歷年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題及答案

歷年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題及答案

1988年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題

第一試(10月16日上午8:00——9：30)

一.選擇題(本大題共5小題，每小題有一個正確答案，選對得7分,

選錯、不選或多選均得0分)：

1.設有三個函數(shù)，第一個是y=6(x),它的反函數(shù)是第二個函數(shù)，而

第三個函數(shù)的圖象與第二個函數(shù)的圖象關于x+y=0對稱，那么，第三個函

數(shù)是()

-----A.y=—<t>(x)B.y=-6(—x)C.y=-4)l(x)

D.y=-61(—x)

2.已知原點在橢圓k2x2+y2-4kx+2ky+k2-1=0的內(nèi)部，那么參數(shù)k

的取值范圍是()

A.|k|>lB.|k|WlC.-l<k<l

D.0<|k|<l

3.平面上有三個點集M,N,P：

M={(x,y)||x|+|y|<l},

N={(x,y)|(x-2+(y+)2+22(x2+(y-2<22},22

P={(x,y)||x+y|<l,|x|<l,|y|<l}.則

A.M??P??NB.M??N??PC.P??N??MD.A、

B、C都不成立

4.已知三個平面a、B、丫，每兩個之間的夾角都是0,且aCB

=a,0Ay=b,YAa=c.若有

n命題甲：9>3

命題乙：a、b、c相交于一點.

則

A.甲是乙的充分條件但不必要B.甲是乙的必要條件但

不充分

C.甲是乙的充分必要條件D.A、B、C都不對

5.在坐標平面上，縱橫坐標都是整數(shù)的點叫做整點，我們用I表示所

有直線的集合，M表示恰好通過1個整點的集合，N表示不通過任何整點

的直線的集合，P表示通過無窮多個整點的直線的集合.那么表達式⑴M

UNUP=|；(2)NW?.(3)M*?.(4)PW?中，正確的表達式的個數(shù)

是

A.1B.2C.3D.4

二.填空題(本大題共4小題，每小題10分)：

b—bl.設xWy,且兩數(shù)列x,al,a2,a3,y和bl,x,b2,b3,y,

b4均為等差數(shù)列，那么=a2-al2.x+2)2n+l的展開式中，x的整數(shù)次第的

各項系數(shù)之和為

DE3.在^ABC中，已知NA=a,CD、BE分別是AB、AC上的高，則=

BC

4.甲乙兩隊各出7名隊員，按事先排好順序出場參加圍棋擂臺賽，

雙方先由1號隊員比賽，負者被淘汰，勝者再與負方2號隊員比賽，？?直

至一方隊員全部淘汰為止，另一方獲得勝利，形成一種比賽過程.那么所

有可能出現(xiàn)的比賽過程的種數(shù)為

三.（15分）2,寬為1的矩形，以它的一條對角線所在的直線為軸旋轉

一周，求得到的旋轉體的體積.

四.（15分）復平面上動點Z1的軌跡方程為|Z1—Z01=|Z11,Z0為定點，

ZOWO,另一個動點Z滿足Z1Z=-1,求點Z的軌跡，指出它在復平面上的

形狀和位置.

11五.（15分）已知a、b為正實數(shù)，且+=1,試證：對每一個n￡N*,

ab

（a+b）n—an-bn?22n—2n+l.

1988年全國高中數(shù)學聯(lián)賽二試題

一.已知數(shù)列{an},其中al=l,a2=2,

?5an+l—3an（an,an+l為偶數(shù)）,an+2=?an+1為奇數(shù)）.?an+l—an（an,

試證：對一切n￡N*,anWO.

S?PQR2二.如圖，在aABC中，P、Q、R將其周長三等分，且P、Q

在AB>.S?ABC9

A

H

Q

BRC

三.在坐標平面上，是否存在一個含有無窮多直線11,12,??,In,?

的直線族，它滿足條件：⑴點（1,l）6ln,（n=l,2,3,??）；

⑵kn+l=an—bn,其中kn+1是ln+1的斜率,an和bn分別是In在x

軸和y軸上的截距，(n=l,2,3,??)；(3)knkn+l?O,(n=l,2,3,??).

并證明你的結論.

1988年全國高中數(shù)學聯(lián)賽解答

一試題

一.選擇題(本大題共5小題，每小題有一個正確答案，選對得7分,

選錯、不選或多選均得0分)：

1.設有三個函數(shù)，第一個是y=6(x),它的反函數(shù)是第二個函數(shù)，而

第三個函數(shù)的圖象與第二個函數(shù)的圖象關于x+y=O對稱，那么，第三個函

數(shù)是()

-----A.y=—<t>(x)B.y=-6(—x)C.y=-4)l(x)

D.y=-61(—x)

---解：第二個函數(shù)是y=61(x).第三個函數(shù)是一x=61(-y),即y=

—4)(—x).選B.

2.已知原點在橢圓k2x2+y2-4kx+2ky+k2—l=0的內(nèi)部，那么參數(shù)k

的取值范圍是()

A.|k|>lB.|k|WlC.-l<k<l

D.0<|k|<l

解：因是橢圓，故kWO,以(0,0)代入方程，得k2-l<0,選D.

3.平面上有三個點集M,N,P：

M={(x,y)||x|+|y|<l),

N={(x,y)|(x-2+(y+)2+22(x2+(y-2<22}?22

P={(x,y)||x+y|<l,|x|<l,|y|<l).則

A.M??P??NB.M??N??PC.P??N??MD.A、

B、C都不成立

解：M表示以(1,0),(0.1),(-1,0),(0,一1)為頂點的正方形內(nèi)

部的點的集合(不包括邊界)；N表

1111示焦點為()，(一)，長軸為22的橢圓內(nèi)部的點的集合，P表示由

x+y=±1,x=±l,y=±l圍成2222

的六邊形內(nèi)部的點的集合.故選A.

