新教材2021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教B版選擇性必修第二冊課后鞏固提升 第3章

第三章排列、組合與二項式定理

3.1排列與組合

3.1.1基本計數(shù)原理

課后篇鞏固提升

A級必備知識基礎(chǔ)練

1.（2020浙江期中）某校教學(xué)大樓共有五層，每層均有兩個樓梯，一學(xué)生由一層到五層的走法有

（）

A.10種B.25種C.52種D.24種

ggD

解麗共分4步:一層到二層2種走法，二層到三層2種走法，三層到四層2種走法，四層到五層2

種走法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,一共有24種.選故D.

2.（2021河南信陽模擬）中國有十二生肖，又叫十二屬相,每一個人的出生年份對應(yīng)了十二種動

物（鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬）中的一種.現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各

一個，三位同學(xué)依次選一個作為禮物，甲同學(xué)喜歡牛和馬，乙同學(xué)喜歡牛、狗和羊,丙同學(xué)哪個吉

祥物都喜歡，如果讓三位同學(xué)選取禮物都滿意，則選法有（）

A.30種B.50種C.60種D.90種

奉B

姓責(zé)①若甲同學(xué)選擇牛，則乙同學(xué)有2種選法，丙同學(xué)有10種選法，共有1x2x10=20種滿意的

選法，②若甲同學(xué)選擇馬，則乙同學(xué)有3種選法，丙同學(xué)有10種選法，共有1x3x10=30種滿意的

選法，所以總共有20+30=50種令三位同學(xué)滿意的選法.故選B.

3.如果xjEN+,且lWxW3/+y<7,則滿足條件的有序數(shù)對（x,y）的個數(shù)是（）

A.15B.12

C.5D.4

宣B

解析當(dāng)x=l時,y=1,2,3,4,5;當(dāng)x=2時,>=1,2,3,4;當(dāng)x=3時,y=l,2,3.由分類加法計數(shù)原理得，有序

數(shù)對有5+4+3=12個.

4.如果一個三位正整數(shù)如“033"滿足0<42,且。3<。2,則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)（如

120,343,275等），那么所有凸數(shù)的個數(shù)為（）

A.240B.204C.729D.920

IgA

麗分8類.當(dāng)中間數(shù)為2時，有1x2=2個；

當(dāng)中間數(shù)為3時，有2x3=6個；

當(dāng)中間數(shù)為4時，有3x4=12個；

當(dāng)中間數(shù)為5時，有4x5=20個;

當(dāng)中間數(shù)為6時，有5x6=30個；

當(dāng)中間數(shù)為7時，有6x7=42個；

當(dāng)中間數(shù)為8時，有7x8=56個；

當(dāng)中間數(shù)為9時，有8x9=72個.

故共有2+6+12+20+30+42+56+72=240個.

絲號0上海春季高考）已知4={-3,-2,-1,0,1,2,3},4力右同,則|M＜以的情況有種.

薪118

畫當(dāng)a=-3時，符合條件的情況有0種；

當(dāng)a=-2時，符合條件的情況有2種；

當(dāng)a=.\時，符合條件的情況有4種；

當(dāng)a=0時，符合條件的情況有6種；

當(dāng)a=\時，符合條件的情況有4種；

當(dāng)a=2時，符合條件的情況有2種；

當(dāng)a=3時，符合條件的情況有0種.

依據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有2+4+6+4+2=18種.

6.有10本不同的數(shù)學(xué)書,9本不同的語文書,8本不同的英語書，從中任取兩本不同類的書，共有

種不同的取法.

客剽242

函任取兩本不同類的書分為三類:①取數(shù)學(xué)、語文各一本;②取語文、英語各一本;③取數(shù)學(xué)、

英語各一本.在每一類中利用分步乘法計數(shù)原理，再利用分類加法計數(shù)原理即可.共有

10x9+9x8+10x8=242種不同取法.

7.橢圓=1的焦點在），軸上，且機(jī)C{1,2,3,4,5},“C{1,2,3,4,5,6,7},則這樣的橢圓的個數(shù)

為________.

登］2（）

麗當(dāng)m=l時,〃=2,3,4,5,6,7,有6種取法;當(dāng)m=2時,“=3,4,5,6,7,有5種不同取法;當(dāng)避=3

時,”=4,5,6,7,有4種不同取法;當(dāng)m=4時,〃=5,6,7,有3種不同取法;當(dāng)m=5時簿=6,7,有2種不

同取法，故這樣的橢圓共有6+5+4+3+2=20個.

8.將4種蔬菜種植在如圖所示的5塊試驗田里，每塊試驗田種植一種蔬菜，相鄰試驗田不能種

植同一種蔬菜，不同的種法有種.（種植品種可以不全）

用］324

解桐分五步,由左到右依次種植，

種法分別有4,3,3,3,3種.

由分步乘法計數(shù)原理，不同的種法有4x3x3x3x3=324種.

9.某地政府召集5家企業(yè)的負(fù)責(zé)人開會，其中甲企業(yè)有2人到會，其余4家企業(yè)各有1人到會,

會上有3人發(fā)言，則這3人來自3家不同企業(yè)的情況有多少種？

網(wǎng)分兩類完成.

第一類，甲企業(yè)有1人發(fā)言，有2種情況，另兩個發(fā)言人來自其余4家企業(yè)，有6種情況，由

分步乘法計數(shù)原理知有2x6=12種情況；

第二類,3人全來自其余4家企業(yè)，有4種情況.

根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有12+4=16種情況.

10.若直線方程Ax+By=0中的可以從0,123,5這五個數(shù)字中任取兩個不同的數(shù)字，則方程

所表示的不同直線共有多少條？

闞分兩類完成.

第一類，當(dāng)A或B中有一個為0時,表示的直線為x=0或y=0,共2條.

