浙江省紹興市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中測(cè)試試題含解析

Page21留意事項(xiàng)：1.考試時(shí)間：120分鐘；2.答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息3．請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題只有一項(xiàng)是符合要求）1.若直線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)和，則它的傾斜角是（）A. B. C. D.或【答案】C【解析】【分析】求出直線的斜率，進(jìn)而可求得該直線的傾斜角．【詳解】由題意可知，直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，則，明顯，所以，得．故選：C．2.直線x-2y-1=0與直線x-2y-c=0的距離為2，則c的值為（）A.9 B.11或 C. D.9或【答案】B【解析】【分析】由題意利用兩條平行線間的距離公式，可的c的值.【詳解】解：直線x-2y-1=0與直線x-2y-c=0的距離為2，，解得：c=11或c=-9.故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查兩平行線間的距離公式，相對(duì)簡(jiǎn)潔.3.方程不能表示圓，則實(shí)數(shù)的值為A.0 B.1 C. D.2【答案】A【解析】【分析】先假設(shè)方程可以表示圓得到的值，從而可得到不能表示圓時(shí)a的值.【詳解】方程能表示圓，則，解得，即.所以，若方程不能表示圓，則.故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的一般方程及正難則反的數(shù)學(xué)思想.4.若圓，圓，則，的公切線條數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】先得圓的方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，得到圓心和半徑，得到兩圓的位置關(guān)系即可得公切線的條數(shù).【詳解】依題意，圓，圓心為，半徑為3；圓，圓心為，半徑為6；因?yàn)?，故圓，相交，有2條公切線，故選：B.5.已知，則“”是“曲線表示橢圓”的（）A.充分不必要條件 B.充要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】求得方程表示橢圓的充要條件所對(duì)應(yīng)的m的范圍，再依據(jù)充分必要條件的定義推斷即可．【詳解】若方程表示橢圓，則，解得且，所以“”是“曲線表示橢圓”的必要不充分條件.故選：C．6.直線分別與軸，軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的最小值為（）A.6 B. C.12 D.【答案】A【解析】【分析】確定，兩點(diǎn)坐標(biāo)，再依據(jù)點(diǎn)到直線距離確定到距離的最小值，進(jìn)而求得三角形面積的最小值.【詳解】，，∴，圓的圓心到直線的距離，∴到距離的最小值為，∴面積的最小值為，故選：A.7.三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，，N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在上，且滿意，當(dāng)直線PN與平面ABC所成的角最大時(shí)的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角公式，求出直線PN與平面ABC所成的角，即可求得結(jié)論．【詳解】如圖，以AB，AC，分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，平面ABC的一個(gè)法向量為，設(shè)直線PN與平面ABC所成的角為，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)角最大．故選：D．8.已知橢圓的左右焦點(diǎn)為，過的直線與橢圓交于AB兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】在中，由余弦定理可得的長(zhǎng)度，進(jìn)而依據(jù)邊的關(guān)系得為直角三角形，依據(jù)焦點(diǎn)三角形即可得關(guān)系.【詳解】設(shè)則，所以由于，所以為銳角，故，在中，由余弦定理得，因此,故為直角三角形，所以，由的周長(zhǎng)為，所以故，故選：B二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.下面四個(gè)結(jié)論正確的是（）A.向量，若，則B.若空間四個(gè)點(diǎn)，，，，，則，，三點(diǎn)共線C.已知向量，，若，則D.