專題05 生活中的軸對稱（考點壓軸壓軸必刷7題型37題）（解析版）-2023-2024學年7下數(shù)學期末考點大串講（北師大版）

專題05生活中的軸對稱（壓軸必刷7題型37題）一．角平分線的性質(zhì)（共6小題）1．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°．AB＝5，AC＝13，BC＝12，∠BAC與∠ACB的角平分線相交于點D，點M、N分別在邊AB、BC上，且∠MDN＝45°，連接MN，則△BMN的周長為4．【答案】4．【解答】解：過D點作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，DH⊥AC于H，如圖，∵DA平分∠BAC，∴DE＝DH，同理可得DF＝DH，∴DE＝DF，∵∠DEB＝∠B＝∠DFB＝90°，∴四邊形BEDF為正方形，∴BE＝BF＝DE＝DF，在Rt△ADE和Rt△ADH中，∴Rt△ADE≌Rt△ADH（HL），∴AE＝AH，同理可得Rt△CDF≌Rt△CDH（HL），∴CF＝CH，設正方形BEDF的邊長為x，則AE＝AH＝5﹣x，CF＝CH＝12﹣x，∵AH+CH＝AC，∴5﹣x+12﹣x＝13，解得x＝2，即BE＝2，在FC上截取FP＝EM，如圖，∵DE＝DF，∠DEM＝∠DFP，EM＝FP，∴△DEM≌△DFP（SAS），∴DM＝DP，∠EDM＝∠FDP，∴∠MDP＝∠EDF＝90°，∵∠MDN＝45°，∴∠PDN＝45°，在△DMN和△DPN中，，∴△DMN≌△DPN（SAS），∴MN＝NP＝NF+FP＝NF+EM，∴△BMN的周長＝MN+BM+BN＝EM+BM+BN+NF＝BE+BF＝2+2＝4．故答案為4．2．如圖，三角形ABC中，BD平分∠ABC，AD垂直于BD，三角形BCD的面積為45，三角形ADC的面積為20，則三角形ABD的面積等于25．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：延長AD交BC于E，如圖所示：∵BD平分∠ABC，AD垂直于BD，∴∠ABD＝∠EBD，∠ADB＝∠EDB＝90°，在△ABD和△EBD中，，∴△ABD≌△EBD（ASA），∴AD＝ED，∴△ABD的面積＝△EBD的面積，△CDE的面積＝△ACD的面積＝20，∴△ABD的面積＝△EBD的面積＝△BCD的面積﹣△CDE的面積＝45﹣20＝25．故答案為：25．3．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于點E，點F在AC上，且BD＝DF．（1）求證：CF＝EB；（2）請你判斷AE、AF與BE之間的數(shù)量關系，并說明理由．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】證明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，∴DC＝DE，在Rt△DCF和Rt△DEB中，，∴Rt△DCF≌Rt△DEB，∴CF＝EB；（2）AF+BE＝AE．∵Rt△DCF≌Rt△DEB，∴DC＝DE，∴Rt△DCA≌Rt△DEA（HL），∴AC＝AE，∴AF+FC＝AE，即AF+BE＝AE．4．四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠ADC+∠EBC＝180°求證：2AE＝AB+AD．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】證明：過C作CF⊥AD于F，∵AC平分∠BAD，∴∠FAC＝∠EAC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠DFC＝∠CEB＝90°，在△AFC和△AEC中，∴△AFC≌△AEC（AAS），∴AF＝AE，CF＝CE，∵∠ADC+∠EBC＝180°∴∠FDC＝∠EBC，在△FDC和△EBC中，∴△FDC≌△EBC（AAS）∴DF＝EB，∴AB+AD＝AE+EB+AD＝AE+DF+AD＝AF+AE＝2AE∴2AE＝AB+AD5．觀察、猜想、探究：在△ABC中，∠ACB＝2∠B．（1）如圖①，當∠C＝90°，AD為∠BAC的角平分線時，求證：AB＝AC+CD；（2）如圖②，當∠C≠90°，AD為∠BAC的角平分線時，線段AB、AC、CD又有怎樣的數(shù)量關系？不需要證明，請直接寫出你的猜想；（3）如圖③，當AD為△ABC的外角平分線時，線段AB、AC、CD又有怎樣的數(shù)量關系？請寫出你的猜想，并對你的猜想給予證明．