安徽省六校教育研究會(huì)2023屆高三下學(xué)期入學(xué)素質(zhì)測試數(shù)學(xué)試題（解析版）

第1頁/共1頁安徽省六校教育研究會(huì)2023年高三年級(jí)入學(xué)素質(zhì)測試數(shù)學(xué)試題卷注意事項(xiàng)：1．你拿到的試卷滿分為150分，考試時(shí)間為120分鐘．2．試卷包括“試題卷”和“答題卷”兩部分，請(qǐng)務(wù)必在“答題卷”上答題，在“試題卷”上答題無效．第Ⅰ卷（選擇題共60分）一?單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．每小題只有一個(gè)正確答案，請(qǐng)把正確答案涂在答題卡上）1.設(shè)復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】注意到，計(jì)算得代數(shù)形式，可得答案.【詳解】，，則其在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，即在第四象限.故選：D2.已知集合，，則有（）個(gè)真子集.A.3 B.16 C.15 D.4【答案】A【解析】【分析】計(jì)算，得到真子集個(gè)數(shù).【詳解】，，則，真子集個(gè)數(shù)為.故選：A3.已知且，“函數(shù)為增函數(shù)”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【詳解】函數(shù)增函數(shù),則,此時(shí),故函數(shù)在上單調(diào)遞增;當(dāng)在上單調(diào)遞增時(shí),,,所以,故為增函數(shù).故選:C4.2021年2月10日，天問一號(hào)探測器順利進(jìn)入火星的橢圓環(huán)火軌道（將火星近似看成一個(gè)球體，球心為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)）．2月15日17時(shí)，天問一號(hào)探測器成功實(shí)施捕獲軌道遠(yuǎn)火點(diǎn)（橢圓軌跡上距離火星表面最遠(yuǎn)的一點(diǎn)）平面機(jī)動(dòng)，同時(shí)將近火點(diǎn)高度調(diào)整至約265km．若此時(shí)遠(yuǎn)火點(diǎn)距離約為11945km，火星半徑約為3395km，則調(diào)整后天問一號(hào)的運(yùn)行軌跡（環(huán)火軌道曲線）的焦距約為（）A.11680km B.5840km C.19000km D.9500km【答案】A【解析】【分析】由題意可知，，即可解出.【詳解】設(shè)橢圓的方程為（），由橢圓的性質(zhì)可知橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值為，最大值為，根據(jù)題意可得近火點(diǎn)滿足①，遠(yuǎn)火點(diǎn)滿足②，由得，故選：A5.如圖，一種棱臺(tái)形狀的無蓋容器（無上底面）模型其上、下底面均為正方形，面積分別為，，且，若該容器模型的體積為，則該容器模型的表面積為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意可知這是正四棱臺(tái)，由其體積公式求出棱臺(tái)的高，繼而求得側(cè)面上的高，最后求得其表面積.【詳解】由題意得該容器模型為正四棱臺(tái)，上、下底面的邊長分別為2cm，3cm.設(shè)該棱臺(tái)的高為h，則由棱臺(tái)體積公式，得：得，所以側(cè)面等腰梯形的高，所以，故選：C6.在中，，，，則直線通過的（）A.垂心 B.外心 C.重心 D.內(nèi)心【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量的加法的幾何意義，結(jié)合菱形的對(duì)角線為相應(yīng)角的平分線，得到在的角平分線上，從而作出判定.【詳解】因?yàn)?∴，設(shè),則，又，∴在的角平分線上，由于三角形中,故三角形的邊上的中線，高線，中垂線都不與的角平分線重合，故經(jīng)過三角形的內(nèi)心，而不經(jīng)過外心，重心，垂心，故選D.7.已知向量的夾角為60°的單位向量，若對(duì)任意的?，且，，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量的運(yùn)算，求得模長，整理不等式，構(gòu)造函數(shù)研究其單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)，可得答案.【詳解】已知向量的夾角為的單位向量，則所以所以對(duì)任意的，且，則所以，即，設(shè)，即在上單調(diào)遞減，又時(shí)，，解得，所以上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，所以，故選：A．8.已知直線l與曲線相切，切點(diǎn)為P，直線l與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若的面積為，則點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率，寫出切線方程，求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，表示的面積函數(shù)，求面積函數(shù)與直線有幾個(gè)交點(diǎn).