易錯(cuò)點(diǎn)06圓-2023年中考數(shù)學(xué)考試易錯(cuò)題【全國(guó)】（解析版）

備戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)考試易錯(cuò)題

易錯(cuò)點(diǎn)06圓

易錯(cuò)題01垂徑定理

（1）圓是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是任意一條過(guò)圓心的直線.圓是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心為圓

心，圓繞著它的圓心旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度都能和原來(lái)的圓重合.

⑵垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧.

推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧.

推論2：平分弧的直徑垂直平分弧所對(duì)的弦.

支式旅習(xí)〉〉

1.（2022秋?北稻區(qū)校級(jí)期末）如圖，在。。中，弦AB=10。"，PA=6cm,OP=5a”，則。。的半徑R等

于（）

A.1cmB.V7cirC.49c/nD.V46cir

【分析】過(guò)點(diǎn)。作OCJ_AB于C,連接根據(jù)垂徑定理求出AC,再根據(jù)勾股定理計(jì)算即可.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)。作于C,連接04,

則AC=BC^^AB=5cm,

2

PA=6cm,

：.PC=PA-AC=\cm,

OC={op2_pc2-2yf^)cm,

；?OA={0c2+慶,2=7cm,即OO的半徑R=7cvn,

2.（2022秋?泰山區(qū)校級(jí)期末）如圖，AB是。。的弦，A8長(zhǎng)為4,P是。0上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與4、8重合）.過(guò)

點(diǎn)。作OCLAP于點(diǎn)C,。。，尸8于點(diǎn)。，則CD的長(zhǎng)為（）

【分析】由。CLAP于點(diǎn)C,0CPB于點(diǎn)。，利用垂徑定理知C、。分別為AP、BP的中點(diǎn)，。。是4

ABP的中位線，利用中位線的性質(zhì)即可求出CD的長(zhǎng).

【詳解】解：'：OCA.AP,ODLPB,

：.AC=PC,BD=PD,

：.CD//AB,且C￡>=』A8,

2

"：AB=4,

.?.CZ）=LB=2.

2

故選:B.

3.（2022秋?南關(guān)區(qū)校級(jí)期末）如圖，半徑為5的0A與），軸交于點(diǎn)8（0,2）、C（0,10）,則點(diǎn)A的橫坐

標(biāo)為（)

【分析】過(guò)A作AOJ_BC于。，連接AB,根據(jù)點(diǎn)8和點(diǎn)C的坐標(biāo)求出BC,再根據(jù)垂徑定理求出

CD=4,根據(jù)勾股定理求出即可.

【詳解】解：過(guò)A作于￡>,連接A3,

?.,半徑為5的。A與y軸交于點(diǎn)8(0,2)、C(0,10),

：.AB=5,BC=10-2=8,OB=2,

"：AD±BC,A￡)過(guò)圓心4,

：.CD=BD=4,

由勾股定理得：AD=JAB2_BD2=y52_42=3,

.?.點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是3,

故選:B.

4.(2022秋?沈河區(qū)校級(jí)期末)如圖所示，在。。中，A8為弦，OC_LAB交A8于點(diǎn)。，KOD=DC.P為

。。上任意一點(diǎn)，連接fi4,PB,若00的半徑為百，則的最大值為()

p

q;\)

c

AiV3_B2^1cD3V3_

■4324

【分析】連接OA,如圖，利用垂徑定理得到AO=B￡>,AC=BC-再根據(jù)O￡>=OC可得到0。=』04=

2

近，所以AD=3,由勾股定理，則AB=代.△%B底AB不變，當(dāng)高越大時(shí)面積越大，即P點(diǎn)至IJAB

22

距離最大時(shí)，ZVIPB的面積最大.則當(dāng)點(diǎn)P為AB所在優(yōu)弧的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)PD=PO+OD=\+^=^-,

22

△APB的面積最大，然后根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可.

【詳解】解：連接。4,如圖，

:OC_LAB,

：.AD=BD,

,:OD=DC,

：.。。=」04=返，

22

,',AD=yJoK2-0T)2=^^^AB=2AO=3?

當(dāng)點(diǎn)尸為A8所對(duì)的優(yōu)弧的中點(diǎn)時(shí)，AAPB的面積最大，此時(shí)PD=PO+O￡>=向+1=旦愿.

22

.?.△APB的面積的最大值為：yAB-PD=-^-x3><^^-=^^-

5.(2022秋?桃城區(qū)校級(jí)期末)如圖1,點(diǎn)M表示我國(guó)古代水車的一個(gè)盛水筒.如圖2,當(dāng)水車工作時(shí)，盛

水筒的運(yùn)行路徑是以軸心。為圓心，5〃?為半徑的圓.若。0被水面截得的弦A8長(zhǎng)為6〃?，則在水車工

作時(shí)，盛水筒在水面以下的最大深度為()

M

【分析】過(guò)。點(diǎn)作半徑OOLA8于E,如圖，利用垂徑定理得到AE=BE=3m再利用勾股定理計(jì)算出

0E,然后計(jì)算出OE的長(zhǎng)即可.