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）過D作DE⊥AB，交AB于點E，如圖1所示，∵AD為∠BAC的平分線，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE＝DC，在Rt△ACD和Rt△AED中，AD＝AD，DE＝DC，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE，∠ACB＝∠AED，∵∠ACB＝2∠B，∴∠AED＝2∠B，又∵∠AED＝∠B+∠EDB，∴∠B＝∠EDB，∴BE＝DE＝DC，則AB＝BE+AE＝CD+AC；（2）AB＝CD+AC，理由為：在AB上截取AG＝AC，如圖2所示，∵AD為∠BAC的平分線，∴∠GAD＝∠CAD，∵在△ADG和△ADC中，，∴△ADG≌△ADC（SAS），∴CD＝DG，∠AGD＝∠ACB，∵∠ACB＝2∠B，∴∠AGD＝2∠B，又∵∠AGD＝∠B+∠GDB，∴∠B＝∠GDB，∴BE＝DG＝DC，則AB＝BG+AG＝CD+AC；（3）AB＝CD﹣AC，理由為：在AF上截取AG＝AC，如圖3所示，∵AD為∠FAC的平分線，∴∠GAD＝∠CAD，∵在△ADG和△ACD中，，∴△ADG≌△ACD（SAS），∴CD＝GD，∠AGD＝∠ACD，即∠ACB＝∠FGD，∵∠ACB＝2∠B，∴∠FGD＝2∠B，又∵∠FGD＝∠B+∠GDB，∴∠B＝∠GDB，∴BG＝DG＝DC，則AB＝BG﹣AG＝CD﹣AC．6．已知：如圖，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中點，且DM平分∠ADC．（1）求證：AM平分∠DAB．（2）試說明線段DM與AM有怎樣的位置關系？并證明你的結(jié)論．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）證明：過M作ME⊥AD于E，∵DM平分∠ADC，∠C＝90°，ME⊥AD，∴MC＝ME，∵M為BC的中點，∴BM＝MC＝ME，∵∠B＝90°，ME⊥AD，∴AM平分∠DAB；（2）AM⊥DM，證明：∵AB∥DC，∴∠BAD+∠ADC＝180°，∵AM平分∠DAB，DM平分∠ADC，∴∠MAD＝∠BAD，∠MDA＝∠ADC，∴∠MAD+∠MDA＝90°，∴∠AMD＝90°，∴AM⊥DM．二．線段垂直平分線的性質(zhì)（共2小題）7．如圖，已知：E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，連接CD，且交OE于點F．（1）求證：OE是CD的垂直平分線．（2）若∠AOB＝60°，請你探究OE，EF之間有什么數(shù)量關系？并證明你的結(jié)論．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OB，ED⊥OA，∴DE＝CE，OE＝OE，∴Rt△ODE≌Rt△OCE，∴OD＝OC，∴△DOC是等腰三角形，∵OE是∠AOB的平分線，∴OE是CD的垂直平分線；（2）∵OE是∠AOB的平分線，∠AOB＝60°，∴∠AOE＝∠BOE＝30°，∵EC⊥OB，ED⊥OA，∴OE＝2DE，∠ODF＝∠OED＝60°，∴∠EDF＝30°，∴DE＝2EF，∴OE＝4EF．8．如圖甲，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線交AB于N，交BC的延長線于M，∠A＝40°．（1）求∠NMB的大?。?）如圖乙，如果將（1）中∠A的度數(shù)改為70°，其余條件不變，再求∠NMB的大?。?）根據(jù)（1）（2）的計算，你能發(fā)現(xiàn)其中的蘊涵的規(guī)律嗎？請寫出你的猜想并證明．（4）如圖丙，將（1）中的∠A改為鈍角，其余條件不變，對這個問題規(guī)律的認識是否需要加以修改？請你把∠A代入一個鈍角度數(shù)驗證你的結(jié)論．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，∴∠B＝∠ACB＝＝70°，∵MN是AB的垂直平分線，∴∠NMB＝90°﹣∠B＝20°；（2）∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝70°，∴∠B＝∠ACB＝＝55°，∵MN是AB的垂直平分線，∴∠NMB＝90°﹣∠B＝35°；（3）猜想：∠NMB＝∠A．證明：∵在△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝＝90°﹣∠A，∵MN是AB的垂直平分線，∴∠NMB＝90°﹣∠B＝∠A；（4）不需要修改．若∠A＝100°，∵在△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝＝40°，∵MN是AB的垂直平分線，∴∠NMB＝90°﹣∠B＝50°＝∠A．三．等腰三角形的性質(zhì)（共10小題）9．如圖，在第1個△A1BC中，∠B＝40°，A1B＝CB；在邊A1B上任取一點D，延長CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2個△A1A2D；在邊A2D上任取一點E，延長A1A2到A3，使A2A3＝A2E．