【詳解】設(shè)直線l與曲線相切于，又，所以直線l的斜率為，方程為，令，；令，,即，.所以.設(shè)，則.由，解得或；由，解得.所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.，，，，且恒有成立，如圖，函數(shù)與直線有3個(gè)交點(diǎn).所以點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為3.故選：C.二?多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分．請(qǐng)把正確答案涂在答題卡上）9.以下四個(gè)命題中，真命題的有（）A.在回歸分析中，可用相關(guān)指數(shù)的值判斷模型的擬合效果，越大，模型的擬合效果越好；B.回歸模型中殘差是實(shí)際值與估計(jì)值的差，殘差點(diǎn)所在的帶狀區(qū)域?qū)挾仍秸?，說明模型擬合精度越高；C.對(duì)分類變量與的統(tǒng)計(jì)量來說，值越小，判斷“與有關(guān)系”的把握程度越大．D.已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，若，則．【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)相關(guān)指數(shù)的定義確定A；根據(jù)殘差的性質(zhì)確定B；根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)確定C；根據(jù)二項(xiàng)分布與均值的運(yùn)算確定D.【詳解】對(duì)于A，由相關(guān)指數(shù)的定義知：越大，模型的擬合效果越好，A正確；對(duì)于B，殘差點(diǎn)所在的帶狀區(qū)域?qū)挾仍秸?，則殘差平方和越小，模型擬合精度越高，B正確；對(duì)于C，由獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想知：值越大，“與有關(guān)系”的把握程度越大，C錯(cuò)誤．對(duì)于D，，，又，，解得：，D錯(cuò)誤．故選：．10.2022年9月錢塘江多處出現(xiàn)罕見潮景“魚鱗潮”，“魚鱗潮”的形成需要兩股涌潮，一股是波狀涌潮，另外一股是破碎的涌潮，兩者相遇交叉就會(huì)形成像魚鱗一樣的涌潮．若波狀涌潮的圖像近似函數(shù)的圖像，而破碎的涌潮的圖像近似（是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)）的圖像．已知當(dāng)時(shí)，兩潮有一個(gè)交叉點(diǎn)，且破碎的涌潮的波谷為，則（）A. B.C.的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 D.在區(qū)間上單調(diào)【答案】BC【解析】【分析】對(duì)于A，由題意，求導(dǎo)建立方程，根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；對(duì)于B，整理其函數(shù)解析式，代入值，利用和角公式，可得答案；對(duì)于C，整理函數(shù)解析式，利用誘導(dǎo)公式，結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；對(duì)于D，利用整體思想，整體換元結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.【詳解】，則，由題意得，即，故，因?yàn)?，所以，由則，，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；因?yàn)槠扑榈挠砍钡牟ü葹?，所以的最小值為，即，得，所以，則，故選項(xiàng)B正確；因?yàn)椋?，所以為奇函?shù)，則選項(xiàng)C正確；，由，得，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上不單調(diào)，則選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：BC.11.在棱長為2的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則（）A.異面直線與所成角的余弦值為B.點(diǎn)為正方形內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)平面時(shí)，的最小值為C.過點(diǎn)，，的平面截正方體所得的截面周長為D.