重難點(diǎn)01線線角、線面角、二面角問題高二數(shù)學(xué)（滬教版2020必修三）（解析版）

重難點(diǎn)01線線角、線面角、二面角問題（重難點(diǎn)突破解題

技巧與方法）

U技巧方法

1.求異面直線所成的角的三步曲

GD。：即依據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角;

即證明窕質(zhì)百為是異面直線所慶的''：

,一~、：而三蒲疝葭就相足而露一而紊鼠由而備屬面露

Q三求）"或直角，則它就是要求的角，如果求出的角是鈍：

一［角，則它的補(bǔ)角才是要求的角；

2.求直線和平面所成角的關(guān)鍵

作出這個(gè)平面的垂線進(jìn)而斜線和射影所成角即為所求，有時(shí)當(dāng)垂線較為難找時(shí)也可以借助于

三棱錐的等體積法求得垂線長，進(jìn)而用垂線長比上斜線長可求得所成角的正弦值。

3.找二面角的平面角的常用方法

（1）由定義做出二面角的平面角

（2）用三垂線定理找二面角的平面角

（3）找公垂面

（4）劃歸為分別垂直于二面角的兩個(gè)面的兩條直線所成的角

但能力拓展

求異面直線所成的角

一、填空題

1.（2021?上海?復(fù)旦附中高二期中）已知四棱柱ABC。-44G。中，異面直線AG與。B所

成角為W，且ACnQ￡=O1，ACn〃B=O,OA=OB=\,則AB的長為.

【答案】1或g

【分析】根據(jù)題意得出408為異面直線40與。B所成角或所成角的補(bǔ)角，從而在AAOB

中，應(yīng)用余弦定理即可求出答案.

【詳解】因?yàn)锳G〃AC,所以NAO8為異面直線AG與OB所成角或所成角的補(bǔ)角，

即乙408=2或紅，

33

TT

'”lNA08=w時(shí)，因?yàn)椤?=。8=1,所以AAOB為等邊二角形，所以/W=l；

當(dāng)Z.AOB——0、j,因?yàn)镺A=OB=1?

2萬

在AAOB中，由余弦定理，得A8?=OT+08，2創(chuàng)OA08?cos(3,

所以

故答案為：1或

2.（2021?上海?格致中學(xué)高二期中）設(shè)E是正方體A88-A8CQ的棱CC,的中點(diǎn)，在棱

上任取一點(diǎn)尸，在線段AE上任取一點(diǎn)。，則異面直線尸。與8。所成角的大小為.

7T

【答案】y

【分析】連接BD,利用線面垂直的判定定理證得平面AECA,再利用線面垂直的性

質(zhì)定理可知BD±PQ,即可得解.

【詳解】連接8。，由底面ABCQ為正方形，可知8DJ_AC,

由正方體的性質(zhì)，可知AA，平面ABC。，乂8￡>u平面ABC。，則A4,，8。

乂A41nAe=A,則平面AECA,

由已知可知PQu平面4ECA,則B￡），PQ

所以異面直線PQ與8。所成角的大小為今TT

故答案為：7

2

D,c,

3.（2021?上海中學(xué)高二期中）正方體A38-ABCQ中，異面直線4片與2。所成角大小

為______

【答案】|

【分析】連接AD,、BR,,證明B\D、HBD,可得ZABR即為異面直線AB,與BD所成角,

在AABQ求NABR即可求解.

【詳解】如圖，連接AR、BR,

因?yàn)锽BJ/DD-BBt=DD,,

所以四邊形是平行四邊形，

所以BRHBD,

所以444A即為異面直線AB1厲BD所成角，

設(shè)正方體ABCD-A與CQ的棱長為“，

在AABQ中，物=4耳=4￡）|=缶，

所以AA4已是等邊三角形，

所以即異面直線AB1與8。所成角為

故答案為：~

二、解答題

4.(2022?上海浦東新?高二期末)如圖，在正方體488-AAGR中.

(1)求異面直線A8和所成的角的余弦值；

(2)求證：直線48〃平面。CCQ.