第二類，當(dāng)A,B不為0時,直線小:+8y=0被確定需分兩步完成：

第一步，確定4的值，有4種不同的方法；

第二步，確定B的值，有3種不同的方法.

由分步乘法計數(shù)原理知，共可確定4x3=12條直線.

由分類加法計數(shù)原理知,方程所表示的不同直線共有2+12=14條.

B級關(guān)鍵能力提升練

11.算籌是在珠算發(fā)明以前我國獨創(chuàng)并且有效的計算工具，為我國古代數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了很大

貢獻(xiàn).在算籌計數(shù)法中，以“縱式”和"橫式”兩種方式來表示數(shù)字，如圖：

字

形式123456789

縱式1IIII1111muTIT-HIT

橫式—====±1X1

表示多位數(shù)時，個位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類推，遇零則置空，如圖:

_LIT=m6728

±irin6708

如果把5根算籌以適當(dāng)?shù)姆绞饺糠湃胂旅娴谋砀裰校敲纯梢员硎镜娜粩?shù)的個數(shù)為

()

A.46B.44

C.42D.40

ggB

噩按每一位算籌的根數(shù)分類一共有15種情況，如

下:(5,0,0),(4,1,0),(4,0,1),(3,2,0),(3,1,1),(3,0,2),(2,3,0),(2,2,1),(2,1,2),(2,0,3),(1,4,0),(1,3,1),(1,2,2),(

1,1,3),(1,0,4),

1根以上的算籌可以表示兩個數(shù)字，運用分步乘法計數(shù)原理，

則上述情況能表示的三位數(shù)的個數(shù)分別為2,224,2,4,4,4,4,4,2,2,4,2,2,

根據(jù)分類加法計數(shù)原理,5根算籌能表示的三位數(shù)的個數(shù)為

2+2+2+4+2+4+4+4+4+4+2+2+4+2+2=44.

故選B.

12.用0,1,…,9十個數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為()

A.243B.252

C.261D.279

解明由分步乘法計數(shù)原理知:用0,1,-,9十個數(shù)字組成的三位數(shù)(含有重復(fù)數(shù)字的)共有

9x10x10=900個，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有9x9x8=648個，因此組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)

共有900-648=252個.

13.高二年級的三個班去甲、乙、丙、丁四個工廠參觀學(xué)習(xí)，去哪個工廠可以自由選擇，但甲工

廠必須有班級要去，則不同的參觀方案的種數(shù)為()

A.16B.18

C.37D.48

答案C

麗根據(jù)題意，若不考慮限制條件，每個班級都有4種選擇，共有4x4x4=64種情況.其中工廠甲

沒有班級去，即每個班都選擇了其他三個工廠，此時每個班級都有3種選擇，共有3x3x3=27種

方案.則符合條件的參觀方案有64-27=37種.故選C

14.5名同學(xué)在“五一”的4天假期中,隨便選擇一天參加社會實踐，不同的選法種數(shù)是()

A.10B.60

C.54D.45

答案|D

畫］5名同學(xué)在“五一’’的4天假期中,隨便選擇一天參加社會實踐，不同的選法種數(shù)是

4x4x4x4x4=45,故選D.

15.某縣總工會利用業(yè)余時間開設(shè)太極、書法、繪畫三個培訓(xùn)班，甲、乙、丙、丁四人報名參

加，每人只報名參加一項,且甲乙不參加同一項，則不同的報名方法種數(shù)為.

直54

解困甲有三個培訓(xùn)可選，甲乙不參加同一項，所以乙有兩個培訓(xùn)可選，丙、丁各有三個培訓(xùn)可選,

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的報名方法種數(shù)為3x2x3x3=54.

16.在某運動會的百米決賽上,8名男運動員參加100米決賽，其中甲、乙、丙3人必須在

123,4,5,6,7,8八條跑道的奇數(shù)號跑道上，則安排這8名運動員比賽的方式共有種.

答案|2880

的分兩步安排這8名運動員.

第1步:安排甲、乙、丙3人，共有1,3,5,7四條跑道可安排，安排方式有4x3x2=24種；

第2步:安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一條奇數(shù)號跑道上安排，安排方式有

5x4x3x2x1=120種.

所以安排這8人的方式有24x120=2880種.

17.

如圖，小圓圈表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點，結(jié)點之間的連線表示它們有網(wǎng)絡(luò)聯(lián)系，連線上標(biāo)注的數(shù)字表示

該段網(wǎng)線單位時間內(nèi)可以通過的最大信息量，現(xiàn)從結(jié)點A向結(jié)點8傳遞信息，信息可以分開沿

不同路線同時傳遞，則單位時間內(nèi)傳遞的最大信息量為.

客剽19

麗由題圖可知，從A到B有4種不同的傳遞路線，各路線上單位時間內(nèi)通過的最大信息量自

上而下分別為3,4,6,6,依據(jù)分類加法計數(shù)原理，單位時間內(nèi)傳遞的最大信息量為3+4+6+6=19.

18.某單位職工義務(wù)獻(xiàn)血，在體檢合格的人中,O型血的共有28人,A型血的共有7人,B型血的

共有9人,AB型血的共有3人.

(1)從中任選1人去獻(xiàn)血，有多少種不同的選法？

(2)從四種血型的人中各選1人去獻(xiàn)血，有多少種不同的選法？

圈從O型血的人中選1人有28種不同的選法.從A型血的人中選1人有7種不同的選法，從

B型血的人中選1人有9種不同的選法，從AB型血的人中選1人有3種不同的選法.

(1)任選1人去獻(xiàn)血，即無論選擇哪種血型的哪一個人，這件“任選1人去獻(xiàn)血”的事情都能完成,

所以由分類加法計數(shù)原理，共有28+7+9+3=47種不同的選法.

(2)要從四種血型的人中各選1人，即要在每種血型的人中依次選出1人后，這件“各選1

人去獻(xiàn)血”的事情才完成，所以用分步乘法計數(shù)原理，共有28x7x9x3=5292種不同的選法.

