCD是菱形，AE⊥BC于點(diǎn)E，AF⊥CD于點(diǎn)F．（1）求證：△ABE≌△ADF；（2）若AE=4，CF=2，求菱形的邊長(zhǎng)．22.每年6月6日為“全國(guó)愛眼日”．按照國(guó)家視力健康標(biāo)準(zhǔn)，學(xué)生視力狀況如下表所示．類別ABCD視力視力4.9視力視力健康狀況視力正常輕度視力不良中度視力不良重度視力不良為了解某學(xué)校學(xué)生視力狀況，隨機(jī)抽查了若干名學(xué)生進(jìn)行視力檢測(cè)，整理樣本數(shù)據(jù)，得到下列統(tǒng)計(jì)圖根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）本次抽查的學(xué)生中，視力狀況屬于A類的學(xué)生有______人，D類所在扇形的圓心角的度數(shù)是______；（2）對(duì)于本次抽查的學(xué)生視力數(shù)據(jù)，中位數(shù)所在類別為______類；（3）已知該校共有300名學(xué)生，請(qǐng)估計(jì)該?！爸卸纫暳Σ涣肌焙汀爸囟纫暳Σ涣肌钡膶W(xué)生總?cè)藬?shù)．23.在一個(gè)不透明的布袋中裝有三個(gè)小球，小球上分別標(biāo)有數(shù)字0、1、2，它們除數(shù)字外都相同．（1）隨機(jī)地從布袋中摸出一個(gè)小球，則摸出的球?yàn)闃?biāo)有數(shù)字2的概率為；（2）小明先從布袋中任意摸出一個(gè)小球，記下數(shù)字作為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，將此球放回、攪勻，再從布袋中任意摸出一個(gè)小球，記下數(shù)字作為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)．請(qǐng)用樹狀圖或表格列出點(diǎn)A所有可能的坐標(biāo)，并求出點(diǎn)A在坐標(biāo)軸上的概率．24.為了配合學(xué)校貫徹落實(shí)“雙減”政策，開展學(xué)生課后體育活動(dòng)，某體育用品商店用10000元購進(jìn)了一批足球，很快銷售一空；商店又用10000元購進(jìn)了第二批該種足球，每個(gè)足球的進(jìn)價(jià)比原來漲了，結(jié)果所購進(jìn)足球的數(shù)量比第一批少40個(gè)．求第一批足球每個(gè)的進(jìn)價(jià)是多少元？25.如圖，內(nèi)接于，是的直徑，是上的一點(diǎn)，平分，，垂足為，與相交于點(diǎn)．（1）求證：是的切線；（2）當(dāng)?shù)陌霃綖?，時(shí)，求的長(zhǎng)．26.在矩形中，．（1）請(qǐng)?jiān)趫D1中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖．先在上確定點(diǎn)E，使．再在上確定點(diǎn)F，使以F為圓心的圓經(jīng)過點(diǎn)E和點(diǎn)C．（2）在（1）的條件下，若，且，則的長(zhǎng)為27.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．點(diǎn)D為線段上的一動(dòng)點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）如圖1，求周長(zhǎng)的最小值；（3）如圖2，過動(dòng)點(diǎn)D作交拋物線第一象限部分于點(diǎn)P，連接，記與的面積和為S，當(dāng)S取得最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出此時(shí)S的最大值．28.如圖1，⊙I與直線a相離，過圓心I作直線a的垂線，垂足為H，且交⊙I于P、Q兩點(diǎn)（Q在P、H之間）．我們把點(diǎn)P稱為⊙I關(guān)于直線a的“遠(yuǎn)點(diǎn)”，把的值稱為⊙I關(guān)于直線a的“特征數(shù)”．（1）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)E的坐標(biāo)為，半徑為1的⊙O與兩坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B、C、D．①過點(diǎn)E畫垂直于y軸的直線m，則⊙O關(guān)于直線m的“遠(yuǎn)點(diǎn)”是點(diǎn)_________（填“A”、“B”、“C”或“D”），⊙O關(guān)于直線m的“特征數(shù)”為_________；②若直線n的函數(shù)表達(dá)式為，求關(guān)于直線n的“特征數(shù)”；（2）在平面直角坐標(biāo)系中，直線l經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)F是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，以F為圓心，為半徑作⊙F．若⊙F與直線l相離，點(diǎn)是⊙F關(guān)于直線l的“遠(yuǎn)點(diǎn)”，且⊙F關(guān)于直線l的“特征數(shù)”是，求直線l的函數(shù)表達(dá)式．

