第13講 概率初步高二數學（滬教版2020必修三）（解析版）

第13講概率初步(核心考點講與練)

1.隨機試驗

我們把對隨機現象的實現和對它的觀察稱為隨機試驗,簡稱試驗，常用字母E表示.

2.隨機試驗的特點

(1)試驗可以在相同條件下重復進行；

(2)試驗的所有可能結果是明確可知的，并且不止一個；

(3)每次試驗總是恰好出現這些可能結果中的一個，但事先不能確定出現哪一個結果.

3.樣本空間與事件

定義1：一個隨機現象中依某個角度觀察其所有可能出現(發(fā)生)的結果所組成的集合

稱為一個樣本空間，用Q表示，其中的元素稱為基本事件或者樣本點。

定義2：一個事件是指滿足所述條件的所有基本事件全體。如果其中某個基本事件發(fā)生,

就說這個事件發(fā)生。因為樣本空間是基本事件的全體，所以事件是樣本空間的一個子集。

4.隨機事件

一般地，隨機試驗中的每個隨機事件都可以用這個試驗的樣本空間的子集來表示.為了

敘述方便，我們將樣本空間Q的子集稱為隨機事件,簡稱事件，并把只包含一個樣本點的

事件稱為基本事件.隨機事件一般用大寫字母A,8,C…表示.在每次試驗中，當且僅當A

中某個樣本點出現時，稱為事件A發(fā)生.

5.必然事件，不可能事件

在每次試驗中總有一個樣本點發(fā)生，所以?？倳l(fā)生，我們稱Q為必然事件.而空集

0不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發(fā)生，我們稱。為不可能事件.

6.概率性質1必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即P(Q)=1,P(①)=0.

7.概率性質2對任意的事件A,都有O4P(A)W1.

互斥:如果A與B沒有共同的基本事件，即兩個子集不相交，那么有AAB=①，則兩個事件

不可能同時發(fā)生，或者說互斥。

8.對立事件:事件A發(fā)生的否定就是事件A不發(fā)生，它也是一個事件，稱為事件A的對立事

件。簡稱為非A。

人口了二①AUA=QAnB=AUBAUB=AAB

9、概率性質3(可加性).兩個不可能同時發(fā)生的事件至少有一個發(fā)生的概率是這兩個事

件的概率之和。換言之,如果AAB=①，那么P(AUB)=P(A)+P(B)

10.概率性質4對任一給定事件，其發(fā)生的概率與不發(fā)生的概率的和總是1.換言之，有

P(A)=1-P(A)

11.概率的穩(wěn)定性

頻率與概率的聯系

在大量重復的試驗過程中，一個事件發(fā)生的頻率會很接近于這個事件發(fā)生的概率，

而且試驗的次數越多，頻率與概率之間差距很小的可能性越大.頻率也稱

經驗概率。

12概率意義

1.游戲的公平性

一個游戲包含兩個隨機事件A和B,規(guī)定事件A發(fā)生則甲獲勝,事件B發(fā)生則乙獲勝.

判斷游戲是否公平的標準是事件A和B發(fā)生的概率是否相等如：

2.“降水概率是90獷的正確理解

“降水的概率為90%比較合理的解釋是:大量觀察發(fā)現，在類似的氣象條件下,大約有90%的

天數要下雨.

只有根據氣象預報的長期記錄,才能評價預報的準確性.如果在類似條件下預報要下雨的那

些天里，大約有90%確實下雨了，可認為是準確的，反之則不準確

13頻率估計概率

頻率本身是隨機的,在試驗前不能確定，做同樣次數的重復試驗得到事件的頻率可

能不同;概率是一個確定的數,是客現存在的，與每次試驗無關.概率可看作_頻

率

在理論上的期望值，它從數量上反映了隨機事件發(fā)生的可能性的大小，而頻率在大

量重復試驗的前提下可近似地作為這個事件的概率，即事件A發(fā)生的頻率元(A)它以會逐漸

穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A).我們稱頻率的這個性質為頻率的穩(wěn)定性.因此，我

們可以用頻率加(A)估計概率P(A).

