高中數(shù)學(xué)-數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)情分析教材分析課后反思

數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

教學(xué)設(shè)計(jì)

一、課型：二輪復(fù)習(xí)專題課

二、設(shè)計(jì)意圖：

通過(guò)平時(shí)作題反映的情況來(lái)看：學(xué)生對(duì)“數(shù)形結(jié)合思想”掌握很不到位。主要體現(xiàn)在幾個(gè)方

面：

a.腦子中缺少數(shù)形結(jié)合思想，單純地用表達(dá)式進(jìn)行求解，既費(fèi)時(shí)費(fèi)力，有時(shí)還不一定能解出

來(lái)，而且作為選擇填空題，這樣肯定是行不通的。

b.想到用數(shù)形結(jié)合，但觀察表達(dá)式又不知道函數(shù)的圖象是什么，因此也無(wú)從下手。

c.知道函數(shù)的圖象但由于畫(huà)圖不熟練，或細(xì)節(jié)考慮不周，導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤。

針對(duì)這種情況,為了加大同學(xué)們對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的重視程度，以及學(xué)會(huì)能夠大膽去構(gòu)造函數(shù),

分析函數(shù)的圖象然后利用數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題，為此設(shè)計(jì)了這節(jié)課。

三、學(xué)習(xí)目標(biāo)：

(1)學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)破解不等式中的問(wèn)題；

(2)學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)破解函數(shù)中的問(wèn)題.

四、教學(xué)重點(diǎn)：理解“數(shù)形結(jié)合”思想的實(shí)質(zhì)，有效掌握該類問(wèn)題的基本技能。

五、教學(xué)難點(diǎn)：利用“數(shù)形結(jié)合”思想，通過(guò)“以形助數(shù)”，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題

具體化，能夠變抽象思維為形象思維.

六、設(shè)計(jì)思路：

授課前一天利用自習(xí)學(xué)生自主訓(xùn)練有關(guān)數(shù)形結(jié)合的習(xí)題，從批改情況來(lái)看，學(xué)生掌握并不理

想。從學(xué)生出現(xiàn)問(wèn)題最多的題中抽出兩類題型作為專題來(lái)分析：下面是兩類題型中的四道題。

(-)利用數(shù)形結(jié)合思想破解不等式中的問(wèn)題

1.若不等式log；>(a>0且a=1)對(duì)任意xe(0,?)都成立，則a的取值范圍

是

A、(0,f)B、目1)C、仔，f)D、(0,1)

2.不等式\2x-x->kx+k(k為常數(shù))的解集不為空集，則k的取值范圍是()

A、(-8,y]B、[o,y]C、[o,1]D、(-8,j]

(二)利用數(shù)形結(jié)合思想破解函數(shù)中的問(wèn)題

1.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足當(dāng)x^O時(shí)f(x)=,',

,1-|x-3|,xe口,+°0)

則關(guān)于x的函數(shù)F(x)=f(x)-a(0<a<1)的所有零點(diǎn)之和為()

A、2a-1B、2—1C、l-2-aD、l-2a

2.若實(shí)數(shù)a滿足X+IgX=4,實(shí)數(shù)b滿足X+IO*=4,函數(shù)

f(x)=占+(a+b)x+2x<0，則關(guān)*的方程f(x)=x的根的個(gè)數(shù)為

12x>0

()

A、1B、2C、3D、4

七、教學(xué)過(guò)程：

1、自主探究：學(xué)生在卷子發(fā)下來(lái)的時(shí)候，就自己分析了一部分，課堂上再稍微給點(diǎn)時(shí)

間，能自己解決的問(wèn)題基本完成。

2、小組合作：自己解決不了的以組為單位相互討論，相互解答，基本上能找到正確的

思路。3、學(xué)生與教師一起點(diǎn)評(píng)：小組討論也有局限性。比如有些同學(xué)的作法為什么不

對(duì)，或者其他作法能不能行得通？或者有些題為什么這么想？另外各組成員水平不一,

有些小組的解法并不一定符合要求？然后以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)，分析這四道題的

各種解法以及學(xué)生出現(xiàn)問(wèn)題的原因。

第一、二題是這節(jié)課的第一個(gè)學(xué)習(xí)目標(biāo)。

(1)第一題學(xué)生當(dāng)時(shí)選A的比較多。課堂上讓學(xué)生講解此題的作題思路，老師根據(jù)學(xué)

