2024年全國中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競賽甘肅賽區(qū)預(yù)賽試題

2024年全國中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競賽(甘肅賽區(qū)預(yù)賽)試題(考試時間:2024年6月23日9:00-11:30,滿分150分)一、填空題(共10小題，每小題7分，滿分70分.請直接將答案寫在題中的橫線上)1.定義集合A,B的運算:A?B=m∣m=y2-x,2.若復(fù)數(shù)z、z1、z2滿足:z1z3.函數(shù)fx是定義在R上的偶函數(shù),且hx=fx+e-ωc=x為奇函數(shù)4.已知△ABC的外接圓半徑為2,且滿足2sinAsinC=1,cos25.在小于15的正整數(shù)中，不重復(fù)地取出(3個數(shù)，則它們的和能被3整除的概率為.6.已知函數(shù)fx=Asinωx+φA>0,ω>0,0≤φ<π的部分圖象如圖中實線所示,圖中圓G(點G在x軸上)與fx的圖象交于M,N兩點,點M在y軸上,點N的橫坐標(biāo)為7.某詞學(xué)計劃練習(xí)n道數(shù)列題n∈N*,設(shè)該同學(xué)對第k題1≤k≤n,k∈N*的掌握程度與解題耗時分別為ak,bk,已知an,bn都是等差數(shù)列,前n8.已知點P、A、B、C是球O的球面上的四個點,PA、PB、PC兩兩垂直且長度均為18,M是線段AP上的點,且AM=2PM,記過點M與平面ABC9.點P是邊長為2的正八邊形ABCDEFGH邊上的動點，則的最大值為

10.若函數(shù)fx在區(qū)間a,b上有定義,且對于任意不同的fx1-fx2≤kx1⊕x2>∞則稱fx為a,b的“k類函數(shù)”.若二、解答題(共7小題,滿分80分.要求寫出解題過程)11.(11分)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a(1)求cosAcosC(2)若角B的平分線BE與邊AC相交于點E,且BE=3,求a+12.(11分)已知數(shù)列an滿足a(1)求an的通項公式(2)設(shè)bn=1an+1an2,記bn的前n項和為Sn:若13.(11分)如圖(1),在等腰直角三角形DFC中,FD=FC,A,B,E分別在線段DF,FC,CD上,且AB//CD,AE//FC.已知FA=1,AD=2圖(1)圖(2).(1)求證:平面BDE⊥平面ABD(2)求平面BDC與平面EDC的夾角的余弦值；(3)點Q在線段DF上,設(shè)直線BQ與直線DE所成角為a,求cosa的最大值14.(11分)①拐點，又稱反曲點，指改變曲線向上或向下的點(直觀地說拐點是使切線穿越曲線的點，即連續(xù)曲線的凹弧與凸弧的分界點).設(shè)f'x是函數(shù)y=fx的導(dǎo)函數(shù),f''x是函數(shù)f'x的導(dǎo)函數(shù),若方程f°x=0有實數(shù)解x=x0,②設(shè)a,b為常數(shù),若定義在R上的函數(shù)y=fx對于定義域內(nèi)的一切實數(shù)x,都有fa+x+fa-x?2b((I)求證:任意的三次函數(shù)fx=a(2)已知函數(shù)fx=13x3-15.(11分)nn≥3個人圍坐在圓形餐桌前吃飯每個人面前及桌子正中央均各擺放一道菜,每人每次只能(1)當(dāng)n=4時,若每人都隨機(jī)夾一道菜,其垂道菜最多被來一次,計算每個人夾的菜都不是餐桌正中間和自(2)現(xiàn)規(guī)定每人只能在自己面前或餐桌正中央的兩道菜中隨機(jī)夾取一道菜，每個人都各夾過一道菜后，記被夾過的菜數(shù)為Xk,求滿足EXn>5的16.(12分)如圖,已知橢圓x2a2+y2b2=la>b>0,C、D是橢圓上x軸同側(cè)的兩個點,分別過C、D作橢圓的兩條切線交于點P,且分別與x軸交于點B、A,線段AC與BD交于點E,作EF⊥(1)求證:P、E、(2)求證:PM17.(13分)定義Z+上的函數(shù):σn=d1+d2+d3+?+ds,其中d1,d2,d3,?,ds為n的所有正因數(shù).若（1）判斷σ(23)、σ(88)、σ(202