4.已知三個平面a、8、Y，每兩個之間的夾角都是0,且aAB

=a,0Ay=b,YAa=c.若有

n命題甲：9>3

命題乙：a、b、c相交于一點.

則

A.甲是乙的充分條件但不必要B.甲是乙的必要條件但

不充分

C.甲是乙的充分必要條件D.A、B、C都不對

nJI解：a,b,c或平行，或交于一點.但當a〃b〃c時，0=.當它

們交于一點時，6<n.選C.33

5.在坐標平面上，縱橫坐標都是整數(shù)的點叫做整點，我們用I表示所

有直線的集合，M表示恰好通過1個整點的集合，N表示不通過任何整點

的直線的集合，P表示通過無窮多個整點的直線的集合.那么表達式⑴M

UNUP=|；(2)NW?.(3)MW?.(4)PW?中，正確的表達式的個數(shù)

是

A.1B.2C.3D.4

解：均正確，選D.

二.填空題(本大題共4小題，每小題10分)：

b4—b31.設x#y,且兩數(shù)列x,al,a2,a3,y和bl,x,b2,b3,y,

b4均為等差數(shù)列，那么=a2—al

b4—b3812解：a2—al=y—x),b4—b3=(y—x),?.43a2—al3

2.x+2)2n+l的展開式中，x的整數(shù)次第的各項系數(shù)之和為.

解:(x+2)2n+l-(X—

2)2n+l=2(C2n+12xn+C2n+123xnl+C2n+125xn2+?+C2n+122n+l).——

1352n+l

1令x=l,得所求系數(shù)和=(32n+l+l).2

DE3.在^ABC中，已知NA=a,CD、BE分別是AB、AC上的高，則=

BC

DEAD解：AAED^AABC,==|cosa|.BCAC

4.甲乙兩隊各出7名隊員，按事先排好順序出場參加圍棋擂臺賽，

雙方先由1號隊員比賽，負者被淘汰，勝者再與負方2號隊員比賽，？?直

至一方隊員全部淘汰為止，另一方獲得勝利，形成一種比賽過程.那么所

有可能出現(xiàn)的比賽過程的種數(shù)為

解畫1行14個格子，每個格子依次代表一場比賽，如果某場比賽某

人輸了，就在相應的格子中寫上他的順序號(兩方的人各用一種顏色寫以示

區(qū)別).如果某一方7人都已失敗則在后面的格子中依次填入另一方未出場

的隊員的順序號.于是每一種比賽結果都對應一種填表方法，每一種填表

方法對應一種比賽結果.這是一一對應關系.故所求方法數(shù)等于在14個

格子中任選7個寫入某一方的號碼的方法數(shù).

，共有C14種比賽方式.

三.（15分）2,寬為1的矩形，以它的一條對角線所在的直線為軸旋轉

一周，求得到的旋轉體的體積.

解：過軸所在對角線BD中點。作MN_LBD交邊AD、BC于M、N,

作

AE±BD于E,

則4ABD旋轉所得旋轉體為兩個有公共底面的圓錐，底面半徑AE=

=6n623V=）2=冗.同樣，3339

2ABCD旋轉所得旋轉體的體積=.9

其重疊部分也是兩個圓錐，由△DOMs^DAB,D0=

1633,其體積=n（2.3428

23323A所求體積=一n=3Ji.9872

四.（15分）復平面上動點Z1的軌跡方程為|Z1-ZO|=|Z11,Z0為定點，

ZOWO,另一個動點Z滿足ziz=-i,求點Z的軌跡，指出它在復平面上的

形狀和位置.

1111111解：zi=-,故得I——Z0|=|,BP|ZZO+1|=1.|Z+=||.即以一

|I為半徑的圓.ZZZZOZOZOZO

11五.（15分）已知a、b為正實數(shù)，且1.試證：對每一個n￡N*,ab

（a+b）n—an-bn?22n—2n+l.

證明：由已知得a+b=ab.又a+b?2ab,ab?2ab,故a+b=ab?4.于

是(a+b)k=(ab)k?22k.又ak+bk?2ab=2(a+b)?2k+l.下面用數(shù)學歸納法證明：

1°當n=l時，左=右=0.左?右成立.

2°設當n=k(k?l,kWN)時結論成立，即(a+b)k-ak—bk?22k—2k+l

成立.

---貝ij(a+b)k+l——ak+l—bk+l=(a+b)(a+b)k——(ak+bk)(a+b)+ab(akl+bkl)

------=(a+b)[(a+b)k—ak—bk]+ab(akl+bkl)?4?(22k—2k+l)+4?2k=22(k+l)

-4?2k+l+4?2k=22(k+l)-2(k+l)+l.即命題

對于n=k+l也成立.

故對于一切n0N*,命題成立.

二試題

—.已知數(shù)列{an},其中al=l,a2=2,3D0?AB60M=2DA423AOC7B

?5an+l—3an(an,an+l為偶數(shù))，an+2=?an+1為奇數(shù)).?an+l—an(an,

試證：對一切n￡N*,anWO.(1988年全國高中競賽試題)

分析：改證an?0(mod4)或an?0(mod3).

證明：由al=l,a2=2,得a3=7,a4=29,??

al三1,32=2,a3三3(mod4).

