等比數(shù)列的概念導(dǎo)學(xué)案

4.3.1等比數(shù)列的概念（1）導(dǎo)學(xué)案

學(xué)習(xí)

1.理解等比數(shù)列及等比中項的概念.

2.掌握等比數(shù)列的通項公式，能運用公式解決相關(guān)問題.

重點難點

重點：等比數(shù)列及等比中項的概念

難點：等比數(shù)列的函數(shù)特征及綜合運用

知出極理

1.等比數(shù)列的定義：

一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù)，那么這個

數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示（顯然q力。）.

符號語言：H=q（nN2,n€N*）

2.等比中項:

等差數(shù)列等比數(shù)列

由三個數(shù)。，46組成最簡單

由三個數(shù)Q,G,b組成等

的等差數(shù)列，這時，A叫做a比數(shù)列，那么G叫做。與b的

與b的等差中項.根據(jù)等差數(shù)等比中項.此時，G2=ab.

列定義可知，24=a+江

1.下列數(shù)列為等比數(shù)列的是（）

A.m,m2,根,3根,4

B.224VJ82,

C.q~1,(q—1)2,(^―I)3,(^―I)4,...

1j_X±

?a'〃2'〃3，。4，…

2.方程f—5x+4=0的兩根的等比中項是()

A.|B.±2C.±^5D.2

學(xué)習(xí)過程

一、新知探究

我們知道，等差數(shù)列的特征是“從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)”。

類比等差數(shù)列的研究思路和方法，從運算的角度出發(fā)，你覺得還有怎樣的數(shù)列是值得研究的？

1.兩河流域發(fā)掘的古巴比倫時期的泥版上記錄了下面的數(shù)列：

9,92,93,...,91°;①

1OO,1OO2,1OO3,...,1OO10;②

5,52,53,...,510.③

2.《莊子?天下》中提到：“一尺之錘，日取其半，萬世不竭.”如果把“一尺之錘”的長度看成單位“1”,

那么從第1天開始，每天得到的“錘”的長度依次是

2‘4‘8‘16‘32'…

3.在營養(yǎng)和生存空間沒有限制的情況下，某種細(xì)菌每20min就通過分裂繁殖一代，那么一個這種細(xì)

菌從第1次分裂開始，各次分裂產(chǎn)生的后代個數(shù)依次是

2,4,8,16,32,64,...⑤

4.某人存入銀行a元，存期為5年，年利率為r,那么按照復(fù)利，他5年內(nèi)每年末得到的本利和分

別是

a(l+r),a(l+r)2,a(l+r)3,a(l+r)4,a(l+r)5⑥

如果用｛a｝表示數(shù)列①，那么有

%=9,—=9,=9

0,2。9

其余幾個數(shù)列也有這樣的取值規(guī)律嗎？，請你試著寫一寫。

探究1類比等差數(shù)列的研究，你認(rèn)為可以通過怎樣的運算發(fā)現(xiàn)以上數(shù)列的取值規(guī)律？你發(fā)現(xiàn)了什

么規(guī)律？

等差數(shù)列的概念

如果一個數(shù)列從第一項起，每一項與它的______的

差都等于__________,那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)

文字語言

歹!1,這個—叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字

母—表示

符號語言?！?1—為常數(shù)，〃￡N*)

2；前一項；同一個常數(shù)；常數(shù)；d

探究2類比等差數(shù)列的概念，從上述幾個數(shù)列的規(guī)律中，你能抽象出等比數(shù)列的概念嗎？

探究3：在等差數(shù)列中，我們學(xué)習(xí)了等差中項的概念，通過類比，我們在等比數(shù)列中有什么相應(yīng)的

概念？如何定義？

探究4.你能根據(jù)等比數(shù)列的定義推導(dǎo)它的通項公式嗎？

請你回憶一下，等差數(shù)列通項公式的推導(dǎo)過程，類比猜想，等比數(shù)列如何推導(dǎo)通項公式?

探究.5在等差數(shù)列中，公差d力0的等差數(shù)列可以與相應(yīng)的一次函數(shù)建立聯(lián)系，那么對于等比數(shù)列,

公比q滿足什么條件的數(shù)列可以與相應(yīng)的函數(shù)建立類似的聯(lián)系？

探究6：類比指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，你能說說公比q>0的等比數(shù)列的單調(diào)性嗎？

/(%)=yqx(xGR)

二、典例解析

例1.若等比數(shù)列｛斯｝的第4項和第6項分別為48和12,求｛即｝的第5項.

例2已知等比數(shù)列｛an｝的公比為q,試用的第m項%?表示與.

1.在一個等比數(shù)列中，從第2項起，每一項(有窮數(shù)列的末項除外)都是它的前一項與后一項的等比

中項.

2.等比數(shù)列的任意一項都可以由該數(shù)列的某一項和公比表示.

跟蹤訓(xùn)練1在等比數(shù)列｛為｝中，

(1)若“2=4,/=—］，求即；

(2)七,。2+。5=18,的+。6=9,斯=1,求”.

例3.數(shù)列｛5｝共有5項，前三項成等比數(shù)列，后三項成等差數(shù)列，第3項等于80,第2項與第4

項的和等于136,第1項與第5項的和等于132,求這個數(shù)列.

跟蹤訓(xùn)練2.有四個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個數(shù)與第四個數(shù)

的和是16,第二個數(shù)與第三個數(shù)的和是12,求這四個數(shù).

達(dá)壽檜涮

1.已知｛斯｝是等比數(shù)列，41=4,公比9=3，則“5=()

A.4B.C.D.g

2.設(shè)〃〃=(—貝擻列｛?！ǎ?)