得到第3個△A2A3E…按此做法繼續(xù)下去，則第n+1個三角形中以An+1為頂點的底角度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：∵在△CBA1中，∠B＝40°，A1B＝CB，∴∠BA1C＝＝70°，∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，∴∠DA2A1＝∠BA1C＝×70°；同理可得∠EA3A2＝（）2×70°，∠FA4A3＝（）3×70°，∴第n+1個三角形中以An+1為頂點的底角度數(shù)是（）n×70°．故選：A．10．如圖，△ABC中，AB＝AC，點E在AB的延長線上，點D在邊AC上，且EB＝CD＝4，線段DE交邊BC于點F，過點F作FG⊥DE交線段CE于點G，CE⊥AC，△GEF的面積為5，則EG的長5．【答案】5．【解答】解：過D作DH∥AB交BC于H，則∠DHC＝∠ABC，∠EBF＝∠DHF，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠DHC＝∠ACB，∴DH＝CD，∵BE＝CD，∴DH＝BE，在△BEF與△HDF中，∴△BEF≌△HDF，（AAS），∴EF＝DF，延長GC到M，使EG＝GM，連接DM，DG，∵S△EFG＝5，EF＝DF，EG＝MG，∴S△DFG＝S△EFG＝5，S△DGM＝S△DGE＝5+5＝10，∴S△DEM＝10+10＝20，∵DC＝4，AC⊥CE，∴S△DEM＝，∴20＝，解得：EM＝10，∴EG＝MG＝10＝5，故答案為：5．11．如圖，已知△ABC中，AC＝BC，且點D在△ABC外，且點D在AC的垂直平分線上，連接BD，若∠DBC＝30°，∠ACD＝13°，則∠A＝73度．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖，過C作CM⊥BD，交BD的延長線于M，過D作DN⊥AC于N，∵點D在AC的垂直平分線上，∴DN是AC的垂直平分線，∴NC＝AC，∵AC＝BC，∴NC＝BC，在Rt△BMC中，∠DBC＝30°，∴CM＝BC，∴CM＝CN，在Rt△DNC和Rt△DMC中，∵，∴Rt△DNC和Rt△DMC（HL），∴∠DCM＝∠DCN＝13°，∵∠DBC＝30°，∴∠MCB＝60°，∴∠ACB＝60°﹣26°＝34°，又∵AC＝BC，∴∠A＝（180°﹣34°）＝73°，故答案為：73．12．如圖1和2，在四邊形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC．（1）如圖1，若α＝90°，根據(jù)教材中一個重要性質(zhì)直接可得DA＝CD，這個性質(zhì)是角平分線上的點到角的兩邊距離相等（2）問題解決：如圖2，求證AD＝CD；（3）問題拓展：如圖3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求證：BD+AD＝BC．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，∴DA＝DC（角平分線上的點到角的兩邊距離相等），故答案為：角平分線上的點到角的兩邊距離相等；（2）如圖2，作DE⊥BA交BA延長線于E，DF⊥BC于F，∵BD平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF，∴DE＝DF，∵∠BAD+∠C＝180°，∠BAD+∠EAD＝180°，∴∠EAD＝∠C，在△DEA和△DFC中，∴△DEA≌△DFC（AAS），∴DA＝DC；（3）如圖，在BC時截取BK＝BD，連接DK，∵AB＝AC，∠A＝100°，∴∠ABC＝∠C＝40°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBK＝∠ABC＝20°，∵BD＝BK，∴∠BKD＝∠BDK＝80°，即∠A+∠BKD＝180°，由（2）的結(jié)論得AD＝DK，∵∠BKD＝∠C+∠KDC，∴∠KDC＝∠C＝40°，∴DK＝CK，∴AD＝DK＝CK，∴BD+AD＝BK+CK＝BC．13．如圖，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，點D在BC所在的直線上，點E在射線AC上，且∠ADE＝∠AED，連接DE．（1）如圖①，若∠B＝∠C＝30°，∠BAD＝70°，求∠CDE的度數(shù)；（2）如圖②，若∠ABC＝∠ACB＝70°，∠CDE＝15°，求∠BAD的度數(shù)；（3）當點D在直線BC上（不與點B、C重合）運動時，試探究∠BAD與∠CDE的數(shù)量關系，并說明理由．