【詳解】解：過(guò)0點(diǎn)作半徑OO_LAB于E,

M

圖1圖2

,'-AE=BE=yAB=3/M,

在RtAAfO中,OE=VoA2-AE2=V52-32=4機(jī)，

：.ED=OD-0E=5-4=l，w.

答：水車工作時(shí)，盛水筒在水面以下的最大深度為1〃八

故選：D.

6(2021?烈山區(qū)一模)如圖，銳角AABC內(nèi)接于0。，BE,AC于點(diǎn)。，交。于點(diǎn)E,QFL5C于點(diǎn)F,DE

=DF,連接AE.

(1)求證：AE=BD.

(2)若C￡>=1,AE=2&,求的半徑及A3的長(zhǎng).

【分析】（1）求出/人。后=/8尸。=90°,由圓周角定理得出NEAO=NCBO,根據(jù)全等三角形的判定

得出△EADgADBF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出答案即可；

（2）過(guò)。作OH_LAB于H,連接80,A0,求出/C=/80H,求出08=30”,求出AO,求出AB,

再根據(jù)勾股定理求出x即可.

【詳解】（1）證明：\'BE±AC,DFVBC,

：.ZADE^ZBFD^90Q,

由圓周角定理得：NEAD=NCBD,

在△酸￡）和△DBF中，

'NADE=/BFD

<ZEAD=ZDBF>

DE=DF

：./\EAD^/^DBF（AAS）,

：.AE=BD-.

（2）解：過(guò)。作。H_LAB于H,連接04、OB,

,:AE=2近,AE=BD,

'：CD=\,

由勾股定理得：BC=yjF+（2近）2=3,

V0H±AB,OA=OB,

:.AH=BH,ZB0H=^^/A0B,

ZACB=^ZAOB,

2

：.ZACB^ZHOB,

即cos/，OB=cosN4c8,

.OH=CD^l

,,0BCB3"

設(shè)OH=x,則OB=3x,

,：/XEAD^ADBF,

:.DE=DF,

,?*SAcDB=yXCDXBD=yXBCXDF'

/.IX25/2=3Xf）F,

解得：DF=R2,

即DE=DF=^^

3

（西）2-（嬰）2=5

oO

在Rt^B”O(jiān)中，由勾股定理得：?！?+8,2=。片,

7+（運(yùn)）2=⑶）2,

解得：x=?-，

6

...半徑0B的長(zhǎng)度是3小叵=?-.

易錯(cuò)題02圓心角

圓心角、弧、弦的關(guān)系

(1)定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等.

(2)推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們

所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等.

說(shuō)明：同一條弦對(duì)應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”

是指同為優(yōu)弧或劣弧.

(3)正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系

三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對(duì)的弧相等，③所對(duì)的弦相等，

三項(xiàng)“知一推二”，一項(xiàng)相等，其余二項(xiàng)皆相等.這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋

轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合.

支式練習(xí)）

1.（2022?鄭城縣一模）如圖，A8是。。的直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，AC=4近,。是弧AC的中點(diǎn)，AC與

BD交于點(diǎn)E.若E是80的中點(diǎn)，則BC的長(zhǎng)為（）

【分析】連接。。交AC于F,如圖，根據(jù)垂徑定理得到OOLAC,則AF=CF,根據(jù)圓周角定理得到N

C=90°,所以0D〃8C,接著證明△BCfg△。尸E得到8C=￡>F,貝ijOF=2BC,所以。尸=」0。，然

23

后設(shè)8C=x,則OO=3x,AB=2OD=3x,在RtzMBC中，然后利用勾股定理計(jì)算出x,從而得到8c

2

的長(zhǎng).

【詳解】解：連接0。交AC于F,如圖，

是弧AC的中點(diǎn)，

，OD±AC,

：.AF=CF,

是直徑，

ZC=90°,

C.OD//BC,

:.ND=NCBE,

YE是BO的中點(diǎn)，

；.BE=DE,

?：NBEC=NDEF,

：./\BCE^/\DFE（ASA）,

:.BC=DF,

'：OF=^BC,

2

OF=—DF,

2

OF=^OD,

3

設(shè)BC=x,則OO=3x,

2

：.AB=2OD=3x,

在RtZXABC中，AB2=AC2+BC2,

/.(3x)2—(4-/2)2+x2，

解得x=2,

BC=2.

2.（2022春?永春縣校級(jí)月考）如圖，AB是。。的直徑，/8。。=120°,點(diǎn)C為弧8。的中點(diǎn)，AC交。。

于點(diǎn)E,DE=\,則AE的長(zhǎng)為（）

C

A.2疾B.V5C.273D.M

【分析】連接OC.首先證明NAOD=NOOC=60°,想辦法證明OE=OE=1即可解決問(wèn)題.

【詳解】解：連接。C.