當(dāng)三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的表面上時(shí)，球的表面積為【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于選項(xiàng)A：根據(jù)正方體的性質(zhì)得出在中即為異面直線與所成的角，即可計(jì)算得出答案判定；對(duì)于選項(xiàng)B：取的中點(diǎn)的中點(diǎn)，連接，，，得到，，即可證明面面，則根據(jù)已知得出軌跡為線段，則過作，此時(shí)取得最小值，計(jì)算得出即可判定；對(duì)于選項(xiàng)C：過點(diǎn)的平面截正方體所得的截面圖形為五邊形，得出，，設(shè)，，以為原點(diǎn)，分別以方向?yàn)檩S?軸?軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，得出，，，的坐標(biāo)，則可根據(jù)，列式得出，，即可得出，，在中得出，同理得出，在中得出，同理得出，在中得出，即可得出五邊形的周長，即過點(diǎn)的平面截正方體所得的截面周長，即可判定；對(duì)于選項(xiàng)D：取的中點(diǎn)，則，過作，且使得，則為三棱錐的外接球的球心，則為外接球的半徑，計(jì)算得出半徑即可求出球的表面積，即可判定.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，在中即為異面直線與所成的角，，異面直線與所成的角的余弦值為．故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，取的中點(diǎn)的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，，，，同理可得，又面，面，面，面，面，面，又，面，面面，又面，面，軌跡為線段，在中，過作，此時(shí)取得最小值，在中，，，，在中，，，，在中，，，，如圖，在中，．故B項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，過點(diǎn)的平面截正方體，平面平面，則過點(diǎn)的平面必與與交于兩點(diǎn)，設(shè)過點(diǎn)的平面必與與分別交于、，過點(diǎn)的平面與平面和平面分別交于與，，同理可得，如圖過點(diǎn)的平面截正方體所得的截面圖形為五邊形，如圖以為原點(diǎn)，分別以方向?yàn)檩S?軸?軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，，，，，，，，，，，，解得，，，，，在中，，，，同理：，在中，，，，同理：在中，，，，即過點(diǎn)的平面截正方體所得的截面周長為．故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，如圖所示，取的中點(diǎn)，則，過作，且使得，則為三棱錐的外接球的球心，所以為外接球的半徑，在中，，．故D項(xiàng)正確，故選：BCD．12.對(duì)于正整數(shù)n，是小于或等于n的正整數(shù)中與n互質(zhì)的數(shù)的數(shù)目．函數(shù)以其首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函數(shù)，又稱為函數(shù)，例如，（10與1，3，7，9均互質(zhì)）則（）A. B.數(shù)列不單調(diào)遞增數(shù)列C.若p為質(zhì)數(shù)，則數(shù)列為等比數(shù)列 D.數(shù)列的前4項(xiàng)和等于【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義、單調(diào)函數(shù)的定義，等比數(shù)列的定義，求和公式，可得答案.【詳解】根據(jù)題意可知，12與互質(zhì)，29與共28個(gè)數(shù)都互質(zhì)，即，所以A正確；由題意知，可知數(shù)列不是單調(diào)遞增的，B正確；若為質(zhì)數(shù)，則小于等于的正整數(shù)中與互質(zhì)的數(shù)為，即每個(gè)數(shù)當(dāng)中就有一個(gè)與不互質(zhì)，所以互質(zhì)的數(shù)的數(shù)目為個(gè)，故，所以為常數(shù)，即數(shù)列為等比數(shù)列，故C正確；根據(jù)選項(xiàng)C即可知，數(shù)列的前4項(xiàng)和為，故D錯(cuò)誤，故選：ABC第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三?填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.在的展開式中，只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為______．【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)題意，可得，進(jìn)而可得其二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)，令x的指數(shù)為3，可得r的值，最后將r的值代入通項(xiàng)可得其展開式中的項(xiàng)，即可得答案．【詳解】由題知，則，令，得，所以展開式中的系數(shù)為.故答案為：.14.曲線在點(diǎn)處的切線平分圓，則函數(shù)的零點(diǎn)為____．