【答案】(1)也(2)證明見解析

2

【分析】(1)根據(jù)己知CC\UBB\,可將異面直線A.B和CC所成的角轉(zhuǎn)化為直線AB和B耳

所成的角，再根據(jù)題目的邊長關(guān)系，即可完成求解：

(2)可通過連接RC,證明四邊形ABC。,為平行四邊形，從而得到A8//RC,再利用線面

平行的判定定理即可完成證明.

⑴因?yàn)镃GUBB\,所以NA網(wǎng)就是異面直線A/和CG所成的角.又因?yàn)锳B8-A4GR

為正方體，所以異面直線AB和CG所成的角為45°,所以異面直線AB和CC,所成的角的余

弦值為也.

2

(2)

連接。C，因?yàn)锳Q//BCn.A,￡>,=BC,所以四邊形ABC。為平行四邊形，所以AB〃qC；

平面。CCR,"Cu平面。CGR；所以直線AB〃平面。CCQ.

即得證.

線面角

一、單選題

1.(2022?上海市控江中學(xué)高二期末)如圖，已知正方體,點(diǎn)p是棱CG的

中點(diǎn)，設(shè)直線A8為小直線AR為4對(duì)于下列兩個(gè)命題：①過點(diǎn)尸有且只有一條直線/

與4、人都相交；②過點(diǎn)P有且只有兩條直線/與〃、6都成75。角.以下判斷正確的是（）

A.①為真命題，②為真命題B.①為真命題，②為假命題

C.①為假命題，②為真命題D.①為假命題，②為假命題

【答案】A

【分析】①由正方形的性質(zhì)，可以延伸正方形，再利用兩條平行線確定一個(gè)平面即可：

②一組鄰邊與對(duì)角面的夾角相等，在平面內(nèi)繞尸轉(zhuǎn)動(dòng)，可以得到二條直線與〃的夾角都

等于75。.

【詳解】如下圖所示,在側(cè)面正方形避A和ARDA再延伸一個(gè)正方形耳罵和41尸。，

則平面EC和6尸在同?個(gè)平面內(nèi)，所以過點(diǎn)尸，有且只有一條自:線/，B|JEFt與〃、〃相

交，故①為真命題；

取44中點(diǎn)N,連尸N,由于。、人為異面直線，a、。的夾角等于A片與b的夾角.由于AGU

平面A4，NPZ平面AC，NP\\AtCt,所以NPU平面AG，所以NP與A蜴與b的夾角

都為45.又因?yàn)镚C_L平面AG,所以G。與4聲與6的夾角都為90'，而45<75,<9（）。，

所以過點(diǎn)P,在平面AC內(nèi)存在一條直線，使得與4國與6的夾角都為75。，同理可得，

過點(diǎn)尸，在平面內(nèi)存在一條直線，使得與。與AD的夾角都為75。；故②為真命題.

故選：A

二、填空題

2.（2021?上海市行知中學(xué)高二階段練習(xí)）已知正四棱柱的對(duì)角線的長為迷，且對(duì)角線與底

面所成角的余弦值為巫，則該正四棱柱的全面積等于.

3

【答案】10

【分析】結(jié)合已知條件分別求出正四棱柱的底面邊長和高即可求解.

【詳解】由題意，正四棱柱488-AAG。如下圖：

不妨設(shè)正四棱柱ABC。-ABCR底面邊長為。，IM\=h,

由已知條件可得，|8〃|=/+4+爐=2a2+h2=（"）2=6,

又因?yàn)?。R底面ABC。，所以對(duì)角線8。與底面"CO所成角為NOBR,

因?yàn)閷?duì)角線與底面所成角的余弦值為手，I8。|=&〃，

所以cosNOBR=段1=華=立，解得〃=1,從而/i=2,

\BDt\V63

故該正四棱柱的表面積5=1x2x4+1x1x2=10.

故答案為：10.

三、解答題

3.（2021?上海市大同中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面為直角梯形，

AD//BC,44）=90。，幺垂直于底面ABCD,PA=AD=AB=2BC=2,M、N分別為

PC、尸8的中點(diǎn).

（1）求證：PB工DM;

（2）求8。與平面ADMN所成的角.

