六年級奧數(shù)工程問題含答案

工程問題

夏便倒我

一'基本概念

(1)工作總量

完成某一項工程所需的所有工作的數(shù)量和，常用“1”來表示.

(2)工作時間

(3)工作效率

單位時間內所完成的工作量

二、基本關系

工作量=工作效率X工作時間

【提示】三者之間的關系，可以類比路程、速度和時間的關系.

三、常用工具和方法

(1)基本關系

(2)整體化歸思想

(3)對比分析的方法

S3咫盛

(D重點：利用整體化歸思想和對比分析方法解決較為復雜的工程問題

(2)難點：復雜問題中整體化歸思想、比例思想、方程思想與對比分析方法的綜合運用

一、根據(jù)基本關系解題

【例1】一項工程，甲單獨做需要28天時間，乙單獨做需要21天時間，如果甲、乙合作需要多

少時間？

【考點】工程應用題【難度】1星【題型】解答

【解析】將整個工程的工作量看作“1”個單位，那么甲每天完成總量的工，乙每天完成總量的工，兩

2821

人合作每天能完成總量的上+,=工，所以兩人合作的話，需要1+工=12天能夠完成.

28211212

【答案】12

【鞏固】一項工程，甲單獨做需要21天時間，甲、乙合作需要12天時間，如果乙單獨做需要多少時間？

【考點】工程問題【難度】1星【題型】解答

【解析】將整個工程的工作量看“1”個單位，那么甲每天完成總量的工，甲、乙合作每天完成總量的工，

2112

乙單獨做每天能完成總量的所以乙單獨做28天能完成.

122128

【答案】—

28

【例2】一項工程，甲隊單獨完成需40天。若乙隊先做10天，余下的工程由甲、乙兩隊合作，又需20

天可完成.如果乙隊單獨完成此工程，則需天.

【考點】工程問題【難度】2星【題型】解答

【關鍵詞】2008年，希望杯，第六屆，六年級，一試

【解析】甲每天完成甲乙合作中，甲一共完成衛(wèi)=工，所以乙也一共完成工，乙每天完成1乙單

40402260

獨做要60天.

【答案】60天

【鞏固】一項工程，甲隊單獨做20天可以完成，甲隊做了8天后，由于另有任務，剩下的工作由乙隊單

獨做15天完成.問：乙隊單獨完成這項工作需多少天？

【考點】工程問題【難度】2星【題型】解答

110

【解析】方法一：甲的工作效率為一，甲隊8天的工作量為--x8=*,所以乙隊15天的工作量為

20205

9331

1--=—,乙的工作效率為一+15=—，所以乙隊單獨完成這項工作需要25天

55525

方法二：此題可以運用化歸思想解決，甲12天工作量等于乙15天工作量，乙的工作效率為甲的

44

—,乙獨做的時間為20+—=25（天）。

55

【答案】25天

二、運用整體化歸思想解題

【例3】有兩個同樣的倉庫，搬運完一個倉庫的貨物，甲需6小時，乙需7小時，丙需14小時。甲、乙

同時開始各搬運一個倉庫的貨物。開始時，丙先幫甲搬運，后來又去幫乙搬運，最后兩個倉庫

的貨物同時搬完。則丙幫甲小時，幫乙小時。

【考點】工程問題【難度】2星【題型】解答

【關鍵詞】2009年，希望杯，第七屆，六年級，二試

【解析】整個搬運的過程，就是甲、乙、丙三人同時開始同時結束，共搬運了兩個倉庫的貨物，所以它們

完成工作的總時間為2+工一+—小時

67

在這段時間內，甲、乙各自在某一個倉庫內搬運，丙則在兩個倉庫都搬運過.

甲完成的工作量是±1xQ3i='7，所以丙幫甲搬了i—7」=1上的貨物，丙幫甲做的時間為1J_+-1L=i1±小

648888144

時，那么丙幫乙做的時間為371一1三3=3七1小時.