C級學(xué)科素養(yǎng)拔高練

19.某學(xué)校高二年級有12名語文教師、13名數(shù)學(xué)教師、15名英語教師,市教育局?jǐn)M召開一個

新課程研討會.

(1)若選派1名教師參會，有多少種派法？

（2）若三個學(xué)科各派I名教師參會，有多少種派法？

（3）若選派2名不同學(xué)科的教師參會，有多少種派法？

網(wǎng)（1）分三類:第一類選語文老師，有12種不同選法;第二類選數(shù)學(xué)老師，有13種不同選法;第三

美選英語老師，有15種不同選法，共有12+13+15=40種不同的選法.

（2）分三步:第一步選語文老師，有12種不同選法;第二步選數(shù)學(xué)老師，有13種不同選法;第

三步選英語老師，有15種不同選法，共有12x13x15=2340種不同的選法.

（3）分三類:第一類選一位語文老師和一位數(shù)學(xué)老師共有12x13種不同的選法;第二類選一

位語文老師和一位英語老師共有12x15種不同的選法;第三類選一位英語老師和一位數(shù)學(xué)老

師共有15x13種不同的選法，共有12x13+12x15+13x15=531種不同的選法.

3.1.2排列與排列數(shù)

課后篇鞏固提升

A級必備知識基礎(chǔ)練

1.將兩位新同學(xué)分到4個班中的兩個班，共有的分法種數(shù)為（）

A.4B.12

C.6D.24

畫共有=12種分法.

2.有5本不同的書，其中語文書2本,數(shù)學(xué)書2本,物理書1本.現(xiàn)把它們擺放成一排，要求2本數(shù)

學(xué)書不能相鄰，則這5本書的不同擺放種數(shù)是（）

A.24B.36C.48D.72

gg]D

麗先排語文、物理書，有種方法.然后將數(shù)學(xué)書插空，有種方法.由分步乘法計數(shù)原理,得不同

擺放種數(shù)為=72.

3.已矢口3=4,貝!Jx等于（）

A.6B.13C.6或13D.12

泡A

解析因為3=4,所以3x=4x,即3=，解得x=6（x=13舍去）.故選A.

4.若直線方程Ar+的=0的系數(shù)A方可以從0,123,6,7這六個數(shù)字中任取兩個不同的數(shù)值，則

這些方程所表示的直線條數(shù)是（）

A.18B.20

C.12D.22

解困第一類:先考慮除o之外的五個數(shù)字,它們可以組成的直線條數(shù)為，但由于，

從而不同的直線條數(shù)應(yīng)為-4;

第二類:A,8中恰有一個為0時，所表示的直線為x=0或y=0共2條.

由分類加法計數(shù)原理可知,不同的直線條數(shù)應(yīng)為-4+2=18.

5.甲、乙、丙3名志愿者安排在周一至周五的5天中參加某項志愿者活動，要求每人參加一天

且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外兩人前面，則不同的安排方法共有（）

A.20種B.30種

C.40種D.60種

量A

解櫥?甲安排在周一,不同的安排方法有=12種;②甲安排在周二,不同的安排方法有=6種;③

甲安排在周三,不同的安排方法有=2種.所以共有12+6+2=20種不同的安排方法.故選A.

6.高二某班需從甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)中，選出四位同學(xué)組成我校“口才季”中的一個辯

論隊，根據(jù)他們的文化、思維水平，分別擔(dān)任一辯、二辯、三辯、四辯，其中四辯必須由甲或乙

擔(dān)任，而丙與丁不能擔(dān)任一辯，則不同組隊方式有（）

A.12種8.16和1

C.20種D.24種

函D

麗若甲、乙有1人擔(dān)任一辯，則有=12種；

若甲、乙沒有人擔(dān)任一辯，則戊一定擔(dān)任一辯，則有=12種.

根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得不同組隊方式共有12+12=24種.故選D.

7.滿足不等式＞12的n的最小值為.

客剽10

解畫由排列數(shù)公式得＞12,即（〃-5〉（〃-6）＞12,解得n＞9或"2.又〃27,所以"＞9,所以〃的最小

值為10.

8.某工程隊有6項工程需要先后單獨完成，其中工程乙必須在工程甲完成后才能進(jìn)行,工程丙

必須在工程乙完成后才能進(jìn)行，工程丁必須在工程丙完成后立即進(jìn)行,那么這6項工程有一

種不同的完成順序.

答案120

窿畫由題意，工程甲、乙、丙、丁的順序已確定，且工程丙、丁緊挨著，則只需將余下的2項工

程安排好，故這6項工程不同的完成順序有=20（種）.

9.為配制某種染色劑，需要加入3種有機(jī)染料、2種無機(jī)染料和2種添加劑，其中有機(jī)染料的添

加順序不能相鄰.現(xiàn)要研究所有不同添加順序?qū)θ旧Ч挠绊?，總共要進(jìn)行的試驗次數(shù)

為.（用數(shù)字作答）

答案］440

臃畫先排無機(jī)染料和添加劑,有種不同的排法，再排有機(jī)染料.因為它們不能相鄰，所以用插空

的方法排有機(jī)染料，有種不同的排法.故共要進(jìn)行的試驗次數(shù)為=1440.

10.某市田徑集訓(xùn)隊有4名隊員，要參加4x100接力比賽，根據(jù)隊員的訓(xùn)練成績,甲不能跑第一

棒，乙不能跑第四棒，則不同的出場順序有多少種？

凰（排除法）若不考慮限制條件,4個隊員全排列有=24種排法，減去甲跑第一棒有種排法，乙跑

第四棒有種排法，再加上甲在第一棒且乙在第四棒有種排法,共有一2+2=14種不同的出場順

序.

