2018年中考數(shù)學(xué)分類匯編考點22勾股定理

...wd......wd......wd...2018中考數(shù)學(xué)試題分類匯編：考點22勾股定理一．選擇題〔共7小題〕1．〔2018?濱州〕在直角三角形中，假設(shè)勾為3，股為4，那么弦為〔〕A．5 B．6 C．7 D．8【分析】直接根據(jù)勾股定理求解即可．【解答】解：∵在直角三角形中，勾為3，股為4，∴弦為=5．應(yīng)選：A．2．〔2018?棗莊〕如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，AF平分∠CAB，交CD于點E，交CB于點F．假設(shè)AC=3，AB=5，那么CE的長為〔〕A． B． C． D．【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根據(jù)角平分線和對頂角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出EC=FC，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出答案．【解答】解：過點F作FG⊥AB于點G，∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠CDA=90°，∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠FAD，∴∠CFA=∠AED=∠CEF，∴CE=CF，∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，∴FC=FG，∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°，∴△BFG∽△BAC，∴=，∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，∴BC=4，∴=，∵FC=FG，∴=，解得：FC=，即CE的長為．應(yīng)選：A．3．〔2018?瀘州〕“趙爽弦圖〞巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲．如以以下圖的“趙爽弦圖〞是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形．設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b．假設(shè)ab=8，大正方形的面積為25，那么小正方形的邊長為〔〕A．9 B．6 C．4 D．3【分析】由題意可知：中間小正方形的邊長為：a﹣b，根據(jù)勾股定理以及題目給出的數(shù)據(jù)即可求出小正方形的邊長．【解答】解：由題意可知：中間小正方形的邊長為：a﹣b，∵每一個直角三角形的面積為：ab=×8=4，∴4×ab+〔a﹣b〕2=25，∴〔a﹣b〕2=25﹣16=9，∴a﹣b=3，應(yīng)選：D．4．〔2018?溫州〕我國古代偉大的數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形〔古人稱直角三角形為勾股形〕分割成一個正方形和兩對全等的直角三角形，得到一個恒等式．后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理，如以以下圖的矩形由兩個這樣的圖形拼成，假設(shè)a=3，b=4，那么該矩形的面積為〔〕A．20 B．24 C． D．【分析】欲求矩形的面積，那么求出小正方形的邊長即可，由此可設(shè)小正方形的邊長為x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建設(shè)關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，進(jìn)而可求出該矩形的面積．【解答】解：設(shè)小正方形的邊長為x，∵a=3，b=4，∴AB=3+4=7，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即〔3+x〕2+〔x+4〕2=72，整理得，x2+7x﹣12=0，解得x=或x=〔舍去〕，∴該矩形的面積=〔+3〕〔+4〕=24，應(yīng)選：B．5．〔2018?婁底〕如圖，由四個全等的直角三角形圍成的大正方形的面積是169，小正方形的面積為49，那么sinα﹣cosα=〔〕A． B．﹣ C． D．﹣【分析】分別求出大正方形和小正方形的邊長，再利用勾股定理列式求出AC，然后根據(jù)正弦和余弦的定義即可求sinα和cosα的值，進(jìn)而可求出sinα﹣cosα的值．【解答】解：∵小正方形面積為49，大正方形面積為169，∴小正方形的邊長是7，大正方形的邊長是13，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即AC2+〔7+AC〕2=132，整理得，AC2+7AC﹣60=0，解得AC=5，AC=﹣12〔舍去〕，∴BC==12，∴sinα==，cosα==，∴sinα﹣cosα=﹣=﹣，應(yīng)選：D．