設a3k—2三1,a3k—1三2,a3k三3(mod4).

則a3k+l三533—332=9三l(mod4)；a3k+2三1-3=-2三2(mod4)；

a3k+3三532—331=7三3(mod4).根據(jù)歸納原理知，對于一切nWN,a3n

—2=1,a3n—1三2,a3n三3(mod4)恒成立，故an?0(mod4)成立，從而an

WO.

又證：al三1,a2=2(mod3).

設a2k—l三1,a2k三2(mod3)成立，則

當a2k-l?a2k為偶數(shù)時a2k+l三532—331三l(mod3),當a2k-l?a2k

為奇數(shù)時a2k+l三2—1三l(mod3),總之a(chǎn)2k+l三l(mod3).

當a2k?a2k+l為偶數(shù)時a2k+2=531-332=2(mod3),當a2k?a2k+l為

奇數(shù)時a2k+2三1—2三2(mod3),總之，a2k+2=2(mod3).于是an?0(mod

3).故anWO.

S?PQR2二.如圖，在aABC中，P、Q、R將其周長三等分，且P、Q

在AB>.S?ABC9

A

H

Q

BRC1證明：作^ABC及△PQR的高CN、RH.設aABC的周長為1.則

PQ=.3則SPQ?RHPQARlPQ2=AB<,

CNABAC2AB3S?ABCAB?llllllARlS2AP?AB-PQ<-,Z.AR=AP>,

AC<,故236362AC3S?ABC9三.在坐標平面上，是否存在一個含有無窮

多直線II,12,??,In,?的直線

族，它滿足條件：

⑴點(1,l)e|n,(n=l,2,3,??)；

⑵kn+l=an—bn,其中kn+1是ln+1的斜率，an和bn分別是In在x

軸和y軸上的截距,(n=l,2,3,??)；(3)knkn+l?O,(n=l,2,3,??).

并證明你的結論.

證明：設an=bn#0,即kn—1=-1,或an=bn=O>即kn=l,就有kn+l=O>

此時an+1不存在，故knW±1.

11現(xiàn)設knWO,1,則y=kn(x—1)+1,得bn=l—kn>an=l-kn+l=kn

—knkn+l=kn2-1.knkn

kn>l或kn<-1.從而kl>l或kl<-1.

11(1)當kl>l時,由于O<,故kl>k2=kl—，若k2>l,則又

有kl>k2>k3>0,依此類推，知當km>lklkl

111時，有kl>k2>k3>??>km>km+l>0,且

0<<?<<l,klk2km

11112mkm+l=km—km—=km—1—km—1—?<kl—.kmklklklkm

-lkl

mm由于kl一隨m的增大而線性減小，故必存在一個m值，m=mO,

使kl—?1,從而必存在一個m值klkl

m=ml?mO,使kml—1?1,而l>kml=kml—1一

即此時不存在這樣的直線族.

11(2)當kl<-l時，同樣有一1&七,得kl<k2=kl-<0,若k2<

-1,又有kl<k2<k3<0,依此類推，知當klkl>O,此時

kml,kml+l<0.kml—11

lllkm<—1時,有kl<k2<k3<??<km<km+l<0,且

0>>?>>-1,klk2km

11112mkm+l=km—km—=km—1—km—1—?>kl—.kmklklklkm

-lkl

mm由于kl一隨m的增大而線性增大，故必存在一個m值，m=mO,

使kl—1,從而必存在一個mkmkl

值，m=ml（ml?mO）,使kml—1?—1,而一l<kml=kml—

即此時不存在這樣的直線族.

綜上可知這樣的直線族不存在.

,此時kml,kml+l<O.kml—11

廈門市參加2010年福建省高中數(shù)學競賽

暨2010年全國高中數(shù)學聯(lián)賽福建賽區(qū)競賽的通知

貴校教務處轉數(shù)學教研組：

根據(jù)閩科協(xié)發(fā)[2010]39號文件《關于舉辦2010年全國高中數(shù)學聯(lián)