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵∠B＝∠C＝30°，∴∠BAC＝120°，∵∠BAD＝70°，∴∠DAE＝50°，∴∠ADE＝∠AED＝65°，∴∠CDE＝180°﹣50°﹣30°﹣65°＝35°；（2）∵∠ACB＝70°，∠CDE＝15°，∴∠E＝70°﹣15°＝55°，∴∠ADE＝∠AED＝55°，∴∠ADC＝40°，∵∠ABC＝∠ADB+∠DAB＝70°，∴∠BAD＝30°；（3）設∠ABC＝∠ACB＝y(tǒng)°，∠ADE＝∠AED＝x°，∠CDE＝α，∠BAD＝β①如圖1，當點D在點B的左側(cè)時，∠ADC＝x°﹣α∴，（1）﹣（2）得，2α﹣β＝0，∴2α＝β；②如圖2，當點D在線段BC上時，∠ADC＝x°+α∴，∴2α＝β，∴2α＝β；③如圖3，當點D在點C右側(cè)時，∠ADC＝x°﹣α∴，（2）﹣（1）得，2α﹣β＝0，∴2α＝β．綜上所述，∠BAD與∠CDE的數(shù)量關系是2∠CDE＝∠BAD．14．探究與發(fā)現(xiàn)：如圖①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D在底邊BC上，AE＝AD，連接DE．（1）當∠BAD＝60°時，求∠CDE的度數(shù)；（2）當點D在BC（點B、C除外）上運動時，試猜想并探究∠BAD與∠CDE的數(shù)量關系；（3）深入探究：若∠BAC≠90°，試就圖②探究∠BAD與∠CDE的數(shù)量關系．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，∵∠BAD＝60°，∴∠DAE＝30°，∵AD＝AE，∴∠AED＝75°，∴∠CDE＝∠AED﹣∠C＝30°；（2）設∠BAD＝x，∴∠CAD＝90°﹣x，∵AE＝AD，∴∠AED＝45°+，∴∠CDE＝x，∴∠BAD＝2∠CDE；（3）設∠CDE＝x，∠C＝y(tǒng)，∵AB＝AC，∠C＝y(tǒng)，∴∠B＝∠C＝y(tǒng)，∵∠CDE＝x，∴∠AED＝y(tǒng)+x，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝y(tǒng)+x，∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∴y+∠BAD＝y(tǒng)+x+x，∴∠BAD＝2∠CDE．15．（1）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D在BC上，且BD＝BA，點E在BC的延長線上且CE＝CA，試求∠DAE的度數(shù)；（2）如果把第（1）題中“AB＝AC”的條件去掉，其余條件不變，那么∠DAE的度數(shù)會改變嗎？說明理由；（3）如果把第（1）題中“∠BAC＝90°”的條件改為“∠BAC＞90°”，其余條件不變，那么∠DAE與∠BAC有怎樣的大小關系？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵BD＝BA，∴∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣∠B）＝67.5°，∵CE＝CA，∴∠CAE＝∠E＝∠ACB＝22.5°，在△ABE中，∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠E＝112.5°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝112.5°﹣67.5°＝45度；（2）不改變．設∠CAE＝x，∵CA＝CE，∴∠E＝∠CAE＝x，∴∠ACB＝∠CAE+∠E＝2x，在△ABC中，∠BAC＝90°，∴∠B＝90°﹣∠ACB＝90°﹣2x，∵BD＝BA，∴∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣∠B）＝x+45°，在△ABE中，∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠E，＝180°﹣（90°﹣2x）﹣x＝90°+x，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD，＝（90°+x）﹣（x+45°）＝45°；（3）∠DAE＝∠BAC．理由：設∠CAE＝x，∠BAD＝y(tǒng)，則∠B＝180°﹣2y，∠E＝∠CAE＝x，∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠E＝2y﹣x，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝2y﹣x﹣y＝y(tǒng)﹣x，∠BAC＝∠BAE﹣∠CAE＝2y﹣x﹣x＝2y﹣2x，∴∠DAE＝∠BAC．16．已知：如圖，BD為△ABC的角平分線，且BD＝BC，E為BD延長線上的一點，BE＝BA．（1）AD與CE相等嗎？為什么；（2）若∠BCD＝75°，求∠ACE的度數(shù)；（3）若∠BCE＝α，∠ACE＝β，則α，β之間滿足一定的數(shù)量關系，請直接寫出這個結(jié)論．