B級關(guān)鍵能力提升練

11.（多選）下列問題中，屬于排列的有（）

A.10本不同的書分給10名同學(xué)，每人一本

B.10位同學(xué)去做春季運動會志愿者

C.10位同學(xué)參加不同項目的運動會比賽

D.10個沒有任何三點共線的點構(gòu)成的線段

fgAC

睚明因為排列與順序有關(guān)系，因此AC是排列,BD不是排列，故選AC.

12.（2020山東濰坊高二檢測）《中國詩詞大會》（第二季）亮點頗多，十場比賽每場都有一首特

別設(shè)計的開場詩詞,在聲光舞美的配合下，百人團(tuán)齊聲朗誦，別有韻味.若《將進(jìn)酒》《山居秋暝》

《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另確定的兩首詩詞排在后六場，且《將進(jìn)酒》排在《望岳》

的前面，《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》不相鄰且均不排在最后，則后六場的排法有()

A.288種B.144種C.720種D.360種

gg]B

函根據(jù)題意分2步進(jìn)行分析:①將《將進(jìn)酒》《望岳》和另確定的兩首詩詞共4首詩詞全

排列，則有=24種順序.

《將進(jìn)酒》排在《望岳》的前面，，這4首詩詞的排法有=12種.

②這4首詩詞排好后，不含最后一個空位，有4個空位，在4個空位中任選2個，排《山居秋

暝》與《送杜少府之任蜀州》，有=12種安排方法.

則后六場的排法有12x12=144種.

故選B.

13.(多選)(2020山東濟(jì)南高三月考)6本不同的書擺放在書架的同一層上，要求甲、乙兩本書必

須擺放在兩端，丙、丁兩本書必須相鄰，則不同的擺放方法有()種

A.24B.36

C.D.

§M]AC

解畫第一步:甲、乙兩本書必須擺放在兩端，有種排法；

第二步:丙、丁兩本書必須相鄰視為整體與其他兩本共三本，有種排法.

所以不同的擺放方法有=24種.故選AC.

14.某老師一天上3個班級的課，每班一節(jié)，如果一天共9節(jié)課，上午5節(jié)，下午4節(jié)，且老師不能

連上3節(jié)課(第5節(jié)和第6節(jié)不算連上)，那么這位老師一天的課表的所有排法有種.

餐剽474

畫從9節(jié)課中任意安排3節(jié)共有=504種，

其中上午5節(jié)課連排3節(jié)共有3=18種；

下午4節(jié)課連排3節(jié)共有2=12種.

...老師一大課表的所有排法共有504-18-12=474種.

15.已知=89,則n的值為.

馥115

解析|由題=90,得(”-5)(〃-6)=90,解得“=15.

16.兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機(jī)排成一列，則兩位女同學(xué)相鄰的排法有種,兩位女

同學(xué)相鄰的概率是.

翦12

髭責(zé)兩位女同學(xué)相鄰的排法共有=2x6=12種排法，四位同學(xué)排成一列共有=4x3x2=24種排法,

所以兩位女同學(xué)相鄰的概率P=.

17.(2021浙江寧波)一場小型晚會有三個唱歌節(jié)目和兩個相聲節(jié)目，要求排出一個節(jié)目單.

(1)兩個相聲節(jié)目要排在一起，有多少種排法？

(2)第一個節(jié)目和最后一個節(jié)目都是唱歌節(jié)目，有多少種排法？

(3)前三個節(jié)目中要有相聲節(jié)目，有多少種排法？

闞⑴把兩個相聲節(jié)目捆綁在一起作為一個節(jié)目與其他節(jié)目排列，共有=48種排法；

(2)選兩個唱歌節(jié)目排在首尾,剩下的三個節(jié)目在中間排列，共有=36種排法；

(3)五個節(jié)目全排列減去后兩個都是相聲節(jié)目的排法，共有=120-12=108種排法.

18.某信號兵用紅、黃、藍(lán)3面旗從上到下掛在豎直的旗桿上表示信號，每次可以任意掛1面、

2面或3面，并且不同的順序表示不同的信號，一共可以表示多少種不同的信號？

闞分3類:第一類用1面旗表示的信號有種；

第二類用2面旗表示的信號有種；

第三類用3面旗表示的信號有種.

由分類加法計數(shù)原理，所表示的信號種數(shù)是=3+3x2+3x2x1=15.

C級學(xué)科素養(yǎng)拔高練

19.(1)解不等式<6;

⑵解方程=140.

網(wǎng)⑴由<6,得<6x,

化簡得19x+84<0,解得7<x<12,①

又所以2cxW8,②

由①②及x《N+得x=8.

(2)因為所以x23,且xdN+,

由=140,得(2x+l)2x(2x-l)(2r-2)=140x(x-1)(x-2).

化簡，得4/-35x+69=0,

解得X1=342=(舍去).

所以方程的解為x=3.

20.現(xiàn)有5名男生和3名女生站成一排照相.

(1)3名女生站在一起，有多少種不同的站法？

(2)3名女生次序一定,但不一定相鄰，有多少種不同的站法？

(3)3名女生不站在排頭和排尾，也互不相鄰，有多少種不同的站法？

(4)3名女生中4,B要相鄰,A,C不相令也有多少種不同的站法？

園⑴根據(jù)題意，分2步分析：

①3名女生看成一個整體，考慮其順序有=6種情況，

②將這個整體與5名男生全排列，有=720種情況，

則3名女生排在一起的排法有6x720=4320種.

(2)根據(jù)題意，將5人排到8個位置，有種排法，

由于3名女生次序一定,就一種排法，

則其排法有=6720種排法.

(3)根據(jù)題意，分2步分析：

①將5名男生全排列，有=120種情況，

②除去兩端，有4個空位可選，在其中任選3個，安排3名女生，有=24種情況，則3名女生

不站在排頭和排尾,也互不相鄰的排法有120x24=2880種.

