江蘇專(zhuān)版2023-2024學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第4章數(shù)列測(cè)評(píng)蘇教版選擇性必修第一冊(cè)

第4章測(cè)評(píng)

（時(shí)間：120分鐘滿分：150分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.等差數(shù)列缶1的首項(xiàng)為1,公差不為o,若%,%，%成等比數(shù)列，則缶」的前6項(xiàng)和為（）

A.-24B.-3C.3D.8

1

2.在等比數(shù)列(aJ中，Q3=1，叱"9=16，貝Jc：9=()

A.8B.-8C.16D.-16

3.已知數(shù)列層?是等差數(shù)列，且叱=1,、二一；,那么0am=()

A10101&10c2019n2019

A.1Dn.—C.11).一，

1011101120212021

4.在等差數(shù)列中，％=-2022,其前k項(xiàng)和為$.，若合一*=2,則$一=（）

A.2021B.-2021C.-2022D.2022

5.已知等差數(shù)列缶」的前n項(xiàng)和為5.，若57>。，5g<0,則字的取值范圍是（）

A.1-3,+8）B.3.+8）

C（"?-3）D.（一*）

6.意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的《算經(jīng)》中記載了一個(gè)有趣的數(shù)列：1,1,2,3,5,8,13,21,

34,55,89,144,…這就是著名的斐波那契數(shù)列，該數(shù)列的前2022項(xiàng)中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.1012B.1346C.1348D.1350

7.將數(shù)列｛2n—1］中的各項(xiàng)依次按第一個(gè)括號(hào)1個(gè)數(shù)，第二個(gè)括號(hào)2個(gè)數(shù)，第三個(gè)括號(hào)4個(gè)

數(shù)，第四個(gè)括號(hào)8個(gè)數(shù)，第五個(gè)括號(hào)16個(gè)數(shù)，.一進(jìn)行排列：⑴,（3,5）-

（7,9,11,13）,（15,17,19^1^3^5,27,29），....則下列結(jié)論正確的是（）

A.第10個(gè)括號(hào)內(nèi)的第一個(gè)數(shù)為1025

B.2021在第11個(gè)括號(hào)內(nèi)

C.前10個(gè)括號(hào)內(nèi)一共有1025個(gè)數(shù)

D.第10個(gè)括號(hào)內(nèi)的數(shù)字之和5—）

8.已知數(shù)列的前林項(xiàng)和為5.,丐=1，（4=3,且Sgi+S-I=2"+2SK“N2），

若依一QD+2+7之（2—4對(duì)任意的neAT都成立，則實(shí)數(shù)2的最小值為（）

A.—B.C.—D.1

21632

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.記S.為等差數(shù)列（aJ的前71項(xiàng)和，若4+3牝=S：，則以下結(jié)論一定正確的是（）

A.a4=aB.S.的最大值為力c.51=5,D.|a3|<|as|

10.數(shù)列加J的通項(xiàng)公式滿足個(gè)=肥5€AT），下列描述正確的有（）

A.當(dāng)k時(shí)，數(shù)列（a』一定有最大值

B.當(dāng)*=:時(shí)，數(shù)列［an］為遞減數(shù)列

C.當(dāng)kW（0,；）時(shí)，數(shù)列（a/為遞減數(shù)列

D.當(dāng)*€（0口），且W為整數(shù)時(shí)，數(shù)列｛a』必存在兩項(xiàng)相等的最大項(xiàng)

11.如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中，后人稱為“三角垛”.

“三角垛”最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，….設(shè)第H層有a”個(gè)球，從上

往下”層球的總數(shù)為《，記“，=（-DYj+i-an），則（）

A.a.“一。n二〃+1B.g+與+…+bjQ=20

C.5“一S“T=四旦,n>2D.2的最大值為三

12.己知是數(shù)列3」的前項(xiàng)和，2則（）

nSB41=-5?+n，

A.an+-2n-l（n>2）

B

-。一：-an=2

C.當(dāng)巴=0時(shí)，5；0=1225

D.當(dāng)數(shù)列g(shù).j單調(diào)遞增時(shí)，01的取值范圍是（一:,3

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知數(shù)列（aj的前兀項(xiàng)和為且滿足2a”+5*—3，則勺的值為.

14.設(shè)缶」是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且（n+2Mli—V+則通項(xiàng)公式

Q=.