2024年江蘇省揚(yáng)州市樹人教育集團(tuán)九年級(jí)中考三模數(shù)學(xué)試題一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分.）1.在下列四個(gè)實(shí)數(shù)中，的倒數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了倒數(shù)，熟悉掌握倒數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．把直接變成倒數(shù)求解即可．【詳解】由倒數(shù)的定義可知，的倒數(shù)是．故選：B．2.下列計(jì)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了合并同類項(xiàng)，積的乘方以及完全平方公式，根據(jù)積的乘方，合并同類項(xiàng)和完全平方公式逐項(xiàng)計(jì)算即可．【詳解】解：A．，故不正確；B．與不是同類項(xiàng)，不能合并，故不正確；C．，故不正確；D．，正確；故選D．3.如圖所示，該幾何體的俯視圖是（）A.正方形 B.長(zhǎng)方形 C.三角形 D.圓【答案】C【解析】【分析】根據(jù)俯視圖的定義，從上面看該幾何體，所得到的圖形進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：從上面看該幾何體，所看到的圖形是三角形．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單幾何體的三視圖，理解視圖的意義，掌握俯視圖的概念是正確判斷的前提．4.已知圓錐底面半徑是，母線長(zhǎng)為，則圓錐的側(cè)面積是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式即扇形面積公式計(jì)算．【詳解】解：圓錐的側(cè)面積是．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓錐的計(jì)算，圓錐的側(cè)面積：，熟記圓錐的側(cè)面積公式是解題的關(guān)鍵．5.如圖，點(diǎn)、、、在網(wǎng)格中小正方形的頂點(diǎn)處，與相交于點(diǎn)，小正方形的邊長(zhǎng)為1，則的長(zhǎng)等于（）A.2 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)勾股定理計(jì)算AD的長(zhǎng)，再根據(jù)△AOB∽△DOC，對(duì)應(yīng)邊成比例，從而求出AO的長(zhǎng)．【詳解】解：AD=，AB=2，CD=3，∵AB∥DC，∴△AOB∽△DOC，∴，∴設(shè)AO=2x，則OD=3x，∵AO+OD=AD，∴2x+3x=5．解得：x=1，∴AO=2，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理和相似三角形的判定和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)．6.已知點(diǎn)A（1，m），B（，n），在一次函數(shù)y＝2x+1的圖象上，則m與n的大小關(guān)系是（）A.m＞n B.m＝n C.m＜n D.無法確定【答案】C【解析】【分析】由k=2＞0根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可得出結(jié)論．【詳解】解：∵一次函數(shù)y=2x+1中k=2＞0，∴該一次函數(shù)y隨x的增大而增大，∵點(diǎn)A（1，m），B（，n）在一次函數(shù)y=2x+1的圖象上，且1＜，∴m＜n．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)一次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)得出該函數(shù)的增減性是關(guān)鍵．7.如圖，二次函數(shù)的圖象與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線，下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)時(shí)，．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A.個(gè) B.個(gè) C.個(gè) D.個(gè)【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)等等，熟知二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次函數(shù)開口向上，與軸交于軸負(fù)半軸，，，根據(jù)對(duì)稱軸為直線可得，由此即可判斷①；，，判斷，由此即可判斷②；求出二次函數(shù)的圖象與軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，進(jìn)而得到當(dāng)時(shí)，，由此即可判斷③；利用圖象法即可判斷④．【詳解】解：二次函數(shù)開口向上，與軸交于軸負(fù)半軸，，，對(duì)稱軸為直線，，故①正確；，，，故故②錯(cuò)誤；二次函數(shù)的圖象與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；二次函數(shù)的圖象與軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；時(shí)，；將代入中，則故③正確；由函數(shù)圖象可知，當(dāng)當(dāng)時(shí)，，故④正確；故正確的個(gè)數(shù)為：個(gè)故選：C8.如圖，在邊長(zhǎng)一定的正方形ABCD中，F(xiàn)是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接AF，以AF為斜邊作等腰直角三角形AEF．