14、隨機事件獨立性的定義

(1)一般地，當P(A8)=P(A)P(B)時，就稱A與B相互獨立(簡稱獨立)，事件A與B

相互獨立的直觀理解是，事件A是否發(fā)生不會影響事件B發(fā)生的概率，事件B是否發(fā)生也不

會影響事件A發(fā)生的概率.

(2)如果事件A與B相互獨立，則了與B,A與豆，入與后也相互獨立.

(3)對于〃個事件4,4,…，4,如果其中任一個事件發(fā)生的概率不受其他事件是否發(fā)生

的影響，則稱〃個事件4,4,…，4相互獨立.

15、獨立事件的概率乘法公式

(1)若A與B相互獨立，則P(AB)=P(A)P(B),同時P(M)=P(A)P(B),

P(AB)=P(A)P(B),

P(AB)=P(A)P(B)；

⑵若4,4兩兩獨立，則p(A4…A.)=p(A)p(4)?P(A).

Q方法技巧

i.概率的幾個基本性質

(1)概率的取值范圍：OWP(A)W1.

(2)必然事件的概率P(E)=1.

(3)不可能事件的概率P(F)=O.

(4)互斥事件概率的加法公式

①如果事件A與事件B互斥，則P(AUB)=P(A)+P(B).

②若事件B與事件A互為對立事件，則P(A}=\-P(B).

2.基本事件的特點

(1)任何兩個基本事件是互斥的.

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.

3.古典概型

具有以下兩個特征的概率模型稱為古典的概率模型，簡稱古典概型.

(1)試驗的所有可能結果只有有限個,每次試驗只出現其中的一個結果.

(2)每一個試驗結果出現的可能性相同.

3.如果一次試驗中可能出現的結果有〃個，而且所有結果出現的可能性都相等，那么每一個

基本事件的概率都是%如果某個事件A包括的結果有m個，那么事件A的概率P(A)==

4.古典概型的概率公式

事件A包含的可能結果數

,"I試驗的所有可能結果數■

Q能力拓展

題型一：隨機現象與樣本空間

1.(2022?上海市行知中學高二階段練習)為了豐富高二學生的課外生活，某校要組建數學、

計算機、航空模型、繪畫4個興趣小組，小明要隨機選報其中的2個，則該實驗中樣本點的個

數為.

【答案】6

【分析】由列舉法寫出即可.

【詳解】由題意，可得樣本點為(數學，計算機)，(數學，航空模型)，(數學，繪畫)，(計

算機，航空模型)，(計算機，繪畫)，(航空模型，繪畫)，共6個.

故答案為：6

題型二：古典概率

1.(2022.上海交大附中高二期中)已知樣本空間為。，x為一個基本事件.對于任意事件A,

fQ(名A

定義〃A)=；,，給出下列結論：①/(Q)=1J(0)=O；②對任意事件A,O</(A)<1;

③如果4n3=0,那么/(AUB=/(A)+/(8)；④如A)+f(才)=1.其中,正確結論的個數

是()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】D

【分析】根據/(A)的定義，利用分類討論思想進行分析判定.

【詳解】???任意xeC恒成立，任意xe0恒不成立，.??/(C)=1J(0)=O,故①正確；

f0無名

對任意事件A,/(A)='.?.〃A)e｛O,l｝,.?.04/(4)41成立，故②正確；

I1,XGA

如果AA8=0,當xeAUB時，此時xeA或xeB.若xeA,則

x/B、/(4)=l,f(8)=O,f(AU8)=f(4)+f(8)成立；xeBH寸，xmA,

/(A)=O,/(B)=1,/(A)+/(B)=1,/(AUB)=/(A)+/(B)成立；

當x史AU8時，xgA.x^B,/(i4uB)=0,/(A)=0,/(B)=0,那么

/(4UB)=/(A)+f(8)成立，.?.③正確；

當xwA時，X任A,此時/'(A)=l,f(N)=0./(A)+/(X)=1成立：當xeA時，xe,，此

時"A)=OJ(Z)=1,f(A)+f(m=1成立,故④正確.

綜上，正確的結論有4個，

故選：D

2.(2022.上海.格致中學高二期末)從集合｛2,4,6,8｝中任取兩個不同元素，則這兩個元素相

差2的概率為().

