新高考地區(qū)專用2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末模擬考試01北師大版2024必修第一冊(cè)全冊(cè)含解析

Page152024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末模擬卷（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）留意事項(xiàng)：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。4．測(cè)試范圍：北師大版2024必修第一冊(cè)全冊(cè)。5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知命題，0，則的一個(gè)必要不充分條件是（

）A．3 B．C． D．【答案】C【分析】分別參數(shù)，把恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解的最值問(wèn)題，從而求出充要條件，依據(jù)必要不充分條件的定義求解即可．【詳解】依據(jù)題意可得，即,令，可得時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；即只需即可；再由必要不充分條件的定義可得符合題意.故選：C2．高一（8）班共有30名同學(xué)參與秋季運(yùn)動(dòng)會(huì)中的100米短跑、立定跳遠(yuǎn)、跳高三項(xiàng)競(jìng)賽.已知參與100米短跑競(jìng)賽的有12人，參與立定跳遠(yuǎn)競(jìng)賽的有16人，參與跳高競(jìng)賽的有13人，同時(shí)參與其中兩項(xiàng)競(jìng)賽的有9人，則這三項(xiàng)競(jìng)賽都參與的有（

）A．3人 B．2人 C．1人 D．4人【答案】C【分析】作出圖形即可得到方程，解出即可.【詳解】設(shè)這三項(xiàng)競(jìng)賽都參與的有人，則，解得．故選：C.

3．已知一組數(shù)，，，的平均數(shù)是，方差，則數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)和方差分別是（

）A．3，4 B．2，8 C．2，4 D．5，8【答案】D【分析】依據(jù)平均數(shù)和方差的性質(zhì)運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為，方差是.故選：D.4．我國(guó)聞名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說(shuō)：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休．在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和探討中，常用函數(shù)的圖象來(lái)探討函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來(lái)琢磨函數(shù)的圖象特征，如函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先依據(jù)確定奇偶性，解除兩個(gè)選項(xiàng)，再由函數(shù)值的正負(fù)解除一個(gè)選項(xiàng)，得出正確結(jié)論．【詳解】記，函數(shù)定義域?yàn)?，則，所以函數(shù)為奇函數(shù)，解除BC，又當(dāng)時(shí)，，解除D，故選：A5．從甲口袋內(nèi)摸出一個(gè)白球的概率是，從乙口袋內(nèi)摸出一個(gè)白球的概率是，從兩個(gè)口袋內(nèi)各摸1個(gè)球，那么概率為的事務(wù)是（

）A．兩個(gè)都不是白球 B．兩個(gè)不全是白球C．兩個(gè)都是白球 D．兩個(gè)球中恰好有一個(gè)白球【答案】B【分析】由條件可干脆求出兩個(gè)球全是白球的概率為，從而得到兩個(gè)球不全是白球的概率為，由此得出結(jié)論.【詳解】解：∵從甲口袋內(nèi)摸出一個(gè)白球的概率是，從乙口袋內(nèi)摸出一個(gè)白球的概率是，故兩個(gè)球全是白球的概率為，故兩個(gè)球不全是白球的概率為，故選：B.6．若存在正實(shí)數(shù)x，y滿意于，且使不等式有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，解一元二次不等式即可.【詳解】因?yàn)?，且，所以．?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，即，解得或，所以m的取值范圍是．故選：D．7．已知函數(shù)，隨意，都有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】依據(jù)題意得出函數(shù)在上單調(diào)遞減，再利用分段函數(shù)的單調(diào)性列不等式組即可得出結(jié)果.【詳解】由隨意，都有，可知在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，由于函數(shù)不為減函數(shù)，所以不滿意題意，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為開(kāi)口向上的二次函數(shù)，明顯在時(shí)不單調(diào)遞減，故不滿意題意，故，解得，故選：A.8．由于我國(guó)與以美國(guó)為首的西方國(guó)家在科技領(lǐng)域內(nèi)的競(jìng)爭(zhēng)日益激烈，美國(guó)加大了對(duì)我國(guó)一些高科技公司的打壓，為突破西方的技術(shù)封鎖和打壓，我國(guó)的一些科技企業(yè)主動(dòng)實(shí)施了獨(dú)立自主?自食其力的策略，在一些領(lǐng)域取得了驕人的成果.我國(guó)某科技公司為突破“芯片卡頸項(xiàng)”問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)芯片制造的國(guó)產(chǎn)化，加大了對(duì)相關(guān)產(chǎn)業(yè)的研發(fā)投入.若該公司2024年全年投入芯片制造方面的研發(fā)資金為120億元，在此基礎(chǔ)上，支配以后每年投入的研發(fā)資金比上一年增長(zhǎng)9%，則該公司全年投入芯片制造方面的研發(fā)資金起先超過(guò)200億元的年份是（

