高三數(shù)學二輪培優(yōu)微專題36講20.解析幾何中雙切線問題的三大應用情境

解析幾何中雙切線問題的三大應用情境情境1.圓的雙切線模型及應用圓的雙切線模型是圓中常見的一類考題，由于其結(jié)論豐富，變更多端，頗受命題人的酷愛，2024年的理數(shù)全國一卷的選擇題11題就是一個典例應用.對于圓的雙切線，我的建議就是多推導，遇到最值就往切線長上轉(zhuǎn)化！如圖1，從圓外任一點向圓引兩條切線，圓心，兩切點，我們把線段的長度叫做切線長，設圓的半徑為，則四邊形具有如下的性質(zhì)：1.；.2.切線長的計算：,當半徑給定，切線長最小等價于最小.3.四點共圓，的外接圓以為直徑（托勒密定理）.4.平分.5.，當半徑給定，四邊形最小等價于最小.6.假設且.由基本的三角恒等關系可知：，故可得：.對運用均值不等式可得最小值.圖17.假設，圓的方程為（）則切點弦的方程為：.例1.（2024全國1卷）已知⊙M：，直線：，為上的動點，過點作⊙M的切線，切點為，當最小時，直線的方程為（）A． B． C． D．解析：綜合考察性質(zhì)3，5,7.圓的方程可化為，點到直線的距離為，所以直線與圓相離．依圓的學問可知，四點四點共圓，且，所以，而，當直線時，，，此時最?。嗉矗山獾?，．所以以為直徑的圓的方程為，即，兩圓的方程相減可得：，即為直線的方程．例2.（2024深圳二模）P是直線上的一個動點，過點P作圓的兩條切線，A，B為切點，則（

）A．弦長的最小值為 B．存在點P，使得C．直線經(jīng)過一個定點 D．線段的中點在一個定圓上解析：依題意，即，設，則為的中點，且，所以，所以，，又，所以，，所以，，故A正確，B不正確；設，則，所以以為直徑的圓的方程為，則，即，所以直線的方程為，所以直線過定點，故C正確；又，，所以的中點在以為直徑的圓上，故D正確；故選：ACD情境2.圓錐曲線的雙切線1.學問要點.如何合理的處理雙切線，我總結(jié)如下：已知曲線外一點,向二次曲線引兩條切線，設.第1步：分別寫出切線的方程（留意斜率）；第2步：聯(lián)立與曲線的方程，利用相切條件，得到代數(shù)關系①，②式從而以的或坐標為參數(shù)，進一步構(gòu)造點橫或縱坐標滿意的同構(gòu)方程方程③；第3步：利用方程③根與系數(shù)的關系推斷與曲線的位置關系，或完成其他問題.常見案例1.彭賽列閉合例3．已知拋物線C：，點.（1）設斜率為1的直線l與拋物線C交于A，B兩點，若的面積為，求直線l的方程；（2）是否存在定圓M：，使得過曲線C上隨意一點Q作圓M的兩條切線，與曲線C交于另外兩點A，B時，總有直線AB也與圓M相切？若存在，求出m的值，若不存在，請說明理由.解析：（1）直線的方程．（2）假設存在．取，圓，設切線為，由，解得，①，將直線代入拋物線方程，解得，，直線的方程為，若直線和圓相切，可得②由①得,由①②解得，．下證時，對隨意的動點，直線和圓相切．理由如下：設，當時,上面假設已經(jīng)說明成立;當,一條切線與軸平行,不能與拋物線交于另一點,故,以下就且狀況下證明.過的直線為，，由，可得，，，又直線與曲線相交于，，由，代入拋物線方程可得，可得，，則，是方程的兩根，即有，即，同理．則有，，直線，即為，則圓心到直線的距離為，由，代入上式，化簡可得，則有對隨意的動點，存在實數(shù)，使得直線與圓相切．常見案例2：蒙日圓曲線的兩條相互垂直的切線的交點P的軌跡是圓.證明：當題設中的兩條相互垂直的切線中有斜率不存在或斜率為0時，可得點P的坐標是，或.當題設中的兩條相互垂直的切線中的斜率均存在且均不為0時，可設點P的坐標是且，所以可設曲線的過點P的切線方程是.由，得由其判別式的值為0，得因為是這個關于的一元二次方程的兩個根，所以由此，得例4.（2024成都三診）．已知橢圓：的左焦點，點在橢圓上.（1）求橢圓的標準方程；（2）經(jīng)過圓：上一動點作橢圓的兩條切線，切點分別記為，，直線，分別與圓相交于異于點的，兩點.（i）求證：；（ii）求的面積的取值范圍.解析：（1）橢圓的標準方程為.（2）（i）設點.①當直線，的斜率都存在時，設過點與橢圓相切的直線方程.由，消去，得..令，整理得.設直線，的斜率分別為，.∴.又，∴.∴，即為圓的直徑，∴.②當直線或的斜率不存在時，不妨設，則直線的方程為.∴，，也滿意.綜上，有.（ii）設點，.當直線的斜率存在時，設直線的方程為.由，消去，得..令，整理得.則∴直線的方程為.化簡可得，即.閱歷證，當直線的斜率不存在時，直線的方程為或，也滿意.同理，可得直線的方程為.∵在直線，上，∴，.∴直線的方程為.由，消去，得.∴，.∴.又點到直線的距離.∴.令，.則.又，∴的面積的取值范圍為.情境3：拋物線阿基米德三角形學問要點：如圖，假設拋物線方程為，過拋物線準線上一點向拋物線引兩條切線，切點分別記為，其坐標為.則以點和兩切點圍成的三角形中，有如下的常見結(jié)論:結(jié)論1.直線過拋物線的焦點.證明：參見下面的例1.結(jié)論2.直線的方程為.進一步，還有（1）過拋物線上一點的切線方程為：；（2）過拋物線上一點的切線方程為：；（3）過拋物線上一點的切線方程為：；（4）過拋物線上一點的切線方程為：．結(jié)論3.過的直線與拋物線交于兩點，以分別為切點做兩條切線，則這兩條切線的交點的軌跡即為拋物線的準線.證明：過點的切線方程為，過點的切線方程為，兩式相除可得：.這就證明白該結(jié)論.結(jié)論4..證明：由結(jié)論3，，.那么.結(jié)論5..證明：,則.由拋物線焦點弦的性質(zhì)可知，代入上式即可得，故.結(jié)論6.直線的中點為，則平行于拋物線的對稱軸.證明：由結(jié)論3的證明可知，過點的切線的交點在拋物線準線上.且的坐標為，明顯平行于拋物線的對稱軸.例5．（2024高考全國乙卷理21）已知拋物線的焦點為，且與圓上的點的距離的最小值．（1）求；（2）若點在圓上，是的兩條切線，是切點，求面積的最大值．解析：（1）拋物線的焦點為，，∴與圓上點的距離的最小值為，解得．（2）拋物線的方程為，即，對該函數(shù)求導得，設點，，，直線的方程為，即，即，同理可知，直線的方程為，由于點為這兩條直線公共點，則，∴點的坐標滿意方程，∴直線的方程為，聯(lián)立可得，由韋達定理可得，，，點到直線的距離為，∴，，由已知可得，∴當時，的面積取最大值．注：對于拋物線，設，是的兩條切線，，是切點，則阿基米德三角形的面積為：．例6.(2006全國卷)已知拋物線的焦點為,是熱線上的兩動點，且過兩點分別作拋物線的切線，設其交點為．（1）證明為定值；