A.-B.；C.-D.|

3243

【答案】B

【分析】一一列出所有基本事件，然后數出基本事件數〃和有利事件數〃?，代入古典概型的

概率計算公式尸=竺，即可得解.

n

【詳解】解:從集合｛2,4,6,8｝中任取兩個不同元素的取法有(2,4)、(2,6)、(2,8)、(4,6)、(4,8)、

（6,8）共6種，其中滿足兩個元素相差2的取法有（2,4）、（4,6）、（6,8）共3種.故這兩個元素

相差2的概率為

故選：B.

3.（2022?上海交大附中高二期中）拋擲一枚均勻的骰子兩次，得到的數字依次記作乩

則實數a是方程2x-b=0的解的概率為.

【答案】\

【分析】利用列舉法計數，然后根據古典概型求得結果.

【詳解】得到數字九組成有序數對（。,9,其中，a,6e{l,2,3,4,5,6},列舉可得對應（。力）共

有36種不同的情況，每種情況都是等可能的，實數。是方程2x-6=0的解只有（2,1）,（4,2）,（6,3）

31

三種情況，共其概率為匕=7；.

3612

故答案為：—

4.（2021?上海市南洋模范中學高二期中）一次期中考試，小金同學數學超過90分的概率是

0.5,物理超過90分的概率是0.7,兩門課都超過90分的概率是0.3,則他的數學和物理至

少有一門超過90的概率為.

【答案】0.9

【分析】利用概率加法公式直接求解.

【詳解】一次期中考試，小金同學數學超過90分的概率是0.5,物理超過90分的概率是0.7,

兩門課都超過90分的概率是0.3,

他的數學和物理至少有一門超過90的概率為：尸=0.5+0.7-0.3=0.9.

故答案為：09

5.（2022?上海長寧?高二期末）同時擲兩枚骰子，則點數和為7的概率是.

【答案】—

o

【分析】利用古典概型的概率計算公式即得.

【詳解】依題意，記拋擲兩顆骰子向上的點數分別為a，b,則可得到數組（。，為共有

6x6=36組，

其中滿足a+b=7的組數共有6組,分別為（1,6）,（2,5）,（3,4）,（4,3）,（5,2）,（6,1）,

因此所求的概率等于&=

366

故答案為：~.

O

題型三：頻率與概率

1.(2021.上海.高二專題練習)下列關于“頻率”和“概率”的說法中正確的是

(1)在大量隨機試驗中，事件A出現的頻率與其概率很接近；

(2)概率可以作為當實驗次數無限增大時頻率的極限；

(3)計算頻率通常是為了估計概率.

A.(1)(2)B.(1)(3)C.(2)(3)D.(1)(2)(3)

【答案】D

【分析】利用頻率和概率的定義分析判斷得解.

【詳解】(1)在大量隨機試驗中，事件A出現的頻率與其他概率很接近，所以該命題是真命

題；

(2)概率可以作為當實驗次數無限增大時頻率的極限，所以該命題是真命題：

(3)計算頻率通常是為了估計概率，所以該命題是真命題.

故選D

【點睛】本題主要考查頻率和概率的關系，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.

題型四：隨機事件的獨立性

一、單選題

1.(2021?上海市金山中學高二階段練習)學生李明上學要經過4個路口，前三個路口遇到紅

燈的概率均為;，第四個路口遇到紅燈的概率為:，設在各個路口是否遇到紅燈互不影響，則

李明從家到學校恰好遇到一次紅燈的概率為

7「1一1一1

A.—B.-C.—D.-

244248

【答案】A

【分析】分兩種情況求解：①前三個路口恰有一次紅燈，第四個路口為綠燈；②前三個路口

都是綠燈，第四個路口為紅燈.分別求出概率后再根據互斥事件的概率求解即可.

【詳解】分兩種情況求解：

①前三個路口恰有一次紅燈，且第四個路口為綠燈的概率為G(gjXgX(1-g)=卷；

②前三個路口都是綠燈，第四個路口為紅燈的概率為

由互斥事件的概率加法公式可得所求概率為提+上=三.

242424

故選A.