）參考數(shù)據(jù)：.A．2024年 B．2025年 C．2026年 D．2027年【答案】C【分析】依據(jù)題意列出不等關(guān)系，然后結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算化簡(jiǎn)求出年份即可.【詳解】設(shè)2024年后第年該公司全年投入芯片制造方面的研發(fā)資金起先超過(guò)200億元，由得，兩邊同取常用對(duì)數(shù)，得，所以，所以從2026年起先，該公司全年投入芯片制造方面的研發(fā)資金起先超過(guò)200億元.故選：C.選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得09．在甲、乙兩個(gè)盒子中分別裝有標(biāo)號(hào)為1，2，3的三個(gè)小球，現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)盒子中各取出1個(gè)球，每個(gè)球被取出的可能性相等.下列說(shuō)法正確的是（

）A．取出的兩個(gè)球上標(biāo)號(hào)為不同數(shù)字的概率為B．取出的兩個(gè)球上標(biāo)號(hào)之積能被3整除的概率為C．取出的兩個(gè)球上標(biāo)號(hào)為相同數(shù)字的概率為D．甲盒中取出的球上標(biāo)號(hào)比乙盒中取出的球上標(biāo)號(hào)大的概率為【答案】BCD【分析】利用古典概率模型求解.【詳解】由題，樣本空間為，共9個(gè)樣本點(diǎn)，對(duì)A，取出的兩個(gè)球上標(biāo)號(hào)為不同數(shù)字的概率為，A錯(cuò)誤；對(duì)B，取出的兩個(gè)球上標(biāo)號(hào)之積能被3整除的樣本點(diǎn)有共5個(gè)，所以概率為，B正確；對(duì)C，取出的兩個(gè)球上標(biāo)號(hào)為相同數(shù)字的概率為，C正確；對(duì)D，甲盒中取出的球上標(biāo)號(hào)比乙盒中取出的球上標(biāo)號(hào)大的基本領(lǐng)件有共3個(gè)，所以甲盒中取出的球上標(biāo)號(hào)比乙盒中取出的球上標(biāo)號(hào)大的概率，D正確；故選:BCD.10．已知關(guān)于的不等式的解集為，則（

）A．B．不等式的解集為C．D．不等式的解集為【答案】BD【分析】一元二次不等式的解的端點(diǎn)即為對(duì)應(yīng)的一元二次方程的解，再依據(jù)開(kāi)口確定的正負(fù).【詳解】因?yàn)榈慕饧癁?，所以，解得，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B：將代入可得，解得，B正確；對(duì)于C：不等式的解集為，所以時(shí)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D：將代入可得，即，解得，D正確，故選：BD11．若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍所構(gòu)成集合的子集為（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】由題意，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合即可求b的范圍，再求其子集即可.【詳解】令，，在同始終角坐標(biāo)系內(nèi)，作函數(shù)圖象如圖，

