第一章平面的法向量（學(xué)案）-高中數(shù)學(xué)人教B版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

平面的法向量

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.熟練掌握求平面法向量的方法2會(huì)利用直線的方向向量及平面的法向量證明

直線與平面平行、垂直，平面與平面平行、垂直.

一、利用空間向量證明線面平行

例1如圖，在四棱錐尸一ABC。中，B4,平面ABC。，尸2與底面所成的角為45。，底面ABC。

為直角梯形，ZABC=ZBAD=90°,必=BC=14Z)=1,問(wèn)在棱上是否存在一點(diǎn)E,使

CE〃平面E4B?若存在，求出￡點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解由題意知，AB=PA,以A為原點(diǎn)，分別以AB,AD,AP所在直線為x軸，y軸，z軸建

立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,

；.P(0,0,1),C(l,1,0),0(0,2,0),

設(shè)￡(0,y,z),

則屋=(0,y,z-1),PD=(Q,2,-1),

,JPE//PD,

；.(—l)Xy—2(z—1)=0,①

'：AD=(0,2,0)是平面的法向量,

又無(wú)=(-1,y-1,z),CE〃平面叢8,

：.CE±AD,

/?(-I,y-1,z)-(0,2,0)=0.

，y=l,代入①得z=；,

：.E是尸。的中點(diǎn)，

存在E點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E為PO的中點(diǎn)時(shí)，CE〃平面B48.

反思感悟應(yīng)用向量法證明線面平行問(wèn)題的方法

(1)證明直線的方向向量與平面的法向量垂直.

(2)證明直線的方向向量與平面內(nèi)的某一直線的方向向量共線.

(3)證明直線的方向向量可用平面內(nèi)的任兩個(gè)不共線的向量表示，即用平面向量基本定理證明

線面平行.

跟蹤訓(xùn)練1如圖，在長(zhǎng)方體ABC。一AiBCQi中，AD=AB=4,A4i=2,點(diǎn)E,F,G分別

是。。1,BD,A4i的中點(diǎn)，求證：PG〃平面EPC.

證明方法一如圖，以。為原點(diǎn)，DA,DC,麗所在的方向分別為尤，y,z軸正方向建立

空間直角坐標(biāo)系.

G'

則C(0,4,0),01(0,0,2),G(4,0,1),E(0,0,1),F(2,2,0),

.?.5^=(4,0,-1),施=(一2,-2,1),FC=(-2,2,0),

設(shè)平面EFC的法向量為"=(x,y,z),

n.LFE,J—2x—2y+z=0,

一2x~\~2y=0.

±FC,

令x=l,解得y=l,z=4,

.*.n=(l,1,4).

又"-5^=4><1+0Xl+(-l)X4=0,

C.nLD^G.

又DiGC平面EFC,

.?.DiG〃平面EFC.

方法二取基底{亦，DC,麗}={a,b,c},

由題意得病=訪+方2=

GDI=GAI+ATDI=-

設(shè)GP=ZEC+o￡K

即-4+5=/1(|-5+力+{-5+)+前,

T=5,

所以＜2=1,

O=A+1u,解得-

v=~2

111

廿一y_乎，

即存在4=1,。=-2,使?jié)?=病一2壽,

即歷1,EC,以7共面.

又GZM平面EFC,所以GA〃平面EFC.

二、利用空間向量證明線面垂直

例2如圖所示，正三棱柱ABC—481C1的所有棱長(zhǎng)都為2,。為CG的中點(diǎn).

求證：48i_L平面ABD

證明如圖所示，取8c的中點(diǎn)0,連接A0.

因?yàn)椤鰽BC為正三角形，所以A0L8C.

因?yàn)樵谡庵鵄BC—A由1G中，平面ABC_L平面BCCB,

所以A0_L平面BCCiBi.

取31G的中點(diǎn)。1,以。為原點(diǎn)，以無(wú)，001,應(yīng)分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空

間直角坐標(biāo)系，

則2(1,0,0),D(-l,1,0),4(0,2,小)，A(0,0,4)，5,(1.2,0).

所以翁1=(1,2,一小)，成i=(—1,2,3)，應(yīng))=(—2,1,0).

方法一因?yàn)樘富騃=1X(-1)+2X2+(—S)xS=0,疝i?9)=1X(—2)+2Xl+(一

小)X0=0,

所以翁1，或1,ABi±BD,

gpAB1XBA1,ABiLBD.

又因?yàn)?4080=3,BAi,8￡>u平面A/。，

所以AS_L平面AiBD.