【答案】1【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程，根據(jù)切線過圓心，求得，再將零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的根求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，曲線在點(diǎn)處的切線斜率，又，則切線方程為：，即，若該切線平分圓，則切線過圓心，則，解得，所以，因?yàn)?，所以，則只有一個(gè)零點(diǎn)，故答案為：115.已知函數(shù)，若，，則_________．【答案】##1.5【解析】【分析】由，可得為偶函數(shù)，可得，再由，可得，進(jìn)而可得，再將代入即得答案.【詳解】解：因?yàn)?，所以為偶函?shù)，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以．故答案?6.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為與軸的交點(diǎn)為N，過拋物線上一點(diǎn)作的垂線，垂足為，若，與相交于點(diǎn)，且，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量運(yùn)算的幾何性質(zhì)，結(jié)合相似三角形，求得線段之間的關(guān)系，根據(jù)拋物線的性質(zhì)，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合線段的比例，可得答案.【詳解】由題意，不妨設(shè)其在第一象限，作圖如下，由得，，即，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以，所以為的三等分點(diǎn)，且，又因?yàn)椋?，且，所以，不妨設(shè)，且在第一象限，，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，所以根據(jù)相似關(guān)系可得，故答案為：．四?解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟．17.等差數(shù)列中，分別是如表所示第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且其中的任意兩個(gè)數(shù)不在表格的同一列.第一列第二列第三列第一行582第二行4312第三行1669（1）請(qǐng)選擇一個(gè)可能的組合，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）記（1）中您選擇的的前n項(xiàng)和為Sn，判斷是否存在正整數(shù)k，使得成等比數(shù)列?若存在，請(qǐng)求出k的值;若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）答案見解析（2）答案見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，滿足的組合有和兩種情況，進(jìn)而選擇一種，求解即可；（2）結(jié)合（1）中的組合，求得，再根據(jù)等比中項(xiàng)求解方程即可.【小問1詳解】解：由題意可知，有兩種組合滿足條件.①，此時(shí)等差數(shù)列中，，公差d=4，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.②，此時(shí)等差數(shù)列中，，公差d=2，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【小問2詳解】解：若選擇①，，則.若成等比數(shù)列，則，即，整理得，即此方程無正整數(shù)解，故不存在正整數(shù)，使成等比數(shù)列.若選擇②，，則.若成等比數(shù)列，則，即，整理得，因?yàn)閗為正整數(shù)，所以.故存在正整數(shù)，使得成等比數(shù)列.18.某高檔小區(qū)有一個(gè)池塘，其形狀為直角，，百米，百米，現(xiàn)準(zhǔn)備養(yǎng)一批觀賞魚供小區(qū)居民觀賞．（1）若在內(nèi)部取一點(diǎn)P，建造APC連廊供居民觀賞，如圖①，使得點(diǎn)P是等腰三角形PBC的頂點(diǎn)，且，求連廊的長；（2）若分別在AB，BC，CA上取點(diǎn)D，E，F(xiàn)，建造連廊供居民觀賞，如圖②，使得為正三角形，求連廊長的最小值．【答案】（1）百米；（2）百米．【解析】【分析】（1）先在三角形PBC中利用已知條件求出PC的長度，再在三角形PAC中利用余弦定理求出PA的長度，即可求解；（2）設(shè)出等腰三角形的邊長以及角CEF，則可求出CF的長度，進(jìn)而可得AF的長度，再利用角的關(guān)系求出角ADF的大小，然后在三角形ADF中利用正弦定理化簡出a的表達(dá)式，再利用三角函數(shù)的最值即可求出a的最小值，進(jìn)而可以求解．【詳解】解：（1）因?yàn)镻是等腰三角形PBC的頂點(diǎn)，且，又，所以，，又因?yàn)?