隨意向量，滿意【答案】ABC【解析】【分析】由空間向量的數(shù)量積及其運(yùn)算性質(zhì)可推斷A，由空間向量的基本定理與共線定理以及向量基底可推斷B，依據(jù)空間向量共線的坐標(biāo)表示可推斷C，利用數(shù)量積的定義推斷D.【詳解】對(duì)于A：因?yàn)椋?，則，正確；對(duì)于B：因?yàn)?，則，即，又與有公共點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線，正確；對(duì)于C：因?yàn)橄蛄?，，，所以存在，使得，即，則，解得，正確；對(duì)于D：表示平行于的向量，表示平行于的向量，當(dāng)與不平行時(shí)，確定不成立，錯(cuò)誤.故選：ABC10.關(guān)于直線：，以下說法正確的是（）A.直線過定點(diǎn)B.若，直線與垂直C.時(shí)，直線不過第一象限D(zhuǎn).時(shí)，直線過其次，三，四象限【答案】ABD【解析】【分析】利用分別參數(shù)法、直線的斜截式方程以及兩直線垂直的判定求解.【詳解】直線：可變形為：，由解得，所以直線過定點(diǎn)，故A正確；當(dāng)，直線：，所以與直線的斜率之積為，即兩直線垂直，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，直線：可變形：，當(dāng)時(shí)，，直線經(jīng)過第一，二，三，象限，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，直線：，當(dāng)時(shí)，，直線經(jīng)過其次，三，四象限，故D正確；故選：ABD．11.在平面直角坐標(biāo)系中，已知，若動(dòng)點(diǎn)滿意，則（）A.存在點(diǎn)，使得 B.面積的最大值為C.對(duì)隨意的點(diǎn)，都有 D.有且僅有個(gè)點(diǎn)，使得的面積為【答案】ABD【解析】【分析】依據(jù)題意求得P的軌跡是橢圓為，從而推斷橢圓上是否存在點(diǎn)，使得；當(dāng)點(diǎn)P為橢圓上、下頂點(diǎn)時(shí)，面積的取最大值；由橢圓定義知，，驗(yàn)證C選項(xiàng)；求得使得的面積為的P點(diǎn)坐滿意的關(guān)系，與橢圓聯(lián)立，依據(jù)判別式推斷交點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】由題知，點(diǎn)P的軌跡是，，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則，橢圓方程，當(dāng)點(diǎn)P為橢圓右頂點(diǎn)時(shí)，，故A正確；當(dāng)點(diǎn)P為橢圓上、下頂點(diǎn)時(shí)，面積的取最大值，為，故B正確；，因，故C錯(cuò)誤；設(shè)使得的面積為的P點(diǎn)坐標(biāo)為，由坐標(biāo)知，，直線的方程為，則，解得或，聯(lián)立，化簡(jiǎn)得，則，因此存在兩個(gè)交點(diǎn)；同理可得直線與橢圓僅有一個(gè)交點(diǎn)；綜上，有且僅有個(gè)點(diǎn)，使得的面積為，故D正確；故選：ABD12.如圖，點(diǎn)E是正方體的棱的中點(diǎn)，點(diǎn)M在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線與直線始終是異面直線B.存在點(diǎn)，使得C.四面體的體積為定值D.H為線段的中點(diǎn)，【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)位于中點(diǎn)時(shí)，與共面；對(duì)于選項(xiàng)B和D可接受空間向量計(jì)算，對(duì)于C選項(xiàng)，連接,交于，此時(shí)，易證所以四面體的體積為定值，由面面平行的判定定理得出平面平面，進(jìn)而可得平面.【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，連接交與，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，直線與直線相交，故A選項(xiàng)不正確；對(duì)于C選項(xiàng)，連接,交于，此時(shí)，故線段到平面的距離為定值，所以四面體的體積為定值，故C選項(xiàng)正確；以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖的坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2，則，，，，，，對(duì)于B選項(xiàng)，存在點(diǎn)，使得，則，，，所以，得，故當(dāng)M滿意時(shí)，，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，連接，如下圖所示：因?yàn)镠為AA1的中點(diǎn)，E為DD1的中點(diǎn)，所以所以平面平面，平面，所以平面，故D選項(xiàng)正確；故選：BCD.第II卷（非選擇題）三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.若直線與直線平行，則______．