【點睛】求解概率問題時，首先要分清所求概率的類型，然后再根據每種類型的概率公式求

解.對于一些比較復雜的事件的概率，可根據條件將其分解為簡單事件的概率求解，再結合

互斥事件的概率加法公式求解即可.

二、填空題

2.（2021?上海市延安中學高二期末）已知隨機事件A和8相互獨立，若P（AB）=0.36,

網可=0.6表示事件A的對立事件），則P（B）=

【答案】0.9

【分析】求出P（A）的值，再利用獨立事件的概率乘法公式可求得P（8）的值.

【詳解】由對立事件的概率公式可得尸⑷=1-尸（司=。6,

由獨立事件的概率乘法公式可得P（AB）=P（A）P（5）,因此,的需U.9

故答案為：0.9.

3.（2020?上海市七寶中學高二階段練習）若事件E與尸相互獨立，且尸（E）=P（F）=；,則

P（EcF）=.

【答案】［

16

【分析】根據獨立事件乘法公式進行求解即可.

【詳解】因為事件E與尸相互獨立，且P（E）=P（F）=；,

所以「（EcF）=P（E）尸（尸）

4416

故答案為：—

16

4.（2022.上海民辦南模中學高二開學考試）已知A、8是隨機事件，則下列結論中正確的有

（填寫序號）

①若A、8是互斥事件，則P（AcB）=P（A>P（B）；

②若事件A、8相互獨立，則P（AU8）=P（A）+P（B）；

③若A、8是對立事件，則4、8是互斥事件；

④事件A、B至少有一個發(fā)生的概率不小于A、B恰好有一個發(fā)生的概率.

【答案】③?

【分析】利用互斥事件、對立事件和獨立事件的定義和性質分析判斷

【詳解】對于①，若4、8是互斥事件，則P（AB）=0,所以①錯誤，

對于②，若事件4、8相互獨立，則尸（AcB）=P（A），（B）,而當A、B是互斥事件時，

P（AU8）=尸（A）+P（B）,所以②錯誤，

對于③，若A、B是對立事件，則4、B一定是互斥事件，所以③正確，

對于④，因為事件A、8至少有一個發(fā)生包含A、8恰好有一個發(fā)生和A、3同時發(fā)生兩種情

況，所以事件A、B至少有一個發(fā)生的概率不小于A、8恰好有一個發(fā)生的概率，所以④正

確，

故答案為：③④

5.（2021?上海市延安中學高二期末）已知隨機事件A和B相互獨立，若P（A3）=0.36,

P（A）=0.6（.表示事件A的對立事件），則P（8）=

【答案】0.9

【分析】求出P（A）的值，再利用獨立事件的概率乘法公式可求得「仍）的值.

[詳解】由對立事件的概率公式可得P（A）=1-P（A）=0.6,

由獨立事件的概率乘法公式可得P（4?）=P（A）P（8）,因此,

故答案為：0.9.

6.（2020?上海市七寶中學高二期中）某學生在上學的路上要經過三個路過，假設在各路口

是否遇到紅綠燈是相互獨立的，遇到紅燈的概率都是:，則這名學生在上學的路上到第三個

路口時第一次遇到紅燈的概率為

4

【答案】—

【分析】依題意，在各路口是否遇到紅綠燈是相互獨立的，要使這名學生在上學的路上到第

三個路口時第一次遇到紅燈，即前兩個路口遇到的都不是紅燈，第三個路口恰是紅燈，根據

相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式計算可得；

【詳解】解：依題意，在各路口是否遇到紅綠燈是相互獨立的，要使這名學生在上學的路上

到第三個路口時第一次遇到紅燈,，即前兩個路口遇到的都不是紅燈，第三個路口恰是紅燈.，

根據相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式可得尸=[1一:）（1一；]]=合

4

故答案為：—

【點睛】本題考查相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式的應用，屬于基礎題.

7.（2016.上海市實驗學校高二期末）兩個實習生每人加工一個零件，加工為一等品的概率

分別為?2和二3，兩個零件是否加工為一等品相互獨立，則這兩個零件中恰有一個一等品的概

34

率為.

【答案】卷

【分析】根據獨立事件乘法公式以及互斥事件加法公式求概率.