，:

15.已知數(shù)列｛a“）滿足/.、一（―1Ian-3.n-1>前16項(xiàng)和為540,貝=.

16.[2021新高考I]某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱軸把

紙對(duì)折，規(guī)格為20dm,x12dm的長(zhǎng)方形紙，對(duì)折1次共可以得到10dm,x12dm，

20dmx6dm兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和其=240dm：,對(duì)折2次共可以得到

5dmX12dm，lOdm.x6dm，20dm.x3dm三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和

S：=180dm2.以此類(lèi)推，則對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為；如果對(duì)折幾次，那

么￡5*=dm'.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.（10分）已知數(shù)列g(shù)j和滿足、=2，瓦=1>a=

n+12an>

bb

i+/+l3+?”+：%=bB+1-1

A9n

（1）求a.與兒；

（2）記數(shù)列（?！?）的前幾項(xiàng)和為〃，求晨.

18.（12分）設(shè)數(shù)列（a.）滿足/=30n.i=3%—4n.

（1）計(jì)算猜想缶」的通項(xiàng)公式；

（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明上述猜想，并求加」的前兀項(xiàng)和

19.（12分）已知數(shù)列1alJ中，0t=1，a,=2>=30M—2a.i（R12,R€JV），

設(shè)k?%.

（1）證明：數(shù)列（"J是等比數(shù)列;

（2）設(shè)數(shù)列3J的前n項(xiàng)和為S”，求

設(shè)，=______0-1______,設(shè)數(shù)列｛Cj的前”項(xiàng)和為心，求證：J<1

20.（12分）某中學(xué)有在校學(xué)生2000人，沒(méi)有患感冒的同學(xué).由于天氣驟冷，在校學(xué)生患流

行性感冒人數(shù)劇增，第一天新增患病同學(xué)10人，之后每天新增的患病同學(xué)人數(shù)均比前一天多9

人.由于學(xué)生患病情況日益嚴(yán)重，學(xué)校號(hào)召同學(xué)接種流感疫苗以控制病情.從第8天起，新增患

病同學(xué)的人數(shù)均比前一天減少50篁，并且每天有10名患病同學(xué)康復(fù).

（1）求第n天新增患病同學(xué)的人數(shù)a<l<13,n6N）

（2）按有關(guān)方面規(guī)定，當(dāng)天患病同學(xué)達(dá)到全校人數(shù)的15置時(shí)必須停課，問(wèn)該校有沒(méi)有停課的

必要？請(qǐng)說(shuō)明理由.

21.（12分）已知數(shù)列滿足片工r/+L急

（1）若入-1,

①求數(shù)列01的通項(xiàng)公式；

②若k=OWG+i）求（"J的前”項(xiàng)和二.

（2）若，=2，且對(duì)Vn￡lC，有0<a.<l，證明：-011V三二

22.（12分）設(shè)Itwir,若無(wú)窮數(shù)列｛aj滿足以下性質(zhì)，則稱（aj為Q數(shù)列:

①(4一-a.-i)>0(?€AT且n>2)

|an—a匕的最大值為

（1）若數(shù)列｛aJ為公比為q的等比數(shù)列，求q的取值范圍，使得加」為Ck數(shù)列.

（2）若數(shù)列［a［滿足：VnwAT，使得a,成等差數(shù)列.

①數(shù)列（aj是否可能為等比數(shù)列？并說(shuō)明理由.

②記數(shù)列他J滿足耳=%_「數(shù)列&）滿足，=%，且%>%，判斷與（qj的單

調(diào)性，并求出|a“一a『：|=k時(shí)，n的值.

第4章測(cè)評(píng)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.A

2.A

3.B

4.C

［解析］因?yàn)閿?shù)列Sn］為等差數(shù)列，故5n="生，則為=中.當(dāng)HN2時(shí)，嗎=占字4

則為■蚪=空3-沖口=岑二，所以數(shù)列四是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d,又

兀n122.一

W-&=2d=2,所以d=l.又*=5=-2022,所以占=-2022+n-l=-2023

10811n.