442

【答案】3工小時

2

【鞏固】一池水，甲、乙兩管同時開，5小時灌滿；乙、丙兩管同時開，4小時灌滿.現(xiàn)在先開乙管6小

時，還需甲、丙兩管同時開2小時才能灌滿.乙單獨開幾小時可以灌滿？

【考點】工程問題【難度】3星【題型】解答

【解析】由于甲、乙和乙、丙的工作效率之和都知道了，根據(jù)“現(xiàn)在先開乙管6小時，還需甲、丙兩管同

時開2小時灌滿“，我們可以把乙管的6小時分成3個2小時，第一個2小時和甲同時開，第二

個2小時和丙同時開，第三個2小時乙管單獨開.這樣就變成了甲、乙同時開2小時，乙、丙同

時開2小時，乙單獨開2小時，正好灌滿一池水.可以計算出乙單獨灌水的工作量為

1--X2--X2=—,所以乙的工作效率為：工+（6-2-2）=工，所以整池水由乙管單獨灌水，

54101020

需要1+,=20（小時）.

20

【答案】20小時

【例4】一批工人到甲、乙兩個工地進行清理工作，甲工地的工作量是乙工地的工作量的J倍.上午去

2

甲工地的人數(shù)是去乙工地人數(shù)的3倍，下午這批工人中有」7的人去甲工地.其他工人到乙工

12

地.到傍晚時，甲工地的工作已做完，乙工地的工作還需4名工人再做1天，那么這批工人有多

少人？

【考點】工程問題【難度】3星【題型】解答

【解析】根據(jù)題意，這批工人的人數(shù)是12的倍數(shù)，設這批工人有12x人.

那么上午有9x人在甲工地，有3x人在乙工地；下午有7尤人在甲工地，有5x人在乙工地.所以甲

工地相當于（9x+7尤）+2=8無人做了一整天；乙工地相當于（3x+5尤）+2=4x人做了一整天.

3

由于甲工地的工作量是乙工地的工作量的—倍，假設甲工地的工作量是3份，那么乙工地的工作

2

331

量是2份.8x人做一整天完成3份，那么4x人做一整天完成二份，所以乙工地還剩下2-及=±

222

份.這;份需要4名工人做一整天，所以甲工地的3份需要4x13-gj=24人做一整天，即8x=24,

可得x=3,那么這批工人有12義3=36（人）.

【答案】36人

【鞏固】甲、乙、丙三隊要完成A,8兩項工程，8工程的工作量是4工程工作量再增加!，如果讓甲、

4

乙、丙三隊單獨做，完成A工程所需要的時間分別是20天，24天，30天.現(xiàn)在讓甲隊做4工

程，乙隊做8工程，為了同時完成這兩項工程，丙隊先與乙隊合做8工程若干天，然后再與甲

隊合做A工程若干天?問丙隊與乙隊合做了多少天？

【考點】工程問題【難度】4星【題型】解答

【解析】這個問題當中有兩個不同的工程，三個不同的人，因此顯得很難解決，數(shù)學中化歸的思想很重要，

即以一個為基準，把其他的量轉化為這個量，然后進行計算，我們不妨設A工程的工作總量為單

位“1”，那么3工程的工作量就是“*"，那么這個問題就和例5聯(lián)系到了一起了。

4

三隊合作完成兩項工程所用的天數(shù)為：。+口/工+1-+，］=18天。18天里，乙隊一直在完

14）（202430J

13

成B工作，因此乙的工作量為一xl8=—,8剩下的工作量應該是由丙完成，因此丙在8工程上

244

用了=15天也就是說兩隊合作了15天。

（44）30

解題關鍵是把“一項工程”看成一個單位，運用公式：工作效率x工作時間=工作總量，表示出

各個工程隊（人員）或其組合在統(tǒng)一標準和單位下的工作效率.

【答案】15天

【例5】一項工程，甲單獨做要12小時完成，乙單獨做要18小時完成.若甲先做1小時，然后乙接

替甲做1小時，再由甲接替乙做1小時，......，兩人如此交替工作，請問：完成任務時，共

用了多少小時？

【考點】工程問題【難度】4星【題型】解答

【解析】①若甲、乙兩人合作共需多少小時？

1+=14--=7-（小時）.

365

②甲、乙兩人各單獨做7小時后，還剩多少？

11=1-乏1

l-7x------1------

12183636

③余下的1-由甲獨做需要多少小時？

36

111

---2----（-小時）.

3612-3

④共用了多少小時？

7x2+-=14-（小時）.