有下列四個(gè)結(jié)論：①；②四邊形AFCE的面積是定值；③當(dāng)時(shí)，E為△ADC的內(nèi)心；④若點(diǎn)F在BC上以一定的速度，從B往C運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)E與點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)速度相等．其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】由正方形的性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)得：∠FAE=∠CAF+∠CAE=∠CAE+∠DAE=45°，從而可判定①正確；由已知及①可得△CAF∽△DAE，由△CAF∽△DAE可得∠ADE=∠CDE=45°，，由正方形的性質(zhì)可證明△ADE≌△CDE，可得AE=CE，即可判斷②；即有∠EAC=∠ECA，再由∠AEC=135°可得∠EAC=∠ECA=22.5°，從而CE、AE分別平分∠ACD、∠CAD，即可判定③正確；連接BD交AC于點(diǎn)O，由∠ADE=∠CDE=45°知，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段OD，而點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段BC，由知，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)速度是點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)速度的倍，即④錯(cuò)誤，因而可確定答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，AC是對(duì)角線，∴AD=CD，∠ADC=90°，∠DAC=∠DCA=∠ACB=45°，∵△AEF是等腰直角三角形，∴∠FAE=∠DAC=45°，∵∠FAE=∠CAF+∠CAE=∠CAE+∠DAE=∠DAC=45°，∴∠CAF=∠DAE，故①正確；∵△AEF、△DAC都是等腰直角三角形，∴即，∵∠CAF=∠DAE，∴△CAF∽△DAE，∴∠ADE=∠ACB=45°，，∵∠ADC=90°，∴∠ADE=∠CDE=45°，在△ADE和△CDE中，，∴△ADE≌△CDE(SAS)，∴AE=CE，，∴∠EAC=∠ECA，，∴四邊形AECF的面積是定值，故②正確；∵∠AEC=135°，∴，∵∠DAC=∠DCA=45°=2∠EAC=2∠ECA，∴CE、AE分別平分∠ACD、∠CAD，∵∠ADE=∠CDE=45°，∴DE平分∠ADC即點(diǎn)E是△ADC角平分線的交點(diǎn)，從而是△ADE的內(nèi)心，故③正確；如圖，連接BD交AC于點(diǎn)O，∵∠ADE=∠CDE=45°，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)O重合；當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)D重合，∴點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段OD，而點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段BC，∵，且點(diǎn)F與點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同，∴，即點(diǎn)F與點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)速度不相同，故④錯(cuò)誤故選：C．【點(diǎn)睛】本題是一個(gè)綜合性較強(qiáng)的題目，考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑的確定等知識(shí)，熟練運(yùn)用這些知識(shí)是正確解答本題的關(guān)鍵．確定點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑是本題的難點(diǎn)所在．二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.）9.“燕雪花大軒臺(tái)”是詩仙李白眼里雪花，單個(gè)雪花的重量其實(shí)很輕，只有左右，用科學(xué)記數(shù)法可表示為______．【答案】【解析】【分析】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為，其中，n為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的的個(gè)數(shù)所決定．用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)，一定要注意a的形式，以及指數(shù)n的確定方法，根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示形式直接求解即可．【詳解】解：，故答案為：．10.函數(shù)中，自變量x的取值范圍是____．【答案】【解析】【詳解】解：由題意知：x-2≠0，解得x≠2；故答案為x≠2．11.分解因式：x2y-4y=____．【答案】y(x+2)(x-2)【解析】【分析】要將一個(gè)多項(xiàng)式分解因式的一般步驟是首先看各項(xiàng)有沒有公因式，若有公因式，則把它提取出來，之后再觀察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考慮用公式法繼續(xù)分解因式．【詳解】x2y-4y=y(x2-4)=y(x+2)(x-2)，故答案為：y(x+2)(x-2)．