(4)根據(jù)題意，分2種情況分析：

①A,3,C三人相鄰，則8在中間4,C在兩邊，三人有=2種排法，將3人看成一個整體，與5

名男生全排列，有=720種情況，則此時有2x720=1440種排法；

②A,B,C三人不全相鄰，先將5名男生全排列，有=120種情況，將A3看成一個整體，有=2

種情況，再和C一起安排在5名男生形成的6個空位中，有種情況.此時有120x2x=7200種，

則3名女生中,A,B要相鄰AC不相鄰的排法有1440+7200=8640種排法.

3.1.3組合與組合數(shù)

第一課時組合及組合數(shù)公式

課后篇鞏固提升

A級必備知識基礎(chǔ)練

1.計算:=（)

A.120B.240

C.60D.480

ggA

豳=120.

2.（多選）若，則x的值可能為（）

A.2B.3

C.4D.5

SM]AB

解析|由組合數(shù)公式的性質(zhì)可得/+1=2x-l或x+1+2x-l=9,解得x=2或x=3.經(jīng)檢驗,均符合題意.

故選AB.

3.給出三個事件:①10名同學(xué)分成人數(shù)相同的數(shù)學(xué)和英語兩個學(xué)習(xí)小組，共有多少種不同的分

法?②從1,2,3,…,9九個數(shù)字中任取3個，由小到大排列構(gòu)成一個三位數(shù),這樣的三位數(shù)共有多

少個?③10人聚會，見面后每兩人之間要握手相互問候，共需握手多少次?其中是組合問題的有

（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

答案D

姓酬Dio名同學(xué)分成人數(shù)相同的數(shù)學(xué)和英語兩個學(xué)習(xí)小組，與順序無關(guān)，所以為組合問題.

②從1,2,3,…,9九個數(shù)字中任取3個，由小到大排列構(gòu)成一個三位數(shù)，只需選出3個數(shù)字，

選出后順序固定，不需要排序，所以為組合問題.

③10人聚會，見面后每兩人之間要握手相互問候，因為兩人之間只握手一次即可,所以該

問題與順序無關(guān)，是組合問題.

所以①②③均與順序無關(guān)，所以都是組合問題.故選D.

4.異面直線a,b上分別有4個點和5個點，由這9個點可以確定的平面?zhèn)€數(shù)是（）

A.20

B.9

C.

D.

蠲B

朝分兩類:第一類,在直線?上任取一點,與直線b可確定個平面悌二類，在直線b上任取一

點,與直線a可確定個平面.故可確定=9個不同的平面.

5.已知圓上有9個點，每兩點連一線段，若任意兩條線的交點不同，則所有線段在圓內(nèi)的交點有

（）

A.36個B.72個

C.63個D.126個

廨樹此題可化歸為圓上9個點可組成多少個四邊形,所有四邊形的對角線的交點個數(shù)即所求,

所以交點有=126個.

6.從1,3,5,7,9中任取2個數(shù)字，從0,2,4,6中任取2個數(shù)字，一共可以組成個沒有重復(fù)數(shù)

字的四位數(shù)(用數(shù)字作答)

餐圜1260

窿麗分兩類：

第一類:從0,2,4,6中取到0,

則沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有=540個；

第二類:從0,2,4,6中不取0,

則沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有=720個.

所以沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)共有540+720=1260個.

7.某餐廳供應(yīng)盒飯，每位顧客可以在餐廳提供的菜肴中任選2葷2素共4種不同的菜品.現(xiàn)在

餐廳準(zhǔn)備了5種不同的葷菜，若要保證每位顧客有200種以上的不同選擇，則餐廳至少還需準(zhǔn)

備不同的素菜種.(結(jié)果用數(shù)值表示)

打7

麗設(shè)餐廳至少還需準(zhǔn)備x種不同的素菜，

由題意，得》200,

從而有220,即x(x-l)240.

所以x的最小值為7.

8.求證:初++,,?+=)〃!.

證明左邊二加(1++,,,+)

=”!(+??,+)

=7%!(+???+)

=/?/!(+,,,+)

二右邊.

B級關(guān)鍵能力提升練

9.計算2+3的值是()

A.72B.102C.5070D.5100

艇畫依題意，原式=2+3=2x+3x5x4=42+60=102,故選B.

10.(多選)(2021江蘇蘇州星海實驗中學(xué)高二期中)下列等式正確的是()

A.

B.

C.(n+2)(n+l)

D.

固夏］ACD

臃麗根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)可知，故AD正確；

根據(jù)排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系可知，故B不正確；

因為(〃+2)(〃+1)=(〃+2)(〃+1)〃(〃-1)…(九-刃+1),

二(〃+2)(〃+1)???(〃+2-切-2+1)

=(n+2)(w+1)n(n-1)??,(n-m+1),

所以5+2)(〃+1),故C正確.故選ACD.

11.2020年元旦假期,高三的8名同學(xué)準(zhǔn)備拼車去旅游，其中（1）班、（2）班、（3）班、（4）班每班各

兩名，分乘甲乙兩輛汽車，每車限坐4名同學(xué)（乘同一輛車的4名同學(xué)不考慮位置），其中（1）班兩

位同學(xué)是攣生姐妹,需乘同一輛車，則乘坐甲車的4名同學(xué)中恰有2名同學(xué)是來自同一個班的

乘坐方式共有（）

A.18種B.24和1

C.48種D.36種

奉B

回畫由題意，第一類,⑴班的2名同學(xué)在甲車上,甲車上剩下兩個要來自不同的班級，從三個班

級中選兩個為=3種，然后分別從選擇的班級中再選擇一個學(xué)生為=4種，故有3x4=12種；

第二類,（1）班的2名同學(xué)不在甲車上，則從剩下的3個班級中選擇一個班級的兩名同學(xué)在

甲車上，為=3種，然后再從剩下的兩個班級中分別選擇一人為=4種，這時共有3x4=12種，根據(jù)

分類加法計數(shù)原理得，共有12+12=24種不同的乘車方式.