33

在工程問題中，轉換條件是常用手法.本題中，甲做1小時，乙做1小時，相當于他們合作1小

時，也就是每2小時，相當于兩人合做1小時.這樣先算一下一共進行了多少個這樣的2小時，

余下部分問題就好解決了.

【答案】14^小時

3

【鞏固】蓄水池有甲、丙兩條進水管和乙、丁兩條排水管，要灌滿一池水，單開甲管需3小時，單開丙管

需要5小時，要排光一池水，單開乙管需要4小時，單開丁管需要6小時，現(xiàn)在池內有！的水，

6

若按甲、乙、丙、丁、甲、乙、丙、丁......的順序輪流打開1小時，問多少時間后水開始溢出水池？

【考點】工程問題【難度】5星【題型】解答

11117171

【解析】甲乙丙丁順序循環(huán)各開1小時可進水：----+----=—，循環(huán)5次后水池還空：1--------x5=—,

3456606604

111333

-的工作量由甲管注水需要：一千—=—（小時），所以經(jīng)過4x5+—=20—小時后水開始溢出水池.

443444

【答案】20-

4

三、運用對比分析方法解題

【例6】一項工程，甲、乙合作需要20天完成，乙、丙合作需要15天完成，由乙單獨做需要30天完成,

那么如果甲、乙、丙合作，完成這項工程需要多少天？

【考點】工程問題【難度】2星【題型】解答

【解析】如果將整個工程的工作量看做單位“1”,從條件中我們很容易看出：甲+乙=2，乙+丙=工，

2015

乙=,因此不難得到丙的工作效率為工-2=-L,因此三個人的工作效率之和為,

30153030203012

也就是說，三個人合作需要12天可以完成。

本題也可以分別求出甲和丙的工作效率，再將三人的工作效率相加，得到三人合作的總工效.但

是這樣做比較麻煩，事實上只要將甲乙工效和加上丙的工效就可以了.

【答案】12天

【鞏固】一項工程，甲、乙合作需要9天完成，乙、丙合作需要12天，由丙單獨做需要36天完成，那么

如果甲、丙合作，完成這項工程需要多少天?

【考點】工程問題【難度】2星【題型】解答

【解析】法一：和上題類似，我們可以有：甲+乙=!,乙+丙='丙=」不難求得，乙的工作效率

91236

為分?因此甲的工作效率為工--1-—,從而甲丙合作的工作效率為二-+1=工,

91818361812

即甲丙合作12天能完成。

法二：仍然觀察上面那三個等式，我們能否不求出每個人的工作效率，而通過整體的運算直接得

至I“甲+丙”的值呢？

不難發(fā)現(xiàn)，我們只要把乙消掉就可以了；因此我們有：（甲+乙+丙x2）-（乙+丙）=甲+丙，也就

是說：甲+丙=」+」-*2-,二工，所以甲丙合作12天能完成。

9361212

【答案】12天

【例7】一項工程，如果甲先做5天，那么乙接著做20天可以完成；如果甲先做20天，那么乙接著做8

天可以完成.如果甲、乙合作，那么多少天可以完成？

【考點】工程問題【難度】3星【題型】解答

【解析】本題沒有直接給出工作效率，為了求出甲、乙的工作效率，我們先畫出示意圖：

甲5天乙20天

-----------------------------------------人-----------------------------------------

??---------乙12天--------->

O$-0

**---------甲15天---------*

1___________________人J

Yy

甲20天乙8天

從圖中可以直觀地看出：甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，即甲5天的工作量等于乙4

天的工作量.于是可用“乙工作4天”等量替換題中"甲工作5天”這一條件，通過此替換可知乙單

獨做這一工程需要20+4=24（天）完成，即乙的工作效率是.

24

4

又因為乙工作4天的工作量和甲工作5天的工作量相等，所以甲的工作效率是乙的1,為

—x-=—,那么甲、乙合作完成這一工程需要的時間為1+（」-+,）=132（天）.

2453024303

【答案】13^天

3

【鞏固】一件工作甲先做6小時，乙接著做12小時可以完成；甲先做8小時，乙接著做6小時也可以完

成.如果甲做3小時后由乙接著做，還需要多少小時完成？

【考點】工程問題【難度】3星【題型】解答

【解析】根據(jù)題意可知，甲做8-6=2小時的工作量等于乙做12-6=6小時的工作量，

可見甲做1小時的工作量等于乙做3小時的工作量.