，所以，則在三角形PAC中，由余弦定理可得：，解得，所以連廊百米；（2）設(shè)正三角形DEF的邊長為a，，則，，且，所以，在三角形ADF中，由正弦定理可得：，即，即，化簡可得，所以（其中為銳角，且），即邊長的最小值為百米，所以三角形DEF連廊長的最小值為百米．【點(diǎn)評(píng)】方法點(diǎn)睛：在求三角形邊長以及最值的問題時(shí)，常常設(shè)出角度，將長度表示成角度的三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的值域求最值.19.2020年席卷全球的新冠肺炎給世界人民帶來了巨大的災(zāi)難，面對(duì)新冠肺炎，早發(fā)現(xiàn)、早診斷、早隔離、早治療是有效防控疾病蔓延的重要舉措之一.某社區(qū)對(duì)位居民是否患有新冠肺炎疾病進(jìn)行篩查，先到社區(qū)醫(yī)務(wù)室進(jìn)行口拭子核酸檢測，檢測結(jié)果成陽性者，再到醫(yī)院做進(jìn)一步檢查，已知隨機(jī)一人其口拭子核酸檢測結(jié)果成陽性的概率為%，且每個(gè)人的口拭子核酸是否呈陽性相互獨(dú)立.（1）假設(shè)該疾病患病的概率是%，且患病者口拭子核酸呈陽性的概率為%，設(shè)這位居民中有一位的口拭子核酸檢測呈陽性，求該居民可以確診為新冠肺炎患者的概率；（2）根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，口拭子核酸檢測采用分組檢測法可有效減少工作量，具體操作如下：將位居民分成若干組，先取每組居民的口拭子核酸混在一起進(jìn)行檢測，若結(jié)果顯示陰性，則可斷定本組居民沒有患病，不必再檢測；若結(jié)果顯示陽性，則說明本組中至少有一位居民患病，需再逐個(gè)進(jìn)行檢測，現(xiàn)有兩個(gè)分組方案：方案一：將位居民分成組，每組人；方案二：將位居民分成組，每組人；試分析哪一個(gè)方案的工作量更少？（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】（1）（2）見解析【解析】【分析】（1）設(shè)事件為“核酸檢測呈陽性”，事件為“患疾病”，利用條件概率公式求解即可；（2）設(shè)方案一和方案二中每組的檢測次數(shù)為，，分別求出兩種方案檢測次數(shù)的分布列，進(jìn)而得出期望，通過比較期望的大小即可得出結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)事件為“核酸檢測呈陽性”，事件為“患疾病”由題意可得，由條件概率公式得：即故該居民可以確診為新冠肺炎患者的概率為（2）設(shè)方案一中每組的檢測次數(shù)為，則的取值為所以的分布列為所以即方案一檢測的總次數(shù)的期望為設(shè)方案二中每組的檢測次數(shù)為，則的取值為；所以的分布列為所以即方案二檢測的總次數(shù)的期望為由，則方案二的工作量更少【點(diǎn)睛】本題主要考查了條件概率公式的應(yīng)用以及均值的實(shí)際應(yīng)用，屬于中檔題.20.圖1是直角梯形ABCD，，∠D＝90°，四邊形ABCE是邊長為2的菱形，并且∠BCE＝60°，以BE為折痕將△BCE折起，使點(diǎn)C到達(dá)的位置，且．（1）求證：平面平面ABED．（2）在棱上是否存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到平面的距離為？若存在，求出直線EP與平面所成角的正弦值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）存在，【解析】【分析】（1）在圖1中，連接，交于O，由幾何關(guān)系可得，，結(jié)合圖2易得是二面角的平面角，由勾股定理逆定理可證，進(jìn)而得證；（2）以，，為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，求得，同時(shí)求出平面的法向量，由點(diǎn)面距離的向量公式求得，進(jìn)而求得，結(jié)合向量公式可求直線EP與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】如圖所示：在圖1中，連接，交于O，因?yàn)樗倪呅问沁呴L為2的菱形，并且，所以，且．在圖2中，相交直線，均與垂直，所以是二面角的平面角，因?yàn)?，所以，，所以平面平面；【小?詳解】由（1）知，分別以，，為x，y，z軸建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，.設(shè)，，則.設(shè)平面的法向量為，則，即，取，因?yàn)辄c(diǎn)到平面的距離為，所以，解得，則，所以.設(shè)直線與平面所成的角為，所以直線與平面所成角的正弦值為.21.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線與拋物線交于點(diǎn).（1）求的方程；（2）設(shè)是與在第一象限的公共點(diǎn)，作直線與的兩支分別交于點(diǎn)，便得.（i）求證：直線過定點(diǎn)；（ii）過作于.是否存在定點(diǎn)，使得為定值？如果有，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果沒有，請(qǐng)說明理由.【答案】（1），；