C

*：ZDOB=nO°,

???NAOQ=60°,

VCT=BC>

：.ZDOC=ZBOC=60°,

AAD=CD，

OD1.AC,設(shè)OA=r,則OE=」r=OE=l,

2

：.OA=29

AE=VOA2-OE2=M，

故選：D.

3.（2022秋?深水區(qū)期中）如圖，點(diǎn)A,B,C在。O上，/AOC=90°,AB=&,BC=1,則。O的半徑

為（）

【分析】過(guò)點(diǎn)A作A￡J_CB交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接AC.證明aAEB是等腰直角三角形，利用勾股

定理求出AE,EC,AC,可得結(jié)論.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作AELCB交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接AC.

；NAOC=90°,

ZABC^l-X（360°-90°）=135°,

2

；.NABE=45°,

VZE=90°,AB=&,

：.AE=EB=\,

：.EC=2,

?，-4C=VAE2+CE2=V22+l2=找）

：.OA=OC=^-AC^^^~.

4.（2021秋?濱城區(qū)期末）如圖，在單位長(zhǎng)度為1米的平面直角坐標(biāo)系中，曲線是由半徑為2米，圓心角為

120°的弧A3多次復(fù)制并首尾連接而成，現(xiàn)有一點(diǎn)P從A（A為坐標(biāo)原點(diǎn)）出發(fā)，以每秒2n米的速度

3

沿曲線向右運(yùn)動(dòng)，則在第2022秒時(shí)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為（）

【分析】根據(jù)題意和圖形，可以求得標(biāo)的長(zhǎng)，然后由圖可知，每走兩個(gè)弧AB為一個(gè)循環(huán)，然后即可得

到在第2020秒時(shí)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，本題得以解決.

【詳解】解：介的長(zhǎng)為：12°兀X2=色,

1803

(:秒)，

33

如圖，作CELAB于E,與標(biāo)交于點(diǎn)D

在RtZ\ACE中，ZAEC=90°,ZAC￡=AzACfi=60",

2

：.ZCAE=30a,

.?.CE=」AC=工X2=l,

22

：.DE=CD-CE=2-1=1,

...第1秒時(shí)點(diǎn)P縱坐標(biāo)為1:

第2秒時(shí)點(diǎn)P縱坐標(biāo)為0；

第3秒時(shí)點(diǎn)P縱坐標(biāo)為-1；

第4秒時(shí)點(diǎn)P縱坐標(biāo)為0；

第5秒時(shí)點(diǎn)P縱坐標(biāo)為1；

??■,

...點(diǎn)P的縱坐標(biāo)以1,0,-1,0四個(gè)數(shù)為一個(gè)周期依次循環(huán),

2022+4=505…2,

故在第2021秒時(shí)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為0,

故選：B.

5.(2022秋?靖江市期中)如圖，在。0中，AB為直徑，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)P,C是00上一點(diǎn)，連接PC并延

長(zhǎng)交于點(diǎn)D.

(1)若筱：CD：DA=1：2：3,OO的半徑為2,求弦C￡＞的長(zhǎng)：

(2)若。。的半徑為3,。尸=4,ZAOD=90°,求弦C￡＞的長(zhǎng).

D

【分析】（1）根據(jù)三條弧之間的比例關(guān)系可求出相應(yīng)的圓心角的度數(shù)，進(jìn)而得出三角形C。。是正三角形,

得出答案；

（2）根據(jù)勾股定理求出PQ,再根據(jù)垂徑定理以及銳角三角函數(shù)的定義列方程求出。E即可.

【詳解】解：（1）如圖，連接0C,

是。。的直徑，BC：CD：AD=1：2：3,

...N80C=180°X―—=30°,

1+2+3

ZCOD=180°X—=一=60°,

1+2+3

ZAOD=180°X―？—=90°,

1+2+3

又\:OC=OD,

...△CO。是正三角形，

：.CD=OC=OD^2-,

(2)如圖，過(guò)點(diǎn)。作OE_LCO,垂足為E,則CE=Z)E=」^CD,

2

VZAOD=900=NPOD,00=3,OP=4,

22

:，PD=VOD-K)P=5，

DE=cos/ODE=^^

ODPD

?.?DE―_^3―,

35

解得DE=^~,

5

：.CD=2DE=^-.

5

D

6.（2022?鄲都區(qū)模擬）如圖，AB是。。直徑，BC=BD-連接C。，過(guò)點(diǎn)。作射線CB的垂線，垂足為點(diǎn)

G,交A3的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

（1）求證：AE=EF；

【分析】（1）根據(jù)圓周角定理以及等腰三角形的判定和性質(zhì)即可得出結(jié)論;

（2）利用直角三角形的邊角關(guān)系以及勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：（1）連接AQ,

是。。的直徑，CDYAB,

：.ZCEB=90",

.?.ZC+ZCBE=90°,

又；8G_L。尸，

.*.ZF+ZFBG=90°,

■:NCBE=/FBG,

.?./F=NC=ZA,

:.DA=DF,

'JCDLAB,

：.AE=EF-,

（2）是。。的直徑，CC_LAB,

；.CE=￡)E=/CD=5，

??/DE1./「BE

?tanZrF=-^-=—=tanZC=-=-^-,

EF2CE

2UCEE——2'

：.BF=EF-BE=\O-^=^-,

22

在RtZ^BFG中，tan/f=2，

2

設(shè)8G=x,則FG=2x,由勾股定理得,

BG2+FG1=BF2,

即/+(2x)2=(_1§.)2,

2

易錯(cuò)題03圓周角

圓周角定理

（1）圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.