賽福建賽區(qū)競賽的通知》，以及省數(shù)學會《關于2010年福建省高中數(shù)學競

賽暨2010年全國高中數(shù)學聯(lián)賽福建賽區(qū)競賽的通知》，根據(jù)我市情況，有

關競賽工作通知如下：

一、賽制、競賽時間和命題范圍

競賽分預賽和復賽兩個階段。

1.預賽：

（1）時間：2010年9月11日（星期六）9：00——11：30,在本市

考點進行。

（2）試題來源：預賽試題由福建省數(shù)學學會組織命題，同時也作為

《2010年福建省高中數(shù)學競賽》的試題，試題類型以全國聯(lián)賽類型為主，

適當補充少量全國聯(lián)賽加試部分的內(nèi)容。

（3）試卷結構：填空題10題，每題6分，滿分60分；解答題5題，

每題20分，滿分100分。全卷滿分160分?？荚嚂r間150分鐘。

2.復賽

（1）時間與地點：2010年10月17日（星期日）8：00------12：10,

集中在福州一中舊校區(qū)進行考試。其中聯(lián)賽時間為8：00-9：20,加試時

間為9：40—12：10o

（2）試題來源與命題要求：復賽試題是由中國數(shù)學會統(tǒng)一命題的全

國聯(lián)賽試題和加試試題。命題范圍以現(xiàn)行高中數(shù)學教學大綱為準，加試試

題的命題范圍以數(shù)學競賽大綱為準。

根據(jù)現(xiàn)行“高中數(shù)學競賽大綱”的要求，全國高中數(shù)學聯(lián)賽（一試）

所涉及的知識范圍不超過教育部2000年《全日制普通高級中學數(shù)學教學

大綱》中所規(guī)定的教學要求和內(nèi)容，但方法的要求上有所提高。主要考查

學生對基礎知識和基本技能的掌握情況，以及綜合、靈活運用知識的能力。

全國高中數(shù)學聯(lián)賽加試（二試）與中國數(shù)學奧林匹克（冬令營）、國

際數(shù)學奧林匹克接軌，在知識方面有所擴展，適當增加一些教學大綱之外

的內(nèi)容。

（3）試卷結構：

全國高中數(shù)學聯(lián)賽（一試）試卷結構為：填空題8題，每題8分，滿

分64分；解答題3題，分別為16分、20分、20分，滿分56分。全卷滿

分120分?？荚嚂r間80分鐘；

全國高中數(shù)學聯(lián)賽加試（二試）試卷結構為：4道解答題，涉及平面

幾何、代數(shù)、數(shù)論、組合四個方面。每題50分。滿分200分?？荚嚂r間

150分鐘。

二、參賽對象

本學年度的在校高中學生均可報名，自愿參加，不影響學校的正常教

學秩序。

三、報名、報名費和準考證

采用網(wǎng)上報名。在各校教務處的指導下，由高二年數(shù)學備課組長具體

負責，組織學生報名參加競賽。報名表請參照樣表、統(tǒng)一用Excel文檔并

按要求認真填寫，根據(jù)省數(shù)學會要求，報名時需將所有參加考試的考生的

花名冊上交，為最后評獎、頒發(fā)獲獎學生證書以及制作指導教師證書的依

據(jù)，務必請各校認真填寫報名表，指導教師以報名表上登記的為準（每名

學生只能上報1名指導教師），賽后不得更改。報名費（按省數(shù)學會通知）

統(tǒng)一收取每生18元。

各參賽學校請將報名表的電子文本用E.mail發(fā)送至電子油箱

xmczm@126.com；報名費請直接匯入建設銀行活期存折，存折戶名：陳智

猛，ATM卡號：4367421930036257416c報名截止時間是6月25日，逾期

不予受理。

請保留匯款的憑單備查，將本校報名人數(shù)以及匯款的金額數(shù)用手機短

信形式發(fā)送短信聯(lián)系進行報名的確認。9月初召開考務

會同時領取準考證，準考證請各校自行填寫，由備課組長保管，考前30

分鐘再發(fā)給考生。

四、考號安排

學校廈門一中雙十中學廈門六中外國語學校科技中學

廈門二中湖濱中學

集美中學英才學校灌口中學樂安中學

同安一中啟悟中學第二外國語學校翔安一中新店中學內(nèi)厝

中學詩扳中學

考號安排

10001—1060010601—1120011201—1180011801—12400

12401—1300013001—1320013201—1340020001—20400

20401—2060020601—2800020801—2100030001—30600

30601—3080030801—3100040001—4040040401—40600

40601—4080040801—41000

學?？继柊才潘砂刂袑W13401—13600廈門三中13601

---13800華僑中學13801----14000禾山中學14001----14200大

同中學14201---14400康橋中學14401----14600

廈門十中21001--21400杏南中學21401----21600海滄中學

21601---21800海滄實驗中學21801—22000

東山中學31001--31200五顯中學31201----31400國祺中學

31401---31600

五、考務：

有關考場的設置、監(jiān)考等考務工作另行安排布置。

六、獎項：

按參賽人數(shù)的5%從高分到低分確定復賽入圍者；預賽成績?yōu)楸緟^(qū)第

一名經(jīng)省數(shù)學會審核無誤后也可以直接參加復賽。

另外，符合下列條件之一者可直接進入復賽：

(1)2008年、2009年全國高中數(shù)學聯(lián)賽(福建賽區(qū))一、二等獎獲

得者；（2）2010年東南地區(qū)數(shù)學奧林匹克競賽一、二等獎獲得者；（3）

2010年福建省高一數(shù)學競賽（省）前十五名獲得者；（4）2010年中國

女子數(shù)學奧林匹克競賽一、二等獎獲得者。

復賽試卷經(jīng)省數(shù)學會評定后，評出（省級）全國一、二、三等獎的獲

獎名單報省科協(xié)、省教育廳審定，獲得（省級）全國一、二、三等獎的選

手及指導教師由省科協(xié)和省教育廳聯(lián)合頒發(fā)獲獎證書。注意：一等獎、二

等獎和三等獎均按聯(lián)賽與加試的總分評定。

省數(shù)學會評出《2009年福建省高中數(shù)學競賽》一、二、三等獎后，我

市在省獎之外再評出市一等獎、二等獎、三等獎，以及表揚獎若干名。為

了鼓勵各校參加高中數(shù)學聯(lián)賽的積極性，研究決定：按報名人數(shù)給學校不

低于10%的市級（以上）獲獎名額，鼓勵學生。

廈門市教育科學研究院基礎教育研究室廈門市教育學會數(shù)學教學

專業(yè)委員會

2010年5月13日

（注：報名表的指導教師欄請認真填寫，賽后不得更改）

1992年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試卷

第一試

一.選擇題（每小題5分，共30分）

1.對于每個自然數(shù)n,拋物線y?（n+n）x?（2n+l）x+l與x軸交于An,

Bn兩點,以|AnBn|表示該兩點的距離,則

2

2

十隊282|+?+從199281992|的值是()

-9-

(A)(B)(C)(D)

2.已知如圖的曲線是以原點為圓心，1為半徑的圓的一部分，則這一

曲線的方程是()

(A)(x+(C)(x+

?y2?y2

)(y+)(y?

