安徽省六校教育研究會2023屆高三下學期入學素質(zhì)測試數(shù)學試題（解析版）

第1頁/共1頁安徽省六校教育研究會2023年高三年級入學素質(zhì)測試數(shù)學試題卷注意事項：1．你拿到的試卷滿分為150分，考試時間為120分鐘．2．試卷包括“試題卷”和“答題卷”兩部分，請務必在“答題卷”上答題，在“試題卷”上答題無效．第Ⅰ卷（選擇題共60分）一?單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．每小題只有一個正確答案，請把正確答案涂在答題卡上）1.設復數(shù)，則在復平面內(nèi)對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】注意到，計算得代數(shù)形式，可得答案.【詳解】，，則其在復平面對應的點為，即在第四象限.故選：D2.已知集合，，則有（）個真子集.A.3 B.16 C.15 D.4【答案】A【解析】【分析】計算，得到真子集個數(shù).【詳解】，，則，真子集個數(shù)為.故選：A3.已知且，“函數(shù)為增函數(shù)”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【詳解】函數(shù)增函數(shù),則,此時,故函數(shù)在上單調(diào)遞增;當在上單調(diào)遞增時,,,所以,故為增函數(shù).故選:C4.2021年2月10日，天問一號探測器順利進入火星的橢圓環(huán)火軌道（將火星近似看成一個球體，球心為橢圓的一個焦點）．2月15日17時，天問一號探測器成功實施捕獲軌道遠火點（橢圓軌跡上距離火星表面最遠的一點）平面機動，同時將近火點高度調(diào)整至約265km．若此時遠火點距離約為11945km，火星半徑約為3395km，則調(diào)整后天問一號的運行軌跡（環(huán)火軌道曲線）的焦距約為（）A.11680km B.5840km C.19000km D.9500km【答案】A【解析】【分析】由題意可知，，即可解出.【詳解】設橢圓的方程為（），由橢圓的性質(zhì)可知橢圓上的點到焦點距離的最小值為，最大值為，根據(jù)題意可得近火點滿足①，遠火點滿足②，由得，故選：A5.如圖，一種棱臺形狀的無蓋容器（無上底面）模型其上、下底面均為正方形，面積分別為，，且，若該容器模型的體積為，則該容器模型的表面積為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意可知這是正四棱臺，由其體積公式求出棱臺的高，繼而求得側(cè)面上的高，最后求得其表面積.【詳解】由題意得該容器模型為正四棱臺，上、下底面的邊長分別為2cm，3cm.設該棱臺的高為h，則由棱臺體積公式，得：得，所以側(cè)面等腰梯形的高，所以，故選：C6.在中，，，，則直線通過的（）A.垂心 B.外心 C.重心 D.內(nèi)心【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量的加法的幾何意義，結(jié)合菱形的對角線為相應角的平分線，得到在的角平分線上，從而作出判定.【詳解】因為,∴，設,則，又，∴在的角平分線上，由于三角形中,故三角形的邊上的中線，高線，中垂線都不與的角平分線重合，故經(jīng)過三角形的內(nèi)心，而不經(jīng)過外心，重心，垂心，故選D.7.已知向量的夾角為60°的單位向量，若對任意的?，且，，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量的運算，求得模長，整理不等式，構(gòu)造函數(shù)研究其單調(diào)性，利用導數(shù)，可得答案.【詳解】已知向量的夾角為的單位向量，則所以所以對任意的，且，則所以，即，設，即在上單調(diào)遞減，又時，，解得，所以上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，所以，故選：A．8.已知直線l與曲線相切，切點為P，直線l與x軸、y軸分別交于點A，B，O為坐標原點．若的面積為，則點P的個數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】設出切點坐標，利用導數(shù)求切線斜率，寫出切線方程，求出點A，B的坐標，表示的面積函數(shù)，求面積函數(shù)與直線有幾個交點.【詳解】設直線l與曲線相切于，又，所以直線l的斜率為，方程為，令，；令，,即，.所以.設，則.由，解得或；由，解得.所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.，，，，且恒有成立，如圖，函數(shù)與直線有3個交點.所以點P的個數(shù)為3.故選：C.二?多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分．