故選B.

12.（2021湖南高三月考）我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中得到了世界領(lǐng)先的成果.

哥德巴赫猜想如下:每個大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個素數(shù)的和，如20=7+13,在不超過20

的素數(shù)中，隨機(jī)選取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)的和是奇數(shù)的概率是（）

A.

B.

C.

D.

飆B

髭責(zé)因為不超過20的素數(shù)有2,3,5,7,11,13,17,19,共8個，隨機(jī)選取2個不同的數(shù),其和為奇數(shù),

則必有2,所以所求概率P=.故選B.

13.某興趣小組有2名男生和3名女生，現(xiàn)從中任選2名學(xué)生去參加活動,則至少選中一名男生

的選法種數(shù)是.

1^17

隆麗從5名學(xué)生中選2名學(xué)生去參加活動，有=10種，從3名女生中選2名女生去參加活動，

有=3種，所以至少選中一名男生的選法種數(shù)是10-3=7.

14.（2020上海第二工業(yè)大學(xué)附屬龔路中學(xué)高三月考）用0,1,2,3,4這五個數(shù)可以組成

個無重復(fù)數(shù)字的三位奇數(shù);個三位奇數(shù).（用數(shù)字作答）

答案|1840

解冊先確定末尾一共有1,3兩種情況，再確定百位與十位，所以一共有2x=18個.

先確定末尾一共有1,3兩種情況，再確定百位與十位，所以一共有2x=40個.

15.一位教練帶領(lǐng)的足球隊共有17名初級學(xué)員，他們中以前沒有人參加過比賽.按照足球比賽

規(guī)則，比賽時一個足球隊的上場隊員是11人.問：

（1）這17名學(xué)員可以形成多少種上場方案？

（2）如果在選出11名上場隊員時，還要確定其中的守門員,那么這位教練有多少種方式安排上

場隊員？

國（1）由于上場隊員沒有角色差異，所以可以形成的上場方案種數(shù)為=12376.

（2）教練可以分兩步完成這件事情：

第1步，從17名學(xué)員中選出11人組成上場小組,共有種選法；

第2步，從選出的11人中選出1名守門員,共有種選法.

所以教練做這件事情的方式有=136136種.

C級學(xué)科素養(yǎng)拔高練

16.(2021北京昌平高三期末)高中學(xué)生要從物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理這6個科

目中，依照個人興趣、未來職業(yè)規(guī)劃等要素，任選3個科目構(gòu)成“選考科目組合”參加高考.已知

某班37名學(xué)生關(guān)于選考科目的統(tǒng)計結(jié)果如下：

選考

科物化生地政

目名理學(xué)物史理治

稱

選考

該

24281415ab

科人

數(shù)

下面給出關(guān)于該班學(xué)生選考科目的四個結(jié)論:①若。=19,則6=11;②選考科目組合為“歷史+地

理+政治”的學(xué)生一定不超過9人;③在選考化學(xué)的所有學(xué)生中，最多出現(xiàn)10種不同的選考科

目組合;④選考科目組合為“生物+歷史+地理''的學(xué)生人數(shù)一定是所有選考科目組合中人數(shù)最

少的.其中所有正確結(jié)論的序號是.

gg0②③

麗①所有學(xué)生選的科目總數(shù)為37x3=111,則a+6=111-24-28-14-15=30,若“=19,則b=11,故

①對；

②選考化學(xué)的學(xué)生有28人,37-28=9人，則選考科目組合為“歷史+地理+政治'’的學(xué)生一

定不超過9人，故②對;③在選考化學(xué)的所有學(xué)生中，學(xué)生還須選另外兩科，則從五種里面選兩

種，共有=10種，最多出現(xiàn)10種不同的選考科目組合，故③對;④因為地理，政治人數(shù)不確定，選

考科目組合為“生物+歷史+政治”的學(xué)生人數(shù)不一定比選考科目組合為“生物+歷史+地理”的

學(xué)生人數(shù)多，故④錯.

17.推廣組合數(shù)公式，定義，其中xeR,〃?eN+,且規(guī)定=1.

⑴求的值；

(2)設(shè)x>0,當(dāng)x為何值時，函數(shù)./?=取得最小值？

網(wǎng)(1)由題中組合數(shù)的定義得

=-680.

(2)由題中組合數(shù)的定義得

7(x)=(x+-3).

因為x>0,由均值不等式得x+22,當(dāng)且僅當(dāng)》=時，等號成立.

所以當(dāng)》=時，取得最小值.

第二課時組合數(shù)的應(yīng)用

課后篇鞏固提升

A級必備知識基礎(chǔ)練

1.從10名大學(xué)畢業(yè)生中選3人去參加活動，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選

法的種數(shù)為（）

A.28B.49

C.56D.85

解畫由題意知，丙沒有入選，所以只需把丙去掉，把總的元素個數(shù)變?yōu)?個，因為甲、乙至少有1

人入選，所以條件可分為兩類:一類是甲、乙兩人只選一個的選法，共有=42種選法;另一類是

甲、乙兩人都入選，共有=7種選法.由分類加法計數(shù)原理可得，不同的選法種數(shù)為42+7=49,故

選B.

2.（多選）上海某小學(xué)組織6個年級的學(xué)生外出參觀包括甲博物館在內(nèi)的6個博物館，每個年級

任選一個博物館參觀，則有且只有兩個年級選擇甲博物館的方案有（）

A.3600種B.種

C9375種D.X54種

ggCD

陵明因為有且只有兩個年級選擇甲博物館,所以參觀甲博物館的年級有種情況，其余年級均

有5種選擇，所以共有54種情況，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得共有x5，=9375種方案.