方法二設(shè)平面42。的法向量為"=(x,y,z),

則有“，就i,n±BD,

n-BAi=0,(—尤+2y+，§z=0,

jt.屈)=01-2x+y=0,

令x=l,則y=2,z——\[3,

故”=(1,2,一小)為平面A山。的一個(gè)法向量，

又篇1=(1,2,一小),所以疝i=”,

所以Qi〃”，故ASJ_平面A/D

反思感悟用坐標(biāo)法證明線面垂直的方法及步驟

方法一：(1)建立空間直角坐標(biāo)系.

(2)將直線的方向向量用坐標(biāo)表示.

(3)找出平面內(nèi)兩條相交直線，并用坐標(biāo)表示它們的方向向量.

(4)分別計(jì)算兩組向量的數(shù)量積，得到數(shù)量積為0.

方法二：(1)建立空間直角坐標(biāo)系.

(2)將直線的方向向量用坐標(biāo)表示.

(3)求出平面的法向量.

(4)判斷直線的方向向量與平面的法向量平行.

跟蹤訓(xùn)練2如圖，四棱錐尸一A8CD中，B4_L底面ABC。，AB±AD,ACLCD,ZABC=

60°,PA=AB=BC=2,E是PC的中點(diǎn)，求證：

—

(1)CD±A￡；

(2)PO_L平面ABE.

證明(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,AP所在的直線分別為x,y,z軸，建立如圖所示的空

4必

間直角坐標(biāo)系，貝UA(0,0,0),BQ,0,0),C(l,小,0),DO,,0,尸(0,0,2),

3;

所以麗=1—1,坐o）,AE=（j,坐，1），

所以左>靠=-1x3+坐X坐+0X1=0,

所以CDLAE.

⑵由⑴，得訪=（0,羋，一2）,贏=（2,0,0）,AE=（j,坐，1）,

設(shè)向量〃=（x,y,z）是平面ABE的法向量，則

L.AB=O,產(chǎn)=0，

由L病=0,侍［5+&+z=。,

取y=2,則”=（0,2,一?。?，

所以P￡>=±",所以尸。〃"，

所以PO_L平面A8E.

三、利用空間向量證明面面平行

例3如圖，在正方體ABC。-46GP中，。是底面A3CD的中心，尸是的中點(diǎn).設(shè)

。是CG上的點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)。在什么位置時(shí)，平面。/。〃平面B4。？

%；——7|G

AB

解以。為原點(diǎn)，nA,DC,鬲的方向分別為無(wú)軸，y軸,Z軸正方向，建立如圖所示的空

間直角坐標(biāo)系。移z,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,

。上______C.

A.AV

，為1'、\\町/2

4\\/c

XAB

則0(1,1,0),A(2,0,0),P(0,0,1),8(2,2,0).

設(shè)。(0,2,c),：.OA=(1,-1,0),OP=(-1,-1,1)的=（-2,0,c）.

設(shè)平面B4O的法向量為〃i=(x,y,z),

ni-OA=0,|x—y=0,

則H._n

kop=0〔一x—y+z=O,

令x=l,則y=l,z=2,

平面必。的一個(gè)法向量為"i=(l,1,2).

若平面￡>iBQ〃平面PAO,

則“1也是平面DiBQ的一個(gè)法向量.

.'.m-BQ—O,即-2+2c=0,c—1,

故當(dāng)。為CCi的中點(diǎn)時(shí)，平面。山?！ㄆ矫鍮40.

反思感悟證明面面平行的方法

設(shè)平面a的法向量為"1=(41,bl,Cl),平面￡的法向量為〃2=(。2,岳，C2),貝U0￡〃〃=>"1〃"2

臺(tái)(ai,bi,ci)—k(ci2,bz,。2)(左GR).

跟蹤訓(xùn)練3已知正方體ABC。一A1BC1O1的棱長(zhǎng)為2,E,尸分別是34，的中點(diǎn).

求證：平面AZJE〃平面BiGF.

證明以。為原點(diǎn)，DA,DC,麗的方向分別為1軸，y軸，z軸的正方向，建立如圖所示

的空間直角坐標(biāo)系。孫z,則有0(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),Ci(0,2,2),EQ,2,

1),F(0,0,1),BQ2,2),

：.DA=(2,0,0),AE=(0,2,1).

設(shè)=y,zi)是平面AQE的法向量,

貝而，mlAE,

〃r￡)A=2%i=0,\x\=0,

即V得_c

j“?靠=2yi+zi=0,⑵一一2yi,

令zi=2,則為=—1,

所以"i=(0,—1,2).

因?yàn)?ii=(2,0,0),病1=(0,2,1),

設(shè)敢=(X2,丁2,Z2)是平面81GF1的法向量.