請把正確答案涂在答題卡上）9.以下四個命題中，真命題的有（）A.在回歸分析中，可用相關指數(shù)的值判斷模型的擬合效果，越大，模型的擬合效果越好；B.回歸模型中殘差是實際值與估計值的差，殘差點所在的帶狀區(qū)域?qū)挾仍秸?，說明模型擬合精度越高；C.對分類變量與的統(tǒng)計量來說，值越小，判斷“與有關系”的把握程度越大．D.已知隨機變量服從二項分布，若，則．【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)相關指數(shù)的定義確定A；根據(jù)殘差的性質(zhì)確定B；根據(jù)獨立性檢驗確定C；根據(jù)二項分布與均值的運算確定D.【詳解】對于A，由相關指數(shù)的定義知：越大，模型的擬合效果越好，A正確；對于B，殘差點所在的帶狀區(qū)域?qū)挾仍秸?，則殘差平方和越小，模型擬合精度越高，B正確；對于C，由獨立性檢驗的思想知：值越大，“與有關系”的把握程度越大，C錯誤．對于D，，，又，，解得：，D錯誤．故選：．10.2022年9月錢塘江多處出現(xiàn)罕見潮景“魚鱗潮”，“魚鱗潮”的形成需要兩股涌潮，一股是波狀涌潮，另外一股是破碎的涌潮，兩者相遇交叉就會形成像魚鱗一樣的涌潮．若波狀涌潮的圖像近似函數(shù)的圖像，而破碎的涌潮的圖像近似（是函數(shù)的導函數(shù)）的圖像．已知當時，兩潮有一個交叉點，且破碎的涌潮的波谷為，則（）A. B.C.的圖像關于原點對稱 D.在區(qū)間上單調(diào)【答案】BC【解析】【分析】對于A，由題意，求導建立方程，根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；對于B，整理其函數(shù)解析式，代入值，利用和角公式，可得答案；對于C，整理函數(shù)解析式，利用誘導公式，結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；對于D，利用整體思想，整體換元結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.【詳解】，則，由題意得，即，故，因為，所以，由則，，故選項A錯誤；因為破碎的涌潮的波谷為，所以的最小值為，即，得，所以，則，故選項B正確；因為，所以，所以為奇函數(shù)，則選項C正確；，由，得，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上不單調(diào)，則選項D錯誤，故選：BC.11.在棱長為2的正方體中，，分別為，的中點，則（）A.異面直線與所成角的余弦值為B.點為正方形內(nèi)一點，當平面時，的最小值為C.過點，，的平面截正方體所得的截面周長為D.當三棱錐的所有頂點都在球的表面上時，球的表面積為【答案】BCD【解析】【分析】對于選項A：根據(jù)正方體的性質(zhì)得出在中即為異面直線與所成的角，即可計算得出答案判定；對于選項B：取的中點的中點，連接，，，得到，，即可證明面面，則根據(jù)已知得出軌跡為線段，則過作，此時取得最小值，計算得出即可判定；對于選項C：過點的平面截正方體所得的截面圖形為五邊形，得出，，設，，以為原點，分別以方向為軸?軸?軸正方向建立空間直角坐標系，得出，，，的坐標，則可根據(jù)，列式得出，，即可得出，，在中得出，同理得出，在中得出，同理得出，在中得出，即可得出五邊形的周長，即過點的平面截正方體所得的截面周長，即可判定；對于選項D：取的中點，則，過作，且使得，則為三棱錐的外接球的球心，則為外接球的半徑，計算得出半徑即可求出球的表面積，即可判定.【詳解】對于A選項，，在中即為異面直線與所成的角，，異面直線與所成的角的余弦值為．故A錯誤；對于B選項，取的中點的中點，取的中點，連接，，，，同理可得，又面，面，面，面，面，面，又，面，面面，又面，面，軌跡為線段，在中，過作，此時取得最小值，在中，，，，在中，，，，在中，，，，如圖，在中，．故B項正確；對于C選項，過點的平面截正方體，平面平面，則過點的平面必與與交于兩點，設過點的平面必與與分別交于、，過點的平面與平面和平面分別交于與，，同理可得，如圖過點的平面截正方體所得的截面圖形為五邊形，如圖以為原點，分別以方向為軸?軸?軸正方向建立空間直角坐標系，設，，則，，，，，，，，，，，，解得，，，，，在中，，，，同理：，在中，，，，同理：在中，，，，即過點的平面截正方體所得的截面周長為．故C正確；對于D選項，如圖所示，取的中點，則，過作，且使得，則為三棱錐的外接球的球心，所以為外接球的半徑，在中，，．故D項正確，故選：BCD．12.對于正整數(shù)n，是小于或等于n的正整數(shù)中與n互質(zhì)的數(shù)的數(shù)目．函數(shù)以其首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函數(shù)，又稱為函數(shù)，例如，（10與1，3，7，9均互質(zhì)）則（）A. B.