【答案】【解析】【分析】依據(jù)兩直線平行可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，解之即可.【詳解】直線的方程可化為，因?yàn)?，則，解得.故答案為：.14.橢圓：的焦距為4，則的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為____________【答案】【解析】【分析】設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，由題意有，，即可得出．【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，由橢圓的焦距為4，可得．因此橢圓的焦點(diǎn)只能在軸上，可得，解得．所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.故答案為：．15.設(shè)A為圓上的動(dòng)點(diǎn)，是圓的切線且，則P點(diǎn)的軌跡方程是_________【答案】【解析】【分析】依據(jù)切線長(zhǎng)可以求得P點(diǎn)到圓心的距離，代入距離公式即可求得.【詳解】由圓的方程可知，圓心為，半徑，是圓的切線且，則點(diǎn)到圓心的距離為，設(shè)，則，化簡(jiǎn)得.故答案為：16.已知點(diǎn)，直線，且點(diǎn)不在直線上，則點(diǎn)到直線的距離；類比有：當(dāng)點(diǎn)在函數(shù)圖像上時(shí)，距離公式變?yōu)?，依?jù)該公式可求的最小值是____________【答案】4【解析】【分析】依題意可得，，令，則表示半圓上的點(diǎn)到直線和的距離之和，設(shè)為d，則，再結(jié)合圖象進(jìn)行求解.【詳解】解：依題意可得，，令，則，該方程表示以為圓心，以1為半徑半圓，依題意表示該半圓上的點(diǎn)到直線的距離，表示該半圓上的點(diǎn)到直線的距離，則表示半圓上的點(diǎn)到直線和的距離之和，設(shè)為d，則，如圖所示：結(jié)合圖象，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，此時(shí)d取得取小值，則，則的最小值為.故答案為：4.四、解答題（本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知直線l過點(diǎn)P(2，3)，依據(jù)下列條件分別求出直線l的方程:（1）直線l的傾斜角為120°；（2）在x軸、y軸上的截距之和等于0.【答案】（1）x+y-3-2=0；（2）3x-2y=0或x-y+1=0.【解析】【分析】（1）由傾斜角求出斜率，利用直線的點(diǎn)斜式方程即得解；（2）分經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)和不過原點(diǎn)兩種狀況探討，分別設(shè)直線為，+=1(a≠0)，代入點(diǎn)坐標(biāo)即得解【詳解】（1）由直線l的傾斜角為120°，可得斜率k=tan120°=，由直線的點(diǎn)斜式方程可得，y-3=(x-2)，化簡(jiǎn)得直線l的方程為x+y-3-2=0.（2）當(dāng)直線l經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，在x軸、y軸上的截距之和等于0，符合題意，此時(shí)直線l的方程為y=x，即3x-2y=0；當(dāng)直線l不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線l的方程為+=1(a≠0).因?yàn)镻(2，3)在直線l上，所以+=1，解得a=，則直線l的方程為x-y+1=0.綜上所述，直線l的方程為3x-2y=0或x-y+1=0.18.已知圓的圓心在軸上，且經(jīng)過點(diǎn).（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線與圓相交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）依據(jù)題意，設(shè)的中點(diǎn)為，求出的坐標(biāo)，求出直線的斜率，由直線的點(diǎn)斜式方程分析可得答案，設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由圓心的位置分析可得的值，進(jìn)而計(jì)算可得的值，據(jù)此分析可得答案；（2）設(shè)為的中點(diǎn)，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系，分直線的斜率是否存在兩種狀況探討，綜合即可得答案.