那么可以用乙做3小時來代換甲做1小時，可知乙完成全部工作需要6x3+12=30小時，

甲先做的3小時相當于乙做了9小時，所以乙還需要30-9=21小時.

【答案】21小時

【例8】一項工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、

乙兩人合作1天.問這項工程由甲獨做需要多少天？

【考點】工程問題【難度】3星【題型】解答

【解析】丙2天的工作量，相當乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的4+2=2（倍），甲、乙合

作1天，與乙做4天一樣.也就是甲做1天，相當于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3

倍.乙做13天，甲只要上天，丙做13天，乙要26天，而甲只要竺天他們共同做13天的工作量，

33

由甲單獨完成，甲需要13+上+生=26天

33

【答案】26天

【鞏固】抄一份書稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相當甲、乙

每天工作效率和的L如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人單獨抄需要多少天才能完成？

5

【考點】工程問題【難度】3星【題型】解答

【解析】已知甲、乙、丙合抄一天完成書稿的工，又已知甲每天抄寫量等于乙、丙兩人每天抄寫量之和，

8

因此甲兩天抄寫書稿的工，即甲每天抄寫書稿的工；由于丙抄寫5天相當于甲乙合抄一天，從

816

而丙6天抄寫書稿的1,即丙每天抄寫書稿的」于是可知乙每天抄寫書稿的1--1---1-=」-.

8488164824

所以乙一人單獨抄寫需要1--=24天才能完成.

24

【答案】24天

【例9】放滿一個水池，如果同時打開1,2,3號閥門，則20分鐘可以完成；如果同時打開2,3,4

閥門，則21分鐘可以完成；如果同時打開1,3,4號閥門，則28分鐘可以完成；如果同時

打開1,2,4號閥門，則30分鐘可以完成.問：如果同時打開1,2,3,4號閥門，那么多

少分鐘可以完成？

【考點】工程問題【難度】3星【題型】解答

【解析】根據(jù)條件，列表如下（畫。表示閥門打開，畫x表示閥門關閉）：

1號2號3號4號工作效率

1

OOOX

20

1

XOOO

21

1

OXOO

28

1

OOXO

30

從表中可以看出，每個閥門都打開了三次，所以這4個閥門的工作效率之和為：

f—+—+—+—^4-3=—,那么同時打開這4個閥門，需要1+工=18（分鐘）.

<20212830J1818

【答案】18分鐘

【例10】某工程如果由第一、二、三小隊合干需要12天才能完成；如果由第一、三、五小隊合干需要7

天才能完成；如果由第二、四、五小隊合干需要8天才能完成；如果由第一、三、四小隊合干

需要42天才能完成.那么這五個小隊一起合干需要多少天才能完成這項工程？

【考點】工程問題【難度】3星【題型】解答

【解析】首先將各個小隊之間的組合列成表：

一隊二隊三隊四隊五隊工作效率

1

OOOXX

12

]_

OXOXO

7

]_

XOXOO

8

1

OXOOX

42

從表中可以看出，一隊、三隊在表中各出現(xiàn)3次，二隊、四隊、五隊各出現(xiàn)2次，那么，如果將

第二、四、五小隊的組合計算兩次，那么各種組隊的工作效率和中5個小隊都被計算了3次.所

以五個小隊的工作效率之和為：I—+-+-X2+—|-3=-,五個小隊一起合干需要1+工=6天.

(127842)66

【答案】6天

【例11】規(guī)定兩人輪流做一個工程，要求第一個人先做1個小時，第二個人接著做一個小時，然后再由

第一個人做1個小時，然后又由第二個人做1個小時，如此反復，做完為止.如果甲、乙輪流

做一個工程需要9.8小時，而乙、甲輪流做同樣的工程只需要9.6小時，那乙單獨做這個工程需

要多少小時？

【考點】工程問題【難度】4星【題型】解答

甲乙甲乙甲1小時+乙08小時

【解析】根據(jù)題意，有：,可知，甲做1—0.6=04小時與乙做1-0.8=02小

乙甲乙甲乙1小時+甲0.6小時

時的工作量相等，故甲工作2小時，相當于乙1小時的工作量.