6．〔2018?長沙〕我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶的著作?數(shù)書九章?里記載有這樣一道題：“問有沙田一塊，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知為田幾何〞這道題講的是：有一塊三角形沙田，三條邊長分別為5里，12里，13里，問這塊沙田面積有多大題中“里〞是我國市制長度單位，1里=500米，那么該沙田的面積為〔〕A．7.5平方千米 B．15平方千米 C．75平方千米 D．750平方千米【分析】直接利用勾股定理的逆定理進(jìn)而結(jié)合直角三角形面積求法得出答案．【解答】解：∵52+122=132，∴三條邊長分別為5里，12里，13里，構(gòu)成了直角三角形，∴這塊沙田面積為：×5×500×12×500=7500000〔平方米〕=7.5〔平方千米〕．應(yīng)選：A．7．〔2018?東營〕如以以下圖，圓柱的高AB=3，底面直徑BC=3，現(xiàn)在有一只螞蟻想要從A處沿圓柱外表爬到對角C處捕食，那么它爬行的最短距離是〔〕A． B． C． D．【分析】要求最短路徑，首先要把圓柱的側(cè)面展開，利用兩點之間線段最短，然后利用勾股定理即可求解．【解答】解：把圓柱側(cè)面展開，展開圖如右圖所示，點A、C的最短距離為線段AC的長．在Rt△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3，AD為底面半圓弧長，AD=1.5π，所以AC=，應(yīng)選：C．二．填空題〔共8小題〕8．〔2018?吉林〕如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A〔4，0〕，B〔0，3〕，以點A為圓心，AB長為半徑畫弧，交x軸的負(fù)半軸于點C，那么點C坐標(biāo)為〔﹣1，0〕．【分析】求出OA、OB，根據(jù)勾股定理求出AB，即可得出AC，求出OC長即可．【解答】解：∵點A，B的坐標(biāo)分別為〔4，0〕，〔0，3〕，∴OA=4，OB=3，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB==5，∴AC=AB=5，∴OC=5﹣4=1，∴點C的坐標(biāo)為〔﹣1，0〕，故答案為：〔﹣1，0〕，9．〔2018?玉林〕如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，那么AD的取值范圍是2＜AD＜8．【分析】如圖，延長BC交AD的延長線于E，作BF⊥AD于F．解直角三角形求出AE、AF即可判斷；【解答】解：如圖，延長BC交AD的延長線于E，作BF⊥AD于F．在Rt△ABE中，∵∠E=30°，AB=4，∴AE=2AB=8，在Rt△ABF中，AF=AB=2，∴AD的取值范圍為2＜AD＜8，故答案為2＜AD＜8．10．〔2018?襄陽〕CD是△ABC的邊AB上的高，假設(shè)CD=，AD=1，AB=2AC，那么BC的長為2或2．【分析】分兩種情況：①當(dāng)△ABC是銳角三角形，如圖1，②當(dāng)△ABC是鈍角三角形，如圖2，分別根據(jù)勾股定理計算AC和BC即可．【解答】解：分兩種情況：①當(dāng)△ABC是銳角三角形，如圖1，∵CD⊥AB，∴∠CDA=90°，∵CD=，AD=1，∴AC=2，∵AB=2AC，∴AB=4，∴BD=4﹣1=3，∴BC===2；②當(dāng)△ABC是鈍角三角形，如圖2，同理得：AC=2，AB=4，∴BC===2；綜上所述，BC的長為2或2．故答案為：2或2．11．〔2018?鹽城〕如圖，在直角△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，P、Q分別為邊BC、AB上的兩個動點，假設(shè)要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，那么AQ=或．【分析】分兩種情形分別求解：①如圖1中，當(dāng)AQ=PQ，∠QPB=90°時，②當(dāng)AQ=PQ，∠PQB=90°時；【解答】解：①如圖1中，當(dāng)AQ=PQ，∠QPB=90°時，設(shè)AQ=PQ=x，∵PQ∥AC，∴△BPQ∽△BCA，∴=，∴=，∴x=，∴AQ=．②當(dāng)AQ=PQ，∠PQB=90°時，設(shè)AQ=PQ=y．∵△BQP∽△BCA，∴=，∴=，∴y=．綜上所述，滿足條件的AQ的值為或．12．〔2018?黔南州〕如圖，在△ABC中，BC邊上的高AD與AC邊上的高BE交于點F，且∠BAC=45°，BD=6，CD=4，那么△ABC的面積為60．【分析】首先證明△AEF≌△BEC，推出AF=BC=10，設(shè)DF=x．