生思路打開(kāi)幾何畫(huà)板，通過(guò)動(dòng)畫(huà)演示,讓學(xué)生直觀地看到當(dāng)a>l和0〈a〈l的圖象的變化，

以及當(dāng)0<a<l時(shí)，圖象移動(dòng)到滿足題意，直觀形象。這一步涉及到分類討論的思想，然

后解對(duì)數(shù)不等式，這一步學(xué)生忽略了函數(shù)的單調(diào)性及區(qū)間端點(diǎn)的等號(hào)問(wèn)題。

在此我設(shè)計(jì)一個(gè)問(wèn)題：若區(qū)間換成(0,三，答案有什么變化？讓同學(xué)們注意端點(diǎn)問(wèn)題。

(2)第二題學(xué)生選B的比較多或有些同學(xué)無(wú)從下手。究其原因，一是方法不對(duì)，二是

不知圖象是什么？對(duì)此，課堂上讓有不同想法的學(xué)生講講自己的作法，正確的加以表?yè)P(yáng)，

不正確的讓其他同學(xué)幫助尋找原因。一種作法是分離變量，轉(zhuǎn)化成不等式有解問(wèn)題，這

種思路是正常思路,計(jì)算量比較大。第二種方法是數(shù)形結(jié)合,是我們這節(jié)課提倡的方法，

但學(xué)生忽視了這是不等式，kWO都成立。第三種方法是兩邊平方，轉(zhuǎn)化成含有字母的二

次不等式有解問(wèn)題，但因?yàn)閷W(xué)生容易忽視定義域，分類討論，所以導(dǎo)致錯(cuò)誤。實(shí)際上這

種方法也行得通，需用圖象定位法來(lái)解決，但是比較復(fù)雜，學(xué)生接受起來(lái)也很難，所以

一點(diǎn)帶過(guò)。通過(guò)比較，學(xué)生可以知道哪種方法好，哪種方法行不通，討論問(wèn)題要注意的

事項(xiàng)，在以后的學(xué)習(xí)中引起高度重視。

針對(duì)學(xué)生用數(shù)形結(jié)合出現(xiàn)的問(wèn)題設(shè)計(jì)了一個(gè)問(wèn)題：若不等號(hào)換成等號(hào)，結(jié)果如何？加深

學(xué)生對(duì)自己錯(cuò)誤的更一步理解。

第三、四題是這節(jié)課的第二個(gè)學(xué)習(xí)目標(biāo)。

(1)從批改上可以發(fā)現(xiàn)第一個(gè)問(wèn)題是學(xué)生畫(huà)x21的圖象不是很好，課堂上讓學(xué)生講解

一是可以了解學(xué)生作圖的思路，二是可以指導(dǎo)其他的作圖思路。作圖方法1、去掉絕對(duì)

值。方法2、取特殊值法(學(xué)生需要掌握這種思路)。方法3、由特殊函數(shù)平移得到。第

二個(gè)問(wèn)題是X6(-L0],f(x)表達(dá)式的求法，這是此題關(guān)鍵所在。也可以轉(zhuǎn)化成

xe[0,1),f(x)=-a,(轉(zhuǎn)化思想)然后根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求出x的值。這是需要指

導(dǎo)學(xué)生作圖思路及技巧，并且課堂上通過(guò)幾何畫(huà)板演示更易理解。

(2)此題的問(wèn)題出在1、學(xué)生變形不到位。需要構(gòu)造三個(gè)函數(shù)y=10x,y=Igx,y=4-x

這三個(gè)函數(shù)，幾何畫(huà)板畫(huà)出這三個(gè)函數(shù)的圖象，然后一起分析指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的特

點(diǎn)一一關(guān)于y=x對(duì)稱，y=x與y=4-x互相垂直，強(qiáng)調(diào)：注意這些隱含條件的應(yīng)用，根據(jù)

這些條件求出a+b的值，再利用直接求解或圖象法判斷根的情況。用圖象法要注意圖象

的準(zhǔn)確性。

4、自主糾錯(cuò)。

5、學(xué)生自主總結(jié)本節(jié)課的收獲，老師提出建議：1、平時(shí)作題要有數(shù)形結(jié)合的意識(shí)；(2)

要有膽量構(gòu)造新的函數(shù)，大膽變形，轉(zhuǎn)化成熟悉的函數(shù)；(3)注意作圖細(xì)節(jié)。

6、檢測(cè)當(dāng)堂掌握情況

1.已知a是方程x+logf=2的根，而B(niǎo)是方程x+2x=2的根，求a+8

2.若不等式］og：<sin2x（a〉0且aH1）對(duì)任意X€—,二）都成立，求a的取值

范圍

最后引用著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生對(duì)數(shù)形結(jié)合的評(píng)價(jià)?！皵?shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微;