由改_L_FG,/i2-LCiBi,

〃2?尸G=2y2+z2=0,X2=0,

得j一得

Z2

nyCiBi=2x2=0,

令Z2=2,得了2=—1,所以“2=(0,—1,2),

因?yàn)椤?=〃2,所以平面AOE〃平面3clE

四、利用空間向量證明面面垂直

例4三棱錐被平行于底面ABC的平面所截得的幾何體如圖所示，截面為AI1G,ZBAC=

90°,4A_L平面ABC,AiA=?AB=AC=2AiG=2,。為BC的中點(diǎn).證明：平面4A￡)_L

平面BCCiBi.

證明方法一如圖，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AC,A4i所在直線分別為入軸，y軸，z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)iyz,

則4(0,0,0),8(2,0,0),C(0,2,0),Ai(0,0,木),Ci(0,1,回

?.?。為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1,0),

.,.AZ)=(1,1,0),AAi=(0,0,/)，BC=(-2,2,0),

.*.AZ)-BC=lX(-2)+lX2+0X0=0,

A4I-BC=0X(-2)+0X2+V3X0=0,

：.AD±BC,AAi±BC,

：.BC±AD,BC±AAi.

XAiAAA￡)=A,AiA,A￡?u平面4A。，

.?.BC_L平面4AD

又BCU平面BCGBi,

平面AiAD_L平面BCCiBi.

方法二同方法一建系后，得AX=(O,o,事),

AZ)=(1,1,0),病=(一2,2,0),CCi=(0,-1,小).

設(shè)平面AiAD的法向量為“1=(X1,yi,zi),

平面3CC131的法向量為〃2=(X2,>2,Z2).

由卜病=0,得產(chǎn)產(chǎn)。，

[ni.Ab=o,，卜】十州=0,

令yi=-1,則加=1,zi=0,

=—1,0).

n^BC—O,1―2愈+2丁2=0,

由得1r

Ucci=o,〔一y2+43z2=o,

令丁2=1,則X2=l,Z2=坐，

；."2=(1,1,坐).

?；"r"2=l—1+0—0,?iX/i2?

平面4A￡)_L平面BCCB.

反思感悟利用空間向量證明面面垂直通?？梢杂袃蓚€(gè)途徑，一是利用兩個(gè)平面垂直的判定

定理將面面垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線面垂直進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線線垂直；二是直接求解兩個(gè)平面的法向量，

證明兩個(gè)法向量垂直，從而得到兩個(gè)平面垂直.

跟蹤訓(xùn)練4如圖，在正三棱柱ABC—AiBCi中，AB=^AAi=a,E,尸分別是8囪，CG上

的點(diǎn)，且BE=a,CF=2a,求證：平面AEE_L平面ACE

證明以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)孫z,

y

不妨設(shè)a=2,則A(0,0,0),E他，1,2),F(0,2,4),

；.贏=他,1,2),1>=(0,2,4).

軸，平面ACF,...可取平面ACF的一個(gè)法向量為%=(1,0,0).

設(shè)平面AEF的法向量為〃=(x,y,z),

則n-AE=y[3x+y+2z=Q,

n-AF=2y+4z=0,

取z=1,得2=(0,—2,1).

\9mn=0,/.m,Ln,

J平面AEF_L平面ACK

1.知識(shí)清單：

(1)利用空間向量證明線面平行.

(2)利用空間向量證明線面垂直.

(3)利用空間向量證明面面平行.

(4)利用空間向量證明面面垂直.

2.方法歸納：數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸.

3.常見(jiàn)誤區(qū)：直線的方向向量與平面的法向量垂直時(shí)，線面關(guān)系有兩種，即線與面平行或線

在面內(nèi)，線在面內(nèi)這種情況容易忽視.

1.直線/的一個(gè)方向向量為(2,4,5),平面a的一個(gè)法向量為(1,2,0，若/J_a,則實(shí)數(shù)才

等于()

A.|B.1C.-2D.-|

答案A

解析因?yàn)長(zhǎng)La,所以直線/的方向向量與平面的法向量平行，

可得A2尹4萍5翎，解得片5]

2.若兩個(gè)不同平面a,/的法向量分別為〃=(1,2,-1),。=(—3,-6,3),則()

A.a〃/B.a.邛C.a,/相交但不垂直D.以上均不正確

答案A

解析3",工?！ā?故a〃及

3.己知平面a和平面夕的法向量分別為a=(l,1,2),b=(x,-2,3),且a_L^,則x等于

()

A.-4B.-8C.4D.8

答案A

解析因?yàn)椤?=%-2+6=0,所以x=-4.