【詳解】兩個零件中恰有一個一等品的概率為爭2（1-N3+a42）、/3五5

故答案為：J

【點睛】本題考查獨立事件乘法公式以及互斥事件加法公式，考查基本分析求解能力，屬基

礎題.

8.（2022?上海奉賢區(qū)致遠高級中學高二期末）甲、乙兩隊進行籃球決賽，采取七場四勝制

（當一隊贏得四場勝利時，該隊獲勝，決賽結束）.根據前期比賽成績，甲隊的主客場安排

依次為“主主客客主客主設甲隊主場取勝的概率為06客場取勝的概率為0.5,且各場比

賽結果相互獨立，則甲隊以4：1獲勝的概率是.

【答案】0.18

【分析】本題應注意分情況討論，即前五場甲隊獲勝的兩種情況，應用獨立事件的概率的計

算公式求解.題目有一定的難度，注重了基礎知識、基本計算能力及分類討論思想的考查.

【詳解】前四場中有一場客場輸，第五場贏時，甲隊以4:1獲勝的概率是

0.63x0.5x0.5x2=0.108,

前四場中有一場主場輸，第五場贏時，甲隊以4:1獲勝的概率是04x0.62x0.52x2=0.072,

綜上所述,甲隊以4:1獲勝的概率是4=0.108+0.072=018.

【點睛】由于本題題干較長，所以，易錯點之一就是能否靜心讀題，正確理解題意；易錯點

之二是思維的全面性是否具備，要考慮甲隊以4:1獲勝的兩種情況；易錯點之三是是否能夠

準確計算.

三、解答題

9.（2022?上海市楊浦高級中學高二期末）一項“過關游戲”規(guī)則規(guī)定：在第〃關要拋擲一顆正

六面體骰子”次，每次擲得的點數均相互獨立，如果這〃次拋擲所出現的點數之和大于2"，

則算過關.

（1）這個游戲最多過幾關？

（2）某人連過前兩關的概率是？

（3）某人連過前三關的概率是？

【答案】（1）4關（29（3）罵

【分析】（1）由題意，可判斷〃44時，6〃>2",當“W5,6〃<2",所以可判斷出最多只能

過4關；（2）記一次拋擲所出現的點數之和大于2為事件A,兩次拋擲所出現的點數之和大

4

丁2?為事件&,得基本事件的總數以及滿足題意的基本事件的個數，計算出P（A）=z，

O

P（A2）=1-^=|,從而根據概率相乘求解得連過前兩關的概率；（3）設前兩次和為

366

a,2<a<l2,第三次點數為瓦14846,列出第三關過關的基本事件的個數，利用概率相乘

即可得連過前三關的概率.

(1)因為骰子出現的點數最大為6,當“44時,6〃>2",而V〃25,6〃<2",所以〃N5時,這

?次拋擲所出現的點數之和均小于2"，所以最多只能過4關.

(2)記一次拋擲所出現的點數之和大于2為事件A,基本事件總數為6個，符合題意的點數為

4

3,45,6,共4個，所以尸(4)=工：記兩次拋擲所出現的點數之和大于2?為事件為,基本事

件總數為6x6=36個,不符合題意的點數為(1,1),。,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),共6個，則由

對立事件的概率得P(4)=I-三=2,所以連過前兩關的概率為P(A4)=±xZ=1；

366669

(3)前兩次和為a,2<a<12f第三次點數為bA<b<6

則考慮。+“8

a+b=

3+6,

4+5,4+6,

5+4,5+5,5+6,

6+3,6+4,6+5,6+6,

7+2,7+3,7+4,7+5,7+6,

8+1,8+2,8+3,8+4,8+5,8+6,

9+1,9+2,9+3,9+4,9+5,9+6,

10+1,10+2,10+3,10+4/0+5,10+6,

11+1,11+2,11+3,11+4,114-5,11+6,

12+1,12+2,12+3,12+4,12+5,12+6,

再考慮。

3=14-2,2+12種

4=1+3,3+1,2+23種

5=1+44+1,2+3,3+24種

6=1+5,5+1,2+4,4+2,3+35種

7=1+6,6+1,2+5,5+2,3+4,4+36種

8=2+6,6+2,3+5,5+34+45種

9=3+6,6+3,4+5,5+44種

10=4+6,6+4,5+53種

11=5+6,6+52種

12=6+61種

所以滿足。+匕>8共有1X2+2X3+3X4+4X5+5X6+6X(5+4+3+2+1)=160.