注意：圓周角必須滿足兩個(gè)條件：①頂點(diǎn)在圓上.②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可.

（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓

心角的一半.

推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑.

（3）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：

①圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).

②圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角（就是和它相鄰的內(nèi)角的對(duì)角）.

變式練習(xí)

1.（2022?亭湖區(qū)校級(jí)三模）如圖，AB是。。的直徑，CQ是。。的弦，連結(jié)AC、AQ、BO,若NBAC=35°,

則/AOC的度數(shù)為（)

c

A.35°B.65°C.55°D.70°

【分析】連接BC,根據(jù)AB是。。的直徑求出NACB=90°,求出NABC,根據(jù)圓周角定理求出/AQC

=/ABC即可.

【詳解】解：連接BC,

是。0的直徑,

AZACB=90°,

VZBAC=35°,

AZABC=90°-ZBAC=55°,

...NAOC=NABC=55°,

故選：C.

2.(2022?蜀山區(qū)校級(jí)三模)如圖，菱形0ABe的頂點(diǎn)A、B、C在圓。上，且/AOC=120°,若點(diǎn)P是圓

周上任意一點(diǎn)且不與A、B、C重合，則NAPC的度數(shù)為()

A.60°B.120°C.60°或120°D.30°或150°

【分析】分兩種情況，由圓周角定理分別求解即可.

【詳解】解：如圖，分兩種情況：

①當(dāng)點(diǎn)P在優(yōu)弧AC上時(shí)，

由圓周角定理得：/APC=4NAOC=4X120°=60°；

22

②當(dāng)點(diǎn)P在劣弧AC上時(shí)，

由圓周角定理得：ZAPC=A(360°-ZAOC)=—X(360°-120°)=120°；

22

綜上所述，N4PC為60°或120°,

故選：C.

P'B

3.(2022?仁懷市模擬)已知，如圖，點(diǎn)A,B,C三點(diǎn)都在。0上，/8=工/4,N4=45°,若△ABC的

2

面積為2,則。。的半徑為()

D每T

A.±2L>-------------------------17-----------------

4

【分析】連接。4、OB、OC,根據(jù)圓周角定理可得/BOC=90°,/AOC=45°,進(jìn)而得出OA//BC,

所以AABC的面積和AOBC的面積相等，根據(jù)三角形面積公式求出半徑即可.

【詳解】解：連接。4、OB、OC,

VZCAB=45°,/4BC=kBAC,

2

：.ZBOC=90°,ZABC=22.5°,

???OB=OC,

：.ZOCB=45°,

VZAOC=2ZABC=45°,

：.ZOCB=ZAOCf

：.OA//BC,

S&OBC=S/^ABC=2,

?*B?0C=2，

：.OB=2（負(fù)值舍去），

故選：B.

4.（2022?蘭陵縣二模）如圖，在00中，AB是。。的直徑，48=10,京=&=施，點(diǎn)E是點(diǎn)。關(guān)于AB

的對(duì)稱點(diǎn)，M是A8上的一動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論：

①/BOE=30°；②NDOB=2NCED；③。M_LCE；④CM+OM的最小值是10,上述結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)

A.1B.2C.3D.4

【分析】①錯(cuò)誤，證明/EO8=NBOZ）=60°即可；

②正確.證明NCE￡>=30°,可得結(jié)論；

③錯(cuò)誤，M是動(dòng)點(diǎn)，DM不一定垂直CE；

④正確，連接EM,證明ME=MQ,推出MC+MO=MC+ME2CE=10,可得結(jié)論.

【詳解】解：：竟=而=笳，

.?.NAOC=NCOO=/OO8=60°,

VE,。關(guān)于AB對(duì)稱，

；.NEOB=NBOD=60°,故①錯(cuò)誤,

VZCED=—ZCOD=30°,

2

；.ND0B=2NCED,故②正確，

是動(dòng)點(diǎn)，

不一定垂直CE,故③錯(cuò)誤，

連接EM.

則ME=MD,

：.CM+DM=MC+ME2CE=10,故④正確,

故選：B.

5.（2022?夏邑縣校級(jí)模擬）如圖，在RCABC中，NACB=90°,CD是斜邊AB上的中線，以CQ為直

徑的OO分別交AC、8c于點(diǎn)M、N,交AB于點(diǎn)。、FCD.F可重合），過(guò)點(diǎn)N作NELAB,垂足為E.