2

?x2)=0(B)(x??y2

?x2)=0(D)(x??y

)(V?

?x2)=0?x2)=0

(?Si)

i?14

)(y+

3.設四面體四個面的面積分別為SI,S2,S3,S4,它們的最大值為S,

記?=

(A)2<??4(B)3<?<4(C)2.5<??4.5(D)3.5<?<5.5

/S,則?一定滿足()

，都是方程logx=log(4x?4)的根,4.在ZiABC中,角A,B,C的對邊分

別記為a,b,c(b?l),且則^ABa)

b

(A)是等腰三角形，但不是直角三角形(B)是直角三角形，但不是等

腰三角形(C)是等腰直角三角形(D)不是等腰三角形，也不是

直角三角形

5.設復數(shù)zl,z2在復平面上對應的點分別為人出且世|=4,421?22或2

+z2=0,0為坐標原點，則AOAB的面積為()

(A)8

2

2

(B)4(C)6(D)12

6.設f(x)是定義在實數(shù)集R上的函數(shù)，且滿足下列關系f(10+x)?f(10?x),

f(20?x)??f(20+x),則f(x)是

(A)偶函數(shù)，又是周期函數(shù)(B)偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)(C)奇

函數(shù)，又是周期函數(shù)(D)奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)

二.填空題(每小題5分共30分)

,,?成等差數(shù)列，則1.設x,y,z是實數(shù)，3x,4y,5z成等比數(shù)列，且

2.在區(qū)間［0,?］中，三角方程cos7x?cos5x的解的個數(shù)是.

的值是.

3.從正方體的棱和各個面上的對角線中選出k條，使得其中任意兩條

線段所在的直線都是異面直線，則k的最大值是

z2

4.設z,z都是復數(shù),且|z|=3,|z|=5|z+z|=7,則arg(l

1

2

1

2

1

2

)的值是.

3

5.設數(shù)列al,a2,?,an,?滿足al?a2?l,a3?2,且對任何自然數(shù)n,

都有anan+lan+2?l,又anan+lan+2an+3?an+an+l

+an+2+an+3,則al+a2+?+al00的值是__.

6.函數(shù)f(x)=

x4?3x2?6x?13?x4?x2?l的最大值是.

80

16???17

k?l三、(20分)求證:.

-10-

四、(20分)設I,m是兩條異面直線，在I上有A,B,C三點，且AB=BC,

過A,B,C分別作m的垂線AD,BE,CF,垂足依次是D,E,F,已知AD=,

BE=CF=,求I與m的距離.

n?l?n?l?lx?x五、(20分)設n是自然數(shù)，fn(x)?(x?0,?1),令y=x+1.

求證:fn+l(x)=yfn(x)?fn—l(x),(n>l)

2.用數(shù)學歸納法證明：.

fn(x)=?y?Cy???(?l)Cy???(?l),(i?l,2,?〃n為偶數(shù))?n?ln?l?nln?2iin?2i,n為

奇數(shù))22??l,(i?l,2,?,?y?Cn?ly???(?l)Cn?iy???(?l)Cn

nln?2n?liin?in?2in

1993年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽試卷

第一試

一.選擇題(每小題5分，共30分)

1.若1\/1={僅,y)||tg?y|+sin?x?0},N={(x,y)|x+y?2},則M?N的元

素個數(shù)是()222

(A)4(B)5(C)8(D)9

2.已知f(x)=asinx+b+4(a,b為實數(shù))，且f(Iglog310)?5,則f(lglg3)

的值是()

(A)?5⑻?3(C)3(D)隨a,b取不

同值而取不同值

3.集合A,B的并集A?B={al,a2,a3},當A?B時，(A,B)與(B,

A)視為不同的對，則這樣的(A,B)對的個數(shù)是()

(A)8(B)9(C)26(D)27

4.若直線x=4被曲線C：(x—arcsina)(x—arccosa)+(y-arcsina)(y+

arccosa)=0所截的弦長為d,當a變化時

d的最小值是()(A)(B)(C)(D)?

sin?cos的值5.在aABC中，角A,B,C的對邊長分別為a,b,c,

若c?a等于AC邊上的高h,則

是()

(A)l(B)2(C)3(D)?l

-11-

(A)(B)(C)(D)

6.設m,n為非零復數(shù)，i為虛數(shù)單位，z?C,則方程|2+川|+|2一

mi|=n與|z+ni|—|z-mi|=-m在同一復平

面內(nèi)的圖形(Fl,F2為焦點)是()

二.填空題(每小題5分，共30分)

1.二次方程(l—i)x+(?+i)x+(l+i?)=0(i為虛數(shù)單位，？?R)有兩個虛

根的充分必要條件是?的取值范圍為

________.2

??min_.2.實數(shù)x,y滿足4x—5xy+4y=5,設S=x

+y,則max22223.若z?C,arg(z?4)=2,arg(z+4)=,則z的值是_

_______.2

?93??31?4.整數(shù)?10?3?的末兩位數(shù)是.

Iogx01993?logxll993?logx21993k?logx01993

5.設任意實數(shù)x0>xl>x2>x3>0,要使

最大值是

6.三位數(shù)(100,101,?,999)共900個，在卡片上打印這些三位數(shù)，

每張卡片上打印一個三位數(shù)，有的卡片所印的，

倒過來看仍為三位數(shù)，如198倒過來看是861；有的卡片則不然，如

531倒過來看是，因此，有些卡片可以一卡二用，于是至多可以少打印

張卡片.