因此某人連過前三關的概率是w等=絲.

6663243

10.（2021.上海市控江中學高二階段練習）如圖所示為M、N兩點間的電路，在時間T內不

同元件發(fā)生故障的事件是互相獨立的，它們發(fā)生故障的概率如下表所示：

（1）求在時間T內，&與K?同時發(fā)生故障的概率；

⑵求在時間T內，由于或&發(fā)生故障而使得電路不通的概率；

（3）求在時間丁內，由于任意元件發(fā)生故障而使得電路不通的概率.

【答案】（1）0.3；（2）0,8；（3）0.94

【分析】（1）利用獨立事件概率公式即求；

（2）利用互斥事件概率公式及獨立事件概率公式即求；

（3）設表示卬，=1,2,3）發(fā)生故障，由題可得鳥=鳥+尸（4）尸（6）尸（耳）,即得.

⑴設4表示K,（i=l,2）發(fā)生故障，

則P（A）=Q6,P（4）=O5,

單位時間7內，/與勺同時發(fā)生故障的概率：

6=P（A）P（4）=0.6X0.5=0.3.

（2）在時間T內.由于5或勺發(fā)生故障而影響電路的概率：

鳥=P（A）P（X）+尸（A）p（4）+尸（A）尸（4）=0.6x0.5+04x0.5+0.6x0.5=0.8.

（3）設Bi表示￡,（/=1,2,3）發(fā)生故障，則

P（4）=0.4,P（B2）=0.5,尸（員）=0.7,

在時間T內，任一元件發(fā)生故障而影響電路的概率：

月=2+P⑻P⑸嚶）

=0.8+0.4x0.5x0.7

=0.94.

Q鞏固提升

一、單選題

1.（2020?上海?高三專題練習）有3個興趣小組，甲、乙兩位同學各自參加其中一個小組，

每位同學參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學參加同一個興趣小組的概率為

A.|B.1C.|D.?

【答案】A

【詳解】每個同學參加的情形都有3種，故兩個同學參加一組的情形有9種，而參加同一組

的情形只有3種，所求的概率為p=■1=；選A

2.（2016.上海市延安中學高三開學考試）我國古代數學名著《九章算術》有“米谷粒分”題:

糧倉開倉收糧，有人送來米1534石，驗得米內夾谷，抽樣取米一把，數得254粒內夾谷28

粒，則這批米內夾谷約為（）

A.134石B.169石C.338石D.1365石

【答案】B

【詳解】設夾谷X石，則急=若，

1I4J，1

1534x28

所以X=?169.1,

254

所以這批米內夾谷約為169石，故選B.

考點：用樣本的數據特征估計總體.

3.（2020?上海?高三專題練習）電子鐘一天顯示的時間是從00:00到23:59的每一時刻都由

四個數字組成，則一天中任一時刻的四個數字之和為23的概率為

A.---B.---C.---D.---

180288360480

【答案】c

試題分析：由于一天有1440分鐘，所以有1440種不同的結果，其中符合要求的有19：49,

41

19：58,18：59,09：59共四種，所以所求概率為*=江.

71T440360

考點：本小題主要考查古典概型求概率.

點評：古典概型求概率，要保證每個基本事件都是等可能的.

二、填空題

4.（2021?上海?高三專題練習）若生產某種零件需要經過兩道工序，在第一、二道工序中生

產出廢品的概率分別為0.01、0.02,每道工序生產廢品相互獨立，則經過兩道工序后得到的

零件不是廢品的概率是（結果用小數表示）

【答案】0.9702

【分析】利用對立事件概率計算公式和相互獨立事件概率乘法公式能求出經過兩道工序后得

到的零件不是廢品的概率.

【詳解】生產某種零件需要經過兩道工序，在第一、二道工序中生產出廢品的概率分別0.01、

0.02,

每道工序生產廢品相互獨立，

則經過兩道工序后得到的零件不是廢品的概率：

p=（1-0.01）（I-0.02）=0.9702.