【答案】（1）證明見解析；（2）%

6

【分析】（1）由題設(shè)易得BC_LAB,由已知及線面垂直的性質(zhì)仃5CL面R4B,根據(jù)線面垂

直的判定可證BC_LP8、A4_LAB,再由線面垂直的判定及平行的推論可得尸,

最后由線面垂直的性質(zhì)證結(jié)論.

BN

（2）若“與平面AD腦V所成角為6,由線面垂直易知sinO=%，即可求線面角的大小.

【詳解】（1）由/皿>=90。即4>_LM，又AD“BC,有8C_L4?,

PA_L面ABCD,BCu面ABCD.

：.PAIBC,而P4nAB=A,則有8CL面

乂P3u面尸AB，則BCJLPB,

由A8i面ABC。，有R4L/W，且P4=Afi，N為尸B的中點(diǎn)，則ANLPB.

乂M為尸C的中點(diǎn)，有MN//BC,即MN_LP3,而A7VDMV=N,

又4）//BC,則4）//MN,即AM。,M共面，

PB_LtSADM2V,而OWu面A￡>M?V,故

7T

（2）由（1）知：面4）腦V,若80與平面49MV所成角為。6。萬］,且3c=1,

BN=5/2,BD—2^2，則sin0==—,故。=一.

BD26

二面角

一、單選題

1.（2020?上海?曹楊二中高二期末）設(shè)三棱錐丫-ABC的底面是正三角形，側(cè)棱長均相等，P

是棱V4上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)），記直線網(wǎng)與直線4c所成角為a,直線PB與平面ABC所成角

為夕，二面角P-AC—8的平面角為7,則

A./3<y,a<yB./3<a,f3<y

C.P<a,y<aD.a</3,y<（5

【答案】B

【解析】本題以三棱錐為載體，綜合考查異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角

的概念，以及各種角的計(jì)算.解答的基本方法是通過明確各種角，應(yīng)用三角函數(shù)知識(shí)求解，

而后比較大小.而充分利用圖形特征，則可事倍功半.

【詳解】方法1：如圖G為AC中點(diǎn)，V在底面ABC的投影為。，則P在底面投影D在線段

A。上，過。作DE垂直AE,易得PE//VG,過P作尸尸〃AC交VG于尸，過。作。"http://AC,

a/n。,、PFEGDHBD?

交.BG于H,則a=NBP￡P(guān)=NPBD,y=Z.PED,貝ijcosa=—==-----<-----=cosB,

PBPBPBPB

PDPD

即a>6，tany=W>W=tan|3,即y>B，綜上所述，答案為B.

EDBD

V

方法2：由最小角定理￡<a,記V-AS-C的平面角為丫’（顯然Y'=Y）

由最大角定理P<Y'=Y，故選B.

方法3：（特殊位置）取V-ABC為正四面體，P為01中點(diǎn)，易得

cosa==>sina=^^-,sinP=siny="",故選B.

6633

【點(diǎn)睛】常規(guī)解法下易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有，不能正確作圖得出各種角.未能想到利用“特殊位置

法”，尋求簡便解法.

二、填空題

2.（2021?上海?西外高二期中）在正方體ABCQ-ABCIR中，二面角A-8C-A的大小是

【答案】V

4

【分析】根據(jù)二面角的定義判斷二面角A-BC-A的大小.

【詳解】畫出圖象如下圖所示，

由于BC_LAB,BC_LAB,

所以是二面角A-8C-A的平面角，

根據(jù)正方體的性質(zhì)可知ZABA=￡.

4

故答案為：~~

4

三、解答題

3.（2022?上海?復(fù)旦附中高二期中）如圖所示，某農(nóng)戶擬在院子的墻角處搭建一個(gè)谷倉，墻

角可以看作如圖所示的圖形，其中OA、OB、。。1兩兩垂直（OA、。8、。。|均大于2米）.該

農(nóng)戶找了一塊長、寬分別為2米和1米的矩形木板.將木板的一邊緊貼地面，另外一組對(duì)邊

緊貼墻面，圍出一個(gè)三棱柱（無蓋）形的谷倉.