數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事非”作為本節(jié)課的結(jié)束語(yǔ)。

數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

學(xué)情分析

數(shù)學(xué)結(jié)合思想在高考中占有非常重要的地位，如果能巧妙地運(yùn)用數(shù)學(xué)結(jié)合的思想，可以

達(dá)到事半功倍的效果。但通過(guò)平時(shí)學(xué)生作題反映的情況來(lái)看：學(xué)生對(duì)“數(shù)形結(jié)合思想”掌握

很不到位，主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

（1）缺少運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的意識(shí)。如選擇填空中的函數(shù)題，若僅是運(yùn)用表達(dá)式求解,

耗費(fèi)了大量時(shí)間與精力，而效果甚微。

（2）對(duì)于函數(shù)的圖像掌握不夠熟練，如皋函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)，需要求導(dǎo)的復(fù)雜函數(shù)等。

（3）由圖像觀察性質(zhì)、由性質(zhì)分析圖像的能力還有所欠缺，如涉及函數(shù)對(duì)稱軸、周期性

等。

針對(duì)這種情況，為了加大同學(xué)們對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的重視程度，為了培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)形結(jié)合

的思想”，為了鼓勵(lì)學(xué)生大膽去構(gòu)造函數(shù)，分析函數(shù)的圖象，特意設(shè)計(jì)了這節(jié)課。

數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

效果分析

學(xué)生在課前做這四道題時(shí)存在的問(wèn)題很多。通過(guò)小組合作，能夠了解有些題的解題思路,

但對(duì)自己的作法及有些想法還存在疑問(wèn)。課上通過(guò)學(xué)生自己分析每道題的想法，其他同學(xué)幫

助尋找錯(cuò)誤的原因，讓同學(xué)們明白自己的疑惑之處。另外通過(guò)同一道題不同的解法，相互比

較，找出最適合此題的思路及解法。而且在講解及討論中，總結(jié)出數(shù)形結(jié)合的幾條規(guī)律：

1、做題時(shí)能用數(shù)形結(jié)合思想的第一時(shí)間要想到數(shù)形結(jié)合，即培養(yǎng)學(xué)生的用圖意識(shí)。

2、在陌生表達(dá)式面前要勇于構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)變形分析函數(shù)，轉(zhuǎn)化成熟悉的函數(shù)，借助數(shù)形

結(jié)合思想使抽象問(wèn)題直觀化，降低思維難度，提供簡(jiǎn)捷的解題途徑。

3、學(xué)生作圖時(shí)應(yīng)該詳略有致，有些地方只需粗略勾勒，有些地方需要精確描繪，做到淡妝

濃抹總相宜，所以作圖技巧，作圖能力的培養(yǎng)也是學(xué)生能否成功地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法解

決問(wèn)題的重要因素。

通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生作選擇題填空題大膽利用數(shù)形結(jié)合

的思路，而且平時(shí)要注意熟悉不同函數(shù)的圖象。但習(xí)慣不是一時(shí)養(yǎng)成的，要不斷地培養(yǎng)。

數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

教材分析

所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)

題的一種重要思想方法。數(shù)形結(jié)合思想通過(guò)“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，

抽象問(wèn)題具體化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，它是數(shù)學(xué)的規(guī)

律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合。

1、數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用

(1)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象求參數(shù)的取值范圍；

(2)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究方程根的范圍；

(3)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究量與量之間的大小關(guān)系；

(4)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其幾何意義研究函數(shù)的最值問(wèn)題和證明不等式；

(5)構(gòu)建立體幾何模型研究代數(shù)問(wèn)題；

(6)構(gòu)建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值問(wèn)題；

(7)由方程構(gòu)建函數(shù)模型，利用求函數(shù)零點(diǎn)的方法求根的個(gè)數(shù)；

(8)由數(shù)量關(guān)系研究圖形的形狀、位置關(guān)系、性質(zhì)等.

2、數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題

途徑，而且能避免復(fù)雜的計(jì)算與推理，大大簡(jiǎn)化了解題過(guò)程。這在解選擇題、填空題中更顯

其優(yōu)越，要注意培養(yǎng)這種思想意識(shí)，要爭(zhēng)取胸中有圖，見(jiàn)數(shù)想圖，以開(kāi)拓自己的思維視野。

縱觀多年來(lái)的高考試題，巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，可起到事

半功倍的效果.