【點(diǎn)睛】提公因式法和應(yīng)用公式法因式分解．12.已知關(guān)于x的方程的根是和3，則_______．【答案】【解析】【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，代數(shù)式求值．熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．由關(guān)于x的方程的根是和3，可得，計(jì)算可求，然后代值求解即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的方程的根是和3，∴，解得，∴，故答案為：．13.勞動(dòng)教育已納入人才培養(yǎng)全過程，某學(xué)校加大投入，建設(shè)校園農(nóng)場(chǎng)，該農(nóng)場(chǎng)一種作物的產(chǎn)量?jī)赡陜?nèi)從300千克增加到363千克．設(shè)平均每年增產(chǎn)的百分率為，則可列方程為________．【答案】【解析】【分析】此題是平均增長(zhǎng)率問題，一般用增長(zhǎng)后的量＝增長(zhǎng)前的量×（1+增長(zhǎng)率），結(jié)合本題，如果設(shè)平均每年增產(chǎn)的百分率為x，根據(jù)“糧食產(chǎn)量在兩年內(nèi)從300千克增加到363千克”，即可得出方程．【詳解】解：設(shè)平均每年增產(chǎn)的百分率為x；第一年糧食的產(chǎn)量為：300（1+x）；第二年糧食的產(chǎn)量為：300（1+x）（1+x）＝300（1+x）2；依題意，可列方程：300（1+x）2＝363；故答案為：300（1+x）2＝363．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程中求平均變化率的方法．若設(shè)變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為a（1±x）2＝b．14.如圖，測(cè)角儀CD豎直放在距建筑物AB底部5m的位置，在D處測(cè)得建筑物頂端A的仰角為50°．若測(cè)角儀的高度是1.5m，則建筑物AB的高度約為_____m．（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）【答案】7.5【解析】【分析】過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，根據(jù)正切進(jìn)行求解即可；【詳解】解：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，則DE＝BC＝5，DC＝BE＝1.5，在Rt△ADE中，∵tan∠ADE＝，∴AE＝tan∠ADE?DE＝tan50°×5≈1.19×5＝5.95（米），∴AB＝AE+BE＝5.95+1.5≈7.5（米），故答案為：7.5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，準(zhǔn)確構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．15.如圖，在中，以點(diǎn)為圓心，為半徑作弧，分別交射線，于點(diǎn)，，再分別以，為圓心，的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在內(nèi)部交于點(diǎn)，作射線，若，則，兩點(diǎn)之間的距離為_____.【答案】【解析】【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，菱形的判定及性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)尺規(guī)作圖的方法判定出菱形是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題目所給的作圖信息判定出四邊形為菱形，再根據(jù)菱形的性質(zhì)建立勾股定理的等式求解即可．【詳解】解：連接，，，設(shè)與相交于點(diǎn)，如圖所示：由作圖可得，，∴四邊形為菱形，∴，，，在中，由勾股定理得，，∴；故答案為：．16.如圖，的頂點(diǎn)A在y軸上，頂點(diǎn)B，D在x軸上，邊與y軸交于點(diǎn)E，若，，，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為______．【答案】【解析】【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．求出，，，由平行四邊形的性質(zhì)得出，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，求出，，求出的長(zhǎng)，則可得出答案．【詳解】解：，，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，，，，∴∴，，．故答案為：．17.如圖，點(diǎn)是反比例函數(shù)圖像上一點(diǎn)，作軸，軸，垂足分別為、，交反比例函數(shù)的圖像于、兩點(diǎn)，的面積是，則的值是______．【答案】2【解析】【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)，設(shè)，可求，，根據(jù)的面積是，可得，結(jié)合，求出符合題意的k即可．【詳解】解：設(shè)，則，∵作軸，交反比例函數(shù)的圖像于，∴，∴，∵軸，交反比例函數(shù)的圖像于點(diǎn)，∴，∴，∵的面積是，∴，∴∴，∴，∴或，由題意知，∴，故答案為：2．18.