（1）若木板較長的一邊緊貼地面，且圍成的谷倉體積為正立方米，問：此時(shí)木板與兩個(gè)墻面

2

所成的銳二面角大小分別為多少？

（2）應(yīng)怎樣擺放木板，才能使得圍成的谷倉容積最大？并求出該最大值.

【答案】（1）《和］

63

（2）體積最大值為1立方米，此時(shí)木板長邊貼地，與兩個(gè)墻面所成銳二面角均為45°

【分析】（1）利用設(shè)二面角為或三棱柱底面的一條直角邊長為x兩種方法進(jìn)行求解即可；

（2）用（I）中的e或X表示谷倉容積，再利用三角函數(shù)和基本不等式，進(jìn)行求最值即可得

解.

（1）法一：設(shè)其中一個(gè)銳二面角的大小為夕，

則三棱柱底面的兩條直角邊長分別為28S，、2sin。，高為1,

體積丫=S/2=L2cos61-2sin6M=sin2e="，解得，=§或￡，

2263

所以此時(shí)木板與兩個(gè)墻面所成的銳二面角大小分別孫嗚.

法二：設(shè)三棱柱底面的一條直角邊長為M0<x<2），

則另?條直角邊長為67,高為I,

體積V=S"='x?"二立，解得X=1或G，

22

所以此時(shí)木板與兩個(gè)墻面所成的銳二面角大小分別為？和g.

63

（2）法一：同（1）中法一所設(shè)，

若長邊緊貼底面，體積y=S〃=、2cos，-2sin，/=sin2041,

2

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)。=￡時(shí)成立；

4

若短邊緊貼底面，體積V=S/?=■!■?cos，?sin，?2='sin2,4',

222

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)0=二時(shí)成立；

顯然1>:,所以體積最大值為1立方米，此時(shí)木板長邊貼地，

與兩個(gè)墻面所成銳二面角均為45°.

法二：同（1）中法二所設(shè)，

若長邊緊貼底面，體積V=S/2='r.1</+4--=],

24

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)％=應(yīng)時(shí)成立；

若短邊緊貼底面，體積y=s/?=Lx?廬三

222

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=變時(shí)成立；

2

顯然1>；,所以體積最大值為1立方米，

此時(shí)木板長邊貼地，

與兩個(gè)墻面所成銳二面角均為45°（也可描述底面兩條直角邊長）.

4.（2021.上海.格致中學(xué)高二期中）在四棱錐P-A88中，底面為梯形，AB//CD,4PAD

為正三角形，且F4=A8=2,/BAP=NCDP=9Q°,四棱錐尸―ABCD的體積為2石.

(1)求證：AB_L平面PAO；

(2)求PC與平面ABCD所成角的正弦值；

(3)設(shè)平面PABc平面PCZ)=/,求證：1//AB,并求二面角B-/-C的大小.

【答案】(1)證明見解析：(2)巫；⑶J

103

【分析】(1)根據(jù)線面垂直的判定定理，結(jié)合題意，即可得證.

(2)根據(jù)面面垂直的判定、性質(zhì)定理,結(jié)合正三角形的性質(zhì)，可證產(chǎn)。,平面ABCD,則NPCQ

即為PC與平面A8CO所成角，據(jù)四棱錐的體積，可求得CQ長，在R/APCQ中，求得各個(gè)

邊長，即可得答案.

(3)根據(jù)線面平行的判定和性質(zhì)定理，可證AB///,結(jié)合題意，可得月4_U,同理

則NAP。即為二面角8-/-C所成的平面角，根據(jù)三角形性質(zhì)，即可得答案.

(1)證明：因?yàn)镹CDP=90。，所以8,0產(chǎn)，

因?yàn)樗?/p>

乂因?yàn)镹B4P=90。，即舫_LAP,且AP,DPu平面PAD，

所以平面PA￡>：

(2)因?yàn)锳8JL平面心￡>,AB\平面A8CD,

所以平面R4T>_L平面ABCD,

取AO中點(diǎn)Q,連接PQ,CQ,

因?yàn)椤餍　?為正三角形，。為A￡>中點(diǎn)，

所以尸。J.4。，又平面BAD，平面ABC￡>,且平面PAOA平面A8cZ)=A。,

所以PQ_L平面48。，

所以NPCQ即為PC與平面ABCD所成角，

在RhP。。中，PQ=JPD?=5

設(shè)C。長為x,

則四棱錐尸—ABCD的體積V=gsA88xPQ=gxgx（2+x）x2x0=2G,

求得CO長x=4,

在心△C￡）。中，CQ=yjCD2+DQ*1=V17.