3.甲組有5名男同學(xué)、3名女同學(xué);乙組有6名男同學(xué)、2名女同學(xué).若從甲、乙兩組中各選出

2名同學(xué)，則選出的4人中恰有1名女同學(xué)的不同選法共有（）

A.150種B.180種

C.300種D.345種

ggD

解麗若這名女同學(xué)是甲組的，選法有種;若這名女同學(xué)是乙組的，則選法有種.故符合條件的選

法共有=345種.

4.兩人進(jìn)行乒乓球比賽，先贏3局者獲勝,決出勝負(fù)為止，則所有可能出現(xiàn)的情形（各人輸贏局

次的不同視為不同情形）共有（）

A.10種B.15種

C.20種D.30種

畫分三種情況:恰好打3局，有2種情形;恰好打4局（一人前3局中贏2局、榆1局，第4局

嬴），共有2=6種情形;恰好打5局（一人前4局中贏2局、輸2局，第5局贏），共有2=12種情形.

所有可能出現(xiàn)的情形共有2+6+12=20種.

5.（2021湖南永州高三三模）甲、乙、丙、丁和戊5名學(xué)生進(jìn)行勞動技術(shù)比賽,決出第1名到第

5名的名次.甲、乙兩名參賽者去詢問成績，回答者對甲說:“很遺憾，你和乙都沒有得到冠軍”；

對乙說:“你當(dāng)然不會是最差的”,則該5人可能的排名情況種數(shù)為（）

A.18B.36C.54D.64

Sgc

隆麗先看乙，是中間一個名次中的一個，有種可能，然后看甲，是除第一名及乙外剩下的3個名

次中的一個，有種，最后其他三人名次任意，有種可能，共有=54種情況.故選C.

6.小明在學(xué)校里學(xué)習(xí)了二十四節(jié)氣歌后，打算在網(wǎng)上搜集一些與二十四節(jié)氣有關(guān)的古詩，他準(zhǔn)

備在冬季的6個節(jié)氣:立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒與春季的6個節(jié)氣:立春、雨水、

驚蟄、春分、清明、谷雨中一共選出4個節(jié)氣，搜集與之相關(guān)的古詩，如果冬季節(jié)氣和春季節(jié)

氣各至少被選出1個，那么小明選取節(jié)氣的不同情況的種數(shù)是（）

A.345B.465

C.l620D.1860

gg]B

畫根據(jù)題意可知,小明可以選取1冬3春、2冬2春、3冬1春.

1冬3春的不同情況有=120種.

2冬2春的不同情況有=225種.

3冬1春的不同情況有=120種.

所以小明選取節(jié)氣不同情況的種數(shù)是=465.故選B.

7.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),平行于x軸和平行于y軸的直線各有6條,則由這12條直線組成的圖

形中，矩形共有個.(用數(shù)字作答)

答案1225

畫從6條水平直線和6條豎直直線中各取2條，每一種取法對應(yīng)一個矩形，因此矩形共有

=225個.

8.甲、乙等5名同學(xué)參加志愿者服務(wù)，分別到三個路口疏導(dǎo)交通，每個路口有一1名或2名志愿

者,則甲、乙在同一路口的分配方案共有種.(用數(shù)字作答)

容熟18

麗甲、乙兩人在同一路口分配方案有=18種.

9.已知10件不同產(chǎn)品中有4件是次品，現(xiàn)對它們一一進(jìn)行測試,直至找出所有4件次品為止.

(1)若恰在第5次測試，才測試到第一件次品，第10次才測試到最后一件次品，則這樣的不同測

試方法數(shù)是多少？

(2)若恰在第5次測試后,就找出了所有4件次品，則這樣的不同測試方法數(shù)是多少？

網(wǎng)⑴先排前4次測試，只能取正品，有種不同測試方法，再從4件次品中選2件排在第5和第

10的位置上測試有種測法，再排余下4件，有種測法.所以共有不同的測試方法有=103680種.

(2)第5次測試恰為最后一件次品，另3件次品在前4次中出現(xiàn),從而前4次有一件正品出

現(xiàn).所以共有不同測試方法?(=576種.

10.已知平面a〃平面￡,在a內(nèi)有一4個點，在￡內(nèi)有6個點.

(1)過這10個點中的3點作一平面，最多可作多少個不同的平面？

(2)以這些點為頂點，最多可作多少個三棱錐？

(3)(2)中的三棱錐最多可以有多少個不同體積？

魁(1)所作出的平面有三類.

①由a內(nèi)1點/內(nèi)2點確定的平面，最多有個；

②由a內(nèi)2點/內(nèi)1點確定的平面，最多有個；

③a/本身，有2個平面.

故所作的平面最多有+2=98個.

(2)所作的三棱錐有三類.

①由a內(nèi)1點/內(nèi)3點確定的三棱錐，最多有個；

②由a內(nèi)2點/內(nèi)2點確定的三棱錐，最多有個；

③由a內(nèi)3點/內(nèi)I點確定的三棱錐，最多有個.

故最多可作出的三棱錐有=194個.

(3)當(dāng)?shù)酌娣e、高相等時,三棱錐的體積相等.

所以體積不相同的三棱錐最多有=114個.

故最多有114個體積不同的三棱錐.

B級關(guān)鍵能力提升練

11.（2020山東濟(jì)南模擬）籃球比賽中每支球隊的出場陣容由5名隊員組成,2017年的NBA籃

球賽中，某隊采取了“八人輪換”的陣容，即每場比賽只有8名隊員有機(jī)會出場，這8名隊員中包

含兩名中鋒,兩名控球后衛(wèi)，若要求每一套出場陣容中有且僅有一名中鋒，至少包含一名控球

后衛(wèi)，則該隊的主教練出場陣容的選擇的種數(shù)為（）

A.16B.28

C.84D.96

奉B

解明有兩種出場方案:①中鋒1人，后衛(wèi)1人，有=16種出場陣容,②中鋒1人，后衛(wèi)2人，有=12

種出場陣容，共計28種，故選B.