數(shù)列不單調(diào)遞增數(shù)列C.若p為質(zhì)數(shù)，則數(shù)列為等比數(shù)列 D.數(shù)列的前4項和等于【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義、單調(diào)函數(shù)的定義，等比數(shù)列的定義，求和公式，可得答案.【詳解】根據(jù)題意可知，12與互質(zhì)，29與共28個數(shù)都互質(zhì)，即，所以A正確；由題意知，可知數(shù)列不是單調(diào)遞增的，B正確；若為質(zhì)數(shù)，則小于等于的正整數(shù)中與互質(zhì)的數(shù)為，即每個數(shù)當中就有一個與不互質(zhì)，所以互質(zhì)的數(shù)的數(shù)目為個，故，所以為常數(shù)，即數(shù)列為等比數(shù)列，故C正確；根據(jù)選項C即可知，數(shù)列的前4項和為，故D錯誤，故選：ABC第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三?填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.在的展開式中，只有第4項的二項式系數(shù)最大，則展開式中含項的系數(shù)為______．【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)題意，可得，進而可得其二項式展開式的通項，令x的指數(shù)為3，可得r的值，最后將r的值代入通項可得其展開式中的項，即可得答案．【詳解】由題知，則，令，得，所以展開式中的系數(shù)為.故答案為：.14.曲線在點處的切線平分圓，則函數(shù)的零點為____．【答案】1【解析】【分析】利用導數(shù)求出切線方程，根據(jù)切線過圓心，求得，再將零點轉(zhuǎn)化為方程的根求解即可.【詳解】因為，所以，曲線在點處的切線斜率，又，則切線方程為：，即，若該切線平分圓，則切線過圓心，則，解得，所以，因為，所以，則只有一個零點，故答案為：115.已知函數(shù)，若，，則_________．【答案】##1.5【解析】【分析】由，可得為偶函數(shù)，可得，再由，可得，進而可得，再將代入即得答案.【詳解】解：因為，所以為偶函數(shù)，所以，所以，又因為，所以，所以，又因為，所以，所以，所以，又因為，所以，所以，所以．故答案：16.設拋物線的焦點為，準線為與軸的交點為N，過拋物線上一點作的垂線，垂足為，若，與相交于點，且，則點的縱坐標為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量運算的幾何性質(zhì)，結(jié)合相似三角形，求得線段之間的關系，根據(jù)拋物線的性質(zhì)，求得點的坐標，結(jié)合線段的比例，可得答案.【詳解】由題意，不妨設其在第一象限，作圖如下，由得，，即，又因為為的中點，所以，所以，所以為的三等分點，且，又因為，所以，且，所以，不妨設，且在第一象限，，所以，因為點在拋物線上，所以，所以根據(jù)相似關系可得，故答案為：．四?解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟．17.等差數(shù)列中，分別是如表所示第一、二、三行中的某一個數(shù)，且其中的任意兩個數(shù)不在表格的同一列.第一列第二列第三列第一行582第二行4312第三行1669（1）請選擇一個可能的組合，并求數(shù)列的通項公式.（2）記（1）中您選擇的的前n項和為Sn，判斷是否存在正整數(shù)k，使得成等比數(shù)列?若存在，請求出k的值;若不存在，請說明理由.【答案】（1）答案見解析（2）答案見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，滿足的組合有和兩種情況，進而選擇一種，求解即可；（2）結(jié)合（1）中的組合，求得，再根據(jù)等比中項求解方程即可.【小問1詳解】解：由題意可知，有兩種組合滿足條件.①，此時等差數(shù)列中，，公差d=4，所以數(shù)列的通項公式為.②，此時等差數(shù)列中，，公差d=2，所以數(shù)列的通項公式為.【小問2詳解】解：若選擇①，，則.若成等比數(shù)列，則，即，整理得，即此方程無正整數(shù)解，故不存在正整數(shù)，使成等比數(shù)列.若選擇②，，則.若成等比數(shù)列，則，即，整理得，因為k為正整數(shù)，所以.故存在正整數(shù)，使得成等比數(shù)列.18.某高檔小區(qū)有一個池塘，其形狀為直角，，百米，百米，現(xiàn)準備養(yǎng)一批觀賞魚供小區(qū)居民觀賞．