（1）求證：BN=CN；

（2）填空：

①當(dāng)NOC4的度數(shù)為45°時(shí),四邊形DENO為正方形；

②當(dāng)NCC4的度數(shù)為60°時(shí),四邊形4FOM為菱形.

【分析】（1）連接DN,由直角三角形的性質(zhì)可得CD=BD=AD,由圓周角定理的推論可得NOVC=90°,

由等腰三角形的性質(zhì)可得BN=CN；

（2）①當(dāng)NDC4的度數(shù)為45°時(shí)，根據(jù)正方形的判定可以證明四邊形。ENO為正方形；

②當(dāng)乙0。的度數(shù)為60°時(shí)，根據(jù)菱形的判定可以證明四邊形AFOM為菱形.

【詳解】（1）證明：連接￡W.

B

VZACB=90°,CD是斜邊AB的中線，

；?CD=BD=AD.

???c。是。。的直徑，

??.NDNC=90°,

:,BN=CN；

(2)解：①當(dāng)NOC4的度數(shù)為45°時(shí)，四邊形。ENO為正方形，理由如下:

連接ON,

VZACB=90°，NOC4=45°，CO是斜邊A8的中線,

：.ZDCB=45°,

???CO是斜邊48的中線，

:.DC=BD,

：?/B=/BCD=45°,

：.ZODE=90°,

OC=ON,

：?NONC=NDCB=45°,

:?/NOD=90°,

?：NE1.AB,

：.ZDEN=90°,

...四邊形。ENO為矩形，

,?OD=ON,

.?.四邊形。ENO為正方形，

故答案為:45°；

②當(dāng)NDC4的度數(shù)為60°時(shí)，四邊形AFOM為菱形，理由如下:

連接OM,OF,

；C￡＞是斜邊A8的中線，

：.DC=DA,

；004=60°,

.?.△OC4是等邊三角形，

二乙4=60°,Z4DC=60°,

OC=OM,

...△OCM是等邊三角形，

同理：△DOF是等邊三角形，

AZOMC=ZA=ZDFO=60Q,

：.OM//F\,OF//MA,

四邊形OM4尸是平行四邊形，

"：OM=OF,

四邊形0MAp是菱形，

故答案為：60°.

6.(2022?賽罕區(qū)校級(jí)一模)如圖，在銳角三角形ABC中，AO是BC邊上的高，以AQ為直徑的。。交AB

于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)凡過(guò)點(diǎn)F作/G_LAB,垂足為4,交于點(diǎn)G,交AO于點(diǎn)M,連接AG,DE,DF.

(1)求證：/G4O與/EOF互補(bǔ)；

(2)若乙4cB=45°,AO=4,AD=2BD,求FW的長(zhǎng).

【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得出NAGF=NAD凡再根據(jù)角之間的互余關(guān)系及等量代換推出NG4D=

NEAF,最后利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可得證；

（2）作出輔助線OF,可得：叢AHMs叢FOM,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到三角形邊

之間的關(guān)系，最后根據(jù)勾股定理求解即可.

【詳解】（1）證明：由題可知NAGF=/AOF（同弧所對(duì)的圓周角相等），

'：GFLAB,AD為圓的直徑,

AZAGF+ZGAE=90°,ZADF+ZMD=90°,

：.ZGAE^ZFAD,

：.ZGAE+ZDAE^ZFAD+ZDAE,即/GA￡）=ZEAF,

?.?四邊形AED廠是圓的內(nèi)接四邊形，

：.ZEAF+ZEDF=\SO°,

AZGAD+Z￡DF=180°.

（2）解：如圖,

是圓的直徑，且AC是aABC的高，GF±AB,

：.NAED=ZADB=乙4HM=/AF￡>=90°,

'：ZHAM=ZDAB,

?迪=歿

,,而BD'

：AD=2BD,

?AH9

HM

VZACB=45°,

AZDAC=ZADF=ZAFO=45°,

AZAOF=90°,

在Rt^AHM與Rt△尸0M中，

ZAMH=ZFMO（對(duì)頂角），

.FO=AH=2

"OM市’

"：AD=4,

：.0F=0A=2,

.?.膽=2,解得0M=1,AM=0A-0M=l,

OM

設(shè)，M=x,則AH=2r,

在RtaAHM中有：AH2+HM2=AM2,

即（2x）2+/=1,解得xi=1,x2=-'豆（舍去）,

55

JR

7.(2022?西安模擬)如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于NADC=90°.連接B。，作CF_LBD,分別交8D,

。。于點(diǎn)E,F,連接8F,交AQ于點(diǎn)M,AB=BC.

(1)求證：BF//CD.

(2)當(dāng)AD+CD=5&時(shí)，求線段8。的長(zhǎng).

【分析】(1)證明NF=NOCF=45°,然后利用內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行做判斷即可；

(2)延長(zhǎng)AO,使得。M=OC,構(gòu)造相似三角形，然后相似三角形的性質(zhì)求得3。的長(zhǎng)即可.

【詳解】解：（1）?:AB=BC,

.?.AB=BC.