12.（2020遼寧高二期末）十三屆全國人大二次會議于2019年3月5日至15日在北京召開，會

議期間工作人員將其中的5個代表團(tuán)人員（含A,B兩市代表團(tuán)）安排至a,b,c三家賓館入住，規(guī)

定同一個代表團(tuán)人員住同一家賓館，且每家賓館至少有一個代表團(tuán)入住，若A,B兩市代表團(tuán)必

須安排在a賓館入住，則不同的安排種數(shù)為（）

A.6B.12

C.16D.18

睚畫如果僅有A,B入住a賓館，則余下三個代表團(tuán)必有2個入住同一個賓館，此時安排種數(shù)有

=6,如果有A,8及其余一個代表團(tuán)入住a賓館,則余下兩個代表團(tuán)分別入住此時安排種數(shù)

有=6.綜上，共有不同的安排種數(shù)為12,故選B.

13.

算盤是中國傳統(tǒng)的計算工具，其形長方，周為木框，內(nèi)貫直柱，俗稱“檔”,檔中橫以梁，梁上兩珠，

每珠作數(shù)五，梁下五珠，每珠作數(shù)一.算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠.例如:在十位檔撥上

一顆上珠和一顆下珠，個位檔撥上一顆上珠，則表示數(shù)字65.若在個、十、百、千位檔中隨機(jī)選

擇一檔撥一顆上珠,再隨機(jī)選擇兩個檔位各撥一顆下珠，則所撥數(shù)字大于1000的概率為

（）

A.B.C.D.

噩依題意得所撥數(shù)字共有=24種可能.

要使所撥數(shù)字大于1000,

若上珠撥的是千位檔，則所撥數(shù)字一定大于1000,

有=6種；

若上珠撥的是個位檔或十位檔或百位檔，則下珠一定要撥千位檔，再從個位、十位、百位

檔里選一個撥下珠，有=9種.

則所撥數(shù)字大于1000的概率為.故選D.

14.（多選）某校有6名志愿者，在放假的第一天去北京世園會的中國館服務(wù)，任務(wù)是組織游客參

加“祝福祖國征集留言”“歡樂世園共繪展板”“傳遞祝福發(fā)放彩繩”三項活動，其中1人負(fù)責(zé)“征

集留言”,2人負(fù)責(zé)“共繪展板”,3人負(fù)責(zé)“發(fā)放彩繩”，則不同的分配方案共有（）

A.2種B.60種

C.120種D.種

答案|BD

解面從6人中選1人負(fù)責(zé)“征集留言''，從剩下的人中選2人負(fù)責(zé)“共繪展板''，再從剩下的人中

選3人負(fù)責(zé)“發(fā)放彩繩''，則不同的分配方案共有=60種.故選BD.

15.(2020上海高三月考)從3名男同學(xué)和n名女同學(xué)中任選三人參加一場辯論賽，已知三人中

至少有一個人是男生的選派方案是46,那么〃=.

直5

解畫三人中沒有男生的選派方案為，故有-46,

所以-46,

整理得到層+"-30=0,故〃=5或"=-6(舍).

故n=5.

16.現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名大學(xué)生去杭州、寧波、金華三個城市進(jìn)行暑期社會實踐

活動，每個城市至少安排一人，則不同的安排方式共有種,學(xué)生甲被單獨安排去金華的

概率是.

噩根據(jù)題意，按五名同學(xué)分組的不同分2種情況討論：

①五人分為2,2,1的三組，有=15種分組方法,對應(yīng)三項志愿者活動，有15x=90種安排方

案；

②五人分為3,1,1的三組，有=10種分組方法,對應(yīng)三項志愿者活動，有10x=60種安排方案,

則共有90+60=150種不同的安排方案.

學(xué)生甲被單獨安排去金華時，共有=14種不同的安排方案，則學(xué)生甲被單獨安排去金華的

概率是.

17.10雙互不相同的鞋子混裝在一只口袋中,從中任意取出4只,試求出現(xiàn)下列結(jié)果各有多少

種情況：

(1)4只鞋子沒有成雙的；

(2)4只鞋子恰有兩雙；

(3)4只鞋子有2只成雙，另2只不成雙.

網(wǎng)⑴從10雙鞋子中選取4雙,有種不同選法，每雙鞋子中各取一只,分別有2種取法，根據(jù)分步

乘法計數(shù)原理，不同取法有N=X24=3360種.

(2)從10雙鞋子中選2雙有種取法，即有45種不同取法.

(3)先選取一雙有種選法，再從9雙鞋中選取2雙有種選法，每雙鞋只取一只，各有2種取法,

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同取法有N=X22=1440種.

C級學(xué)科素養(yǎng)拔高練

18.一次游戲有10個人參加,現(xiàn)將這10人分為5組，每組兩人.

(1)若任意兩人可分為一組，求這樣的分組方式有多少種？

(2)若這10人中有5名男生和5名女生，要求各組人員不能為同性，求這樣的分組方式有多少

種？

(3)若這10人恰為5對夫妻，任意兩人均可分為一組，問分組后恰有一對夫妻在同組的分組方

式有多少種？

網(wǎng)⑴將10人平均分為5組共有=945種.

(2)將5名男生視為5個不同的小盒,5名女生視為5個不同的小球，問題轉(zhuǎn)化為將5個小

球裝入5個不同的盒子，每盒一個球，共有=120種.

(3)先任選一對夫妻有種，再將剩余4對夫妻分組，再將4個丈夫視為A,B,C,D四個小球,4

個妻子分別視為a力,四個盒子，則4個小球裝入4個不同的盒子，每盒一個球，且與自己的字

母不同，有BADC,CADB,DABC,BDAC,CDAB,DCAB,BCDA,DCBA,CDBA供有9種方法，故不同

的分組方法有x