4.如圖所示，在正方體ABCO-AiBiCbDi中，棱長(zhǎng)為a,M,N分別為48和AC上的點(diǎn)，

4M=AN=華，則MN與平面BBiGC的位置關(guān)系是

答案平行

解析以Ci為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

.丁72a

由于AiM=AN=^~9

M1(2ad\(2a2a、

貝Igm百，jI,以于，a加=(號(hào),0,T)

又平面BBiCC

所以3方i=(0,a,0)為平面881cle的一個(gè)法向量.

因?yàn)橛?33i=0,

所以疝，3萬(wàn)，

又MN。平面BBiCiC,

所以MN〃平面BBiCC

1.直線I的方向向量s=(—l,1,1),平面a的一個(gè)法向量為n=(2,x1+x,—x),若直線I//a,

則x的值為()

A.-2B.—y[2C.y[2D.i\/2

答案D

解析由題意知，-1X2+1X(f+x)+lX(—x)=0,

解得x=±\「.

2.已知點(diǎn)A(0,1,0),B(-l,0,-1),C(2,1,1),P(x,0,z),若%_L平面ABC,則點(diǎn)

P的坐標(biāo)為()

A.(1,0,-2)B.(1,0,2)

C.(-1,0,2)D.(2,0,-1)

答案C

解析由題意知贏=(一1,-1,-1),公=(2,0,1),成=(無(wú)，-1,z),

又E4_l_平面ABC,所以AB,AP=(—1,—1,—1)-(%,—1,z)=0,

得一x+l—z=0.①

AC-AP=(2,0,l).(x,-1,z)=0,

得2x+z=0,②

聯(lián)立①②得x=-1,z=2,

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(一1,0,2).

3.已知平面a的法向量是(2,3,-1),平面￡的法向量是(4,九-2),若a〃夕，則九的值

是()

A.—yB.6C.—6D.與

答案B

解析：a〃￡,；.a的法向量與力的法向量也互相平行.

23—1

???a=廠三(丸#。)，???4=6.

4.若平面a,4的法向量分別為〃=(2,—3,5),。=(一3,1,-4),貝)

A.a///3B.a工B

C.a,4相交但不垂直D.以上均不正確

答案C

5.(多選)若〃1，〃2分別是平面a,4的法向量，且a_L/，=2,x),〃2=(x,x+1,x),

則x的值為()

A.1B.2C.-1D.-2

答案CD

Z1

解析由題意可知，〃i?"2=(l,2,x)-(x,x+l9X)=X+2X+2+X=X+3X+2=09解得X=

-1或x=~2.

6.(多選)已知o為直線/的方向向量，n\,敢分別為平面a,4的法向量(a,4不重合)，那么

下列說(shuō)法中正確的有()

A.20a〃/B.

C.v//n\^l//aD.D_l_m<4/_La

答案AB

解析,?,平面a,￡不重合，，平面%￡的法向量平行等價(jià)于平面a,￡平行，二.A正確；

易知B正確；當(dāng)容〃"1時(shí)，l.La,故C錯(cuò)誤；當(dāng)u_L〃i時(shí)，/〃?；?U*故D錯(cuò)誤.

7.若平面a的一個(gè)法向量為。1=(—3,?2),平面夕的一個(gè)法向量為6=(6,—2,z),且

a//P，貝Uy+z=.

答案一3

解析因?yàn)閍〃人所以5〃。2,

2

所以71

所以y=l,z=—4,

所以y+z=-3.

8.在正方體4BCD-4BC1O1中，E,尸分別是85，C￡＞的中點(diǎn).則平面AE￡＞與4F》的

位置關(guān)系是.

答案垂直

解析如圖，以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以D4,DC,ODi所在直線為x軸，y軸，z軸建立如

圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz.

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則￡)(0,0,0),A(2,0,0),E(2,2,1),F(0,1,0),A,(2,0,2),

r>i(o,o,2),

.,.DA=OI=(2,0,0),D￡=(2,2,1),D?F=(0,1,-2).

設(shè)平面AE￡)的法向量為“1=(X1,yi,zi).

ni-DA=0,

由,

n\'DE=0,

f2xi—0,

得.

[2xi+2yi+zi=0.

令yi=l,得"1=(0,1>—2).

同理，平面AFA的法向量為〃2=(0,2,1).

???小町=(0,1,-2)-(0,2,1)=0,

J-〃2,

???平面平面4五A.

9.如圖所示，/XABC是一個(gè)正三角形，ECmABC,BD//CE,且CE=C4=25。，M是

EA的中點(diǎn).