三.(本題滿分20分)

三棱錐S-ABC中，側棱SA、SB、SC兩兩互相垂直，M為三角形ABC

的重心，D為AB的中點，作與SC平行的直線DP.證明：(1)DP與SM相

交；(2)設DP與SM的交點為D?,則D?為三棱錐S-ABC的外接球球心.

四.(本題滿分20分)

設0<aVb,過兩定點A(a,0)和B(b,0)分別引直線I和m,使與拋物

線y=x有四個不同的交點，當這四點共圓時，求這種直線I與m的交點P

的軌跡.212373恒成立，則k的

-12-

五.(本題滿分20分)

設正數(shù)列a0,al,a2,?,an,?滿足nn?2?n?ln?2?2an?l(n?2)且a=a

=1.求｛an｝的通項公式.01

1994年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題

第一試

一.選擇題(每小題6分，共36分)

1.設a,b,c是實數(shù)，那么對任何實數(shù)x,不等式asinx?bcosx?c?0

都成立的充要條件是

(A)a,b同時為0,且c>O(B)a2?b2?c(C)a2?b2?c

(D)a2?b2?c

2.給出下列兩個命題:

⑴設a,b,c都是復數(shù),如果a2設2?c2,則a2?b2?c2?0；

?b2?c2?0,則a2?b2?c2.⑵設a,b,c都是復數(shù)，如果a

那么下述說法正確的是2

(A)命題⑴正確，命題⑵也正確(B)命題⑴正確，命題⑵錯誤

(C)命題(1)錯誤，命題⑵也錯誤(D)命題⑴錯誤，命題⑵正確

3.已知數(shù)列｛an｝滿足3an?l?an?4(n?l),a?9,S則滿足不等式且1其

前n項之和為n,|Sn?n?6|?l

125

的最小整數(shù)n是

(A)5(B)6(C)7(D)8

O?b?l,O?a?

4.已知

小關系是?4,則卜列三數(shù)：x?(sina)logbsina,y?(cosa)logbcosa,

z?(sina)logbcosa的大

(A)x<z<y(B)y<z<x(C)z<x<y(D)x<y<z

5.在正n棱錐中，相鄰兩側面所成的二面角的取值范圍是(

(A)n?2n?l?n?2n?l?,?)(???)(0,)(?,?)nn2(D)nn(B)(C)

-13-

|x?y||x?y|??12b6.在平面直角坐標系中，方程2a(a,b是不相等的兩

個正數(shù))所代表的曲線是

(A)三角形(B)正方形

(C)非正方形的長方形(D)非正方形的菱形

二、填空題(每小題9分，共54分)

1.已知有向線段PQ的起點P和終點Q的坐標分別為(?1,1)和(2,2),

若直線I：x+my+m=O與PQ的延長線相交，則m的取值范圍是_

則

?x3?sinx?2a?0x/y?[?,],a?R?34y?sinycosy?a?0,

cos(x?2y)=.442.已知且??？

55A?{(x,y)|(x?3)2?(y?4)2?()2}B?{(x,y)|(x?4)2?(y?5)2?()2}223.已知點集，，

則點集A?B

中的整點(即橫、縱坐標均為整數(shù)的點)的個數(shù)為.

sin(l?cos?)0????24.設，則的最大值是.

5.已知一平面與一正方體的12條棱的夾角都等于?，則sin?=—?

6.已知95個數(shù)al,a2,a3,?,a95,每個都只能取+1或?1兩個值之一，

那么它們的兩兩之積的和

ala2?ala3???a94a95的最小值是_

1995年全國高中數(shù)學聯(lián)賽

第一試

一.選擇題(每小題6分，共36分)

1.設等差數(shù)列{an}滿足3a8?5al3且al?O,Sn為其前項之和，則Sn中

最大的是()

(A)S10(B)S11(C)S20(D)S21

-14-

2.設復平面上單位圓內(nèi)接正20邊形的20個頂點所對應的復數(shù)依次為

Z1,Z2,?,Z2O,則復數(shù)Z1

對應的不同的點的個數(shù)是()

(A)4(B)5(C)10(D)20

3.如果甲的身高數(shù)或體重數(shù)至少有一項比乙大，則稱甲不亞于乙，在

100個小伙子中，如果某人不亞于其他99人，就稱

他為棒小伙子，那么，100個小伙子中的棒小伙子最多可能有()

(A)l個(B)2個(C)50個(D)100個1995,

Z21995,?,Z201995所

4.已知方程|x?2n|?k(n?N)在區(qū)間(2n-l,2n+l］上有兩個不相等的實根,

則k的取值范圍是()

(A)k?O(B)O?k?ll?k?2n?l(C)12n?l(D)以

上都不是

5.logsinlcosljogsinltgljogcoslsinljogcosltgl的大小關系是()

logsinlcosl?logcoslsinl?logsinltgl?logcosltgl

logcoslsinl?logcosltgl?logsinlcosl?logsinltgl

logsinltgl?logcosltgl?logcoslsinl?logsinlcosl

logcosltgl?logsinltgl?logsinlcosl?logcoslsinl(A)(B)(C)(D)

6.設。是正三棱錐P-ABC底面三角形ABC的中心，過。的動平面與

PC交于S,與PA,PB的延長線分別交于Q,R,則和式111??PQPRPS

(A)有最大值而無最小值(B有最小值而無最大值

(C)既有最大值又有最小值，兩者不等(D)是一個與面QPS無關的常

數(shù)

二、填空題（每小題9分，共54分）

1.設?,?為一對共軌復數(shù),若|???|?23,且??2

為實數(shù)，則|?|?.