在R〃PCQ中，pc=y]CQ2+PQ2=2>/5,

所以sinNPCQ="=^=巫，

PC2x/510

所以PC與平面A5CO所成角的正弦值為姮

10

（3）證明：因?yàn)锳B//C。，CQu平面尸CD,A8（z平面尸CD,

所以4?〃平面PCD,

又ABi平面B4B，且平/Wc平面PCO=/,

所以AB///.

因?yàn)锳4J_A5，AB//h

所以PA，/,同理尸。，/,

所以ZAPD即為二面角8-/-C所成的平面角，

因?yàn)椤饕浴?gt;為正三角形，

所以乙4尸。=2,即二面角B_/-C的大小為

Q鞏固練習(xí)

一、填空題

1.（2021.上海奉賢區(qū)致遠(yuǎn)高級(jí)中學(xué)高二期中）若正方體ABCQ-ABGR的棱長為I，則異

面直線AB與。蜴之間的距離為.

【答案】1

【分析】作出正方體圖像，觀察即可得到答案.

【詳解】如圖:

BBI與AB,4。均垂直，BB,即為兩異面直線的距離，

故答案為：1

二、解答題

2.（2021?上海中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，長方體488-ABCQ中，卜用=恒4=1,|償|=2,

點(diǎn)尸為。。的中點(diǎn).

A

⑴求證：直線〃平面B4C；

（2）求異面直線與AP所成角的大小.

【答案】（1）證明見解析；（2）30。.

【分析】（DAC和8。交于點(diǎn)。，由尸O〃B。即能證明直線〃平面R4C.

⑵由PO〃BD、,得NAPO即為異面直線BDt與叱所成的角.由此能求出異面直線與加＞所

成角的大小.

（1）設(shè)AC和8。交于點(diǎn)。，則。為BD的中點(diǎn)，

連結(jié)PO,又：尸是。R的中點(diǎn)，PO〃B〃，

又POu平面PAC,BD/平面PAC,

...直線BR〃平面PAC；

⑵山（1）知，尸?！ń?，,ZAPO即為異面直線與4P所成的角，

-：\PA\=\PC\=^2,|4O|=JAC|=乎且PO_LAO,

s。微/弓

又ZAPOe(0。，90°],AZAPO=30°

故異面直線BDJjAP所成角的大小為30。.

3.（2021?上海市進(jìn)才中學(xué)高二期中）已知正四棱錐P-A3C￡）中，AB=1,24=2；

（1）求側(cè)棱與底面所成角的正弦值；

（2）求正四棱錐P-ABCO的體積

【答案】（1）巫（2）巫

46

【分析】（1）由于正四棱錐尸-ABCD,故頂點(diǎn)在底面的投影在底面的中心。，連結(jié)PO,A。

分析可得NR4。即為側(cè)棱與底面所成角，利用題干長度關(guān)系求解即可

（2）由于PO_L平面ABC。，^Vp_ABCD=^xPOxSABCD,計(jì)算即可

（1）由于正四棱錐P-A5CD,故頂點(diǎn)在底面的投影在底面的中心。，連結(jié)PO,AO

故P。，平面ABCD,ZPAO即為側(cè)棱與底面所成角

萬行

由/W=l,PA=2,fy.AO=—AB=—

22

乂POL平面ABC。，AOu平面ABCD,故PO_LAO

PO=yjPA1-AO2=

fesinZPAO=—=—

PA4

即側(cè)棱與底面所成角的正弦值為亞

4

(2)由(1)20，平面43(7。，且？。=恒

2

故VfBCD=§XPOXSASCO=^X~^~X^=~^~

即正四棱錐P-ABCD的體積為近