【答案】（1）AD＝CE，理由見解析；（2）30°；（3）2α﹣β＝180°．【解答】解：（1）AD＝CE，理由：∵BD為△ABC的角平分線，∴∠ABD＝∠CBE，在△ABD和△EBC中，，∴△ABD≌△EBC（SAS），∴AD＝CE；（2）∵BD＝BC，∠BCD＝75°∴∠BCD＝∠BDC＝75°，∴∠DBC＝∠ABD＝30°，∴∠ABC＝60°，由（1）知△ABD≌△EBC，∴∠BAD＝∠BEC，∵∠ADB＝∠EDC，∴∠ACE＝∠ABD＝30°；（3）∵BD＝BC，∴∠BCD＝∠BDC，∵BD為△ABC的角平分線，∴∠DBC＝∠ABD，由（1）知△ABD≌△EBC，∴∠BAD＝∠BEC，∵∠ADB＝∠EDC，∴∠ACE＝∠ABD＝∠DBC＝β，∵∠BCE＝∠BCD+∠ACE＝α，∴∠BCD＝∠BDC＝α﹣β，∵∠DBC+∠BDC+∠BCD＝180°，∴β+（α﹣β）+（α﹣β）＝180°，∴2α﹣β＝180°．17．如圖，△ABC中，AB＝AC＝18cm，BC＝16cm，點D是AB的中點．有一點E在BC上從點B向點C運動，速度為2cm/s，同時有一點F在AC上從點C向點A運動，其中一點停止運動另一點也隨之停止運動．問當點F的運動速度是多少時，△DBE和△EFC全等？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：設點F運動的時間為ts，點F運動的速度為xcm/s，則BE＝2t，EC＝16﹣2t，CF＝tx，∵點D為AB的中點，∴BD＝AB＝9，∵∠B＝∠C，∴當CE＝BD，CF＝BE時，可根據(jù)“SAS”判斷△DBE≌△ECF，即16﹣2t＝9，tx＝2t，解得t＝3.5，x＝2；當CE＝BE，CF＝BD時，可根據(jù)“SAS”判斷△DBE≌△EFC，即16﹣2t＝2t，tx＝9，解得t＝4，x＝2.25，綜上所述，當點F的運動速度是2厘米/秒或2.25厘米/秒時，△DBE和△EFC全等．18．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，點D在線段BC上運動（D不與B、C重合），連接AD，作∠ADE＝40°，DE交線段AC于E．（1）當∠BDA＝115°時，∠EDC＝25°，∠DEC＝115°；（2）當DC等于多少時，△ABD≌△DCE，請說明理由．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝180°﹣115°﹣40°＝25°，∠AED＝∠EDC+∠C＝40°+25°＝65°，∠DEC＝180°﹣∠AED＝115°．（2）當DC＝2時，△ABD≌△DCE．理由：∵∠C＝40°，∴∠DEC+∠EDC＝140°，又∵∠ADE＝40°，∴∠ADB+∠EDC＝140°，∴∠ADB＝∠DEC，又∵AB＝DC＝2，在△ABD和△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（AAS）．故答案為：25，115．四．等邊三角形的性質(zhì)（共8小題）19．如圖，第（1）個多邊形由正三角形“擴展而來邊數(shù)記為a3＝12，第（2）個多邊形由正方形“擴展”而來，邊數(shù)記為a4＝20，第（3）個多邊形由五邊形“擴展”而來，邊數(shù)記為a5＝30…依此類推，由正n邊形“擴展而來的多邊形的邊數(shù)記為an（n≥3），則結(jié)果是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵根據(jù)圖形可知：a3＝12＝3×4，a4＝20＝4×5，a5＝5×6，…，a12＝12×13，∴＝++++…+＝﹣+﹣+…+﹣＝﹣＝，故選：D．20．如圖，已知：∠MON＝30°，點A1、A2、A3、…在射線ON上，點B1、B2、B3、…在射線OM上，△A1B1B2、△A2B2B3、△A3B3B4、…均為等邊三角形，若OB1＝1，則△A8B8B9的邊長為128【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：設等邊三角形的邊長一次為a1，a2，a3，…，∵△A1B1B2是等邊三角形，∴B1A1＝B2A1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，∴∠2＝120°，∵∠MON＝30°，∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，又∵∠3＝60°，∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∵∠MON＝∠1＝30°，∴OB1＝B1A1＝1，∴B2A1＝1，∵△B2A2B3、△B3A3B4是等邊三角形，∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，∵∠4＝∠12＝60°，∴B1A1∥A2B2∥A3B3，A1B2∥A2B3，∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，∴a2＝2a1，a3＝4a1＝4，a4＝8a1＝8，a5＝16a1，以此類推：a8＝27＝128，即△A8B8B9的邊長為128，故答案為：128．