所以』=-2023+2022=-1,即￡皿2=-2022.故選C

3V22卬“

5.C

［解析］由題意得，S-='dJ?7a4>0,則a.>0因?yàn)?=細(xì)0=4a+%）<0,

22

可得04+05<0,則OsV-a+C。.設(shè)等差數(shù)列1%?］的公差為d,則d=a5-a.<0,由題意

得性：血?乎>?.C可得-Z<-<-3.即上的取值范圍是（-N,F故選C

區(qū)+%=21+7d<0,2ddk2"

6.C

［解析］由已知可得為奇數(shù)，為奇數(shù)，。3為偶數(shù)?因?yàn)?；ar,所以A為奇數(shù)，a$

為奇數(shù)，％為偶數(shù)，一所以為奇數(shù)，。力+2為奇數(shù)，CIMH為偶數(shù).又2022=3x67%

故該數(shù)列的前2022項(xiàng)中共有1348個(gè)奇數(shù).故選C.

7.D

［解析］由題意可得，第n個(gè)括號(hào)內(nèi)有2RT個(gè)數(shù).對(duì)于A,由題意得，前9個(gè)括號(hào)內(nèi)共有

1+2+2:+-+28=—^29-1511（個(gè)）數(shù)，所以第10個(gè)括號(hào)內(nèi)的第一個(gè)數(shù)為數(shù)列

1-2

（2n-I）的第512項(xiàng)，所以第10個(gè)括號(hào)內(nèi)的第一個(gè)數(shù)為2x512-1=1023,故A錯(cuò)誤；對(duì)于C,

前10個(gè)括號(hào)內(nèi)共有1+2+22+…+29=三一=2W-1=1023（個(gè)）數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于B,

令2n-1=2021,得n=1011,所以2021為數(shù)列｛2n-1）的第1011項(xiàng)，由A,C選項(xiàng)的分

析可得2021在第10個(gè)括號(hào)內(nèi)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于D,因?yàn)榈?0個(gè)括號(hào)內(nèi)的第一個(gè)數(shù)為

2x512-1=1023,最后一個(gè)數(shù)為2x1023-1=2045；所以第10個(gè)括號(hào)內(nèi)的數(shù)字之和為

S=1KtM=2?x1534E（2M,2*）,故D正確.故選D.

8.C

［解析］數(shù)列｛aj的前口項(xiàng)和為5.,也?￡且Sn“+SnT=2n+25n（?lN2）,所以

1

51a.i-Su=2*+51r故0^14-a1t=Z.因?yàn)間j—4=2，所以01t44-0^=2^,

所以^兀一。11T=2"T，an-1-aw-2-一叼一/二外，則

12

i*a-=2+2+??+2"-^故4t=l+2'+…+2"T=上力=2"-1，所以

5”=2,+2Z+23+-+2"-n=-靠=2"+1-n-2.所以$"一/=2n-n-1

因?yàn)?（5.-a.）+4+7N（2對(duì)任意的nWAT都成立，所以二）.設(shè)

42/max

J=苔，則當(dāng)》?M4時(shí)，>Q?當(dāng)nN5時(shí)，

因此JVQ<Cj<C4<Cg>>C-7>…，即a之Cj=三，故a的最小值為三.故選c

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.AC

［解析］設(shè)等差數(shù)列(a"的公差為d.由/+初后=可得的+3(at+4d)=7al+21d,解得

Of=-3d.又由tin=+(n—i)d=(n—4)d,得?<=0，故A正確；因?yàn)楣頳的正負(fù)不能

確定，所以$3可能為最大值或最小值，故B錯(cuò)誤；由

=a?+a?，+a*+Qg+a&=5a$=0,得S.=&,故C正確；因?yàn)閍?+=2a$=0,

所以-=-a6,即111=|%，故D錯(cuò)誤.故選AC

10.ACD

［解析］由題意，只需考慮ke(0」〕的情況.由

、<01H4O■?上?<(■+Oft<(II+onV

w

0Vt>01H4on-Jk>(B+1)on>(n+l)Jron>-可知，當(dāng)k=機(jī)寸,=2,

當(dāng)n>2時(shí)，數(shù)列｛%｝遞減，所以也］一定有最大值，故A正確；當(dāng)左=沙

di=ja2?2xg)=￡故、故數(shù)列&］不是遞減數(shù)列，故B錯(cuò)誤；當(dāng)kE(0,》時(shí)，

<1,所以時(shí)，數(shù)列(?？跒檫f減數(shù)列，故C正確；設(shè)=W，當(dāng)n>HI,即

nN切+1時(shí)，數(shù)列faJ為遞減數(shù)列，當(dāng)l?VE時(shí)，數(shù)列(a”］為遞增數(shù)列，k=-^,最大項(xiàng)為

am=二j*■g+1)?仁:廣’-所以數(shù)列(aj必存在兩項(xiàng)相等的最大項(xiàng)，

故D正確.故選ACD.

