超幾何分布高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊

第七章隨機(jī)變量及其分布7.4.2超幾何分布7.4二項(xiàng)分布與超幾何分布2024/6/26實(shí)例引入，提出問題

抽象概念，內(nèi)涵辨析問題2：上述問題中不服從二項(xiàng)分布.你能說說這類不放回簡單抽樣的特征嗎？你能根據(jù)這些特征嘗試歸納出這一類分布的概念嗎？一般地,假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件,其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù),則X的分布列為其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,

m＝max{0,n-N+M},

r＝min{n,M}.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式,那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.MN－M記為X~H(N,n,M).注意：(1)“總體由差異較明顯的兩類個(gè)體組成”：

如“男生、女生”，“正品、次品”;(2)不放回抽樣(3)注意分布列的表達(dá)式中，各個(gè)字母的含義及隨機(jī)變量的取值范圍.抽象概念，內(nèi)涵辨析追問：公式中的各個(gè)字母含義是什么？

抽象概念，內(nèi)涵辨析例4從50名學(xué)生中隨機(jī)選出5名學(xué)生代表，求甲被選中的概率.抽象概念，內(nèi)涵辨析例5一批零件共有30個(gè)，其中有3個(gè)不合格.隨機(jī)抽取10個(gè)零件進(jìn)行檢測，求至少有1件不合格的概率.

抽象概念，內(nèi)涵辨析問題3根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)，定義完超幾何分布后，接下來要研究什么？追問：你能推導(dǎo)出服從超幾何分布的隨機(jī)變量的均值嗎？設(shè)隨機(jī)變量X服從超幾何分布，則X可以解釋為從包含M件次品的N件產(chǎn)品中，不放回地隨機(jī)抽取n件產(chǎn)品中的次品數(shù).令，則p是N件產(chǎn)品的次品率，而是抽取的n件產(chǎn)品的次品率.我們猜想抽象概念，內(nèi)涵辨析下面對均值進(jìn)行證明.證明：令m＝max{0,n-N+M},

r＝min{n,M}.

由隨機(jī)變量的定義：當(dāng)m>0時(shí)，當(dāng)m=0時(shí)，類似可以證明結(jié)論依然成立.

例題練習(xí)，鞏固理解解：(1)對于有放回摸球，每次摸到黃球的概率為0.4，且各次試驗(yàn)之間的結(jié)果是獨(dú)立的，因此X~B(20,0.4)，X的分布列為例6一個(gè)袋子中有100個(gè)大小相同的球，其中有40個(gè)黃球、60個(gè)白球，從中隨機(jī)地摸出20個(gè)球作為樣本.用X表示樣本中黃球的個(gè)數(shù).(1)分別就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列；(2)分別就有放回摸球和不放回摸球，用樣本中黃球的比例估計(jì)總體中黃球的比例，求誤差不超過0.1的概率.對于不放回摸球,各次試驗(yàn)的結(jié)果不獨(dú)立,X服從超幾何分布,X的分布列為例題練習(xí)，鞏固理解(2)利用統(tǒng)計(jì)軟件計(jì)算出兩個(gè)分布列的概率值(精確到0.00001),如下表所示.樣本中黃球的比例是一個(gè)隨機(jī)變量,根據(jù)表中數(shù)據(jù)計(jì)算得因此,在相同的誤差限制下,采用不放回摸球估計(jì)的結(jié)果更可靠些.不放回摸球:有放回摸球:例題練習(xí)，鞏固理解兩種摸球方式下，隨機(jī)變量X分別服從二項(xiàng)分布和超幾何分布，雖然這兩種分布有相等的均值(都是8)，但從兩種分布的概率分布圖(如下圖)看，超幾何分布更集中在均值附近.二項(xiàng)分布和超幾何分布都可以描述隨機(jī)抽取的n件產(chǎn)品中次品數(shù)的分布規(guī)律，并且二者的均值相同.對于不放回抽樣，當(dāng)n遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于N時(shí)，每抽取一次后，對N的影響很小，此時(shí)，超幾何分布可以用二項(xiàng)分布近似.例題練習(xí)，鞏固理解問題4二項(xiàng)分布與超幾何分布的聯(lián)系與區(qū)別是什么？抽樣方式有放回二項(xiàng)分布無放回超幾何分布

小結(jié)提升，提升結(jié)構(gòu)問題5

回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，并回答下列問題：（1）超幾何分布的分布列是怎樣的？（2）超幾何分布的均值是多少？（3