如圖，在直角坐標(biāo)系中，，是上一點(diǎn)，B是y正半軸上一點(diǎn)，且，，垂足為，則的最小值為__________________．【答案】##【解析】【分析】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，圓周角定理，點(diǎn)到圓上的最短距離，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，合理作出輔助線是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)作軸，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，利用判定出得到，再根據(jù)推出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，取的中點(diǎn)，連接，用勾股定理求出的長(zhǎng)，即可求得最小值．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作軸，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，∵，∴．∵，軸，∴，，∴，又∵，，∴（ASA），∴，∵，∴點(diǎn)在以為直徑的圓上，取的中點(diǎn)，連接，∴，，∴當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，有的最小值為；故答案為：．三、解答題（本大題共10小題，共96分.）19.（1）計(jì)算：．（2）求不等式的正整數(shù)解．【答案】（1）；（2），1、2、3．【解析】【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)混合運(yùn)算，求不等式的正整數(shù)解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算．（1）根據(jù)零指數(shù)冪和算術(shù)平方根定義，特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算即可；（2）先去分母，然后去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，最后系數(shù)化為1，求出不等式解集，然后求出不等式的正整數(shù)解即可．【詳解】解：（1）；（2），去分母得：，去括號(hào)得：，移項(xiàng)得：，合并同類項(xiàng)得：，系數(shù)化為1得：，∴不等式的正整數(shù)解為1、2、3．20.先化簡(jiǎn)再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】先算分式的加法，再算乘法運(yùn)算，最后代入求值，即可求解．【詳解】解：原式．當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握分式的通分和約分，是解題的關(guān)鍵．21.如圖，四邊形ABCD是菱形，AE⊥BC于點(diǎn)E，AF⊥CD于點(diǎn)F．（1）求證：△ABE≌△ADF；（2）若AE=4，CF=2，求菱形的邊長(zhǎng)．【答案】（1）見解析（2）5【解析】【分析】（1）利用AAS即可證明△ABE≌△ADF；（2）設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為x，利用全等三角形的性質(zhì)得到BE=DF=x?2，在Rt△ABE中，利用勾股定理列方程求解即可．【小問1詳解】證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD（菱形的四條邊相等），∠B=∠D（菱形的對(duì)角相等），∵AE⊥BCAF⊥CD，∴∠AEB=∠AFD=90°（垂直的定義），在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF(AAS)；【小問2詳解】解：設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為x，∴AB=CD=x，CF=2，∴DF=x?2，∵△ABE≌△ADF，∴BE=DF=x?2（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等），在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∴AE2+BE2=AB2（勾股定理），∴42+(x?2)2=x2，解得x=5，∴菱形的邊長(zhǎng)是5．【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．22.每年6月6日為“全國(guó)愛眼日”．按照國(guó)家視力健康標(biāo)準(zhǔn)，學(xué)生視力狀況如下表所示．類別ABCD視力視力4.9視力視力健康狀況視力正常輕度視力不良中度視力不良重度視力不良為了解某學(xué)校學(xué)生視力狀況，隨機(jī)抽查了若干名學(xué)生進(jìn)行視力檢測(cè)，整理樣本數(shù)據(jù)，得到下列統(tǒng)計(jì)圖根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）本次抽查的學(xué)生中，視力狀況屬于A類的學(xué)生有______人，D類所在扇形的圓心角的度數(shù)是______；（2）對(duì)于本次抽查的學(xué)生視力數(shù)據(jù)，中位數(shù)所在類別為______類；（3）已知該校共有300名學(xué)生，請(qǐng)估計(jì)該?！爸卸纫暳Σ涣肌焙汀爸囟纫暳Σ涣肌钡膶W(xué)生總?cè)藬?shù)．