11.ACD

［解析］叼-q=2,aj-aj=3,?z0MaW4i-an^n+L故選項(xiàng)A正確；

因?yàn)椋JQkT-aJ=(■!)?&+1),所以

bi+也+…+b2a=-2+3—41+5-6+7―2Q+21=10,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；因?yàn)?/p>

一叼一%=一,所以

%=1,%4=2,3,0n-Oy^i=■,=1+2+3+…+fi=——，

所以當(dāng)空2時(shí)，5.-51=%=專(zhuān)已故選項(xiàng)C正確；言=壬=等，

誓-言=*寓"=所以當(dāng)n=l時(shí)，￥＞黑；當(dāng)“2時(shí)，

2*JK-IJ*jaja-1

工；當(dāng)時(shí)，2〈上，所以當(dāng)或時(shí)，有最大值為三，故選項(xiàng)正

2型=”7n23*”711=2n=32?一|2D

確.故選ACD.

12.ACD

［解析］由題意可知，因?yàn)椋菟援?dāng)時(shí)，一尸，兩式相

5.+=—Sn+M，nN2=—S111Tl+(“1

減可得，故選項(xiàng)正確；且

an4i+*=2h-l(n>2),Aan4：+aW4i=2n?1,

兩式相減可得，因?yàn)榻形粗?，故選項(xiàng)錯(cuò)

an4x+an-2n-l(n>2)，an42-an=2(n32),B

誤；當(dāng)巴=。時(shí)，因?yàn)樗载悾?/p>

2dt+〃=1,=1,

550=(a#+a2)+(A3+&4)+(。5+a—+…+(^49+a50)=1+5+9+…+97=

￥=49x25=1225

，故選項(xiàng)C正確；由a二力=1-2@］+2(n-1)=2n-2al-L

要使數(shù)列｛單調(diào)遞增，則必有

.*=a?+2(n-1)=2?2a*+2n-2=2n-b2araj

。加-2>。為“>。,且叼>%,所以2ft+2-2a*-1>~--2U［—1,且

—2。］?1>a「解得一：<的<：,故選項(xiàng)D正確.故選ACD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.1—6

81

14.—5—

Rur^l)

［解析］由、,-得［.因?yàn)?/p>

Gt+2)0+201H4aM=0，(it+2)0^1+<O=0

所以+所以產(chǎn)所以工，所以

0n>0,(M+2)a“i->UQ0,M=

色*%%3n-2、掾=扁6^21又/=】滿足

an=atX-XX*X...X—

0員一a3?w

上式,所以：

15.7

［解析］a..?+(-1)乜j=3n-3當(dāng)it為奇數(shù)時(shí)，/乜=。.」+3n—1；當(dāng)i?為偶數(shù)時(shí)，

+an=3n-1.設(shè)數(shù)列g(shù)j的前11項(xiàng)和為5.,則

S|6'=a［+c12++,,,+a,6=ai+。3+。5+,,,+a|5+(a；+。$)++(。］4，+%.)=

at+(hj+2)+(A+10)+(d+24)+(at+44>+(ax+70)+(如+102>+

(ax+140)+(5+17+29+41)=8al+392+92=&h+484=540

，解得%=7.

16.5(720-嘿^

［解析］對(duì)折4次可得到如下規(guī)格：-dmx12dm,；dmx6dm,5dmx3dli1,10dmx-dm^

42?-

20dmx?dm，共5種.由題意得，&=2x120,Sj=3x60,=4x30,S.=5x15,

4,

e12OU+1J-n-129X2,120X3.UBX4,120(，+U

5.=-^，設(shè)5==+=+百+A-+~^，則

11：口》：.120-3,1ZC-<詼T氏*4日

-rs=---------+―—+???+--+——--,兩式作差得

2,Z-2s；一泮

齊=240+】206+染~+馬-中=240+鉀-卓=360-

UOUB("D?八3(*1)

——----——=360----——

，因此5=720---——=720—一一

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.(1)解由修=2aB，得>.由題意知，當(dāng)口N1時(shí),，二片一1,故與?2.