2.一個球的內(nèi)接圓錐的最大體積與這個球的體積之比為.

-15-

3.用岡表示不大于實數(shù)x的最大整數(shù)，方程lg2x?[lgx]?2?0的實根個

數(shù)是.

?y?3x?xy??3?x?y?1004.直角坐標平面上，滿足不等式組?的整點個數(shù)

是?

5.將一個四棱錐的每個頂點染上一種顏色，并使同一條棱的兩端點異

色，如果只有5種顏色可使用，那么不同的染色方

法的總數(shù)是.

6.設M={1,2,3,?,1995},A是M的子集且滿足條件:當x?A時，

15x?A,則A中元素的個數(shù)最多是.一九九六年全國高中數(shù)學聯(lián)合

競賽

一、選擇題（本題滿分36分，每小題6分）

22221.把圓x+（y-1）=1與橢圓9x+（y+1）=9的公共點，用線段連

接起來的圖形是.

（A）線段（B）不等邊三角形（C）等邊三角形（D）四

邊形

2.等比數(shù)列{an}的首項al=1536,公比是q=.用Tn表示它的前n

項之積，則Tn（n?N）最大的是

(A)T9(B)T11(C)T12(D)

T13

3.存在在整數(shù)n,使是整數(shù)的質數(shù)p

(A)不存在(B)只有一個(C)多于一個，但為有限個

(D)有無窮多個?12p?n?n

1

4設x?(-2,0),以下三個數(shù)：?l=cos(sinx?),?2=sin(cosx?),?3=cos(x+l)?

的大小關系是.

(A)?3<72<?1(B)?1<?3<?2(C)?3<71<?2

(D)?2<73<?1

225.如果在區(qū)間［1,2］上，函數(shù)f(x)=x+px+q與g(x)=x+()在同一點取

相同的最小值，

那么f(x)在該區(qū)間上的最大值是.4?(A)(B)(D)以上答案

都不對

6.高為8的圓臺內(nèi)有一個半徑為2的球。1,球心01在圓臺的軸上.球

01與圓臺上底面、側面都相切.圓臺內(nèi)可再放入一個半徑為3的球02,使

得球02與球01、圓臺的下底面及側面都只有一個公共點，除球02,圓臺

內(nèi)最多還能放入半徑為3的球的個數(shù)是.

(A)l(B)2(C)3

(D)4

二、填空題(本題滿分54分,每小題9分)

1.集合｛x|-l?log()10<-,x?N｝的真子集的個數(shù)是

2.復平面上非零復數(shù)zl、z2在以i為圓心1為半徑的圓上，zlzl的實

部為零，zl的輻角主值為

3.曲線C的極坐標方程是？=1+cos?,點A的極坐標是（2,0）.曲線C

在它所在的平面內(nèi)

繞A旋轉一周，則它掃過的圖形的面積是.

4.已知將給定的兩個全等的三棱錐的底面粘在一起，恰得到一個所有

二面角都相等的六

面體，并且該六面體的最短棱的長為2,則最遠的兩個基本點頂點的

距離是.

5.從給定的六種不同顏色中選用若干種顏色.將一個正方體的六個面

染色，每面恰染一種

顏色，每兩個具有公共棱的面染成不同顏色.則不同的染色方案共有

______________種.

（注:如果我們對兩個相同的正方體染色后,可以通過適當?shù)姆D，使得

兩個正方體的上、下、左、右、前、后六個對應面的染色都相同，那么，我

們就說這兩個正方體的染色方案相同）.

6.在直角坐標平面上，以（199,0）為圓心，以199為半徑的圓周上，

整點（即橫、縱坐標皆為整數(shù)的點）的個數(shù)為

-16-11?444?512?1?2?22(C)1?6,貝!Jz2=

1997年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽試卷

(10月5日上午8:00?10:00)

一、選擇題(每小題6分，共36分)

1.已知數(shù)列｛xn｝滿足xn?l?xn?xn?l(n?2),x?a,x?b,記S?x+x+?

+x,則下列結論正確的是12nl2n

(A)xl00=-a,S100=2b-a(B)xl00=-b,S100?2b-a

(C)xl00=-b,S100=b-a(D)xl00=-a,S100=b-?a

2.如圖，正四面體ABCD中，E在棱AB上，F(xiàn)在棱CD上，使得

B

(C)

(D)

???(0?????),記f(?)??????其中??表示EF與AC所成的角，？?表示EF

與BD所成的角，則f(?)在(0,??)單調增加f⑦在(0,??)單調減少(A)(B)f(?)

在(0,1)單調增加，而在(1,+?)單調減少f⑺在(0,+?)為常數(shù)

23.設等差數(shù)列的首項及公差均為非負整數(shù)，項數(shù)不少于3,且各項的

和為97,則這樣的數(shù)列共有

(A)2個(B)3個(C)4個(D)5個

4.在平面直角坐標系中，若方程m(x

(A)(0,1)⑻(1,+

22?y2?2y?l)?(x?2y?3)2表示的曲線為橢圓，則m的取值范圍為?)

(C)(0,5)(D)(5,+?)

5.設

(A)

(C)

??,??arccos(),??arcctg)?(?f(x)?x??x,??arcsin,,則f(?)?f(?)?f(?)?f(?)

(B)f(?)?f(?)?f(?)?f(?)f(?)?f(?)?f(?)?f(?)(D)f(?)?f(?)?f(?)?f(?)