【答案】（1）4；（2）B（3）135人【解析】【分析】（1）首先利用組的人數(shù)和所占的百分比求得總?cè)藬?shù)，然后乘以類所占的百分比即可求得類學(xué)生的人數(shù)；（2）用周角乘以類所占的百分比即可；（3）用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)總體數(shù)據(jù)即可．【小問1詳解】解：觀察兩個(gè)統(tǒng)計(jì)題知：類有7人，占，所以調(diào)查的總?cè)藬?shù)為（人，所以視力情況屬于類的學(xué)生有（人，類所在扇形的圓心角的度數(shù)為．【小問2詳解】解：每類人數(shù)分別為4人，7人，8人，1人，共20人，所以中位數(shù)為第10人和第11人的平均數(shù)，均落在了類，所以本次抽查的學(xué)生視力數(shù)據(jù)，中位數(shù)所在類別為類．【小問3詳解】解：（人，所以估計(jì)該?！爸卸纫暳Σ涣肌焙汀爸囟纫暳Σ涣肌钡膶W(xué)生總?cè)藬?shù)為135人．【點(diǎn)睛】本題考查條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、統(tǒng)計(jì)表、中位數(shù)以及用樣本估計(jì)總體等知識(shí)，關(guān)鍵是從扇形統(tǒng)計(jì)圖和統(tǒng)計(jì)表中找出相應(yīng)的數(shù)據(jù)．23.在一個(gè)不透明的布袋中裝有三個(gè)小球，小球上分別標(biāo)有數(shù)字0、1、2，它們除數(shù)字外都相同．（1）隨機(jī)地從布袋中摸出一個(gè)小球，則摸出的球?yàn)闃?biāo)有數(shù)字2的概率為；（2）小明先從布袋中任意摸出一個(gè)小球，記下數(shù)字作為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，將此球放回、攪勻，再從布袋中任意摸出一個(gè)小球，記下數(shù)字作為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)．請(qǐng)用樹狀圖或表格列出點(diǎn)A所有可能的坐標(biāo)，并求出點(diǎn)A在坐標(biāo)軸上的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查了概率，用樹狀圖或表格求概率，熟悉掌握樹狀圖或表格法列出所有可能性是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)摸出的可能性運(yùn)算求解即可；（2）運(yùn)用列表法列出所有可能性，運(yùn)算求解即可．【小問1詳解】解：由題意知，共有種等可能的結(jié)果，其中摸出的球?yàn)闃?biāo)有數(shù)字的結(jié)果有種，∴摸出的球?yàn)闃?biāo)有數(shù)字的概率為；【小問2詳解】列表如下：012012由表格可知，共有種等可能的結(jié)果．其中點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的結(jié)果有：，，，，，共種，∴點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的概率為．24.為了配合學(xué)校貫徹落實(shí)“雙減”政策，開展學(xué)生課后體育活動(dòng)，某體育用品商店用10000元購進(jìn)了一批足球，很快銷售一空；商店又用10000元購進(jìn)了第二批該種足球，每個(gè)足球的進(jìn)價(jià)比原來漲了，結(jié)果所購進(jìn)足球的數(shù)量比第一批少40個(gè)．求第一批足球每個(gè)的進(jìn)價(jià)是多少元？【答案】第一批足球每個(gè)的進(jìn)價(jià)是50元【解析】【分析】本題主要考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)第一批足球每個(gè)的進(jìn)價(jià)是元?jiǎng)t第二批足球每個(gè)的進(jìn)價(jià)是元，根據(jù)第二批所購進(jìn)足球的數(shù)量比第一批少40個(gè)列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)第一批足球每個(gè)的進(jìn)價(jià)是元?jiǎng)t第二批足球每個(gè)的進(jìn)價(jià)是元根據(jù)題意得：，解得，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，符合實(shí)際題意，，答：第一批足球每個(gè)的進(jìn)價(jià)是50元．25.如圖，內(nèi)接于，是的直徑，是上的一點(diǎn)，平分，，垂足為，與相交于點(diǎn)．（1）求證：是的切線；（2）當(dāng)?shù)陌霃綖?，時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】本題考查了圓的性質(zhì)，圓周角，切線的判定，平行線的判定及性質(zhì)，三角函數(shù)的比值關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用圓的性質(zhì)進(jìn)行角的等量代換是解題的關(guān)鍵．（1）由得到，由角平分線可得到，利用圓的性質(zhì)進(jìn)行角的等量代換證出，即可由平行線的性質(zhì)得到，從而推導(dǎo)出結(jié)果；（2）利用角的等量代換和三角函數(shù)的比值關(guān)系求出和的長(zhǎng)，再利用勾股定理運(yùn)算即可．