【詳解】解：（1）設(shè)的中點(diǎn)為，則，由圓的性質(zhì)得，所以，得，所以線段的垂直平分線方程是，設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其中，半徑為，由圓的性質(zhì)，圓心在直線上，化簡(jiǎn)得，所以圓心，，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由（1）設(shè)為中點(diǎn)，則，得，圓心到直線的距離，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，的方程，此時(shí)，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程，即，由題意得，解得；故直線的方程為，即；綜上直線的方程為或.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，涉及直線與圓方程的綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.19.如圖，已知平行六面體的底面是菱形，且，設(shè)，，．（1）用，，表示并求出的長(zhǎng)度；（2）求異面直線與所成角的余弦值．【答案】（1），；（2）．【解析】【分析】（1）依據(jù)已知條件所給基底，利用向量的線性運(yùn)算表示即可；（2）寫出向量，代入公式求夾角即可.【小問1詳解】因?yàn)?，所?=.【小問2詳解】由（1）可知，，，則，因?yàn)楫惷嬷本€夾角的范圍為，故異面直線與所成角的余弦值為.20.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，且橢圓過點(diǎn)．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點(diǎn)是橢圓上隨意一點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）將點(diǎn)代入橢圓方程，結(jié)合橢圓的性質(zhì)得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）由定義得出，結(jié)合橢圓的性質(zhì)得出的取值范圍．【小問1詳解】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，且，則①，又橢圓過點(diǎn)，所以②，聯(lián)立①②解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】

，又，即，當(dāng)時(shí)，最大，為4；當(dāng)或時(shí)，最小，為1，即，即，所以的取值范圍為．21.如圖所示，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面相互垂直，BE∥CF，∠BCF=∠CEF=90°,AD=,EF=2.(1)求證:AE∥平面DCF;(2)當(dāng)AB的長(zhǎng)為何值時(shí),二面角A—EF—C的大小為60°?【答案】(1)證明略(2)當(dāng)AB為時(shí)，二面角A—EF—C的大小為60°【解析】【詳解】方法一（1）過點(diǎn)E作EG⊥CF交CF于G，連接DG.可得四邊形BCGE為矩形，又四邊形ABCD為矩形，所以ADEG，從而四邊形ADGE為平行四邊形，故AE∥DG.因?yàn)锳E平面DCF，DG平面DCF，所以AE∥平面DCF.（2）過點(diǎn)B作BH⊥EF交FE的延長(zhǎng)線于H，連接AH.由平面ABCD⊥平面BEFC，AB⊥BC，得AB⊥平面BEFC，從而AH⊥EF，所以∠AHB為二面角A—EF—C的平面角.在Rt△EFG中，因?yàn)镋G=AD=，EF=2，所以∠CFE=60°,FG=1,又因?yàn)镃E⊥EF,所以CF=4,從而BE=CG=3.于是BH=BE·sin∠BEH=.因?yàn)锳B=BH·tan∠AHB=×=，所以當(dāng)AB為時(shí)，二面角A—EF—C的大小為60°.方法二如圖所示,以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn),以CB、CF和CD所在直線分別作為x軸、y軸和z軸，建立空間直角坐標(biāo)系C—xyz.設(shè)AB=a，BE=b，CF=c，則C（0，0，0），A（，0，a），B（，0，0），E（，b，0），F(xiàn)（0，c，0）.（1）=（0，b，-a），=（，0，0），=（0，b，0），所以·=0，·=0，從而CB⊥AE，CB⊥BE.AE∩BE=E，所以CB⊥平面ABE.因?yàn)镃B⊥平面DCF，所以平面ABE∥平面DCF，AE平面ABE.故AE∥平面DCF.（2）因?yàn)?（-，c-b，0），=（，b，0）.·=0，||=2，所以解得所以E（，3，0），F(xiàn)（0，4，0）.設(shè)n=(1,y,z)與平面AEF垂直，則n·=0，n·=0，解得n=（1,,）.又因BA⊥平面BEFC，=（0，0，a），所以|cos〈n,〉|=解得a=.所以當(dāng)AB為時(shí)，二面角A—EF—C的大小為60°.22.已知橢圓的離心率為，過橢圓E的左焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線與橢圓E相交于的P，Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，的面積為.（1）求橢圓E的方程；（2）點(diǎn)M，N為橢圓E上不同兩點(diǎn)，若，求證：的面積為