21．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分別以直角三角形的三條邊為邊，在直線AB同側(cè)分別作正三角形，已知S甲＝8，S乙＝6，S丙＝3，則△ABC的面積是11．【答案】11．【解答】解：由圖可知，S△ABC＝SABD﹣S丙﹣（S△ACE﹣S甲）﹣（S△BCF﹣S乙），設AB＝c，AC＝b，BC＝a，則a2+b2＝c2．∵△ACE，△ABD，△BCF是等邊三角形，則S△ACE＝b2，S△ABD＝c2，S△BCF＝a2，∴S△ABC＝c2﹣3﹣（b2﹣8）﹣（a2﹣6）＝11．故答案為：11．22．已知，△ABC為等邊三角形，點D為AC上的一個動點，點E為BC延長線上一點，且BD＝DE．（1）如圖1，若點D在邊AC上，猜想線段AD與CE之間的關系，并說明理由；（2）如圖2，若點D在AC的延長線上，（1）中的結(jié)論是否成立，請說明理由．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）AD＝CE，證明：如圖1，過點D作DP∥BC，交AB于點P，∵△ABC是等邊三角形，∴△APD也是等邊三角形，∴AP＝PD＝AD，∠APD＝∠ABC＝∠ACB＝∠PDC＝60°，∵DB＝DE，∴∠DBC＝∠DEC，∵DP∥BC，∴∠PDB＝∠CBD，∴∠PDB＝∠DEC，又∠BPD＝∠A+∠ADP＝120°，∠DCE＝∠A+∠ABC＝120°，即∠BPD＝∠DCE，在△BPD和△DCE中，∠PDB＝∠DEC，∠BPD＝∠DCE，DB＝DE，∴△BPD≌△DCE，∴PD＝CE，∴AD＝CE；（2）如圖3，過點D作DP∥BC，交AB的延長線于點P，∵△ABC是等邊三角形，∴△APD也是等邊三角形，∴AP＝PD＝AD，∠APD＝∠ABC＝∠ACB＝∠PDA＝60°，∵DB＝DE，∴∠DBC＝∠DEC，∵DP∥BC，∴∠PDB＝∠CBD，∴∠PDB＝∠DEC，在△BPD和△DCE中，，∴△BPD≌△DCE，∴PD＝CE，∴AD＝CE．23．已知：如圖，△ABC是邊長3cm的等邊三角形，動點P、Q同時從A、B兩點出發(fā)，分別沿AB、BC方向勻速移動，它們的速度都是1cm/s，當點P到達點B時，P、Q兩點停止運動，設點P的運動時間為t（s）．（1）當動點P、Q同時運動2s時，則BP＝1cm，BQ＝2cm．（2）當動點P、Q同時運動t（s）時，分別用含有t的式子表示；BP＝（3﹣t）cm，BQ＝tcm．（3）當t為何值時，△PBQ是直角三角形？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）BQ＝1×2＝2（cm），BP＝3﹣2＝1（cm），故答案為1，2；（2）BP＝（3﹣t）cm，BQ＝tcm，故答案為（3﹣t），t；（3）根據(jù)題意，得AP＝tcm，BQ＝tcm．在△ABC中，AB＝BC＝3cm，∠B＝60°，∴BP＝（3﹣t）cm．在△PBQ中，BP＝（3﹣t）cm．，BQ＝tcm，若△PBQ是直角三角形，則只有∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°①當∠BQP＝90°時，BQ＝BP，即t＝（3﹣t），解得t＝1；②當∠BPQ＝90°時，BP＝BQ，即3﹣t＝t．解得t＝2．答：當t＝1s或t＝2s時，△PBQ是直角三角形．24．如圖1，△ABC是正三角形，△BDC是等腰三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，以D為頂點作一個60°角，角的兩邊分別交AB、AC邊于M、N兩點，連接MN．（1）探究BM、MN、NC之間的關系，并說明理由．（2）若△ABC的邊長為2，求△AMN的周長．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）MN＝BM+NC．理由如下：延長AC至E，使得CE＝BM，連接DE，如圖所示：∵△BDC為等腰三角形，△ABC為等邊三角形，∴BD＝CD，∠DBC＝∠DCB，∠MBC＝∠ACB＝60°，又∵BD＝DC，且∠BDC＝120°，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，∴∠ABC+∠DBC＝∠ACB+∠DCB＝60°+30°＝90°，∴∠MBD＝∠ECD＝90°，在△MBD與△ECD中，，∴△MBD≌△ECD（SAS），∴MD＝DE，∠BDM＝∠CDE，BM＝CE，又∵∠BDC＝120°，∠MDN＝60°，∴∠BDM+∠NDC＝∠BDC﹣∠MDN＝60°，∴∠CDE+∠NDC＝60°，即∠NDE＝60°，∴∠MDN＝∠NDE＝60°，在△DMN與△DEN中，，∴△DMN≌△DEN（SAS），∴MN＝EN，又∵NE＝NC+CE，BM＝CE，∴MN＝BM+NC；（2）∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝BC＝AC＝2，利用（1）中的結(jié)論得出：BM＝CE，MN＝EN，△AMN的周長＝AM+MN+AN＝AM+NE+AN＝AM+AN+NC+CE＝AM+AN+NC+BM＝（AM+BM）+（NC+AN）＝AB+AC＝2+2＝4．