6.如果空間三條直線a,b,c兩兩成異面直線，那么與a,b,c都相

交的直線有

(A)0條(B)l條(C)多于1的有限條(D)無窮多條

-17-

二、填空題(每小題9分，共54分)

(x?l)??l?(x?l)3?1997?3(y?l)?1997(y?l)?l,則x+y?.?設x,y

為實數(shù)，且滿足

y2

x??12過雙曲線的右焦點作直線I交雙曲線于A、B兩點，若實數(shù)?使得

|AB|??的直線I恰有3條，則？=.2

|2z?|?lz已知復數(shù)z滿足，則z的幅角主值范圍是.

已知三棱錐S?ABC的底面是以AB為斜邊的等腰三角形，SA=SB=SC

=2,AB=2,設S、A、B、C四點均在以O為球心的某個球面上，則點O

到平面ABC的距離為

設ABCDEF為正六邊形，一只青蛙開始在頂點A處，它每次可隨意地

跳到相鄰兩頂點之一.若在5次之內(nèi)跳到D點，則停止跳動；若5次之內(nèi)

不能到達D點，則跳完5次也停止跳動，那么這只青蛙從開始到停止，可

能出現(xiàn)的不同跳法共種.設a?lgz+lg[x(yz)?+l],b?lgx?+lg(xyz

+1),c?lgy+lg[(xyz)?+l],記a,b,c中最大數(shù)為M,則M的最小值

為.Ill

一九九八年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽試卷

(10月11日上午8:00—10:00)

一、選擇題(本題滿分36分，每小題6分)

1.若且lg(a+b)=lga+lgb,則lg(a?l)+lg(b?l)的值

(A)等于Ig2(B)等于1。等于0(D)不是與a,b無關的常數(shù)

2.若非空集合A={x2a+l?x?3a?5},B={x|3?x?22},則能使A?A?B成立

的所有a的集合是()

(A){a|l?a?9}(B){a|6?a?9}(C){a|a?9}(D)?

3.各項均為實數(shù)的等比數(shù)列{an}前n項和記為Sn,若S10=10,S30=70,

則S40等于()

(A)150(B)?200(C)150或?200(D)400或?50|

abc??ab2c24.設命題P：關于x的不等式ax+bx+c>0與ax+bx+c>0

的解集相同；命題Q：222

111222c則命題Q

(A)是命題P的充分必要條件(B)是命題P的充分條件但不是必要條

件

(C)是命題P的必要條件但不是充分條件

(D)既不是命題P的充分條件也不是命題P的必要條件

5.設E,F,G分別是正四面體ABCD的棱AB,BC,CD的中點，則二面角

C?FG?E的大小是()(A)arcsin3?(B)2?arccos32

2B

D?(C)2(D)6.在正方體的8個頂點，12條棱的中點，6個面的

中心及正方體的中心共27個點中，共線的三點組的個數(shù)是()

(A)57⑻49(C)43(D)37?2??二、填空題(本題

滿分54分，每小題9分)

1.若是以2為周期的偶函數(shù)，當

的排列是.f(xXx?R)x?[O,l]時，f(x)?xll998,則

98101104f()f()f(19,17,15由小到大

2.設復數(shù)z=cos??isin?(0????180?),復數(shù)z,(l+i)z,2在復平面上對應的

三個點分別是P,Q,R,當P,Q,R不

共線時，以線段PQ,PR為兩邊的平行四邊形的第四個頂點為S,則點

S到原點距離的最大值是.

3.從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這10個數(shù)中取出3個數(shù)，使其和為不小于

10的偶數(shù)，不同的取法有種.

4.各項為實數(shù)的等差數(shù)列的公差為4,其首項的平方與其余各項之

和不超過100,這樣的數(shù)列至多有項

-18-

5.若橢圓x2?4(y?a)2?4與拋物線x2?2y有公共點，則實數(shù)a的取值

范圍是.

6.4ABC中，ZC=90°,NB=30°,AC=2,M是AB的中點，將△ACM

沿CM折

起，使A,B兩點間的距離為2

.2,此時三棱錐A?BCM的體積等于

CB三、(本題滿分20分)

已知復數(shù)z=l?sin?+icos?(2????),求z的共規(guī)復數(shù)z的輻

角主值。

四、(本題滿分20分)

設函數(shù)

f(x)?ax2?8x?3(a<0),對于給定的負數(shù)a,有一個最大的正數(shù)1(a),使

得在整個區(qū)間也1(a)］上,不等式|f(x)|?5都成立。

問：a為何值時1(a)最大？求出這個最大的1(a),證明你的結論。

五、(本題滿分20分)

22A(a,b)y?2px(ab?0,b?2pa),M是拋物線上的點，設直線AM,BM與拋

物線已知拋物線及定點,B(?a,0),

的另一交點分別為Ml,M2.

求證：當M點在拋物線上變動時(只要Ml,M2存在且M1WM2),直

線M1M2恒過一個定點，并求出這個定點的坐標。

1999年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽

一.選擇題(滿分36分，每小題6分)

1.給定公比為q(qWl)的等比數(shù)列{an},設bl=al+a2+a3,b2=

a4+a5+a6,?,bn=a3n?2+a3n?l+a3n,?,則數(shù)列{bn}()

(A)是等差數(shù)列(B)是公比為q的等比數(shù)列

(C)是公比為q的等比數(shù)列(D)既非等差數(shù)列也非等比數(shù)列

2.平面直角坐標系中，縱、橫坐標都是