當(dāng)?工2時(shí),機(jī)?:壇+3b$+…十-^^-］1①,

A+3如+衿+-?+：%■>%「1②，一,得，4,■以“_.,整理得法二/，所以

%=力

(2)由(1)知，a?^=-n-2w,因此％,=2+2-22+3?23+…+n-2"@，

2343

2Tn=2+2*2+3，I*，”+ft，2"T④，一，得一，=2+2,+2+…+2"-n，

所以兀=5-42*+'+2-

18.(1)解因?yàn)閿?shù)列:滿足%=3，。，:-「二M一一：；*,所以

a2=3^-4x1=3X3—4-S,aj■=3a2—4X,Z=3x3-8=7，由此可猜想

ar=2JI+1.

(2)①當(dāng)n=l?時(shí)，顯然成立.

②假設(shè)當(dāng)R=k時(shí)，命題成立，即&&=2k+1,則當(dāng)n=k+l時(shí)，

a*M=3a*一砍=3(2Jk+l)-4fc=2k+3=20t+l)+l,所以R=4+1時(shí)也成立，

由①②可得，a,.=2n+1.

因?yàn)閍“”-n*=2(川+1)+1-(2n+1)=2,所以數(shù)列[《口是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差

數(shù)列，所以Sn=ftOi+'0^=3a+W?—l)=j^+2B.

19.(1)證明因?yàn)閍11rHSag-2。11T(R22*n€N。，Wan4i-a?-2(a?-an-i).

因?yàn)?=0^-%,所以h=2ij,kl=a3-a1=L所以數(shù)列(4」是首項(xiàng)為1,公比為

2的等比數(shù)列.

(2)解由(1)得，點(diǎn)-=遑__，Q=所以當(dāng)R22時(shí),

-t-I

B?=(aw-?.?-*)+(??-j-aw-2)+-+藥)+叫=2"+2"+->+2+1+1=

I'RTT

------i+1=Li

2-1

,當(dāng)n=i時(shí)也成立，所以、.e.因?yàn)轸?q=i，所以數(shù)列是首項(xiàng)為i,公比為

2的等比數(shù)列，所以數(shù)列(a/的前二項(xiàng)和為S1二>二”=；：*-.]

⑶證明因?yàn)椋自由■而必可.2金一S'所以數(shù)歹的前

n項(xiàng)科:2+“,+&-&)=2《-急)<2吟=L即心<1

20.(1)解當(dāng)1WK三乙：三%時(shí)，因?yàn)?=10,公差為9,所以

%,=40+(n-f),9=9n+L當(dāng)時(shí)，因?yàn)榈?64,公比為去

T-11

所以o'0rQ"-?Q"=2?~"，

所以“配,二浜W

(2)該校沒(méi)有停課的必要.理由：設(shè)S.為第n天患病總?cè)藬?shù)，則當(dāng)2Wn47時(shí)，

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S.-511T=口。>0,當(dāng)813時(shí)，S1171tT=%一.=2-?-如.令

-10:>0=>n<9，

=S,—(%+<>2+,—+叼)+/+S—10x2=「**;+<ig+5-20=

?X(^M：4-2s-b24-20=287<2000x15%=300

所以該校沒(méi)有停課的必要.

2i.(i)①解當(dāng)a=i時(shí)，?因?yàn)檫?；>°，所以匕可知、>0,所

以二一=9=3+1,即」一一2=1,所以數(shù)列百是首項(xiàng)為2,公差為1的等差數(shù)列，

蛔004.1.5

所以L=7J+1?即0.-―---

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②由①得所以，》=(三—1)+it{?+OG*+2)=w*+3B*+2#,

所以

q=4+%+%+5+%=1’+3Kl-+2“1+產(chǎn)+3K2-+2x2+3s+3x3-+

2X3+-+n34an2+2n=(P42》+3’$…+n1)+3(1?+歲+3?+…+冷*

2(1七243+…￥n)=咚為2+3x?^--'

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（2）證明當(dāng);1=2時(shí)，a..1二三J，則j—0aH