25．如圖，以△ABC的邊AB、AC為邊，向外作等邊△ABD和等邊△ACE，連接BE、CD相交于點F．求證：（1）△DAC≌△BAE；（2）BE＝DC；（3）求∠DFE的度數(shù)．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）證明：∵△ABD和△ACE都為等邊三角形，∴AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠EAC＝∠AEC＝∠ACE＝60°，∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，即∠DAC＝∠BAE，在△DAC和△BAE中，，∴△DAC≌△BAE（SAS）；（2）∵△DAC≌△BAE，∴BE＝DC；（3）∵△DAC≌△BAE，∴∠ACD＝∠AEB，則∠DFE＝∠FEC+∠FCE＝∠FEC+∠ACD+∠ACE＝∠FEC+∠AEB+∠ACE＝∠AEC+∠ACE＝120°．26．如圖，△ABC和△ADC都是邊長相等的等邊三角形，點E、F同時分別從點B、A出發(fā)，各自沿BA、AD方向運動到點A、D停止，運動的速度相同，連接EC、FC．（1）在點E、F運動過程中∠ECF的大小是否隨之變化？請說明理由；（2）在點E、F運動過程中，以點A、E、C、F為頂點的四邊形的面積變化了嗎？請說明理由；（3）連接EF，在圖中找出和∠ACE相等的所有角，并說明理由．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∠ECF不變?yōu)?0°．（1分）理由如下：∵△ABC和△ADC都是邊長相等的等邊三角形，∴BC＝AC＝CD，∠B＝∠DAC＝60°，又∵E、F兩點運動時間、速度相等，∴BE＝AF，∴△BCE≌△ACF（SAS），∴∠ECB＝∠FCA．（4分）所以∠ECF＝∠FCA+∠ACE＝∠ECB+∠ACE＝∠BCA＝60°；（6分）（2）不變化．理由如下：∵四邊形AECF的面積＝△AFC的面積+△AEC的面積，△BCE≌△ACF，∴△AEC的面積+△BEC的面積＝△ABC的面積；（8分）（3）證明：由（1）知CE＝CF，∠ECF＝60°，∴△CEF為等邊三角形，∵∠FCD+∠DFC＝120°，∠AFE+∠DFC＝120°，∴∠ECF﹣∠ACF＝∠ACD﹣∠ACF，即∠AFE＝∠FCD，所以∠ACE＝∠FCD＝∠AFE．（10分）五．軸對稱的性質(zhì)（共4小題）27．如圖，在2×2的方格紙中有一個以格點為頂點的△ABC，則與△ABC成軸對稱且以格點為頂點三角形共有（）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【答案】C【解答】解：與△ABC成軸對稱且以格點為頂點三角形有△ABG、△CDF、△AEF、△DBH，△BCG共5個，故選：C．28．如圖，點C、D在線段AB的同側(cè)，CA＝4，AB＝12，BD＝9，M是AB的中點，∠CMD＝120°，則CD長的最大值是（）A．16 B．19 C．20 D．21【答案】B【解答】解：如圖，作點A關于CM的對稱點A′，點B關于DM的對稱點B′．∵∠CMD＝120°，∴∠AMC+∠DMB＝60°，∴∠CMA′+∠DMB′＝60°，∴∠A′MB′＝60°，∵MA′＝MB′，∴△A′MB′為等邊三角形∵CD≤CA′+A′B′+B′D＝CA+AM+BD＝4+6+9＝19，∴CD的最大值為19，故選：B．29．如圖，∠BAC＝90°，點B是射線AM上的一個動點．點C是射線AN上一個動點，且線段BC的長度不變，點D是點A關于直線BC的對稱點，連接AD，若2AD＝BC，則∠ABD的度數(shù)是30°或150°．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：分兩種情況：如圖，當AB＞AC時，取BC的中點E，連接AE，DE，則AE＝DE＝BC，即BC＝2AE＝2DE，又∵BC＝2AD，∴AD＝AE＝DE，∴△ADE是等邊三角形，∴∠AED＝60°，又∵BC垂直平分AD，∴∠AEC＝30°，又∵BE＝AE，∴∠ABC＝∠AEC＝15°，∴∠ABD＝2∠ABC＝30°；如圖，當AB＜AC時，同理可得∠ACD＝30°，又∵∠BAC＝∠BDC＝90°，∴∠ABD＝150°，故答案為：30°或150°．