故答案為0.9702.

【點睛】本題考查概率的求法，考查對立事件概率計算公式和相互獨立事件概率乘法公式等

基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.

5.（2020?上海?高三專題練習）從甲、乙、丙、丁4名同學中選2名同學參加志愿者服務，則甲

、乙兩人都沒有被選到的概率為（用數字作答）.

【答案】

O

【解析】先計算出從4名同學中選2名同學的情況，再計算出甲、乙兩人都沒有被選到的情

況，即可求出概率.

【詳解】解：從4名同學中選2名同學共有盤=4等x3=6種，

甲、乙兩人都沒有被選到有1種，

甲、乙兩人都沒有被選到的概率為3

O

6.（2021.上海金山?一模）在五個數字1、2、3、4、5中，若隨機取出三個數字，則剩下

的兩個數字都是奇數的概率是.

3

【答案】—.

10

【詳解】在五個數字1、2、3、4、5中，若隨機取出三個數字，共有C；=10種不同的

方法，而剩下的兩個數字都是奇數的基本事件有（1,3）,（1,5）,（3,5）,共3種不同情況；由古

3

典概型的概率公式，得剩下的兩個數字都是奇數的概率乎=—.

10

考點：古典概型.

7.（2017.上海.模擬預測）我國古代數學名著《九章算術》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧,

有人送來1524石，驗得米內夾谷，抽樣取米一把，數得254粒內夾谷28粒，則這批米內夾

谷約為石.

【答案】168石

試題分析：由題意，得這批米內夾谷約為1524x京=168石.

考點：用樣本估計總體.

8.（2022?上海市建平中學高三期中）通過手機驗證碼登錄哈嘍單車4即，驗證碼由四位不

同數字隨機組成，如某人收到的驗證碼（4，/，/，，）滿足4<%<%<%，則稱該驗證碼為

遞增型驗證碼，某人收到一個驗證碼，那么是首位為2的遞增型驗證碼的概率為

【答案】2

O

【分析】利用概率的定義進行求解即可.

【詳解】「4=2,2<a2<a3<aA,：.a2,%、%從中3~9選,

.p_C_1

只要選出3個數，讓其按照從小到大的順序排，分別對應生，4嗎即可,

故答案為：—

6

【點睛】本題考查概率的定義，屬于簡單題

9.（2022.上海.高三專題練習）從3個函數：y=x±y=x2和丫=*中任取2個，其積函數

在區(qū)間（一應0）內單調遞增的概率是.

【答案】|

【分析】由題意，分析積函數是否在區(qū)間（-8,0）內單調遞增，最后根據古典概型計算概率

即可.

【詳解】從三個函數中任取兩個函數共有3種取法，

552

若取y=戶?,y=/，積函數為丁=/，所以

525

因為當X<0時，爐=#>0,所以函數y=Q在（-8,0）單調遞增；

若取,=￡3和丫=》，積函數y=x3,所以y=（x3,

2--2

因為當X<O0寸，y=-x3<0,所以函數丫_/在（一°°，0）單調遞減；

3y-x

若取丫=/和>=%,積函數y=d,所以、=3/,

因為當x<0時，y=3/>0,所以函數y=/在（-8,0）單調遞增；

故滿足題意的有2個積函數，所以概率值為:，

故答案為：

【點睛】有關古典概型的概率問題，關鍵是正確求出基本事件總數和所求事件包含的基本事

件數.（1）基本事件總數較少時，用列舉法把所有基本事件一一列出時，要做到不重復、不

遺漏，可借助"樹狀圖''列舉.（2）注意區(qū)分排列與組合，以及計數原理的正確使用.

10.（2022.上海市松江二中高三開學考試）隨機擲兩枚質地均勻的骰子，它們向上的點數之

和不超過5的概率為.

【答案】焉

【分析】先求出所有可能的點數組合數，再列舉出所有點數和不超過5的組合，應用古典概

率的求法求概率.

【詳解】兩枚骰子可能點數組合有6x6=36種，而點數和不超過5的組合有（1,1）、（1,2）、（1,3）、

（1,4）、（2,1）、（2,2）、（2,3）、（3,1）、（3,2）、（4,1）共有10種,

所以向上的點數之和不超過5的概率為［=

3618

故答案為：y—.