VZADC=90°.

AZADB=ZBDC=45°,

VCF1BZ),

.*.Z￡>CF=45°,

又NF=N8OC=45°,

：.ZF=ZDCF=45°,

:,BF〃CD；

(2)如圖:

延長(zhǎng)AO至點(diǎn)N,使得。N=OC,連接NC,

VZADC=90°,DN=DC,

:"N=/DCN=45°,

DC_V2

sinN=而方

；AD+C￡>=5&,

:.AD+DN=AN=5近,

：.ZN=ZBDC,

'：/￡>AC=ZDBC,

:.叢NACs叢DBC,

.BDDC

ANNC

.BDDCV2

??--.—=---=----，

5加NC2

解得：BD=5,

線段8。的長(zhǎng)為5.

8.（2022?蜀山區(qū)一模）如圖，中，N8AC=45°,AC,BC交以AB為直徑的半。。于。，E.連接

AE,BD,交點(diǎn)為F.

（1）證明：AF=BC；

（2）當(dāng)點(diǎn)F是8。中點(diǎn)時(shí)，求BE：EC值.

【分析】（1）由圓周角定理推論可得/A￡?B=/AE8=90°,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得

根據(jù)/。4尸+乙4/。=/8尸￡+/尸￡8=90°，且NAFD=NBFE,即可得出/D4F=/FBE,則可證明4

ADFdBDC,即可得出答案：

（2）設(shè)。尸=”,則￡>F=B尸=a,可得AD=BD=2a,根據(jù)勾股定理可得4尸=JAD2+DF2=丫（2a）2+a2

=遙“，由（1）中結(jié)論可得AF=BC=J^a，由乙4。尸=/BEF=90°,NAFD=NBFE,可證明4人。尸

s/\BEF,則處卅，可得BE=Z返〃，由CE=BC-BE可得出CE的長(zhǎng)度，計(jì)算即可得出答案.

BEBF5

【詳解】證明：（1）是。。的直徑，

.?./AOB=NAEB=90°,

VZBAC=45a,

：.AD=BD,

；NDAF+NAFD=NBFE+NFEB=9Q°,NAFD=NBFE,

:.NDAF=NFBE,

在△4。尸和△8￡）C中，

"ZADF=ZBDC

-AD=BD，

ZDAF=ZDBC

：./\ADF^^BDC(ASA),

：.AF=BC；

(2)設(shè)貝

AD—BD=2〃，

在RlZVLD/中，

■=A2+口[2=](2a)2+a2=V^，

：.AF=BC=45a，

VZADF=ZB￡F=90°,ZAFD=ZBFE,

：.XADFsXBEF,

D

AB]E-AF

BF,

2后

a

BEa

5

：.CE=BC-BE=y/5a-

55

.BE5a2

,*CE3代~3

5a

易錯(cuò)題04點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

(1)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有3種.設(shè)。O的半徑為r,點(diǎn)P到圓心的距離OP=d,則有：

①點(diǎn)P在圓外Qd>r

②點(diǎn)P在圓上od=r

①點(diǎn)P在圓內(nèi)odVr

(2)點(diǎn)的位置可以確定該點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過(guò)來(lái)已知點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)

系可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.

變式練習(xí)

1.(2022秋?天山區(qū)期末)已知。。的半徑為3cm,點(diǎn)P到圓心。的距離為4cm,則點(diǎn)尸和圓的位置關(guān)系

()

A.點(diǎn)在圓內(nèi)B.點(diǎn)在圓外C.點(diǎn)在圓上D.無(wú)法判斷

【分析】直接根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即可得出結(jié)論.

【詳解】解：：。。的半徑為3c，〃，點(diǎn)P到圓心。的距離為4a〃，4cm>3cm,

...點(diǎn)P在圓外.

故選：B.

2.（2022秋?定西期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若點(diǎn)P（4,3）在。0內(nèi)，則。0的半徑r的取值范圍

是（）

A.0<r<4B.3<r<4C.4<r<5D.r>5

【分析】本題可先由勾股定理等性質(zhì)算出點(diǎn)與圓心的距離d,再根據(jù)點(diǎn)與圓心的距離與半徑的大小關(guān)系，

即當(dāng)d>r時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)</=/時(shí)，點(diǎn)在圓上：點(diǎn)在圓外；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)；來(lái)確定點(diǎn)與圓的位

置關(guān)系.

【詳解】解：???點(diǎn)P（4,3）,

:^42+32=5>

?.?點(diǎn)P在。O內(nèi)，

r>OP,即r>5,

故選：D.

3.（2022秋?石門縣期末）如圖，是。。的直徑，AB=4,C為第的三等分點(diǎn)（更靠近4點(diǎn)），點(diǎn)P是。O

上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，取弦AP的中點(diǎn)。，則線段CQ的最大值為（）

【分析】取OA的中點(diǎn)Q,連接DQ,OD,CQ,根據(jù)條件可求得CQ長(zhǎng)，再由垂徑定理得出OOJ_AP,

由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半求得QQ長(zhǎng)，根據(jù)當(dāng)C,Q,。三點(diǎn)共線時(shí)，CQ長(zhǎng)最大求解.