所以，乙單獨工作需要9.8—5+5+2=73小時.

【答案】7.3小時

【鞏固】公園水池每周需換一次水.水池有甲、乙、丙三根進水管.第一周小李按甲、乙、丙、甲、乙、

丙.....的順序輪流打開1小時，恰好在打開水管整數(shù)小時后灌滿空水池.第二周他按乙、丙、

甲、乙、丙、甲……的順序輪流打開1小時，灌滿一池水比第一周少用了15分鐘；第三周他按丙、

乙、甲、丙、乙、甲……的順序輪流打開1小時，比第一周多用了15分鐘.第四周他三個管同時

打開，灌滿一池水用了2小時20分，第五周他只打開甲管，那么灌滿一池水需用小時.

【考點】工程問題【難度】4星【題型】解答

［解析】考慮水池減去甲乙丙兩小時總和后的容積，則此部分按照甲乙丙的順序灌剛好在整數(shù)小時后灌

滿，按照乙丙甲的順序灌少用15分鐘，按照丙乙甲的順序灌多用15分鐘，三個一起灌用20分

鐘.所以速度應該是乙最快，甲居中，丙最慢.也就是說，此部分是甲灌1個小時后灌滿.甲灌

1個小時的水=乙灌45分鐘的水=丙灌1個小時的水+乙灌15分鐘的水.所以灌水速度甲：乙：丙

=3：4：2,也就是甲剛好是平均數(shù).所以只用甲管灌滿需要7小時.

【答案】7小時

【例12】一項工程，甲、乙合作12。小時可以完成，若第1小時甲做，第2小時乙做，這樣交替輪流做，

5

恰好整數(shù)小時做完；若第1小時乙做，第2小時甲做，這樣交替輪流做，比上次輪流做要多!小

3

時，那么這項工作由甲單獨做，要用多少小時才能完成？

【考點】工程問題【難度】4星【題型】解答

【解析】若第一種做法的最后一小時是乙做的，那么甲、乙共做了偶數(shù)個小時，那么第二種做法中甲、乙

用的時間應與第一種做法相同，不會多!小時，與題意不符.所以第一種做法的最后一小時是甲

3

做的，第二種做法中最后!小時是甲做的，而這1小時之前的一小時是乙做的，所以乙+1甲=甲，

333

得乙二一甲.甲、乙工作效率之和為：1+12±二2,甲的工作效率為：--(1+-)=—,

35636336321

所以甲單獨做的時間為1+1-=21(小時).

21

【答案】21小時

【鞏固】甲、乙、丙三人完成一件工作，原計劃按甲、乙、丙順序每人輪流工作一天，正好整數(shù)天完成，

若按乙、丙、甲的順序每人輪流工作一天，則比原計劃多用工天；若按丙、甲、乙的順序每人輪

2

流工作一天，則比原計劃多用■天.己知甲單獨完成這件工作需10.75天.問：甲、乙、丙一起

3

做這件工作，完成工作要用多少天？

【考點】工程問題【難度】5星【題型】解答

【解析】以甲、乙、丙各工作一天為一個周期，即3天一個周期.容易知道，第一種情況下一定不是完整

周期內完成，但是在本題中，有兩種可能，第一種可能是完整周期+1天，第二種可能是完整周期

117

+2天.如果是第一種可能，有甲=乙+—丙=丙+—甲，得乙=丙=一甲.然而此時甲、乙、丙的

233

斗玄4a1f122、28〃大、4A人田廿口匕*28112.,-.11217k

效率和為----xId-----F—=----,經(jīng)過4個周期后元成---x4=-----,正剩下1--------=-----,而

10.75I33J129129129129129

141917

甲每天完成」一二上=上，所以剩下的士-不可能由甲1天完成，即所得到的結果與假設不符,

10.7543129129

所以假設不成立.

再看第二種可能：

完整周期不完整周期完成總工程量

〃〃

第一種情況n個周期甲1天，乙1天1

乙1天，丙1天，甲4天

第二種情況W個周期

2

丙1天，甲1天，乙,天〃1〃

第三種情況W個周期

3

1113

可得甲+乙=乙+丙+上甲=丙+甲+上乙，所以丙=士甲，乙甲.因為甲單獨做需10.75天，所

2324

443341?