A.等比數(shù)列B.等差數(shù)列

C.遞增數(shù)列D.遞減數(shù)列

3.若各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛斯｝滿足。3=3%+2。2,貝!1公比4=()

A.1B.2C.3D.4

4.若數(shù)列一1,a,b,c,一9成等比數(shù)列，則實數(shù)b的值為()

A.-3B.3C.±3D.不能確定

5.在等比數(shù)列｛斯｝中，42=2,45=16.求｛〃〃｝的通項公式.

課堂4?結(jié)

參考答案：

知識梳理

1.D解析：當(dāng)機=0,q=l時，A,C均不是等比數(shù)列；爭號I,

所以B不是等比數(shù)列.

2.B解析：設(shè)方程的兩根分別為Xi,冗2,由根與系數(shù)的關(guān)系，得X1X2=4,兩根的等比中項為

=±2.

學(xué)習(xí)過程

一、新知探究

探究4.設(shè)一個等差數(shù)列S九｝的首項為的,公差為d,根據(jù)等差數(shù)列的定義，可得

a?t+i—^n~d

所1以02一01=d,(Z3一02=d,04一%=d,…

丁-a2=d,

a3=a2+d=a+d)+d=%+2d,

a4=a3+d=(a1+2d)+d=ar+3d,.......

歸納可得冊=?i+(n-1)d(n>2)

當(dāng)n=1時，上式為的=%+(1-1)d=ar,這就是說，上式當(dāng)時也成立。

因此，首項為由,公差為d的等差數(shù)列｛&J的通項公式為冊=a1+(n-1)d

請你回憶一下，等差數(shù)列通項公式的推導(dǎo)過程，類比猜想，等比數(shù)列如何推導(dǎo)通項公式？

設(shè)一個等比數(shù)列｛即｝的為q,根據(jù)等比數(shù)列的定義，可得

an+l=an'Q

所以的=&q,

@3=。2q=(。］q)q~~

。4—。3烏=(。1［2)q—。］勺3

歸納可得冊=。1必一1(1122)

又的=%q°=QiqiT,這就是說，當(dāng)n=l時，上式也成立。

因此，首項為的,公比為q的等比數(shù)列｛%J的通項公式為

每=aiQn-1

探究5.

a=ttiQ71_1=—qn

nq

當(dāng)q>0且q豐'時、/(x)=^qx(xER)

當(dāng)%=it時、f(n)=yqn(nEN*)

即指數(shù)型函數(shù)/(%)=kax

(為k,a常數(shù)，k0,a>0且a41)構(gòu)成一個等比數(shù)列｛kan｝,

/(I)=ka,/⑵=ka2,…，f(n)—kan,

其首項為ka,公比為a

探究6：

/(x)=—qx(xER)

0<q<1q>i<?=i

指數(shù)函數(shù)y=q"的單調(diào)性單調(diào)遞減單調(diào)遞增

71

等比數(shù)列an=q的單調(diào)性單調(diào)遞減單調(diào)遞增不變

>0

單調(diào)遞減單調(diào)遞增不變

等比數(shù)列斯=a/T的

單調(diào)性

為<0

單調(diào)遞增單調(diào)遞減不變

二、典例解析

例1.分析：等比數(shù)列｛&J由唯一確定，可利用條件列出關(guān)于的方程(組)，進(jìn)行求解。

解法1：由a4=48,a6=12,得

(a]=48,①)

IdiQ5=12.②J

②的兩邊分別除以①的兩邊，得q2=i解得q=:或—

把q=|代入①，得的=384.

44

此時a5=a1q=384x(|)=24.

把q=-1代入①，得a1=-384.

44

此時a5=ctrq=384x(―1)=—24.

因此｛%J的第5項是24或一24.

解法2：因為是與的等比中項，所以磺=。4￡16=48x12=576.

所以=±V576=±24.

因此，｛時｝的第5項是24或-24.

例2解：由題意，得＜2小=①

1

an=a^-.②

②的兩邊分別除以①的兩邊，得氏=(^-皿

dm

nm

所以an=amq~.

跟蹤訓(xùn)練1解：設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的首項為防，公比為?

。2=〃1"=4,

(1)由題意可知《1

:,q'=一=-8,

.?.a“=aiq〃r=-8X(-￡|"r=(-2)4F.

(2)?.?。3+。6=(。2+。5均，即9=18q,

??(y2.

由4心+〃1。4=18得〃i=32,

ni=

由an=aiq~l知n=6.

例3.分析：先利用已知條件表示出數(shù)列的各項，再進(jìn)一步根據(jù)條件列出方程組求解.

解：設(shè)前三項的公比為q,后三項的公差為d,則數(shù)列的各項依次為合;,80,80+d,80+2d.

'—+(80+d)=136,

于是得hoq

?+(80+2d)=132.

解方程組，得1?=2或［Q=l

Id=16Q=-64

所以這個數(shù)列是20,40,80,96,112,或180,120,80,16,-48.

跟蹤訓(xùn)練2.解法1：設(shè)這四個數(shù)依次為a-d,a,a+d,婦也，

a

于是得卜一~+等"=16,解方程組，得｛，［j或｛。=］

Ia+a+d=12.——

所以當(dāng)a=4,1=4時，所求的四個數(shù)為0,4,8,16；

當(dāng)a=9,d=-6時,所求的四個數(shù)為15,9,3,1.

故所求的四個數(shù)為0,4,8,16或15,9,3,1.

解法2：設(shè)這四個數(shù)依次為也-a,2,a,aq,

qq

2a,i/

!2+a=12.解方程組,得［二2或［q/

所以當(dāng)a=8,q=2時，所求的四個數(shù)為0,4,8,16；

當(dāng)a=3,q=［時，所求的四個數(shù)為15,9,3,1.

故所求的四個數(shù)為0,4,8,16或