數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

自主探究案(課前)

學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)破解不等式中的問(wèn)題；

2、學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)破解函數(shù)中的問(wèn)題.

一、利用數(shù)形結(jié)合思想破解不等式中的問(wèn)題

自主探究：

1.若不等式log；>s沈2x(a>0且a=1)對(duì)任意xe(0,)都成立，則a的取值范圍

是

A、(0,今B、仔，1)C、(Y，4)D、(0,1)

2.不等式、,,元=2kx+k(k為常數(shù))的解集不為空集，則k的取值范圍是()

A、(-8,yjB、[O,Y]C、[O,孑D.(-00,i]

二、利用數(shù)形結(jié)合思想破解函數(shù)中的問(wèn)題。

自主探究：

L己知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足當(dāng)XN0時(shí)f(x)='')

一|x-31,X6[1,+00)

則關(guān)于x的函數(shù)F(x)=f(x)-a(0<a<1)的所有零點(diǎn)之和為()

A、2a-lB、2-a-1C、l-2-a1)、l-2a

2.若實(shí)數(shù)a滿足X+IgX=4,實(shí)數(shù)b滿足X+ICT=4,函數(shù)

f(x)=[x~+(a+b)x+2X<0，則關(guān)x的方程f(x)=x的根的個(gè)數(shù)為(

(.2x>0

A、1B、2C、3D、4

數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

檢測(cè)題(課中)

1.已知a是方程x+log占=2的根，而B(niǎo)是方程x+2*=2的根，求a+0

2.若不等式log：<sin2x(Q>0且aH1)對(duì)任意xG1廣)都成立，則a

142

的取值范圍是()

數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

自主檢測(cè)題(課后)

1、已知0<a<1，則方程a國(guó)?=的實(shí)根個(gè)數(shù)為()

A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、1個(gè)或2個(gè)或3個(gè)

(|lgx|,0<x<10

2、已知函數(shù)f(x)=若a,b,c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c),

fcXIOfaXu

則abc的取值范圍是()

A、(1,10)B、(5,6)C、(10,12)D、(20,24)

3.設(shè)函數(shù)f(x)=］卜+小g(x)=*儂)產(chǎn)+6&*)+&若函數(shù)86)有5個(gè)不同的

I0,x=0

零點(diǎn)，則()

A、b<-2Kc>0b>-2c=0

C^b<—2且c=0D、b>-2Kc>0

數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

課后反思

1、小組合作:這一學(xué)期學(xué)校提倡小組合作學(xué)習(xí)，通過(guò)近一階段的實(shí)踐有了很大的進(jìn)步，

學(xué)生們能夠通過(guò)小組合作把自己做錯(cuò)的題找出錯(cuò)誤的原因，把自己不會(huì)的題問(wèn)會(huì)。中

難度及以下的題通過(guò)小組合作基本解決。但是中難度以上的題，小組合作就有一定的

局限性。通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，稍有難度的題學(xué)生討論的方法并不理想，有些題只是會(huì)的學(xué)

生把自己的作法講給其他同學(xué)聽(tīng)，為什么這么想，有時(shí)自己也不知所以然，另外其他

同學(xué)的作法能不能行得通，或錯(cuò)誤的原因是什么也分析不出來(lái)。所以小組合作有其優(yōu)

勢(shì)的地方，也有其不足的地方，以后的教學(xué)中要注意小組合作的時(shí)候加以引導(dǎo)，并且

通過(guò)小組合作的時(shí)候詢問(wèn)學(xué)生的想法及錯(cuò)誤的原因，更多的了解學(xué)情。

2、學(xué)生講解，老師點(diǎn)評(píng)：講評(píng)時(shí)通過(guò)學(xué)生自己講解各題，可以掌握學(xué)生分析問(wèn)題的思

路，尋求學(xué)生出錯(cuò)的原因，更好地掌握學(xué)情，也給其他學(xué)生指引了方向，找到了錯(cuò)誤

的根源，加深了印象，以后作題會(huì)引起重視。通過(guò)第二題的一題多解的多種思路，引

導(dǎo)學(xué)生的發(fā)散思維，讓同學(xué)們明白碰到這種題型可以怎樣考慮一分離變量與數(shù)形結(jié)合,

而且通過(guò)比較可以發(fā)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合對(duì)此題更適用。另外也可以找出?部分同學(xué)犯