30．綜合與實踐問題情境：在數(shù)學實踐課上，給出兩個大小、形狀完全相同的含有的直角三角板如圖1放置，PA，PB在直線MN上，且三角板PAC和三角板PBD均可以點P為頂點運動．操作探究：（1）如圖2，若三角板PBD保持不動，三角板PAC繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度，PF平分∠APD，PE平分∠CPD，求∠EPF；（2）如圖3，在圖1基礎上，若三角板PAC開始繞點P以每秒5°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，同時三角板PBD繞點P以每秒1°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，當PA轉(zhuǎn)到與PM重合時，兩三角板都停止轉(zhuǎn)動．在旋轉(zhuǎn)過程中，當PC，PB，PD三條射線中的其中一條射線平分另兩條射線的夾角時，請求出旋轉(zhuǎn)的時間；拓廣探究：（3）如圖4，作三角板PBD關于直線PD的對稱圖形PB1D．三角板PBD保持不動，三角板PAC繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，當AC∥B1P時，請直接寫出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．【答案】（1）30°．（2）15s或s．（3）30°．【解答】解：（1）∵PE平分∠CPD，∴設∠CPE＝∠DPE＝x，∠CPF＝y(tǒng)．則∠APF＝60°+y，∠DPF＝2x﹣y，∵PF平分∠APD，∴2x﹣y＝60°+y，∴x﹣y＝30°，∴∠EPF＝x﹣y＝30°．（2）設旋轉(zhuǎn)的時間為t秒，則0≤t≤36，當PD平分∠BPC時，∠CPD＝∠BPD＝30°，∵∠BPM＝t°，∠APN＝5t°，∴30﹣t+30+60+5t＝180，∴t＝15，當PC平分∠BPD時，∠BPC＝15°，∴5t+60+15﹣180＝t，∴t＝，當PB平分∠CPD時，PA與PD重合，∴5t﹣t＝120+30，∴t＝＞36，不合題意，舍去．∴旋轉(zhuǎn)的時間15s或s．（3）由已知得∠BPB1＝60°，∴當AC∥B1P時，∠APN＝30°，∴旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為30°．六．軸對稱-最短路線問題（共5小題）31．如圖，在△ABC中AB＝AC，BC＝4，面積是20，AC的垂直平分線EF分別交AC、AB邊于E、F點，若點D為BC邊的中點，點M為線段EF上一動點，則△CDM周長的最小值為（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【解答】解：連接AD，AM．∵△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝BC?AD＝×4×AD＝20，解得AD＝10，∵EF是線段AC的垂直平分線，∴點C關于直線EF的對稱點為點A，∴MA＝MC，∵AD≤AM+MD，∴AD的長為CM+MD的最小值，∴△CDM的周長最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝10+×4＝10+2＝12．故選：D．32．如圖，在邊長為2的等邊△ABC中，D是BC的中點，點E在線段AD上，連接BE，在BE的下方作等邊△BEF，連接DF．當△BDF的周長最小時，∠DBF的度數(shù)是30°．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖，連接CF，∵△ABC、△BEF都是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC，BE＝EF＝BF，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝∠EBF＝∠BEF＝∠BFE＝60°，∴∠ABC﹣∠EBD＝∠EBF﹣∠EBD，∴∠ABE＝∠CBF，在△BAE和△BCF中，，∴△BAE≌△BCF（SAS），∴∠BCF＝∠BAD＝30°，如圖，作點D關于CF的對稱點G，連接CG，DG，則FD＝FG，∴當B，F(xiàn)，G在同一直線上時，DF+BF的最小值等于線段BG長，且BG⊥CG時，△BDF的周長最小，由軸對稱的性質(zhì)，可得∠DCG＝2∠BCF＝60°，CD＝CG，∴△DCG是等邊三角形，∴DG＝DC＝DB，∴∠DBG＝∠DGB＝∠CDG＝30°，故答案為：30°．33．如圖，點P是∠AOB內(nèi)任意一點，OP＝8，M、N分別是射線OA和OB上的動點，若△PMN周長的最小值為8，則∠AOB＝30°．【答案】30°．【解答】解：分別作點P關于OA、OB的對稱點C、D，連接CD，分別交OA、OB于點M、N，連接OC、OD、PM