因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，所以與只需兩個(gè)不同的交點(diǎn)，由圖象可知，，所以實(shí)數(shù)的取值范圍所構(gòu)成集合為，其子集為，.故選：AC12．高斯是德國(guó)聞名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，．已知函數(shù)，則關(guān)于函數(shù)的敘述中不正確的是（

）A．是上的增函數(shù) B．C．的值域是 D．的值域是【答案】ABC【分析】舉反例得到ABC錯(cuò)誤，變換，確定，得到答案.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：，，，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B：，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C：，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D：，，，的值域是，正確；故選：ABC.第Ⅱ卷三．填空題本題共4小題，每小題5分，共20分13．已知函數(shù)為奇函數(shù)，則的值為．【答案】【分析】依據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求即可.【詳解】定義在上函數(shù)為奇函數(shù)，則，解之得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.故答案為：-1.14．某單位200名職工的年齡分布狀況如圖所示，現(xiàn)用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為40的樣本，則應(yīng)抽取50歲以上年齡段的職工人.

【答案】8【分析】依據(jù)題意，由分層抽樣的計(jì)算公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】50歲以上年齡段的職工數(shù)為，則應(yīng)抽取的人數(shù)為，即應(yīng)抽取50歲以上年齡段的職工8人.故答案為：815．函數(shù)的值域?yàn)?【答案】【分析】利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】設(shè)，，則，所以，等號(hào)成立所以函數(shù)的值域?yàn)?故答案為：.16．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，滿意，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且，則；.附注：.【答案】【分析】依據(jù)已知可得的圖象關(guān)于對(duì)稱、關(guān)于直線對(duì)稱，利用對(duì)稱性可得的周期，結(jié)合已知條件和周期即可求和.【詳解】因?yàn)椋院瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且；又的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，即為偶函數(shù)，所以，所以以4為周期，所以，，，，所以，因?yàn)?，所以，同理，，，，，所?所以.故答案為：；【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：依據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性得函數(shù)的周期，從而利用周期和對(duì)稱性求和是解決本題的關(guān)鍵.四．解答題：本題共6小題，17題10分，剩下每題12分。共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟17．某校從參與數(shù)學(xué)競(jìng)賽的同學(xué)中選取100名同學(xué)將其成果（百分制，均為整數(shù)分?jǐn)?shù)）分成五組，得到如下頻率分布表：分?jǐn)?shù)段頻率0.10.30.130.07(1)估計(jì)這100名學(xué)生的平均成果（同一組中的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間中點(diǎn)值為代表）；(2)依據(jù)頻率分布表，估算這100名學(xué)生成果的第85百分位數(shù)（結(jié)果保留一位小數(shù)）．【答案】(1)72.7(2)第85百分位數(shù)為83.8．【分析】（1）先求，再利用平均數(shù)的計(jì)算公式可得答案；（2）依據(jù)百分位數(shù)的求法，結(jié)合分布表可求答案.【詳解】（1）依題意有，100名學(xué)生的平均成果為；（2）由（1）知內(nèi)有80個(gè)數(shù)，估計(jì)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生成果從低到高占位的數(shù)，則，，故第85百分位數(shù)為83.8．18．已知集合.(1)若“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）依據(jù)充分不必要條件可以得出，再列出不等式組計(jì)算即可.（2）分和兩種狀況分類探討集合間關(guān)系列不等式求解即可.【詳解】（1）由題意，，解得，.