以工作效率為上，于是乙的工作效率為上x2=±,丙的工作效率為上x±二已.

434344343243

43?9「9一

于是，一個周期內他們完成的工程量為：+2+/=二.則需1?3=4個完整周期，剩下

4343434343」

o7

1-二x4=」的工程量；正好甲、乙各一天完成.所以第二種可能是符合題意的.于是，根據(jù)第

4343

9

二種可能得出的工作效率，甲、乙、丙合作一天完成的工程量是二，所以三人合作完成工作需

43

岳19433工

要1+——=——=4一天.

4399

7

【答案】4’天

9

四、綜合運用多種思想解題

【例13】一批零件平均分給甲、乙兩人同時加工，兩人工作5小時，共完成這批零件的三。已知甲與乙

3

的工作效率之比是5:3,那么乙還要幾小時才能完成分配的任務？

【考點】工程問題【難度】3星【題型】解答

23111

【解析】乙5小時完成總工作量的』＞＜上=上;乙每小時完成總工作量的上+5=」-;乙需要完成的總工

35+34420

作量為工；乙要完成這個任務還需要的時間：-^—-5-5（小時）

2220

【答案】5小時

【鞏固】一項工程，甲15天做了，后，乙加入進來，甲、乙一起又做了!，這時丙也加入進甲、乙、丙

44

一起做完.已知乙、丙的工作效率的比為3：5,整個過程中，乙、丙工作的天數(shù)之比為2：1,

問題中情形下做完整個工程需多少天？

【考點】工程問題【難度】3星【題型】解答

【解析】方法一：先把整個工程分為三個階段：I、n、m；且易知甲的工作效率為上.又乙、丙工作的

60

天數(shù)之比為（n+m）：m=2：1,所以有n階段和m階段所需的時間相等.即甲、乙合作完成的，的

4

工程與甲、乙、丙合作完成1-工-的工程所需的時間相等.所以對于工作效率有：（甲+

442

乙）x2=（甲+乙+丙），甲+乙=丙，那么有丙-乙=二一.又有乙、丙的工作效率的比為3:5.易知乙的

60

35

工作效率為二丙的工作效率為：那么這種情形下完成整個工程所需的時間為:

120120

,「1,13、1,1一

15+—+(——+——)+—+(—+——)=15+6+6=27天.

460120260120

方法二：顯然甲的工作效率為」-，設乙的工作效率為3元，那么丙的工作效率為5尤.所以有乙工

60

作的天數(shù)為-^（—+3x）+--（—+8%）,丙工作的天數(shù)為工+（」-+8元）.且有

460260260

-4-(—+.3)-+1―x+8—)=—2xvRl7—4-(―+3x)=—4-(―+8%),解得尤=^—.所以乙

4602602460260120

35

的工作效率為—,丙的工作效率為高—.那么這種情形下完成整個工程所需的時間為：

120120

15+—十(——+2)+—+(——+2)=15+6+6=27天.

460120260120

【答案】27天

【例14】甲、乙、丙三村準備合作修筑一條公路，他們原計劃按9:8:3派工，后因丙村不出工，將他承

擔的任務由甲、乙兩村分擔，由丙村出工資360元，結果甲村共派出45人，乙村共派出35人,

完成了修路任務，問甲、乙兩村各應分得丙村所付工資的多少元？

【考點】工程問題【難度】4星【題型】解答

［解析］丙村出的360元錢是不是應該按照甲乙兩村派出的人數(shù)比即45:35=9:7來進行分配呢？我們仔

細思考一下，發(fā)現(xiàn)丙村所出的錢應該是其他兩個村幫他完成的工作量，換句話說，我們應該考慮

的是甲乙兩村各幫丙村出了多少人，然后再計算如何分配。

9

甲、乙兩村共派出了45+35=80人，而這80人，按照原計劃應是甲村派出80x---=36人，

9+8+3

乙村派出32人，丙村派出12人，所以，實際上甲村幫丙村派出了45-36=9人，乙村幫丙村派

出了35—32=3人，所以丙村拿出的360元錢，也應該按9:3=3:1