【詳解】解：如圖，取A。的中點(diǎn)Q,連接CQ,QD,OD,

???C為金的三等分點(diǎn)，

，京的度數(shù)為60°,

AZAOC=60°,

"：OA=OC,

△AOC為等邊三角形，

為OA的中點(diǎn)，

ACQLOA,NOCQ=30°,

???00=彌去2=1'

由勾股定理可得，CQ=M，

?.,。為AP的中點(diǎn)，

：.ODLAP,

?.,。為OA的中點(diǎn)，

?，-￡>2=yOA=yX2=l-

...當(dāng)。點(diǎn)CQ的延長(zhǎng)線上時(shí)，叩點(diǎn)C,Q,力三點(diǎn)共線時(shí)，8長(zhǎng)最大，最大值為我+L

故選：D.

4.（2022秋?泗陽(yáng)縣期末）如圖，拋物線y=7-2x-3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為。，點(diǎn)C為

AB的中點(diǎn)，以C為圓心，AC長(zhǎng)為半徑在x軸的上方作一個(gè)半圓，點(diǎn)E為半圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接。E,取

DE的中點(diǎn)凡當(dāng)點(diǎn)E沿著半圓從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B的過(guò)程中，線段4尸的最小值為（）

A.^5-1B.2V5-1C.2V2-1D.2V2-2

【分析】由題意可知E點(diǎn)在以C為圓心，2為半徑的半圓上，則F點(diǎn)在以G(l,-2)為圓心，1為半

徑的半圓上，4尸的最小值為AG-1,求出AG即可求解.

【詳解】解：連接A。、AE,

令y=0,則/-2x-3=0,

解得x=3或x=-I,

(-1,0),B(3,0),

Vy=x2-lx-3=(x-1)2-4,

二頂點(diǎn)0(1,-4),

.?.A。的中點(diǎn)為“(0,-2),

連接HF,

?尸是￡>E的中點(diǎn),

：.HF//AE,HF=1AE,

2

；4B=4,C(2,0),

點(diǎn)在以C為圓心，2為半徑的半圓上，

點(diǎn)在以G(l,-2)為圓心，1為半徑的半圓上,

."G=2&,

的最小值為2&-1,

故選：C.

易錯(cuò)題05直線與圓的位置關(guān)系

直線與圓的位置關(guān)系

（1）直線和圓的三種位置關(guān)系：

①相離：一條直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn).

②相切：一條直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，叫做這條直線和圓相切，這條直線叫圓的切線，唯

一的公共點(diǎn)叫切點(diǎn).

③相交：一條直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)叫做這條直線和圓相交，這條直線叫圓的割線.

（2）判斷直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)。O的半徑為r,圓心O到直線I的距離為d.

①直線1和。O相交QdVr

②直線I和。O相切od=r

③直線1和OO相離od>r.

支式練習(xí)

1.（2022秋?江夏區(qū)月考）已知。0的半徑等于5,點(diǎn)P在直線/上，圓心。到點(diǎn)P的距離為5,那么直線

/與00的位置關(guān)系是（）

A.相切B.相交C.相切或相離D.相交或相切

【分析】根據(jù)垂線段最短，則點(diǎn)。到直線/的距離W5,則直線/與。。的位置關(guān)系是相切或相交.

【詳解】解：；OO的半徑為5,OP=5,

...點(diǎn)。到直線/的距離W5,

???直線/與O。的位置關(guān)系是相切或相交.

故選：D.

2.（2021秋?福山區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，的圓心坐標(biāo)為（-3,0）,半徑是方程7-3x+2=0

的一根，那么。。與直線y=—/x+l的位置關(guān)系是（）

A.相交B.相切C.相離D.無(wú)法確定

【分析】設(shè)點(diǎn)4為圓心，坐標(biāo)為（-3,0）,BC為直線y=-/x+1，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)。，根據(jù)

點(diǎn)的坐標(biāo)求出OC,OB,OA的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理得出8c的長(zhǎng),再根據(jù)sin/08C=sin/￡>BA,得出匹

BCAB

得出比例式求出AD的長(zhǎng)，再求出方程的兩個(gè)根即可推出結(jié)論.

【詳解】解：如圖，設(shè)點(diǎn)A為圓心，坐標(biāo)為（-3,0）,BC為直線y=-/x+L過(guò)點(diǎn)4作A"8C于

點(diǎn)D,

?.?直線BC的解析式為y=-￡x+l，

當(dāng)x=0時(shí)，y=l,

：.C(0,1),

:.OC=1,

當(dāng)y=0時(shí)，x=2,

：.B(2,0),

08=2,

在RtZ\BOC中，由勾股定理得，

8C=j0B20c2=返，

VA(-3,0),

：.OA=3f

???A8=AO+OB=5,

?：/OBC=/DBA,

sinZOBC=sinZDBA,

?OCAD

BCAB

.1AD

娓5

:.AD=E

由/-3x+2=0,得，

x=i=2,X2=l?