1o

11.（2022?上海市實驗學校高三階段練習）設M、N為兩個隨機事件，給出以下命題：

(1)若為互斥事件，且P（M）=0.5,P(N)=0.25,貝iJP(MuN)=0.45

若P（M）=g,P（N）=；,P(MN)=1

(2),則M、N為相互獨立事件；

若P（法）=g,尸（N）=g,「(MN).

(3)，則M、N為相互獨立事件；

若P（"）=g，尸儼）=g，尸(MN)=、

(4),則M、N為相互獨立事件；

若P（"）=g，尸（N）=g，尸回）=1

(5),則M、N為相互獨立事件；

其中正確命題的個數為.

【答案】3

【分析】根據互斥事件的加法公式，易判斷（1）的正誤：根據相互對立事件的概率和為1,

結合相互獨立事件M,N的概率滿足P（MN）=P（〃）.P（N）,可判斷（2）、（3）、（4）、（5）

的正誤.

【詳解】若"，N為互斥事件，且P（"）=0.5,P（27）=0.25,

則P（MuN）=0.75,故（1）錯誤；

若尸（M）=1，P（N）=?,P（MN）=!,

236

則由相互獨立事件乘法公式知為相互獨立事件，故（2）正確；

若P⑻=；,P（N）=g,尸（MN）=g,

則尸（M）=l_p（A?）=g,P（MN）=P（仞）.P（N）,

由對立事件概率計算公式和相互獨立事件乘法公式知M,N為相互獨立事件，故（3）正確；

若P（M）=；，咿）=*（MN）=g,

_o1o1

當M,N為相互獨立事件時，P（2V）=l-P（W）=-,p（MN）=-x-=_,故（4）錯誤；

若尸（M）=g,尸（N）=；,P（麗）=:,

則P（MN）=P（M>P（N）=\,P（^7）=1_P（MN）

由對立事件概率計算公式和相互獨立事件乘法公式知為相互獨立事件，故（5）正確.

故正確命題的個數為3.

故答案為：3.

12.（2022.上海.模擬預測）一名醫(yī)護人員維護3臺獨立的呼吸機，一周內這些呼吸機需要維

護的概率分別為0.9,0.8和0.5,則一周內至少有一臺呼吸機不需要維護的概率為

（結果用小數表示）

【答案】0.64#^|

【詳解】由題意，一周內這些呼吸機需要維護的概率分別為0.9,0.8和0.5,

可得“3臺都需要維護”的概率為0.9x0.8x0.5=0.36,

所以“至少有一臺呼吸機不需要維護'’的概率為1-0.36=0.64.

故答案為：0.64#^|.

13.（2022?上海?高三專題練習）設〃€{1,3,5},Z>e{2,4,6},則函數是減函數的

Ix

概率為.

【答案】I2

【分析】由復合函數的單調性推出2>i,即可利用古典概型概率公式進行計算.

a

【詳解】:。€{1,3,5}力€{2,4,6},.?.基本事件總數“=3x3=9,

???函數f（x）=，ogj是減函數，且函數y」在（9,0）,（0,”）上單調遞減，

aXX

??.，>1,則函數〃x）=四」是減函數包含的基本事件（a,b）有：

(1,2),(1,4),(1,6),(3,4),(3,6),(5,6)，共6個,

，函數〃x)=/ogj是減函數的概率為5=；.

0

故答案為：—

【點睛】本題考查古典概型，涉及對數函數的單調性、復合函數的單調性，屬于基礎題.

14.(2022?上海?高三專題練習)非空集合A中所有元素乘積記為T(A).已知集合

M={14,5,7,8},從集合M的所有非空子集中任選一個子集A,則7(A)為偶數的概率是

.(結果用最簡分數表示)

【答案】奈24

【分析】先求出渠合M的所有非空子集的個數，然后求出7(A)為奇數的集合A的個數，從

而求出T(A)為偶數的集合A的個數，最后由古典概型的概率計算公式可求.

【詳解】解：因為集合加={1,4,5,7,8},所