由“”是“”的充分不必要條件，得，則且等號(hào)不能同時(shí)取到，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）當(dāng)時(shí)，得，即，符合題意；當(dāng)時(shí)，得，即，由，得或，解得或，或；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.19．某單位有員工1000名，平均每人每年創(chuàng)建利潤(rùn)10萬(wàn)元，為了增加企業(yè)競(jìng)爭(zhēng)力，確定優(yōu)化產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，調(diào)整出名員工從事第三產(chǎn)業(yè)，調(diào)整出的員工平均每人每年創(chuàng)建利潤(rùn)為萬(wàn)元，剩余員工平均每人每年創(chuàng)建的利潤(rùn)可以提高.(1)若要保證剩余員工創(chuàng)建的年總利潤(rùn)不低于原來(lái)1000名員工創(chuàng)建的年總利潤(rùn)，則最多調(diào)整出多少名員工從事第三產(chǎn)業(yè)？(2)在（1）的條件下，若調(diào)整出的員工創(chuàng)建的年總利潤(rùn)始終不高于剩余員工創(chuàng)建的年總利潤(rùn)，則的取值范圍是多少？【答案】(1)500名(2)【分析】（1）求出剩下名員工創(chuàng)建的利潤(rùn)列不等式求解；（2）依據(jù)題意得到，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】（1）由題意得：，即，又，所以.即最多調(diào)整500名員工從事第三產(chǎn)業(yè).（2）從事第三產(chǎn)業(yè)的員工創(chuàng)建的年總利潤(rùn)為萬(wàn)元，從事原來(lái)產(chǎn)業(yè)的員工的年總利潤(rùn)為萬(wàn)元，則所以所以，即恒成立，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.所以，又，所以，即的取值范圍為.20．甲、乙兩人組成“九章隊(duì)”參與青島二中數(shù)學(xué)學(xué)科周“最強(qiáng)大腦”競(jìng)賽，每輪競(jìng)賽由甲、乙各猜一個(gè)數(shù)學(xué)名詞，已知甲每輪猜對(duì)的概率為，乙每輪猜對(duì)的概率為．在每輪競(jìng)賽中，甲和乙猜對(duì)與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響．(1)求甲兩輪至少猜對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)名詞的概率；(2)求“九章隊(duì)”在兩輪競(jìng)賽中猜對(duì)三個(gè)數(shù)學(xué)名詞的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）依據(jù)相互獨(dú)立事務(wù)的乘法概率公式計(jì)算即可；（2）兩人分別猜兩次，總共四次中有一次沒(méi)猜對(duì)，分四種狀況計(jì)算可得答案.【詳解】（1）設(shè)甲兩輪至少猜對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)名詞為事務(wù)，.（2）設(shè)事A＝“甲第一輪猜對(duì)”，B＝“乙第一輪猜對(duì)”，C＝“甲其次輪猜對(duì)”，D＝“乙其次輪猜對(duì)”，E＝““九章隊(duì)”猜對(duì)三個(gè)數(shù)學(xué)名詞”，所以，則，由事務(wù)的獨(dú)立性與互斥性，得，故“九章隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中猜對(duì)三個(gè)數(shù)學(xué)名詞的概率為．21．若非零函數(shù)對(duì)隨意x，y均有，且當(dāng)時(shí)，.(1)求，并證明；(2)求證：為上的減函數(shù)；(3)當(dāng)時(shí)，對(duì)時(shí)恒有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)或或【分析】（1）取可得，取，計(jì)算時(shí)的即可；（2）任取，通過(guò)計(jì)算的符號(hào)來(lái)證明；（3）先求出，再利用函數(shù)單調(diào)性去掉不等式中的，得到關(guān)于的一次不等式恒成立問(wèn)題，干脆依據(jù)范圍的端點(diǎn)處成立來(lái)列不等式求解即可.【詳解】（1）取得，又，，取得，當(dāng)時(shí)，，，，綜合得；（2）任取，，則，由得，，，，為上的減函數(shù)；（3）取得，，，又由（2）為上的減函數(shù)得，即對(duì)時(shí)恒有，，解得或或.所以或或22．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間（不必寫(xiě)明證明過(guò)程）；(2)推斷函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由;(3)當(dāng)時(shí)，對(duì)隨意的，恒有成立，求的最大值.【答案】(1)的單調(diào)遞增區(qū)間為；(2)見(jiàn)解析；(3)10.【分析】（1）依據(jù)題意，求出，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求得答案；（2）依據(jù)函數(shù)奇偶性