?.?遍>2>1,

與直線y=-^x+l的位置關(guān)系是相離，

故選：C.

3.（2022?寶山區(qū)二模）如圖，在梯形48CC中，AD//BC,NB=90°,4B=4,AD=2娓,cotC=匹,

4

圓。是以AB為直徑的圓.如果以點(diǎn)C為圓心作圓C與直線AO相交，與圓O沒(méi)有公共點(diǎn)，那么圓C的

半徑長(zhǎng)可以是（）

A.9B.—C.5D.—

22

【分析】根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系求出FC，進(jìn)而求出BC,再根據(jù)勾股定理求出兩個(gè)圓心之間的距離

OC,由。C與直線AO相交，0C與。0沒(méi)有公共點(diǎn)，確定OC半徑的取值范圍，進(jìn)而得出答案.

【詳解】解：如圖，連接OC交。。于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)。作。尸，BC于點(diǎn)F,則DF=AB=4,BF=AD=2娓,

在Rtz^DC尸中，DF=4,cotC=匹，

4

:.FC=cotC,DF=A，

:.BC=BF+FC=3娓,

在RtZ\BOC中，"=近2+8（；2r22+（3晶）2=7,

由于OC與直線AO相交，因此0C的半徑要大于4,

又0C與。0沒(méi)有公共點(diǎn)，因此OC與。。外離或內(nèi)含，

當(dāng)0c與。。外離時(shí)，G）C的半徑要小于CE=7-2=5,此時(shí)OC的半徑4<r<5；

當(dāng)。C與。。內(nèi)含時(shí);OC的半徑要大于7+2=9,此時(shí)。C的半徑r>9；

所以O(shè)C的半徑為4<r<5或r>9,

故選：D.

4.（2022?青浦區(qū)模擬）在四邊形ABCD中，AD//BC,NABC=90°,AB=4,BC=4,AD=\（如圖）.點(diǎn)

。是邊CO上一點(diǎn)，如果以。為圓心，0力為半徑的圓與邊BC有交點(diǎn)，那么0。的取值范圍是（）

A.2WOOW5B.型WOOW立

92

C.歿W0QW團(tuán)D.皎W0DW至

926926

【分析】分別畫出半徑最小和最大時(shí)的圖形，根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系以及切線的性質(zhì)列方程求解即

可.

【詳解】解：如圖1,過(guò)點(diǎn)。作。H_L8C于H,則AZ）=BH=1,AB=DH=4,HC=4-1=3,

在Rt^OHC中，8=432+42=5,

當(dāng)。。與BC相切時(shí)，此時(shí)。。與線段3C有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)半徑最小，

設(shè)0D=0E=x,貝I0C=5-x,

在RtaCOE中，sinC=^=—=—,

OCDC5

AC>E=A（5-x）,

5

由。。=0E得，x=&（5-x）,

5

解得x=22；

9

如圖2,當(dāng)以。。為半徑的過(guò)點(diǎn)8時(shí)，半徑最大，過(guò)點(diǎn)。作。凡LBC于凡

設(shè)。。=。8=），，貝ij0C=5-y,

在Rt^CO尸中，sinC=?2=?i=9，

OCDC5

OF=A(5-y)=4-Ay,FC=—(5-y)=3-—y,

5555'

：.BF=4-FC^l+^-y,

5

在RtZ\B。尸中，由勾股定理得，

BF2+OF2=OB2,

即(1+—,y)2+(4-—v)2=y2,

55

解得y=毀，即。。的最大半徑為班，

,2626

所以當(dāng)以。為圓心，。。為半徑的圓與邊8c有交點(diǎn)，那么0。的取值范圍為NqWOOW毀,

926

易錯(cuò)題06三角形的外接圓與內(nèi)切圓

1.三角形的外接圓與外心

(1)外接圓：經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓，叫做三角形的外接圓.

(2)外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心.

2.三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

(1)內(nèi)切圓的有關(guān)概念：

與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這

個(gè)三角形叫做圓的外切三角形.三角形的內(nèi)心就是三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn).

(2)任何一個(gè)三角形有且僅有一個(gè)內(nèi)切圓，而任一個(gè)圓都有無(wú)數(shù)個(gè)外切三角形.

(3)三角形內(nèi)心的性質(zhì)：

三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線平分這個(gè)內(nèi)

角.

支式練習(xí)?》

1.（2022秋?利川市期末）如圖，正三角形ABC內(nèi)接于00,已知。0半徑為2,那么△ABC的邊長(zhǎng)為（）

A.2B.273C.V3D.3

【分析】作輔助線，構(gòu)建直角三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)得：ZOCB=1ZACB=30°,因?yàn)?/p>

2

半徑為2,可得00=1,根據(jù)勾股定理求出。C的長(zhǎng)，所以可知BC的長(zhǎng).