【小問1詳解】證明：∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即，∵是圓的半徑，∴是的切線；【小問2詳解】解：∵是的直徑，∴，∵，∴，∵，∴，∴，解得：，∴．26.在矩形中，．（1）請(qǐng)?jiān)趫D1中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖．先在上確定點(diǎn)E，使．再在上確定點(diǎn)F，使以F為圓心的圓經(jīng)過點(diǎn)E和點(diǎn)C．（2）在（1）的條件下，若，且，則的長(zhǎng)為【答案】（1）見解析（2）5【解析】【分析】（1）以B點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交于E點(diǎn)，連接，作的垂直平分線，與的交點(diǎn)即為F點(diǎn)．（2）根據(jù)，設(shè)，，利用，列式計(jì)算求得，則可得．設(shè)，在中，由勾股定理列式計(jì)算求出x的值即可．【小問1詳解】如圖所示：E點(diǎn)和F點(diǎn)即為所求．小問2詳解】∵四邊形是矩形，，，，，∴可以假設(shè)，，，，，，，，設(shè)，則，在中，，即，，．故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，正弦函數(shù)的定義，勾股定理，矩形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．27.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．點(diǎn)D為線段上的一動(dòng)點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）如圖1，求周長(zhǎng)的最小值；（3）如圖2，過動(dòng)點(diǎn)D作交拋物線第一象限部分于點(diǎn)P，連接，記與的面積和為S，當(dāng)S取得最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出此時(shí)S的最大值．【答案】（1）（2）（3），【解析】【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)拋物線的表達(dá)式為，將代入求解即可；（2）作點(diǎn)O關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)E，連接，根據(jù)點(diǎn)坐特點(diǎn)及正方形的判定得出四邊形為正方形，，連接AE，交于點(diǎn)D，由對(duì)稱性，此時(shí)有最小值為AE的長(zhǎng)，再由勾股定理求解即可；（3）由待定系數(shù)法確定直線的表達(dá)式為，直線的表達(dá)式為，設(shè)，然后結(jié)合圖形及面積之間的關(guān)系求解即可．【小問1詳解】解：由題意可知，設(shè)拋物線的表達(dá)式為，將代入上式得：，所以拋物線的表達(dá)式為；【小問2詳解】作點(diǎn)O關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)E，連接，∵，，，∴，∵O、E關(guān)于直線對(duì)稱，∴四邊形為正方形，∴，連接，交于點(diǎn)D，由對(duì)稱性，此時(shí)有最小值為的長(zhǎng)，∵的周長(zhǎng)為，，的最小值為10，∴的周長(zhǎng)的最小值為；【小問3詳解】由已知點(diǎn)，，，設(shè)直線的表達(dá)式為，將，代入中，，解得，∴直線的表達(dá)式為，同理可得：直線的表達(dá)式為，∵，∴設(shè)直線表達(dá)式為，由（1）設(shè)，代入直線的表達(dá)式得：，∴直線的表達(dá)式為：，由，得，∴，∵P，D都在第一象限，∴，∴當(dāng)時(shí)，此時(shí)P點(diǎn)為.．【點(diǎn)睛】題目主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，包括待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，周長(zhǎng)最短問題及面積問題，理解題意，熟練掌握運(yùn)用二次函數(shù)的綜合性質(zhì)是解題關(guān)鍵．28.如圖1，⊙I與直線a相離，過圓心I作直線a的垂線，垂足為H，且交⊙I于P、Q兩點(diǎn)（Q在P、H之間）．我們把點(diǎn)P稱為⊙I關(guān)于直線a的“遠(yuǎn)點(diǎn)”，把的值稱為⊙I關(guān)于直線a的“特征數(shù)”．（1）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)E的坐標(biāo)為，半徑為1的⊙O與兩坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B、C、D．①過點(diǎn)E畫垂直于y軸直線m，則⊙O關(guān)于直線m的“遠(yuǎn)點(diǎn)”是點(diǎn)_________（填“A”、“B”、“C”或“D”），⊙O關(guān)于直線m的“特征數(shù)”為_________；②若直線n的函數(shù)表達(dá)式為，求關(guān)于直線n的“特征數(shù)”；（2）在平面直角坐標(biāo)系中，直線l經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)F是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，以F為圓心，為半徑作⊙F．若⊙F與直線l相離，點(diǎn)是⊙F關(guān)于直線l的“遠(yuǎn)點(diǎn)”，且⊙F關(guān)于直線l的“