E

D

求證：平面OE4_L平面ECA.

證明以。為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz,不妨設(shè)CA=2,

則CE=2,BD=1,C(0,0,0),A他,1,0),E(0,0,2),0(0,2,1).

所以函=(小，1,-2),CE=(0,0,2),應(yīng))=(0,2,-1).

分別設(shè)平面CE4與平面。E4的法向量為"i=(xi,yi,zi),改=(%2,",Z2),

ni-EA—0,—2zi=0,pi=-\3xi,

則即一解得Li=0.

nvCE=0,3=0,

敢￡4=0,卜乃血十”―2Z2=0,112=書(shū)》2,

解得

12y2—Z2=0,122=2”

ji2ED=0,

不妨取"1=（1,一小，0）,"2=（小，1,2）,

因?yàn)椤?刃2=0,所以兩個(gè)法向量相互垂直，

所以平面OEA_L平面ECA.

10.如圖所示，平面鞏D_L平面A3C。，四邊形A8CD為正方形，△B4。是直角三角形，且

PA^AD=2,E,F,G分別是線段B4,PD,CD的中點(diǎn).求證：

（1）尸8〃平面EFG；

（2）平面EFG〃平面PBC.

證明（1）因?yàn)槠矫鍮4D_L平面A3CD,且四邊形A5CQ為正方形,

所以A3,AP,兩兩垂直.

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)pz,

則A(0,0,0),BQ,0,0),C(2,2,0),0(0,2,0),P(0,0,2),￡(0,0,F(0,1,

1),G(l,2,0).

方法一壽=(0,1,0),壽=(1,2,-1),

設(shè)平面EfG的法向量為〃=(x,y,z),

n-EF=0,y=0,

則<即

x+2y-z=0

ji-EG=0,9

令z=l,則〃=(1,0,1)為平面EFG的一個(gè)法向量,

*：PB=(290,-2),

：.PBn=0,：.n±PB,

???PBQ平面EFG,."3〃平面EFG.

方法二PB=(2,0,-2),FE=(0,-1,0),FG=(1,1,-1).

設(shè)/=s施+辰，

即(2,0,—2)=s(0,—1,0)+r(l,1,—1),

￡=2,

.?.<Ls=0,解得s=t=2.

、一￡=-2,

：.FB=2FE+2FG,

又羥與由不共線，：.而,匠與證;共面.

:PB*平面EFG,

.?.尸8〃平面EFG.

(2)由⑴知,EF=(0,1,0),BC=(0,2,0),

：.BC^1EF,J.BC//EF.

又E網(wǎng)平面PBC,BCU平面PBC,

；.跖〃平面PBC,

同理可證GF//PC,從而得出GE〃平面PBC.

又EFCGF=F,EFU平面EFG,G/u平面EFG,

平面EFG〃平面PBC.

11.在三棱錐s—ABC中，ZSAB=ZSAC=ZACB=90°,AC=2,BC=y[13,SB=^29,則

直線SC與BC所成的角為()

A.30°B.45°C.60°D.90°

答案D

解析如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC,AS所在直線分別為y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,

則由AC=2,BC=V13,SB=揚(yáng)，

得8(一痔2,0),S(0,0,2小)，C(0,2,0),

SC=(0,2,-2^3),CB=(-V13，0,0).

'：SCCB=0,：.SC±BC.

；.SC與8c所成的角為90。.

12.已知平面a內(nèi)兩向量a=(l,1,1),b=(0,2,—1)且c=:m+?+(4,—4,1).若c

為平面a的法向量，則根，w的值分別為()

A.11,2B.1,l2C.1,2D.—1,—2

答案A

解析c=m〃+汕+(4,—4,l)=(m,m,m)+(0,2n,—〃)+(4,—4,l)=(m+4,m+2n

—4,m—n+1),

得]c?a=0,m=-1,

由c為平面a的法向量,

cb=0,n=2.

13.已知平面a內(nèi)的三點(diǎn)A(0,0,1),8(0,1,0),C(l,0,0),平面￡的一個(gè)法向量為"

=(—1,—1,—1),且6與a不重合，則()

A.a//PB.

C.a與A相交但不垂直D.以上都不對(duì)

答案A

解析瀛=(0,1,-1),公=(1,0,-1),易知A,B,C三點(diǎn)不共線,

.AB=-lX0+(-l)Xl+(-l)X(-l)=0,

-Ac=-ixi-ixo+(-i)x(-i)=o,

.\n.LAB,n.LAC,

??n也為a的一個(gè)法向量.

又Q與夕不重合，.*.a//p.

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