由△ADC∽△BDF，推出=，構(gòu)建方程求出x即可解決問題；【解答】解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠AEF=∠BEC=∠BDF=90°，∵∠BAC=45°，∴AE=EB，∵∠EAF+∠C=90°，∠CBE+∠C=90°，∴∠EAF=∠CBE，∴△AEF≌△BEC，∴AF=BC=10，設(shè)DF=x．∵△ADC∽△BDF，∴=，∴=，整理得x2+10x﹣24=0，解得x=2或﹣12〔舍棄〕，∴AD=AF+DF=12，∴S△ABC=?BC?AD=×10×12=60．故答案為60．13．〔2018?濱州〕如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，點E、F分別在BC、CD上，假設(shè)AE=，∠EAF=45°，那么AF的長為．【分析】取AB的中點M，連接ME，在AD上截取ND=DF，設(shè)DF=DN=x，那么NF=x，再利用矩形的性質(zhì)和條件證明△AME∽△FNA，利用相似三角形的性質(zhì)：對應(yīng)邊的比值相等可求出x的值，在直角三角形ADF中利用勾股定理即可求出AF的長．【解答】解：取AB的中點M，連接ME，在AD上截取ND=DF，設(shè)DF=DN=x，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D=∠BAD=∠B=90°，AD=BC=4，∴NF=x，AN=4﹣x，∵AB=2，∴AM=BM=1，∵AE=，AB=2，∴BE=1，∴ME==，∵∠EAF=45°，∴∠MAE+∠NAF=45°，∵∠MAE+∠AEM=45°，∴∠MEA=∠NAF，∴△AME∽△FNA，∴，∴，解得：x=，∴AF==．故答案為：．14．〔2018?湘潭〕?九章算術(shù)?是我國古代最重要的數(shù)學(xué)著作之一，在“勾股〞章中記載了一道“折竹抵地〞問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何〞翻譯成數(shù)學(xué)問題是：如以以下圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的長，如果設(shè)AC=x，那么可列方程為x2+32=〔10﹣x〕2．【分析】設(shè)AC=x，可知AB=10﹣x，再根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)AC=x，∵AC+AB=10，∴AB=10﹣x．∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴AC2+BC2=AB2，即x2+32=〔10﹣x〕2．故答案為：x2+32=〔10﹣x〕2．15．〔2018?黃岡〕如圖，圓柱形玻璃杯高為14cm，底面周長為32cm，在杯內(nèi)壁離杯底5cm的點B處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿3cm與蜂蜜相對的點A處，那么螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為20cm〔杯壁厚度不計〕．【分析】將杯子側(cè)面展開，建設(shè)A關(guān)于EF的對稱點A′，根據(jù)兩點之間線段最短可知A′B的長度即為所求．【解答】解：如圖：將杯子側(cè)面展開，作A關(guān)于EF的對稱點A′，連接A′B，那么A′B即為最短距離，A′B===20〔cm〕．故答案為20．三．解答題〔共2小題〕16．〔2018?杭州〕如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，以點B為圓心，BC長為半徑畫弧，交線段AB于點D；以點A為圓心，AD長為半徑畫弧，交線段AC于點E，連結(jié)CD．〔1〕假設(shè)∠A=28°，求∠ACD的度數(shù)．〔2〕設(shè)BC=a，AC=b．①線段AD的長是方程x2+2ax﹣b2=0的一個根嗎說明理由．②假設(shè)AD=EC，求的值．【分析】〔1〕根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠B，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠BCD，計算即可；〔2〕①根據(jù)勾股定理求出AD，利用求根公式解方程，對比即可；②根據(jù)勾股定理列出算式，計算即可．【解答】解：〔1〕∵∠ACB=90°，∠A=28°，∴∠B=62°，∵BD=BC，∴∠BCD=∠BDC=59°，∴∠ACD=90°﹣∠BCD=31°；〔2〕①由勾股定理得，AB==，∴AD=﹣a，解方程x2+2ax﹣b2=0得，x==﹣a，∴線段AD的長是方程x2+2ax﹣b2=0的一個根；②∵AD=AE，∴AE=EC=，由勾股定理得，a2+b2=〔b+a〕2，整理得，=．17．〔2018?臺灣〕嘉嘉參加機(jī)器人設(shè)計活動，需操控機(jī)器人在5×5的方格棋盤上從A點行走至B點，且每個小方格皆為正方形，主辦單位規(guī)定了三條行走路徑R1，R2，R3，其行經(jīng)位置如圖與表所示：路徑編號圖例行