（1）若在內(nèi)部取一點P，建造APC連廊供居民觀賞，如圖①，使得點P是等腰三角形PBC的頂點，且，求連廊的長；（2）若分別在AB，BC，CA上取點D，E，F(xiàn)，建造連廊供居民觀賞，如圖②，使得為正三角形，求連廊長的最小值．【答案】（1）百米；（2）百米．【解析】【分析】（1）先在三角形PBC中利用已知條件求出PC的長度，再在三角形PAC中利用余弦定理求出PA的長度，即可求解；（2）設出等腰三角形的邊長以及角CEF，則可求出CF的長度，進而可得AF的長度，再利用角的關系求出角ADF的大小，然后在三角形ADF中利用正弦定理化簡出a的表達式，再利用三角函數(shù)的最值即可求出a的最小值，進而可以求解．【詳解】解：（1）因為P是等腰三角形PBC的頂點，且，又，所以，，又因為，所以，則在三角形PAC中，由余弦定理可得：，解得，所以連廊百米；（2）設正三角形DEF的邊長為a，，則，，且，所以，在三角形ADF中，由正弦定理可得：，即，即，化簡可得，所以（其中為銳角，且），即邊長的最小值為百米，所以三角形DEF連廊長的最小值為百米．【點評】方法點睛：在求三角形邊長以及最值的問題時，常常設出角度，將長度表示成角度的三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的值域求最值.19.2020年席卷全球的新冠肺炎給世界人民帶來了巨大的災難，面對新冠肺炎，早發(fā)現(xiàn)、早診斷、早隔離、早治療是有效防控疾病蔓延的重要舉措之一.某社區(qū)對位居民是否患有新冠肺炎疾病進行篩查，先到社區(qū)醫(yī)務室進行口拭子核酸檢測，檢測結(jié)果成陽性者，再到醫(yī)院做進一步檢查，已知隨機一人其口拭子核酸檢測結(jié)果成陽性的概率為%，且每個人的口拭子核酸是否呈陽性相互獨立.（1）假設該疾病患病的概率是%，且患病者口拭子核酸呈陽性的概率為%，設這位居民中有一位的口拭子核酸檢測呈陽性，求該居民可以確診為新冠肺炎患者的概率；（2）根據(jù)經(jīng)驗，口拭子核酸檢測采用分組檢測法可有效減少工作量，具體操作如下：將位居民分成若干組，先取每組居民的口拭子核酸混在一起進行檢測，若結(jié)果顯示陰性，則可斷定本組居民沒有患病，不必再檢測；若結(jié)果顯示陽性，則說明本組中至少有一位居民患病，需再逐個進行檢測，現(xiàn)有兩個分組方案：方案一：將位居民分成組，每組人；方案二：將位居民分成組，每組人；試分析哪一個方案的工作量更少？（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】（1）（2）見解析【解析】【分析】（1）設事件為“核酸檢測呈陽性”，事件為“患疾病”，利用條件概率公式求解即可；（2）設方案一和方案二中每組的檢測次數(shù)為，，分別求出兩種方案檢測次數(shù)的分布列，進而得出期望，通過比較期望的大小即可得出結(jié)論.【詳解】（1）設事件為“核酸檢測呈陽性”，事件為“患疾病”由題意可得，由條件概率公式得：即故該居民可以確診為新冠肺炎患者的概率為（2）設方案一中每組的檢測次數(shù)為，則的取值為所以的分布列為所以即方案一檢測的總次數(shù)的期望為設方案二中每組的檢測次數(shù)為，則的取值為；所以的分布列為所以即方案二檢測的總次數(shù)的期望為由，則方案二的工作量更少【點睛】本題主要考查了條件概率公式的應用以及均值的實際應用，屬于中檔題.20.圖1是直角梯形ABCD，，∠D＝90°，四邊形ABCE是邊長為2的菱形，并且∠BCE＝60°，以BE為折痕將△BCE折起，使點C到達的位置，且．（1）求證：平面平面ABED．（2）在棱上是否存在點P，使得點P到平面的距離為？若存在，求出直線EP與平面所成角的正弦值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）存在，【解析】【分析】（1）在圖1中，連接，交于O，由幾何關系可得，，結(jié)合圖2易得是二面角的平面角，由勾股定理逆定理可證，進而得證；（2）以，，為x，y，z軸建立空間直角坐標系，設，，求得，同時求出平面的法向量，由點面距離的向量公式求得，進而求得，結(jié)合向量公式可求直線EP與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】如圖所示：在圖1中，連接，交于O，因為四邊形是邊長為2的菱形，并且，所以，且．在圖2中，相交直線，均與垂直，所以是二面角的平面角，因為，所以，，所以平面平面；【小問2詳解】由（1）知，分別以，，為x，y，z軸建立如圖2所示的空間直角坐標系，則，，，，，，，，，.設，，則.設平面的法向量為，則，即，取，因為點到平面的距離為，所以，解得，則，所以.設直線與平面所成的角為，所以直線與平面所成角的正弦值為.21.已知雙曲線的右焦點為，漸近線與拋物線交于點.（1）求的方程；（2）設是與在第一象限的公共點，作直線與的兩支分別交于點，便得.（i）求證：直線過定點；（ii）過作于.是否存在定點，使得為定值？如果有，請求出點的坐標；如果沒有，請說明理由.【答案】（1），；